拼圖遊戲
葉洹君
一、 前言
暑假的時候, 爸爸送我一個禮物—車子拼圖, 這個拼圖共有九張圖片 (見圖一), 每張圖片 的東邊、 南邊、 西邊、 北邊各有四種不同顏色 (綠色、 紫色、 紅色、 黃色) 的半輛車子, 正確的拼 圖目標和規則是把這九張圖片排成一個 3 × 3 的正方形, 使得任何相鄰 (有公用邊) 的兩張圖 片中的兩個半輛車子都能吻合成為一輛完整的車子。
圖一
剛拿到這個 9張車子拼圖圖片的時候, 我就開始盲目地嘗試, 過程中碰到很多的失敗, 而且 發現到我一直重複一些相同的錯誤。 有時候, 我突然拼出正確的 3 × 3 大拼圖, 但是一弄亂之 後, 我再也不知道如何拼回去。 這是一個相當有趣的問題, 必須要細心、 耐心地分析、 觀察規律 和分類探討, 其中蘊藏了許多數學秘密, 所以我利用暑假期間好好地把這個問題研究一番, 探討 其中蘊藏的數學秘密。 我希望能找出所有九張圖片的 3 × 3 正方形正確拼圖, 而且藉著這個問 題的研究, 我學到 “化繁為簡” 的技巧, 同時也學到正推、 反推的思維想法, 和用樹狀圖形來作 解題的方法, 進而應用這種技巧來找尋其他遊戲必贏的策略 (例如: 玩捉強盜遊戲)。
二、 研究過程
這個拼圖問題乍看之下, 我的感覺是 “想找出所有正確拼圖的過程一定是相當複雜”。 如果 隨便亂放, 則每張圖片都可以向右轉動90度四次, 共有四種朝向, 所以每張圖片有4種可能的放
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法; 3 × 3 正方形的 9 個位置中放 9 張圖片有 9! 種可能的放法。 即使扣掉對稱的圖形也超過幾 十億種可能的放法。 所以不可能去檢查每一種情況, 因此, 首先要細心、 耐心地找出所有可能的 情形, 不能有任何的遺漏。 而且要了解 9 張拼圖圖片的結構及特性, 並仔細地觀察和分類。 再分 析出更多的規律, 排除許多不可能成為 3 × 3 正確拼圖圖片的情形, 及避免重複一些相同的錯 誤, 這樣可以使得求解過程愈趨簡單, 最後找出所有可能的解答, 這些過程中並不一定要用什麼 高深的數學技巧。 但是必須要細心、 耐心地找出所有可能的情形, 不能有任何的遺漏。 另外也設 法定義一些符號來表達並記錄操作的過程, 否則不容易作出有系統地分析, 也不容易表述清楚。
(一) 符號:
我把這車子拼圖的 9張圖片照圖一的順序由上而下再由左而右地編號為 1, 2, . . ., 9, 依照 車子顏色記為 G(綠色)、 P (紫色)、 R(紅色)、 Y (黃色)。 另外每種顏色車子都分為兩半, 我們把 X 車的兩半記為 X (車頭) 和 X (車尾), 所以圖一中的 9 張圖片可以記為
G P 1 R
Y
R P 2 G
Y
Y P 3 G
R
G R 4 P
Y
G Y 5 R
P G
Y 6 P R
G R 7 P
Y
P Y 8 R
G
R P 9 Y
G 圖二
如果把這 9 張車子拼圖的圖片排成 3 × 3 的正方形, 也可以說把這 9 張車子拼圖的圖片放 好在 3 × 3 的九宮格中的格子裡, 我們把 3 × 3 的正方形 (或稱為 3 × 3 的 九宮格) 中 9 個位 置的編號如圖三。
(1, 1) (1, 2) (1, 3) (2.1) (2.2) (2.3) (3.1) (3.2) (3.3)
G R 1 P
Y
圖三 圖四
如果把這 9 張車子拼圖的圖片排成 3 × 3 的正方形, 只要我們轉動這大張的 3 × 3 正方形 (包含九張圖片), 一定可以使得第一張圖片的朝向呈現如圖四。 所以在本文章之後, 任何提到第 一張圖片的時候, 都是指它的四個半輛車子的位置都呈現圖四的朝向, 即在東邊是 R、 南邊是 Y 、 西邊是 P 、 北邊是 G。
(二) 認識遊戲道具及規則 這 9 張車子拼圖的圖片中,
有G 的圖片編號是: 2, 3, 5, 6, 8; 有G 的圖片編號是: 1, 4, 7, 9;
有R 的圖片編號是: 2, 3, 7, 9; 有R 的圖片編號是: 1, 4, 5, 6, 8 有P 的圖片編號是: 1, 4, 6, 9; 有P 的圖片編號是: 2, 3, 5, 7, 8;
有Y 的圖片編號是: 1, 4, 5, 7, 9; 有Y 的圖片編號是: 2, 3, 6, 9。
任何相鄰 (有公用邊) 的兩張圖片中的兩個半輛車子都滿足連接規定: “能吻合成為一輛完整的 車子”。 也就是說, 如果某張圖片的東邊 (或南邊、 西邊、 北邊) 車子是 X (或 X), 則這張圖片 的右邊 (或下面、 左邊、 上面) 的圖片的西邊 (或北邊、 東邊、 或南邊) 一定是 X (或 X) 。 (三) 初步的想法: 在這一段落裡, 我們將提出一個可以找出所有 3 × 3 正確九張拼圖圖片的方 法。
反推的思維:
1. 假設我們拼好一張正確的 3 × 3 大拼圖, 則我們一定可以從這張大拼圖中剪下一個包含第 一張圖片的 3 × 2 正確六張圖片組。
2. 同樣地, 假設我們拼好一張包含第一張圖片的 3 × 2 正確六張圖片組, 則我們一定可以從 這張 3 × 2 的六張圖片組中剪下一個包含第一張圖片的 2 × 2 正確四張圖片組。
3. 假設我們拼好一張包含第一張圖片的 2×2 正確四張圖片組, 則我們一定可以從這張 2×2 四張圖片組中剪下一個包含第一張圖片的 1 × 2 正確二張圖片組。
正推的思維:
1. 如果找出所有包含第一張圖片的 1 × 2 正確二張圖片組, 再從每個 1 × 2 正確二張圖片 組的上面 (或下面) 一行加入剩下的七張圖片中的兩張, 檢查看看這 2 × 2 四張圖片組是
否為 2 × 2 正確四張圖片組 (即滿足連接規定: 任何相鄰的兩個半輛車子都能吻合成為一 輛完整的車子)。 這樣我們就可以找出所有的 2 × 2 正確四張圖片組。
2. 如果找出所有包含第一張圖片的 2 × 2 正確四張圖片組, 再從每個 2 × 2 正確四張圖片 組的左邊、 右邊、 上面、 或下面一行加入剩下的五張圖片中的兩張, 檢查看看這 3 × 2 或 2 × 3 的六張圖片中是否滿足連接規定。 這樣我們就可以找出所有的 3 × 2 或 2 × 3 正確 六張圖片組。
3. 如果找出所有包含第一張圖片的 3 × 2 (或 2 × 3 ) 圖片組, 再從每個 3 × 2 圖片組的左 邊或右邊 (或上面、 下面) 一行加入剩下的三張圖片, 檢查看看這 3 × 3 的九張圖片是否 滿足連接規定。 這樣我們就可以找出所有九張圖片的 3 × 3 正確拼圖。
(四) 改良的想法: 在前一段的討論裡我們雖然找到了正確的拼圖方法, 但是為了提出一個更快 速找出所有 3 × 3 正確九張拼圖圖片的方法, 我們有更深入且完整的另一種想法:
反推的思維:
1. 為了找出所有九張圖片的 3 × 3 正方形正確拼圖, 我們只要找出所有包含第一張圖片在 (1, 1), (2, 1), (3, 1), (3, 2) 的 3 × 2 圖片組及找出所有包含第一張圖片 (1, 3) 的 2 × 3 正確六張圖片組, 因為第一張圖片在這 3 × 3 的九宮格中可能的位置, 有九種可能: (i, j) 其中 1 ≤ i, j ≤ 3:
(1) 如果第一張圖片在正確的 3 × 3 大拼圖中的 (1, 1) 或 (1, 2) 位置, 則我們可以從這張 大拼圖中剪下一個包含第一張圖片在 (1, 1) 位置的 3 × 2 正確六張圖組。
(2) 如果第一張圖片在正確的 3 × 3 大拼圖中的 (2, 1) 或 (2, 2) 位置, 則我們可以從這張 大拼圖中剪下一個包含第一張圖片在 (2, 1) 位置的 3 × 2 正確六張圖組。
(3) 如果第一張圖片在正確的 3 × 3 大拼圖中的 (3, 1) 或 (3, 2) 位置, 則我們可以從這張 大拼圖中剪下一個包含第一張圖片在 (3, 1) 位置的 3 × 2 正確六張圖組。
(4) 如果第一張圖片在正確的 3 × 3 大拼圖中的 (1, 3) 或 (2, 3) 位置, 則我們可以從張大 拼圖中剪下一個包含第一張圖片在 (1, 3) 位置的 2 × 3 正確六張圖組。
(5) 如果第一張圖片在正確的 3 × 3 大拼圖中的 (3, 3) 位置, 則我們可以從這張大拼圖中 剪下一個包含第一張圖片在 (3, 2) 位置的正確六張圖片組。
2. 為了要找出所有包含第一張圖片在 (1, 1), (2, 1), (3, 1), (3, 2) 的 3 × 2 圖片組及在 (1, 3) 位置的 2 × 3 正確圖片組, 我們只要找出所有包含第一張圖片的 2 × 2 圖片組, 因為第一 張圖片在這 3 × 2 的表格中可能的位置有六種: (i, j) 其中 1 ≤ i ≤ 3, 1 ≤ j ≤ 2 :
(1) 如果第一張圖片在 3 × 2 正確六張圖片組中的 (1, 1) 或 (2, 1) 位置, 則我們可以從這 張 3 × 2 圖片組中剪下一個包含第一張圖片在 (1, 1)位置的 2 × 2 正確四張圖片組。
(2) 如果第一張圖片在 3 × 2 正確六張圖片組中的 (3, 1) 位置, 則我們可以從這張 3 × 2 圖片組中剪下一個包含第一張圖片在 (2, 1) 位置的 2 × 2 正確四張圖組。
(3) 如果第一張圖片在 2 × 3 正確六張圖片組中的 (1, 3) 位置, 則我們可以從這張 2 × 3 圖片組中剪下一個包含第一張圖片在 (1, 2) 位置的 2 × 2 正確四張圖組。
(4) 如果第一張圖片在 3 × 2 正確六張圖片組中的 (3, 2) 位置, 則我們可以從這張 3 × 2 圖片組中剪下一個包含第一張圖片在 (2, 2) 位置的 2 × 2 正確四張圖組。
3. 為了要找出所有包含第一張圖片的 2 × 2 圖片組, 我們也只要找出所有包含第一張圖片的 1 × 2 正確圖片組, 因為
(1) 如果第一張圖片在正確的 2 × 2 四張圖片組中的 (1, 1) 或 (2, 1)位置, 則我們可以從 這張 2 × 2 圖片組中剪下一個包含第一張圖片在 (1, 1) 位置的 1 × 2 正確二張圖片 組。
(2) 如果第一張圖片在正確的 2 × 2 四張圖片組中的 (1, 2) 或 (2, 2) 位置, 則我們可以從 這張 2 × 2 圖片組中剪下一個包含第一張圖片在 (1, 2) 位置的 1 × 2 正確二張圖片 組。
正推的思維:
當我們提到某一些正確的圖片組, 只要固定第一張圖片的朝向之後, 我們可以只用圖片的 編號來記錄, 這是由於每張圖片包含四種不同顏色的車子各半輛。 因此當我們拼圖的時候, 為了 要滿足連接規定, 其餘圖片的朝向會被固定。 所以不會引起誤解。
1. 所有包含第一張圖片的 1 × 2 圖片組
我們首先找出所有包含第一張圖片的 1 × 2 圖片組。 由於第一張圖片的右邊車子是 R, 左 邊的車子是 P ; 而剩下的八張圖片中有 R 的圖片編號是: 2, 3, 7, 9及有 P 的圖片編號是: 2, 3, 5, 7, 8。 所以由連接規定, 我們知道所有包含第一張圖片的 1 × 2 正確圖片組有 12, 13, 17, 19 及 21, 31, 51, 71, 81。
2. 所有包含第一張圖片的 2 × 2 圖片組
由於第一張圖片在 1 × 2 正確圖片組的 (1, 1) 位置有 12, 13, 17, 19, 則我們
(1) 把剩下的七張圖片中的二張圖片放在這個圖片組的下面一行, 形成一個第一張圖片在 (1,1) 位置的 2 × 2 四張圖組, 再檢查看看這個 2 × 2 四張圖組是否正確 (即滿足連接規定)。 例 如, 我們有 1 × 2 圖片組 12, 由於第一張圖片的南邊車子是 Y 及第二張圖片的南邊車子是 P 。 而剩下的七張圖片中有 Y 的圖片編號是: 3, 6, 9, 有 P 的圖片編號是: 4, 6, 9。 我們 只要檢查 34、 36、 39、 64、 69、 94、 96就可以了。 其中不符合連接規定有 36、 39, 而符合連 接規定有 34、 64、 69、 94、 96。 用同樣的想法, 繼續對其它的 1 × 2 圖片組 13, 17, 19 討
論、 操作及檢查, 我們得到所有第一張圖片在 (1, 1) (即左上角) 位置的 2 × 2 正確四張圖 組有 (圖五):
1 2 3 4
1 2 3 9
1 2 6 4
1 2 6 9
1 2 9 6
1 7 9 2
1 9 3 7
1 9 6 7
圖五
(2) 依次討論剩下的 1 × 2 圖片組 12, 13, 17, 19, 把剩下的七張圖片中的二張圖片放在 這些 1 × 2 圖片組的上面一行, 檢查看看是否可以形成一個第一張圖片在 (1, 1) 位置的 2 × 2 正確四張圖組。 經過類似 (1) 中的討論、 操作及檢查之後, 我們得到所有第一張圖片 在 (2, 1) (即左下角) 位置的 2 × 2 正確四張圖組有 (圖六):
2 4 1 9
2 5 1 7
2 6 1 3
3 8 1 7
5 2 1 7
6 4 1 3
6 8 1 7
8 3 1 7
8 7 1 9
8 9 1 3
圖六
由於第一張圖片在 1 × 2 正確圖片組的 (1, 2) 位置有 21, 31, 51, 71, 81。
(2) 把剩下的七張圖片中的二張圖片放在這些 1 × 2 正確圖片組 21, 31, 51, 71, 81 的下面一 行, 檢查看看是否可以形成一個第一張圖片在 (1, 1) 位置的 2 × 2 正確四張圖組。 經過類 似 (1) 中的討論、 操作及檢查之後, 我們得到所有第一張圖片在 (1, 2) (即右上角) 位置的 2 × 2 正確四張圖組有 (圖七):
3 1 4 9
3 1 7 6
5 1 9 2
7 1 9 2
8 1 7 2
圖七
(3) 把剩下的七張圖片中的二張圖片放在這些 1 × 2 正確圖片組 21, 31, 51, 71, 81 的上面一 行, 檢查看看是否可以形成一個第一張圖片在 (1, 1) 位置的 2 × 2 正確四張圖組。 經過類 似 (1) 中的討論、 操作及檢查之後, 我們得到所有第一張圖片在 (2, 2) (即右下角) 位置的 2 × 2 正確四張圖組有 (圖八):
2 5 7 1
2 6 5 1
3 6 8 1
3 8 7 1
4 2 3 1
5 2 7 1
5 6 2 1 6 3
8 1
6 8 7 1
7 2 5 1
8 3 7 1
8 6 2 1
8 6 3 1
9 5 8 1
圖八
3. 所有包含第一張圖片在 (1, 1), (2, 1), (3, 1), (3, 2) 的 3 × 2 圖片組或在 (1, 3) 位置的 2 × 3 正確圖片組
我們已經找出所有包含第一張圖片在 (1, 1) 位置的 2 × 2 圖片組:
1 2 3 4
1 2 3 9
1 2 6 4
1 2 6 9
1 2 9 6
1 7 9 2
1 9 3 7
1 9 6 7
(1) 把剩下的五張圖片中的二張圖片放在這些正確圖片組的上面一行, 形成一個包含第一張圖 片在 (3, 1) 位置的 3 × 2 圖片組。 例如, 我們有 2 × 2 正確圖片組
1 2 3 4
由於第五張圖片的南邊車子是 R 及第二張圖片的南邊車子是 R。 而剩下的七張圖片中有 R 的圖片編號是: 7, 9; 有 R 的圖片編號是: 5, 6, 8。 我們只要檢查 57、 59、 67、 69、 87、
89 就可以了。 其中不符合連接規定有 57、 69、 87、 89, 而符合連接規定有 59、 67 用同樣的 想法, 繼續對其它的 圖片組討論、 操作及檢查, 我們得到所有左上角 (即 (1, 1) 的位置) 是 第一張圖片的 3 × 2 正確圖片組有 (圖九):
1 2 3 4 5 9
1 2 3 4 6 7
1 2 3 9 4 8
1 2 3 9 5 4
1 2 6 4 3 7
1 7 9 2 3 4
1 9 3 7 4 5
1 9 3 7 5 6
1 9 3 7 6 4
1 9 6 7 3 4 圖九
我們已經找出所有第一張圖片在 (2, 1) (即左下角) 位置的 2 × 2 正確四張圖組有:
2 4 1 9
2 5 1 7
2 6 1 3
3 8 1 7
5 2 1 7
6 4 1 3
6 8 1 7
8 3 1 7
8 7 1 9
8 9 1 3 (2) 把剩下的五張圖片中的二張圖片放在這些 2 × 2 正確圖片組的下面一行, 形成一個包含第
一張圖片在 (2, 1) 位置的 3 × 2 圖片組, 經過類似 (1) 中的討論、 操作及檢查之後, 我們 得到所有 (2, 1) 的位置是第一張圖片的 3 × 2 正確圖片組如圖十:
2 4 1 9 3 7
2 4 1 9 6 7
3 8 1 7 9 2
6 8 1 7 9 2
8 3 1 7 9 2 圖十
(3) 把剩下的五張圖片中的二張圖片放在這些 2 × 2 正確圖片組的上面一行, 形成一個包含第 一張圖片在 (3, 1) 位置的 3 × 2 圖片組, 經過類似 (1) 中的討論、 操作及檢查之後, 我們 得到所有 (3, 1) 的位置是第一張圖片的 3 × 2 正確圖片組如圖十一:
(4)
4 5 2 6 1 3
4 5 8 9 1 3
7 9 6 4 1 3
9 5 4 6 1 3 圖十一
我們已經找出所有第一張圖片在 (1, 2) 位置的 2 × 2 正確四張圖組如下:
3 1 4 9
3 1 7 6
5 1 9 2
7 1 9 2
8 1 7 2
(5) 把剩下的五張圖片中的二張圖片放在這些 2 × 2 正確圖片組的左邊一行, 形成一個包含第 一張圖片在 (1, 3) 位置的 2 × 3 圖片組, 經過類似 (1) 中的討論、 操作及檢查之後, 我們 得到所有 (1, 3) 的位置是第一張圖片的 2 × 3 正確圖片組如圖十二:
4 5 1 8 9 2
4 7 1 5 9 2
4 8 1 3 7 2
5 7 1 7 9 2
6 7 1 4 9 2
7 5 1 6 9 2
9 8 1 3 7 2 圖十二
我們已經找出所有第一張圖片在 (2, 2) (即右下角) 位置的 2 × 2 正確四張圖組有:
2 5 7 1
2 6 5 1
3 6 8 1
3 8 7 1
4 2 3 1
5 2 7 1
5 6 2 1 6 3
8 1
6 8 7 1
7 2 5 1
8 3 7 1
8 6 2 1
8 6 3 1
9 5 8 1
(6) 把剩下的五張圖片中的二張圖片放在這些 2 × 2 正確圖片組的上面一行形成一個包含第一 張圖片在 (3, 2) 位置的 3 × 2 圖片組, 經過類似 (1) 中的討論、 操作及檢查之後, 我們得 到所有 (3, 2) 的位置是第一張圖片的 3 × 2 正確圖片組如圖十三:
2 4 6 3 8 1
2 4 9 5 8 1
2 7 8 6 3 1
3 6 9 5 8 1
3 7 5 6 2 1
4 3 2 6 5 1
4 9 3 6 8 1 5 7
3 6 8 1
5 9 4 2 3 1
5 9 6 3 8 1
5 9 7 6 2 1
7 9 5 6 2 1
8 7 2 6 5 1
9 3 5 6 2 1 圖十三
4. 九張圖片的 3 × 3 正方形正確拼圖:
我們已經找出所有左上角 (即 (1, 1) 的位置) 是第一張圖片的 3 × 2 正確圖片組有:
1 2 3 4 5 9
1 2 3 4 6 7
1 2 3 9 4 8
1 2 3 9 5 4
1 2 6 4 3 7
1 7 9 2 3 4
1 9 3 7 4 5
1 9 3 7 5 6
1 9 3 7 6 4
1 9 6 7 3 4 (1) 把剩下的三張圖片放在這些 3 × 2 正確圖片組的右邊一行形成一個 3 × 3 正方形九張正
確圖片拼圖。 例如, 我們有 3 × 2 圖片組 1 2 3 4 5 9
由於第二張圖片的東邊車子是 Y 、 第四張圖片的東邊車子是 Y 及第九張圖片的東邊車子 是 Y 。 而剩下的三張圖片中有 Y 的圖片編號是: 7、 8; 有 Y 的圖片編號是: 6。 我們只要
檢查 768、 867就可以了, 結果都不符合連接規定。 用同樣的想法, 繼續對其它的 2 × 2 圖 片組討論、 操作及檢查, 經過類似的討論、 操作及檢查之後, 我們得到所有 (1, 1) 的位置 是第一張圖片的正確大拼圖如圖十四:
1 2 8 3 4 9 6 7 5
1 2 8 6 4 9 3 7 5 圖十四
(2) 把剩下的三張圖片放在這個 3 × 2 圖片組的左邊一行, 形成一個 3 × 3 正方形九張圖片 拼圖。 經過類似 (1) 中的討論、 操作及檢查之後, 我們證明沒有 (1, 1) 的位置是第一張圖 片的正確大拼圖。
我們知道所有 (2, 1) 的位置是第一張圖片的 3 × 2 圖片組有:
2 4 1 9 3 7
2 4 1 9 6 7
3 8 1 7 9 2
6 8 1 7 9 2
8 3 1 7 9 2
(3) 把剩下的三張圖片放在這些 3 × 2 正確圖片組的右邊一行, 形成一個 3 × 3 正方形九張 圖片拼圖。 經過類似 (1) 中的討論、 操作及檢查之後, 我們證明沒有 (2, 1) 的位置是第一 張圖片的正確大拼圖。
(4) 把剩下的三張圖片放在這些 3 × 2 正確圖片組的左邊一行, 形成一個 3 × 3 正方形九張 圖片拼圖。 經過類似 (1) 中的討論、 操作及檢查之後, 我們證明沒有 (2, 2) 的位置是第一 張圖片的正確大拼圖。
我們得到所有 (3, 1) 的位置是第一張圖片的 3 × 2 圖片組有:
4 5 2 6 1 3
4 5 8 9 1 3
7 9 6 4 1 3
9 5 4 6 1 3
(5) 把剩下的三張圖片放在這些 3 × 2 正確圖片組的右邊一行, 形成一個 3 × 3 正方形九張 圖片拼圖。 經過類似 (1) 中的討論、 操作及檢查之後, 我們證明沒有 (3, 1) 的位置是第一 張圖片的正確大拼圖。
(6) 把剩下的三張圖片放在這些 3 × 2 正確圖片組的左邊一行, 形成一個 3 × 3 正方形九張 圖片拼圖。 經過類似 (1) 中的討論、 操作及檢查之後, 我們得到所有 (3, 2) 的位置是第一 張圖片的正確大拼圖如圖十五所表示:
8 7 9 2 6 4 5 1 3 圖十五
我們知道所有 (1, 3) 的位置是第一張圖片的 2 × 3 圖片組有:
4 5 1 8 9 2
4 7 1 5 9 2
4 8 1 3 7 2
5 7 1 7 9 2
6 7 1 4 9 2
7 5 1 6 9 2
9 8 1 3 7 2 (7) 把剩下的三張圖片放在這些 3 × 2 正確圖片組的下面一行, 形成一個 3 × 3 正方形九張
圖片拼圖。 經過類似 (1) 中的討論、 操作及檢查之後, 我們證明沒有 (1, 3) 的位置是第一 張圖片的正確大拼圖。
(8) 把剩下的三張圖片放在這些 3 × 2 正確圖片組的上面一行, 形成一個 3 × 3 正方形九張 圖片拼圖。 經過類似 (1) 中的討論、 操作及檢查之後, 我們得到所有 (2, 3) 的位置是第一 張圖片的正確大拼圖如圖十六所表示:
3 6 8 4 7 1 5 9 2
4 3 8 5 7 1 6 9 2
5 3 8 4 7 1 4 9 2
6 3 8 4 7 1 5 9 2 3 6 8
4 7 1 5 9 2
4 3 8 5 7 1 6 9 2
5 3 8 6 7 1 4 9 2
6 3 8 4 7 1 5 9 2 圖十六
我們知道所有 (3, 2) 的位置是第一張圖片的 3 × 2 圖片組有:
2 4 6 3 8 1
2 4 9 5 8 1
2 7 8 6 3 1
3 6 9 5 8 1
3 7 5 6 2 1
4 3 2 6 5 1
4 9 3 6 8 1 5 7
3 6 8 1
5 9 4 2 3 1
5 9 6 3 8 1
5 9 7 6 2 1
7 9 5 6 2 1
8 7 2 6 5 1
9 3 5 6 2 1
(9) 把剩下的三張圖片放在這些 3 × 2 正確圖片組的左邊一行, 形成一個 3 × 3 正方形九張 圖片拼圖。 經過類似 (1) 中的討論、 操作及檢查之後, 我們證明沒有 (3, 3) 的位置是第一 張圖片的正確大拼圖。
三、 研究發現
從上述的研究我們發現:
所有圖一中九張拼圖圖片的 3 × 3 正確大拼圖有下列七種:
1 2 8 3 4 9 6 7 5
1 2 8 6 4 9 3 7 5
8 7 9 2 6 4 5 1 3
3 6 8 4 7 1 5 9 2
4 3 8 5 7 1 6 9 2
5 3 8 6 7 1 4 9 2
6 3 8 4 7 1 5 9 2
四、 討論
我們得到所有的 3 × 2 正確圖片組中第一張圖片在 (1, 1) 的位置有 10組; 在 (2, 1) 的位 置有 5 組; 在 (3, 1) 的位置有 4 組; 在 (1, 2) 的位置有 6 組; 在 (2, 2) 的位置有 8 組; 在 (3, 2) 的位置有 14組。 另外我們得到所有的 2 × 3 正確圖片組第一張圖片在 (1, 1) 的位置有 8組; 在 (1, 2) 的位置有 4 組; 在 (1, 3) 的位置有 7 組; 在 (2, 1) 的位置有 8 組; 在 (2, 2) 的位置有 12 組; 在 (2, 3) 的位置有 14組。
為了找出所有九張圖片的 3 × 3 正確拼圖, 在本文中的改良方法中, 我們只要找出所有包 含第一張圖片在 (3, 1), (1, 2), (3, 2) 的正確圖片組及找出所有包含第一張圖片 (1, 3) 的 2 × 2 正確圖片組, 這些 3 × 2 或 2 × 3 圖片組共有四十組。 我們也可以只要找出所有包含第一張 圖片在 (1, 1), (2, 1), (3, 1), (3, 2) 的 3 × 2 正確圖片組及找出所有包含第一張圖片 (1, 1), (1, 2), 的 2 × 3 正確圖片組, 這些3 × 2 或 2 × 3 圖片組共有三十六組。 經過分析及檢查, 我 們知道為了找出所有九張圖片的 3 × 3 正確拼圖, 至少需要三十六組 3 × 2 或 2 × 3 圖片組。
在文中我們採取的是較方便記憶而又不太麻煩的選擇。
五、 研究結果的應用: 捉強盜遊戲
我們希望用這種技巧應用來找尋玩遊戲獲勝的策略。 下面是玩 “捉強盜遊戲”。 捉強盜遊 戲是棋盤上 (如圖十七) 包圍戰之一種。 首先甲方持白棋三顆代表警察, 將棋子固定置於1, 2, 3 的位置, 乙方持黑棋一顆子代表強盜, 可自由選擇在 5, 6, 7, 8 中任意位置, 然後甲、 乙兩人輪 流移棋子, 甲方 (白棋) 先開始移動棋子, 包圍戰隨即開始。
8
5 6 7
4
3 2
1 1
1
2 2 3 3
4 4
7
7 5 5
6 6
8 8
圖十七
123/6
124/6 124/5
124/8
234/6 145/8
145/7 234/5
234/8
123/8
127/8
127/5 127/6
147/6
147/8 147/5
157/8
157/6
257/8 245/8 245/6 235/6 235/7
235/8
245/7
345/8 345/6
357/8
457/6
457/8
567/8 123/7
123/5
357/6 257/6 247/5 345/7 145/6 147/6
圖十八
移棋規則:
(一)、 圖中圓圈 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8是放置棋子的位置。
(二)、 棋子的移動只限於由一圓圈移置相鄰的圓圈。
(三)、 白棋不准後退, 黑棋則可, 雙方都不可以吃對方的棋, 一個位置最多放一個棋子, 白棋不可 移到同一位置兩次或兩次以上。
(四)、 輸贏的規定: 如果白棋能圍困黑棋, 使它不能移動, 則甲方 (白棋) 為贏家, 如果黑棋能突圍 而出, 超越到包圍者 (白棋) 的背後則乙方 (黑棋) 為贏家。
經過用正推、 反推的思維想法, 細心、 耐心地找出所有可能的情形, 並仔細地觀察和分類。
再合併對稱的情形, 這樣可以使得我們的求解過程愈趨簡單, 最後用樹狀圖形來作解題的方法。
由圖十八的樹狀圖形來看, 我們知道在玩 “捉強盜遊戲” 時, 甲 (持白棋) 有獲勝的優勢。
六、 結論
研究拼圖遊戲這個問題之後, 讓我學到解問題的方法及找尋玩遊戲必贏的策略: 首先要了 解問題的規定, 分類討論、 操作及檢查之後, 仔細地觀察規律, 再分析出更多的特性與規律, 再 討論、 操作及檢查。 這些過程中, 我
(1) 必須要找出所有可能的情形, 不能有任何的遺漏, 排除許多不必要的嘗試及避免重複相同的 錯誤: 正推、 反推的思維想法。
(2) 要尋找簡易明瞭的記號:。
(3) 要記錄操作的過程: 樹狀圖形可來作有系統地分析及簡易明瞭及的記錄操作的過程。
這些過程中並不一定要用什麼高深的數學技巧, 但是必須要有細心、 耐心。
七、 參考資料
1. 王芳夫、 王登傳編著, 數學遊戲大觀, 前程出版社, 高雄市, 1987, p.134-135。
2. 張遠南編著, 使人聰明的智力遊戲, 九章出版社出版。
3. 趙文敏, 寓數學於遊戲第一輯, 台北九章出版社, 1981。
4. 孫君儀、 葉均承、 陳天任, 土撥鼠遊戲研究, 中央研究院數學傳播第 23 卷, 第四期, p.32-38。
5. 葉均承, Apex 遊戲研究, 中央研究院數學傳播, 第 24 卷, 第三期, p.66-83。
6. 葉洹君、 顏德琮、 連信欽, 所羅門寶藏, 科學教育月刊, 民 90 年, 第 245 期, p.10-17。
7. Brian Bolt 著, 黃啟明譯, 數學遊樂園。
—本文作者現就讀於台北市立實踐國中三年級—
