微積分在生活上的應用
組員:蔡岳城 張登翔 郭順昱
總統與副總統一同坐下來喝咖啡，他們面前各有 一杯 相同溫度的咖啡，總統先勺了一匙奶精加 到咖啡內攪拌均勻。過了十分鐘後，副總統也加 入相同份量的奶精﹙注意：奶精一直保持相同的 溫度﹚並且攪拌均勻。隨後 兩人同時喝咖啡，
假設奶精的溫度比室溫低，室溫又比咖啡低，那 麼誰喝到較熱的咖啡？ 《 解答 》 這個問題需要利用牛頓冷卻定律牛頓冷卻定律牛頓冷卻定律牛頓冷卻定律﹙Newton's Laws of Cooling﹚：
" 物體和周遭﹙例如室溫﹚兩溫度差的變化率和 兩者的溫度差成正比 "
寫成數學式，即：
其中 D(t)表在 t 時刻兩者溫度差， 是比例常 數，而負號表示溫度差是呈遞減關係﹙隨 ﹚於 是解一階微分方程：
若給予初始值 ：一開始兩溫差。
，
我們所關心的是實際溫度實際溫度實際溫度實際溫度，記 為物體在 時刻 的溫度， 為周遭溫度﹙假設為常數﹚
，
，
現在回到原問題：設咖啡的初始溫度是 ，比 熱是 ，質量 一匙奶精的溫度是 ，比熱是 ， 質量
總統 總統 總統
總統(A)(A)(A)(A)：先混合咖啡與奶精，設均衡溫度為 ， 則由
冷卻十分鐘後有 副總統
副總統 副總統
副總統(B)(B)(B)：咖啡先冷卻十分鐘 (B)
，之後咖啡再和奶精混合，
設均衡溫度為 ，則有
比較 和 比較 和 比較 和
發現 。
結論 結論 結論
結論：：：總統喝到比較熱的咖啡：總統喝到比較熱的咖啡總統喝到比較熱的咖啡。總統喝到比較熱的咖啡。。 。
註：就極端情形來看，如果一開始的時候，總統 在咖啡中加入相當分量的奶精，使咖啡的溫度降 到剛好是室溫，那麼此後總統的咖啡就處於等室 溫的狀態，如此過十分鐘，副總統的咖啡會比原 來開始的要冷，再加入等量的奶精一定會低於室 溫。
Mercator 地圖是由 G. Mercator 在 1569 年所提 出的。至今在航海上仍廣為使用，在 Mercator 地圖中，經度差相同的經線被攤開為平面上距離 相同的平行線。而緯線在地圖上為與經線垂直的 直線，而且 Mercator 地圖在水平方向和垂直方 向的縮收比例一樣。
圖一為地球的一部分， 為赤道， 為緯度為 θ 的緯線，假設地球為半徑為 1，圖二為地球的 Mercator 地圖， 分別對應 ，若
，則 ＝？
圖一 圖二
《 解答 》
，
。緯度 θ 時，地圖水平與垂直上 的縮放率為 secθ，
， ﹙中間值定 理﹚
，當 時，
。又 ，所以 ，
，當 ， 。這表示 Mercator 地圖無 法在有限的紙上畫出完整的地球，而緯度 θ 時 縮放比例為 secθ，secθ 為遞增函數。這說明 Mercator 地圖在緯度越高時失真的情形便越嚴 重。
另外值得一提的是，將地球投影至 Mercator 地 圖上其實是一個保角變換，所謂保角，指的是任 兩條曲線的夾角經變換後仍保持不變。正由於 Mercator 地圖保持角度，使得其在航海上有一重
要的應用。Mercator 地圖上的直線在地球上對應 的曲線一般稱為斜駛線 ﹙Loxodromic Curve﹚
或羅盤方位線。由於 Mercator 地圖上的直線與 經線皆保持固定夾角，所以斜駛線與經線的夾角 也保持固定。如果欲從地球上的 點航行到 點，
可先找到 , 在 Mercator 地圖上對應的 ,
，若地圖上的直線 與經線的夾角為 θ，則 在航行時只要將羅盤角度固定與經線一直保持 θ 角，便可以從 沿著斜駛線到達 了。雖然斜 駛線一般來說並不是最短距離，但沿著斜駛線行 駛卻是個不易迷路的好方法。
附註: 根據岩波數學辭典 260.D 條，如果球面半 徑為 1，經度是 ，緯度是 θ，則 Mercator map：
因此， 是保
角變換。
有一頭牛，被栓在一個半徑為 r 的木椿上﹙如 下圖所示﹚繩子的一端被固定在 A 點，而牛能夠 走到木椿的對面 B。木椿的外部都是草地，請問 牛有辦法吃到多少草呢？ 《 解答 》
圖一
經由觀察我們發現牛能吃到草的範圍如右圖的 斜線部份﹙見圖二﹚。
由題意知繩長為 ，而在 點左邊的區域會是一個 半圓。至於剩下的區域怎麼求得呢？當繩子被木 椿" 拌住 "的時候﹙見圖三﹚。
牛所達到的最遠處為 ，其中弧長 加直線長 為 ﹙繩子的長度﹚，而曲線即所有這種點所形 成的軌跡。
圖二
圖三
我們可以利用解析幾何將軌跡描述出來：
取木椿的中心為原點 ，令 與 的夾角為 θ
﹙如圖四﹚，於是 點坐標為 ，而 ？ 是圓在 點上的切線段，所以 ， 待定，
而 長度要等於弧長 ，於是 ，解得
，
所以 點坐標即確定：
圖四
圖五
我們可先計算圖五的斜線面積，它會是以下所表 示的積分值：
﹙其中 為周期函數，故 ﹚
∴ Area ，
至此可得吃草的範圍
＝上下兩塊 Area 加上左半圓扣掉木椿面積
＝ ﹙平方單位﹚
補充：圖五中弧 稱為圓的漸伸線圓的漸伸線圓的漸伸線圓的漸伸線﹙involute﹚
如果你曾注意過收音機帶動錄音帶的情形，相信 你會發現在收聽﹙或者快轉﹚的時候，在左方的 輪子會逆時針旋轉，以帶動磁帶，而原本在右方 的磁帶地方就會被一直帶動，最後會繞到左方的 輪子上。
現在我們考慮二個問題：兩個輪子磁帶半徑的變 化率之比為多少？ 如果我知道錄音帶從一開始
﹙左方的輪子沒有磁帶，所有磁帶都在右方的輪 子上﹚轉到一半 (左方的磁帶量＝右方的磁帶 量﹚時，需要一分鐘，並且輪 1 的轉速始終保 持一定值，那麼錄音帶全部轉完的時候需要幾分 鐘呢？ 《 解答 》
如果你曾注意過收音機帶動錄音帶的情形時，就 會發現到，在收聽﹙或者快轉﹚的時候，在 1 處 的輪子會逆時針旋轉，以帶動磁帶，而磁帶原本 在 2 的地方就會被一直帶動，最後會繞到輪子 1 上。
現在我們想要考慮兩個問題：
1. 記 為 1 號輪子在 時刻所繞出的磁帶的 半徑， 為 2 號輪子在 時刻磁帶形成圓形
的半徑，它們會隨 而變化，那麼兩半徑的 變化率之比﹙即 ﹚為何？
2. 如果我知道錄音帶從一開始﹙輪 1 沒有磁 帶，所有磁帶都在輪 2 上﹚轉到一半﹙輪 1 的磁帶量＝輪 2 的磁帶量﹚時，需要一分鐘，
並且輪 1 的轉速始終保持一定值，那麼錄 音帶全部轉完的時候需要幾分鐘？
第一個問題其實並不難，如果注意到磁帶的總量磁帶的總量磁帶的總量磁帶的總量 始終保持一定
始終保持一定 始終保持一定
始終保持一定，另一個角度想就是兩磁帶所繞出 的兩個圓形面積總和是固定的，於是會有
常數，對 微分後得到
第二個問題我們可以試著用積分的方法解決，首 先注意到由於轉速是一定轉速是一定轉速是一定轉速是一定﹙記為 ω﹚，所以半徑
是和 成正比，於是不妨令 ﹙比方說輪子 每秒轉 10 圈，那麼一秒後半徑就多了 10 個磁帶 的厚度，兩秒後半徑就多了 20 個磁帶的厚度﹚
另外，我們同樣是以圓面積代表磁帶量，所以
﹙一分鐘時轉了總長的 一半， 是一比例常數﹚欲解
時的 α 值。
所以帶子全部轉完需要帶子全部轉完需要帶子全部轉完需要帶子全部轉完需要 分鐘。
