 二項式定理 Sec 2-3

Sec 2-3 二項式定理

重點整理

1. 二項式定理：

(x y)ⁿ C x_r^{n n r}y^r

r

  n ^



C x₀^{n n}C x y C x₁^{n n1}  ₂^{n n2}y² ... C x_r^{n n r} y^r ... C xy_nⁿ_1 ^n1C y_n^{n n}

(1) 第r1項(一般項)為C x_r^{n n r} y^r；按^x降冪排列

(2) 共H_n² C_n^n1 n 1項；

說明：

(x y )2 (x y x y )(  )

x²xy yx y ² x²2xy y ²

C x₀^{2 2}C xy C y₁²  ₂^{2 2}

3 2 2

(x y ) (x y x )( 2xy y )

x³2x y xy²  ² x y² 2xy²y³

C x₀^{3 3}(C₁²C x y₂²) ² (C₂²C xy₁²) ² C y₃^{3 3}

C x₀^{3 3}C x y C xy₁^{3 2}  ₂^{3 2}C y₃^{3 3}

x³3x y² 3xy² y³

4 3 2 2 3

(x y ) (x y x )( 3x y3xy  y )

x⁴3x y³ 3x y^{2 2}xy³ x y³ 3x y^{2 2}3xy³y⁴

C x₀^{4 4} (C₁³C x y₀³) ³ (C₂³C x y₁³) ^{2 2}(C₃³C xy₂³) ³C y₄^{4 4}

C x₀^{4 4} C x y C x y₁^{4 3}  ₂^{4 2 2}C xy₃^{4 3}C y₄^{4 4}

x⁴4x y³ 6x y^{2 2} 4xy³y⁴ pf ：

1. 當n1時： ^(x ^y)1 ^C₀^1x1^C₁^1y1成立 2. 設nk時，原式成立，即 ：

(^x ^y)^k ^C₀^kxk ^C₁^kxk1y...^C_k^k_1^xyk1^C_k^kyk 3. 當n k1時：

想證：『⁽x y^)k1 C₀^k1x^k1C₁^k1x^ky^...C_k^k1xy^k C_k^k_^₁¹y^k1』 ^{(xy)k1 (x y)(xy)k}

^(x ^y)(C₀^kxk ^C₁^kxk1y^...^...^C_k^k_1^xyk1^C_k^kyk)

⁽ 1 2 ^... 1 ^{2 1 )}

2 1

1

0 k k

k k k k k

k k k k

kx C x y C x y C x y C xy

C     

 ^{ } _ ^

) .

...

...

( ₀  ₁ ^{1 2}   _1  ^1

 C^kx^ky C^kx^k y C_k^k xy^k C_k^ky^k C₀^kx^k1⁽C₁^k C₀^k)x^ky⁽C₂^k C₁^k)x^k1y²^...

1

1 )

( _   ^

 C_k^k C_k^k xy^k C_k^ky^k

k k k^{k k}

k k

k k

k k

k x C x y C x y C xy C y

C₀^{1 1} ₁^1  ₂^{1 1 2}.. ^1  _^₁¹



4. 故依數學歸納法知，原式成立。

2. 多項式定理：

(1) 考慮由A到B走捷徑，共有 7! ₃⁷ ₄⁷ ₃³ 3! 4!C C C

 種走法。

(2) 考慮二項式定理：

0 0

( ) !

!( )!

n n

n n n r r n r r

r

r r

x y C x y n x y

r n r

 

 

  

 

令b r ，a n r  ，得：

0 0 ,

( ) !

! !

n n

n n n r r a b

r

r a b n

a b n

x y C x y n x y

a b



  

 

  

 

推廣得：

0 , ,

( ) !

! ! !

n n a b c

a b c n a b c n

x y z n x y z

a b c

  

 

  



(3) 推廣成ⁿ項，可得多項式定理通式：

 

1 2

1 2

1 2 1 2

... 1 2

0 , ,...,

... ! ...

! !.... !

k

k k

n a a a

k k

a a a n k

a a a n

x x x n x x x

a a a

   

 

   



3. 組合級數：

善於利用：(1x)ⁿ C₀ⁿC x C x₁ⁿ  ₂^{n 2} ... C x_n^{n n}；可令x1、1、2、1 2、 1

 、2 i、 …

(1) C₀ⁿC₁ⁿ C₂ⁿ ... C_nⁿ 2ⁿ；

(2) C0ⁿ C2ⁿ C4ⁿ C1ⁿ C3ⁿ C5^{n n}

2 1

   ...    ... ^ 。 4. 複習：

(1) 定義： 1 2

1 1

...

n n

k n j

k j

a a a a a

 

    

 

(2)





  











 ⁿ

k k

n

k k

n

k ak bk a b

1 1

1

)

( ；



 









 ⁿ

k k

n

k c ak c a

1 1

)

( ；

 ⁿ c c c c n c

k















...

1

；



  











 ⁿ

k k

n

k k

n

k ak bk a b

1 1 1

)

( ；





 







 _n

k k n k n k

k k

k

b a b

a

1 1 1

；