 2012 年青少年數學國際城市邀請賽

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2012 年青少年數學國際城市邀請賽

參賽代表遴選複賽

個人賽試題

_________縣市_________國民中學____年級編號:________ 姓名:_________

性別: □男 □女作答時間: 二小時

第一部分：填充題，每小題 5 分，共 60 分

(注意：在試卷上作答，只需寫出答案，答案若為分數，請化為最簡分數)

1. 設 a、b 為互質的兩正整數且 a < b，若 a + b = 3056，則這樣的有序數對(a, b) 共有組。 Ans: 760

2. 由三個皆不為 0 的數碼所組成的三位數中，若a a a 為這些三位數之一，且_{1 2 3}

1 2 3

a a a 與其三個組成的數碼乘積a₁a₂a₃之差為最大，則a a a_{1 2 3}= 。 Ans: 991

3. 將 25 個數排成的五行五列，如下所示：

11 12 13 14 15

21 22 23 24 25

31 32 33 34 35

41 42 43 44 45

51 52 53 54 55

a a a a a

已知第一橫列a 、₁₁ a 、₁₂ a 、₁₃ a 、₁₄ a 為等差數列，而每一直行₁₅ a 、_{1 j} a 、_{2 j} a 、3 j a 、_{4 j} a ，1_{5 j}   ，皆為等比數列，且五個公比皆相等。若j 5 a  、₂₄ 4

41 2

a   、a ₄₃ 10，則a₁₁a₅₅的值為__________。 Ans: -11

4. 設

2012 4

44 4 a 





個

、 ¹⁰⁰⁶ ⁸ 88 8 b  

個

，若 n[ ab]，其中[m]表示小於或等於 m 的最

大整數，則n  的餘數為。 Ans: 6 9

5. 設 a、b、c、d 均為正整數且 a＜b＜c＜d，若1 1 1 1

abc d  ，則1 d 的所有 可能值之和為。 Ans: 131

(2)

6. 下圖中，△ABC 和△BPQ 都是正三角形，若AB BP : 4 :1，則四邊形 AQPC 面積：四邊形 ABPQ 面積= ：。 Ans: 3:1

7. 將六個完全相同的正三角形磁磚以邊對邊的方式連接在一起平鋪在地面上，

而拼成許多圖案。若經過旋轉或翻轉後相同的圖案視為相同的圖案，則總共可以拼出 _____________種不同的圖案。 Ans: 12

8. 假設 x、y 均為正整數且滿足 x37  y x19，若 x=a 時，y 的最大值為 b，則 a + b = 。 Ans: 216

9. 已知 ABCD 為一個平行四邊形，點 P 為△BAD 內部的一點。如果△PAB 的 面積為 2 cm²、△PCB 的面積為 5 cm²，則△PBD 的面積為 cm²。

Ans:3 10. 設 ( )f n 為一個定義域為正整數的函數，且滿足

 

2, 500,

( ) ( 5) , 500.

n n

f n f f n n

 

 

 

 則 (60)f 之值為。

Ans: 499 11. 已知方程式

2

2 3

2 3 0

4

x  mx n  ，其中m、n 分別為一個等腰銳角△ABC 的 腰與底邊之長。若該方程式的兩實根之差的絕對值為8 3 ，且△ABC 的面積 為8 2 ，則△ABC 的周長為。 Ans: 4( 6 2)

12. 設 x、y 為實數，滿足



⁵^x^ ²⁵^x²^^{2012 5}



^y^ ²⁵^y² ^²⁰¹²



^²⁰¹²^，則

2 2

x y 之值為。 Ans:

25

4024 Q

P B C

A

(3)

第二部分：計算證明，每題 20 分，共 60 分

(注意：在試卷上作答，須詳列過程及說明理由)

1. 小傑手中有一疊 414 張的卡片，它們依序從最上面一張到最下面一張編號如 1、2、3、4、5、6、7、8、9、1、2、3、4、5、6、7、8、9、1、2、…、

7、8、9。每次操作，小傑取出手上這疊卡片最上面的二張卡片，將上面第一張卡片丟掉並將第二張卡片放到此疊卡片的最下面。依此規則繼續操作下 去。當他手中的卡片剩下 194 張卡片時，編號為 5 的卡片共被丟掉 a 張；而 當他手中只剩下一張卡片時，此卡片的編號為 b，試求 a 與 b 之值。

【參考解答】首先將卡片從上到下編 1~414 號，手中卡片剩下 194 張卡片，即抽掉 220 張，當抽掉 207 張時，剩下的卡片編號為 2, 4, 6, 8, …., 414，此時即需要處理前 26 張；而抽掉的號為 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34, 38, 42, 46, 50 其中編號為”5”排的位置為第 5, 14, 23, 32, 41, 50 故只有 14 及 50，因此a 23225。

若卡片為 256 張時，剩下的最後一張一定是原先排的最後一張。

因此3169...1，故b1，所以 a = 25 , b = 1

(4)

A

O

P

B

F D C

E

H

2. 已知 ABCD 為正方形，以點 D 為圓心，線段 AD 為半徑的圓弧與以線段 BC 為直徑的圓 O 相交於 P、C 兩點，連接線段 CP、AP，並延長 CP 交 AB 於點 E；延長 AP 分別交線段 BC 與圓 O 於點 H 與 F，連接線段 OF(如圖所示)。

證明：AB//OF。

【參考解答】

已知 ABCD 為正方形，連接 A, C 兩點 450

CAB

  且 ABBC。  PAE ACE, AEP CEA 所以 AEP~ CEA

故APECAE 45^o

得 CPF  APE45 ⁰  COF90⁰ 即證得AB OF 。 //

H

D C

F P

E B

A

O

(5)

3. 若 n 為正整數使得乘積 77777777 × n 之數碼全都是 1，試求 n 之最小值。

【參考解答】

n × 77777777 = (n×7/9) × 99999999

考慮最小 m 使得乘積 m × 99999999 = 11...1 [m = (n×7/9)，n = 9m/7]

即 m × ( 10⁸- 1) = 11...1

設 m = ...a8a7...a2a1，m 的個位數是 a1 十位數是 a2。則 a100000000 - a9a8a7...a2a1 = 111111111

900000000 - 788888889 111111111

⇒ a9a8a7...a2a1 = 788888889

78888888900000000 - 67777777788888889 11111111111111111

⇒ m = 1111111122222222...7777777788888889

⇒ n = 9m/7，m 必須是 7 的倍數

9m = 10m - m = 1000000010000000...10000000100000001

= (10⁸)⁸+(10⁸)⁷+...+(10⁸)²+10⁸+1

10⁸≡2 mod 7 ⇒ (10⁸)²≡4mod 7 ⇒ (10⁸)³≡1mod 7

⇒ (10⁸)⁸+(10⁸)⁷+...+(10⁸)²+10⁸+1 ≡4+2+1+4+2+1+4+2+1≡ 0 mod 7

⇒9m 是 7 的倍數，n = 9m/7

由 10000000100000001/7 = 1428571442857143

⇒n = 1000000010000000...10000000100000001/7

=10000000100000001000000010000000100000001000000010000000100000001/7

= 1428571442857143000000001428571442857143000000001428571442857143

所以 n 的最小值為 1428571442857143