壹、、、利息、利息利息：利息：：：單利單利單利單利與與與與複利複利複利複利

(1)

附錄附錄附錄

附錄：：：利息：利息利息：利息：：：現值與終值之現值與終值之現值與終值之現值與終值之觀念與運用觀念與運用觀念與運用觀念與運用

壹壹壹

壹、、、利息、利息利息：利息：：：單利單利單利單利與與與與複利複利複利複利

一一一

一、、、、利息利息利息利息

利息是指貨幣之代價利息是指貨幣之代價利息是指貨幣之代價，利息是指貨幣之代價，，，並按時間計算並按時間計算並按時間計算並按時間計算，，，故亦稱貨幣的時間價值，故亦稱貨幣的時間價值故亦稱貨幣的時間價值。故亦稱貨幣的時間價值。。。

計算利息之三要素計算利息之三要素計算利息之三要素計算利息之三要素 1.

1.1.

1.本金本金本金(p)本金(p)(p)：(p)：：：指原始借入指原始借入指原始借入指原始借入（（（或投資（或投資或投資）或投資）））之金額之金額之金額之金額。。。。 2.

2.2.

2.期間期間期間(n)期間(n)(n)：(n)：：：使用本金之時間使用本金之時間使用本金之時間使用本金之時間，，，，如一年如一年如一年如一年、、、、三個月等三個月等三個月等三個月等。。。。 3.

3.3.

3.利率利率利率(i)利率(i)(i)：(i)：：：每一單位時間所付利息與本金之比率每一單位時間所付利息與本金之比率每一單位時間所付利息與本金之比率每一單位時間所付利息與本金之比率。。。。二二

二二、、、、計算利息之方法計算利息之方法計算利息之方法計算利息之方法

單利單利單利:單利:::單利係每期僅就原始本金計息單利係每期僅就原始本金計息單利係每期僅就原始本金計息單利係每期僅就原始本金計息，，，，其利息其利息其利息其利息(I)(I)(I)(I)之計算公式如下之計算公式如下之計算公式如下之計算公式如下：：：： IIII＝＝＝＝ PVPVPVPV ×××× IIII ×××× n n n n

複利複利複利:複利:::複利係每期計算利息時複利係每期計算利息時複利係每期計算利息時複利係每期計算利息時，，，，如有前期未付之利息如有前期未付之利息如有前期未付之利息，如有前期未付之利息，，則應加入本金一併計息，則應加入本金一併計息則應加入本金一併計息，則應加入本金一併計息，，，即所謂即所謂即所謂即所謂「「「利上「利上利上利上生利生利

生利生利」」」」。。。。

【

【釋例釋例釋例釋例】】】乙賢存入臺灣銀行】乙賢存入臺灣銀行乙賢存入臺灣銀行 100乙賢存入臺灣銀行100100100 元元元元，，，年利率，年利率年利率 5%年利率5%5%，5%，，為期五年的例子為例，為期五年的例子為例為期五年的例子為例為期五年的例子為例，，，分別計算單利，分別計算單利分別計算單利分別計算單利 (Simple Interest)(Simple Interest)(Simple Interest)(Simple Interest) 與複利

與複利與複利

與複利 (Compound Interest)(Compound Interest)(Compound Interest)(Compound Interest) 的五年後本利合如下的五年後本利合如下的五年後本利合如下的五年後本利合如下：：：：

【

【解析解析解析解析】】】】

單利單利單利單利 = = = = 本金本金本金本金 + + + + 五年的利息五年的利息五年的利息五年的利息 = 100 += 100 += 100 += 100 + 100 X 5% X 5 =100 X 5% X 5 =100 X 5% X 5 =100 X 5% X 5 = 125125125125

複利複利複利複利 = = = = 本金本金本金本金 x(1+5%)(1+5%)(1+5%)(1+5%)(1+5%)x(1+5%)(1+5%)(1+5%)(1+5%)(1+5%)x(1+5%)(1+5%)(1+5%)(1+5%)(1+5%)x(1+5%)(1+5%)(1+5%)(1+5%)(1+5%) = 127.63= 127.63= 127.63= 127.63

【【

【【練習練習練習練習】】】】設借款設借款設借款$20,000設借款$20,000$20,000$20,000，，，，年利率年利率年利率年利率 8%8%8%8%，，，兩年期滿本利一次償還，兩年期滿本利一次償還兩年期滿本利一次償還，兩年期滿本利一次償還，，，試分別按單利與複利計算兩年之利息試分別按單利與複利計算兩年之利息試分別按單利與複利計算兩年之利息試分別按單利與複利計算兩年之利息。。。。

【

【解析解析解析解析】】】】三三

三三、、、、複利次數複利次數複利次數、複利次數、、利、利利利率與期數率與期數率與期數率與期數我們均假設利息一年複利一次我們均假設利息一年複利一次我們均假設利息一年複利一次

我們均假設利息一年複利一次，，，這稱為，這稱為這稱為這稱為每年複利每年複利每年複利每年複利 (Annual Compounding)(Annual Compounding)(Annual Compounding)(Annual Compounding)。。。然而實務上。然而實務上然而實務上，然而實務上，，，有些利有些利有些利有些利息是每半年計算一次

息是每半年計算一次息是每半年計算一次

息是每半年計算一次，，，，這種稱為半年複利這種稱為半年複利這種稱為半年複利這種稱為半年複利 (Semiannual Compounding)(Semiannual Compounding)(Semiannual Compounding)(Semiannual Compounding)。。。。複複

複複利利利利次次次次數數數數每每每每次次次次利利利利率率率率期期期期數數數數每年一次

每年一次每年一次

每年一次 12%÷ 112%÷ 112%÷ 112%÷ 1＝＝＝＝12%12%12%12% 3× 13× 1＝3× 13× 1＝＝＝ 3333 每半年一次

每半年一次每半年一次

每半年一次 12%÷ 212%÷ 212%÷ 212%÷ 2＝＝＝＝ 6%6%6% 6% 3× 23× 2＝3× 23× 2＝＝＝ 6666 每季一次

每季一次每季一次

每季一次 12%÷ 412%÷ 412%÷ 412%÷ 4＝＝＝＝ 3%3%3% 3% 3× 43× 4＝3× 43× 4＝＝12＝1212 12 每月一次每月一次每月一次

每月一次 12%÷1212%÷1212%÷1212%÷12＝＝＝＝ 1%1%1% 1% 3×123×12＝3×123×12＝＝36＝3636 36

【【

【【釋例釋例釋例釋例】】】土地】土地土地銀行公告的名目利率為土地銀行公告的名目利率為銀行公告的名目利率為 12銀行公告的名目利率為121212%%%%，，，但每半年複利計息一次，但每半年複利計息一次但每半年複利計息一次，但每半年複利計息一次，，，則年初的則年初的則年初的 10,000則年初的10,00010,00010,000 元存款在半年元存款在半年元存款在半年元存款在半年後變成

後變成後變成後變成：：：：

FV = $10,000 (1+12%/2) = $10,600 FV = $10,000 (1+12%/2) = $10,600FV = $10,000 (1+12%/2) = $10,600 FV = $10,000 (1+12%/2) = $10,600 這筆存款到年底的總金額變成

這筆存款到年底的總金額變成這筆存款到年底的總金額變成這筆存款到年底的總金額變成：：：：

FV = $10,000 (1+12%/2)(1+12%/2) = $11,236 FV = $10,000 (1+12%/2)(1+12%/2) = $11,236FV = $10,000 (1+12%/2)(1+12%/2) = $11,236 FV = $10,000 (1+12%/2)(1+12%/2) = $11,236

(2)

四四四

四、、、、名目名目名目利率名目利率利率、利率、、期間利率、期間利率期間利率與期間利率與與與有效有效有效有效利率利率利率利率

年利率為名義利率年利率為名義利率年利率為名義利率，年利率為名義利率，，，而依實際利息推算之利率為而依實際利息推算之利率為而依實際利息推算之利率為而依實際利息推算之利率為有效有效有效有效利率利率利率利率。。。。

金融機構的存款或貸款的利率通常金融機構的存款或貸款的利率通常金融機構的存款或貸款的利率通常用年百分率金融機構的存款或貸款的利率通常用年百分率用年百分率用年百分率 (Annual Percentage Rate(Annual Percentage Rate(Annual Percentage Rate(Annual Percentage Rate，，，，簡稱簡稱簡稱簡稱 APR)APR)APR)APR)，，，或名，或名或名或名目利率予以公告

目利率予以公告目利率予以公告

目利率予以公告，，，，但其計息方式可能半年計息但其計息方式可能半年計息但其計息方式可能半年計息但其計息方式可能半年計息、、、、每季計息或甚至每月計息每季計息或甚至每月計息每季計息或甚至每月計息每季計息或甚至每月計息。。。。

每年複利一次以上的情形每年複利一次以上的情形每年複利一次以上的情形，每年複利一次以上的情形，，實際的年利率會大於名目利率，實際的年利率會大於名目利率實際的年利率會大於名目利率，實際的年利率會大於名目利率，，這種實際複利期間，這種實際複利期間這種實際複利期間，這種實際複利期間，，計算得到的年，計算得到的年計算得到的年計算得到的年利率稱為有效年利率

利率稱為有效年利率利率稱為有效年利率

利率稱為有效年利率 (Effective Annual Rate(Effective Annual Rate(Effective Annual Rate，(Effective Annual Rate，，，簡稱簡稱簡稱簡稱 EAR)EAR)EAR)EAR)，，，，其公式為其公式為其公式為其公式為：：：：

其中

其中其中

其中 iiii 為名目年利率為名目年利率為名目年利率，為名目年利率，，，mmmm 為每年複利計息的次數為每年複利計息的次數為每年複利計息的次數。為每年複利計息的次數。。。

【【

【【釋例釋例釋例釋例】】】】實際實際實際實際有效有效有效有效利率的計算利率的計算利率的計算利率的計算::::

年利率為年利率為年利率為年利率為 8%, 8%, 8%, 8%, 按季複利按季複利按季複利按季複利，，，則實際，則實際則實際有效則實際有效有效有效利率為多少利率為多少利率為多少利率為多少????

【

以以以以 r = 0.08, m = 4r = 0.08, m = 4r = 0.08, m = 4r = 0.08, m = 4 計算計算計算計算

實際實際實際實際 i = (1 + 0.08/4)i = (1 + 0.08/4)i = (1 + 0.08/4)i = (1 + 0.08/4)⁴⁴⁴⁴ ––– – 1 = (1.02)1 = (1.02)1 = (1.02)1 = (1.02)⁴⁴⁴⁴ –––– 1 = 0.0824 1 = 0.0824 1 = 0.0824 1 = 0.0824 或或或或 8.24%/8.24%/8.24%/8.24%/年年年年五

五五

五、、、、複利之觀念複利之觀念複利之觀念複利之觀念

單一金額之本金單一金額之本金單一金額之本金，單一金額之本金，，，每期按複利計息每期按複利計息每期按複利計息每期按複利計息，，，至最後一期，至最後一期至最後一期終止之本利和即為複利終值至最後一期終止之本利和即為複利終值終止之本利和即為複利終值終止之本利和即為複利終值。。。。

複利終值之公式為複利終值之公式為複利終值之公式為：複利終值之公式為：：： FV FV FV FV ＝＝＝＝ PV × (1PV × (1PV × (1PV × (1＋＋＋＋i) i) i) i) ⁿⁿⁿⁿ＝＝＝＝ PV × FVIF PV × FVIF PV × FVIF PV × FVIF ⁱⁱⁱ^i,^,,^,nⁿⁿⁿ

【

【練習練習練習練習】】】現在存款】現在存款現在存款$50,000現在存款$50,000$50,000，$50,000，，年利率，年利率年利率 12%年利率12%12%，12%，，，每半年複利一次每半年複利一次每半年複利一次每半年複利一次，，，試求八年期滿時之本利和，試求八年期滿時之本利和試求八年期滿時之本利和。試求八年期滿時之本利和。。。

【

貳貳貳

貳、、、現值、現值現值( 現值 (( (Present Value，，，，簡稱為簡稱為簡稱為簡稱為 PV) )) )

一一一

一、、、、現值的定義現值的定義現值的定義現值的定義 1. 1.

1. 1. 與終值相反的概念是現值與終值相反的概念是現值與終值相反的概念是現值與終值相反的概念是現值，，，例如你五年後研究所畢業的年薪為，例如你五年後研究所畢業的年薪為例如你五年後研究所畢業的年薪為 60例如你五年後研究所畢業的年薪為606060 萬元萬元萬元萬元，，，，則這五年後的則這五年後的則這五年後的則這五年後的 606060 萬元60萬元萬元萬元，，，，現在值多少元

現在值多少元現在值多少元現在值多少元？？？？ 2.

2.

2. 在計算現值時在計算現值時在計算現值時在計算現值時，，，，我們需要利用複利的觀念我們需要利用複利的觀念我們需要利用複利的觀念我們需要利用複利的觀念，，，，將終將終將終將終值折算成現在的價值值折算成現在的價值值折算成現在的價值值折算成現在的價值，，，用以折算成現值的利率稱，用以折算成現值的利率稱用以折算成現值的利率稱用以折算成現值的利率稱為

為為

為「「「「折現率折現率折現率折現率」」」」(Discoun(Discoun(Discoun(Discount Rate)t Rate)t Rate)，t Rate)，，，求解現值的方法稱為求解現值的方法稱為求解現值的方法稱為求解現值的方法稱為「「「「折現折現折現折現」」」」(Discounting)(Discounting)(Discounting)(Discounting)。。。。二二

二二、、、、現值的公式現值的公式現值的公式現值的公式

) ( )

1 ( 1 )

1 /(

ⁿ _n ⁿ _n _i_{, n}

n

FV PVIF

i FV

PV =

= + +

=

三

三三

三、、、、現值的查表現值的查表現值的查表現值的查表

PVIFPVIFPVIFPVIF^{i, n}^{i, n}^{i, n}^{i, n}表示不同的表示不同的表示不同的表示不同的 iiii 值與不同的值與不同的值與不同的值與不同的 nnnn 值所求得的值所求得的值所求得的值所求得的「「「現值利率因子「現值利率因子現值利率因子」現值利率因子」」」(Present Value Interest Factor (Present Value Interest Factor (Present Value Interest Factor (Present Value Interest Factor for i and n,

for i and n, for i and n,

for i and n,簡稱簡稱簡稱 PVIF簡稱PVIFPVIFPVIF^{i, n}^{i, n}^{i, n}^{i, n})))，)，，，其數值列於附錄其數值列於附錄其數值列於附錄其數值列於附錄表表表。表。。。

【【

【【釋例釋例釋例釋例】】】以你五年後研究所畢業的年薪】以你五年後研究所畢業的年薪以你五年後研究所畢業的年薪 60以你五年後研究所畢業的年薪606060 萬元為例萬元為例萬元為例萬元為例，，，，設若折現率為設若折現率為設若折現率為設若折現率為 5%5%5%，5%，，則現值為，則現值為則現值為：則現值為：：：

(3)

【【

【【解析解析解析解析】】】PV = 60】PV = 60PV = 60 萬PV = 60萬萬萬 X PVIFX PVIFX PVIFX PVIF

5

%,

5 = 60= 60= 60= 60 萬萬萬萬 X 0.7835 = 47.01X 0.7835 = 47.01X 0.7835 = 47.01 萬X 0.7835 = 47.01萬萬萬

【

【練習練習練習練習】】】大山公司希望於六年後可有】大山公司希望於六年後可有大山公司希望於六年後可有$100,000大山公司希望於六年後可有$100,000$100,000$100,000 供更新設備之用供更新設備之用供更新設備之用供更新設備之用，，，若銀行存款利率為，若銀行存款利率為若銀行存款利率為若銀行存款利率為 9%9%9%9%，，，，每年複利一每年複利一每年複利一每年複利一次次次

次，，，該公司現應存款若干，該公司現應存款若干該公司現應存款若干？該公司現應存款若干？？？

【

參參參

參、、、終值、終值終值(Future Value，終值，，，簡稱為簡稱為簡稱為簡稱為 FV)

一一一

一、、、、終值的公式終值的公式終值的公式終值的公式 1.1.

1.1.通常通常通常通常，，，，若未特別說明若未特別說明若未特別說明，若未特別說明，，，我們都假設計息是以我們都假設計息是以我們都假設計息是以我們都假設計息是以「「「複利「複利複利複利」」」」計算計算計算計算。。。。一筆錢幾年後的未來值可以用下式求得一筆錢幾年後的未來值可以用下式求得一筆錢幾年後的未來值可以用下式求得：一筆錢幾年後的未來值可以用下式求得：：：

FV FV

ⁿnnn

＝＝＝＝ PV PV PV PV (1+i) (1+i) (1+i) (1+i)

ⁿⁿⁿⁿ

FVFV

FVFVⁿⁿⁿⁿ：：n：：nnn 期期末的未來值期期末的未來值期期末的未來值期期末的未來值，，，， nnnn 為期數為期數為期數; 為期數; ; PV; PVPVPV：：：：現值或帳戶內的期初金額現值或帳戶內的期初金額現值或帳戶內的期初金額現值或帳戶內的期初金額; ; ; ; iiii：：：：利率利率利率利率 2.2.

2.2.以乙賢存款為例以乙賢存款為例以乙賢存款為例以乙賢存款為例：：：：

二二二

二、、、、終值終值終值的查表終值的查表的查表的查表 1.

1.

1.複利終值包括四項因素複利終值包括四項因素複利終值包括四項因素複利終值包括四項因素：：：：本金本金本金(PV)本金(PV)(PV)、(PV)、、、利率利率利率利率(i)(i)(i)(i)、、、期數、期數期數(n)期數(n)(n)、(n)、、、及終值及終值及終值(FV)及終值(FV)(FV)(FV)。。。我們可以透過查表的方式得。我們可以透過查表的方式得我們可以透過查表的方式得我們可以透過查表的方式得到終值到終值

到終值到終值。。。我們以利率與期數的。我們以利率與期數的我們以利率與期數的「我們以利率與期數的「「「未來值利率因子未來值利率因子未來值利率因子未來值利率因子」」」」(Future Value Interest Factor For i and n，，，簡稱，簡稱簡稱簡稱 FVIF

FVIF FVIF

FVIF^{i, n}^{i, n}^{i, n}^{i, n}) ) ) ) 來代表來代表來代表來代表 (1+i)(1+i)(1+i)(1+i)ⁿⁿⁿⁿ, , 則不同的, , 則不同的則不同的 i則不同的iii 與不同的與不同的與不同的與不同的 nnnn 會得到不同的會得到不同的會得到不同的會得到不同的 FVIF

i, n

的值的值的值的值。。。。 2.

2.

2.因為因為因為因為 FVIF

i, n = (1+i) ⁿ

，，則可改寫為，，則可改寫為則可改寫為：則可改寫為：：：FV

n = PV(FVIF i, n )

【

【釋例釋例釋例釋例】】】以上述乙賢將】以上述乙賢將以上述乙賢將 10以上述乙賢將1010010000 元存入臺元存入臺元存入臺元存入臺灣灣灣灣銀行銀行銀行銀行，，，年利率為，年利率為年利率為 5%年利率為5%5%，5%，，為期五年的例子做說明，為期五年的例子做說明為期五年的例子做說明。為期五年的例子做說明。。。

【

【解析解析解析解析】】】由附錄】由附錄由附錄表由附錄表表的第一行由左而右找到表的第一行由左而右找到的第一行由左而右找到 5%的第一行由左而右找到 5%5%5%的那一列的那一列的那一列的那一列，，，然後再由第一列由上而下找到第，然後再由第一列由上而下找到第然後再由第一列由上而下找到第 5然後再由第一列由上而下找到第555 期期期期，，，，便可便可便可便可得到得到得到

得到 FVIFFVIFFVIFFVIF5%,55%,5^5%,55%,5=1.2763=1.2763，=1.2763=1.2763，，，因此因此因此因此，，，我們可得到五年後，我們可得到五年後我們可得到五年後 10我們可得到五年後1010010000 元的價值為元的價值為元的價值為元的價值為：：：： FVFVFV

FV555⁵＝＝＝＝PVPVPV(1+PV(1+(1+5%(1+5%5%5%))))⁵⁵⁵⁵＝＝＝＝100(1.2763) 100(1.2763) 100(1.2763) 100(1.2763) ＝＝＝127＝127127.127...63636363 三

三三

三、、、、半年複利的半年複利的半年複利的終半年複利的終終值終值值值

【

【釋例釋例釋例釋例】】】若你在今年年初得到】若你在今年年初得到若你在今年年初得到 10, 000若你在今年年初得到10, 00010, 00010, 000 元獎學金元獎學金元獎學金元獎學金，，，並存入安泰銀行，並存入安泰銀行並存入安泰銀行，並存入安泰銀行，，，銀行公告的年利率為銀行公告的年利率為銀行公告的年利率為銀行公告的年利率為 6%6%6%，6%，，但銀，但銀但銀但銀行每半年付息一次

行每半年付息一次行每半年付息一次

行每半年付息一次，，，則三年後你這筆存款的總數為多少，則三年後你這筆存款的總數為多少則三年後你這筆存款的總數為多少則三年後你這筆存款的總數為多少？？？？

【

【解析解析解析解析】】】由於每半年計息一次】由於每半年計息一次由於每半年計息一次，由於每半年計息一次，，則每半年的利率為公告年利率的一半，則每半年的利率為公告年利率的一半則每半年的利率為公告年利率的一半，則每半年的利率為公告年利率的一半，，，即即即即 3%3%3%3%，，，，三年共收到三年共收到三年共收到三年共收到 6666 次計息次計息次計息。次計息。。。 1.

1.

1.時間線時間線時間線時間線

2 22

2....公式與查表求解公式與查表求解公式與查表求解公式與查表求解

(4)

四四

四四、、、、一年多一年多一年多次複利的終一年多次複利的終次複利的終值次複利的終值值值 1.

1.

1.公式公式公式公式

一年多次複利的一年多次複利的一年多次複利的

一年多次複利的終終終值公式可寫成終值公式可寫成值公式可寫成值公式可寫成：：：：

此處

此處此處

此處 iiii 為年名目利率為年名目利率為年名目利率，為年名目利率，，，mmmm 為每年複利次數為每年複利次數為每年複利次數為每年複利次數，，，，nnnn 為年數為年數為年數為年數。。。。

【

【練習練習練習練習】】】你的母親擬將近年來的積蓄】你的母親擬將近年來的積蓄你的母親擬將近年來的積蓄 100你的母親擬將近年來的積蓄100100100 萬元存入銀行萬元存入銀行萬元存入銀行萬元存入銀行 101010 年10年年年，，，，以做為你十年後的創業與結婚基金以做為你十年後的創業與結婚基金以做為你十年後的創業與結婚基金，以做為你十年後的創業與結婚基金，，，經母親收集存款利率資訊

經母親收集存款利率資訊經母親收集存款利率資訊

經母親收集存款利率資訊，，，，得到三家銀行的資料如下得到三家銀行的資料如下得到三家銀行的資料如下得到三家銀行的資料如下：：：：甲銀行的每年名目利率為

甲銀行的每年名目利率為甲銀行的每年名目利率為

甲銀行的每年名目利率為 10%10%10%10%，，，每年複利一次，每年複利一次每年複利一次；每年複利一次；；；乙銀行的每年名目利率為乙銀行的每年名目利率為乙銀行的每年名目利率為乙銀行的每年名目利率為 9%9%9%9%，，，，每年複利三次每年複利三次每年複利三次每年複利三次；；；；丙銀行的每年名目利率為

丙銀行的每年名目利率為丙銀行的每年名目利率為

丙銀行的每年名目利率為 8%8%8%8%，，，，每年複利四次每年複利四次每年複利四次每年複利四次，，，你覺得你的母親應該將這筆，你覺得你的母親應該將這筆你覺得你的母親應該將這筆 100你覺得你的母親應該將這筆100100100 萬存入那家萬存入那家萬存入那家萬存入那家銀行銀行銀行

銀行？？？？

【【

【【解析解析解析解析】】】】

五五

五五、、、、複利終值複利終值複利終值 FV複利終值FVFV、FV、、複利現值、複利現值複利現值 PV複利現值PVPV 與PV與與與期數期數期數ｎ期數ｎｎ及利率ｎ及利率及利率ｉ及利率ｉｉｉ之關係之關係之關係之關係 1.

1.

1. FVFVFVFV 一定時一定時一定時，一定時，，，nnnn、、、i、iii 愈大愈大愈大愈大，，，，PVPVPVPV 即愈小即愈小即愈小即愈小 2.

2.

2. PVPVPVPV 一定時一定時一定時，一定時，，，nnnn、、、i、iii 愈大愈大愈大愈大，，，，FVFVFVFV 亦愈大亦愈大亦愈大亦愈大 3.

3.

3. 一元複利現值與一元複利終值互為倒數一元複利現值與一元複利終值互為倒數一元複利現值與一元複利終值互為倒數一元複利現值與一元複利終值互為倒數 4.

4.

4. FVFVFVFV、、、、PVPVPVPV、、、、nnnn、、、i、iii 四項中四項中四項中四項中，，，，若知其中任何三項若知其中任何三項若知其中任何三項若知其中任何三項，，，，即可求得另一未知之項目即可求得另一未知之項目即可求得另一未知之項目即可求得另一未知之項目。。。。

【

【練習練習練習練習】】】有一工作酬勞之給付方式有兩種】有一工作酬勞之給付方式有兩種有一工作酬勞之給付方式有兩種有一工作酬勞之給付方式有兩種，，，，甲案為兩年後給付甲案為兩年後給付甲案為兩年後給付甲案為兩年後給付$40,000$40,000$40,000，$40,000，，，乙案為五年後給付乙案為五年後給付乙案為五年後給付乙案為五年後給付$50,000$50,000$50,000$50,000。。。。若無通貨膨脹顧慮

若無通貨膨脹顧慮若無通貨膨脹顧慮

若無通貨膨脹顧慮，，，，且每年複利一次且每年複利一次且每年複利一次，且每年複利一次，，，則在則在則在 12%則在12%12%及12%及及及 6%6%6%6%兩種利率下兩種利率下兩種利率下，兩種利率下，，各應如何選擇較為有利，各應如何選擇較為有利各應如何選擇較為有利？各應如何選擇較為有利？？？

【【

【【練習練習練習練習】】】本金】本金本金$20,000本金$20,000$20,000，$20,000，，，年利率年利率年利率 8%年利率8%8%8%，，，每年複利一次，每年複利一次每年複利一次，每年複利一次，，，試計算若干年後可得試計算若干年後可得試計算若干年後可得試計算若干年後可得$29,386$29,386$29,386.56$29,386.56.56.56。。。。

【

【練習練習練習練習】】】X1】X1X1 年X1年年年 1111 月月月 1月111 日存款日存款日存款$100,000日存款$100,000$100,000$100,000，，，，每年複利二次每年複利二次每年複利二次每年複利二次，，，於，於於 X10於X10X10X10 年年年 12年1212 月12月月 31月313131 日獲得日獲得日獲得日獲得$180,611$180,611$180,611$180,611，，，，試求銀試求銀試求銀試求銀行存款利率

行存款利率行存款利率行存款利率。。。。

【

【【

【【練習練習練習練習】】】現在存款】現在存款現在存款$30,000現在存款$30,000$30,000 每年複利一次$30,000每年複利一次每年複利一次每年複利一次，，，二十年後本利和為，二十年後本利和為二十年後本利和為$88,500二十年後本利和為$88,500$88,500$88,500，，，，試求存款利率試求存款利率試求存款利率試求存款利率。。。。

【【

(5)

肆肆

肆肆、、、年金、年金年金(Annuity) 年金 (Annuity) (Annuity) (Annuity)之觀念之觀念之觀念之觀念

一一一

一、、、、年金的定義年金的定義年金的定義年金的定義

年金年金年金指在某一段期間內年金指在某一段期間內指在某一段期間內，指在某一段期間內，，，定期支領的固定金額定期支領的固定金額定期支領的固定金額。定期支領的固定金額。。。例如你的父母為你準備三年後例如你的父母為你準備三年後例如你的父母為你準備三年後，例如你的父母為你準備三年後，，你畢業時的創業，你畢業時的創業你畢業時的創業你畢業時的創業基金

基金基金

基金，，，他們在未來的三年當中，他們在未來的三年當中他們在未來的三年當中，他們在未來的三年當中，，，每年將存入銀行每年將存入銀行每年將存入銀行每年將存入銀行 101010 萬元創業基金10萬元創業基金萬元創業基金萬元創業基金，，，為期三年，為期三年為期三年。為期三年。。。這項固定金額我們以這項固定金額我們以這項固定金額我們以這項固定金額我們以符號

符號符號

符號 PMT (PayPMT (PayPMT (PayPMT (Payment) ment) ment) 表示ment) 表示表示，表示，，PMT，PMTPMTPMT 一般發生在每期的期初或期末一般發生在每期的期初或期末一般發生在每期的期初或期末一般發生在每期的期初或期末，，，如果，如果如果如果 PMTPMTPMTPMT 的支領發生在的支領發生在的支領發生在每期期末的支領發生在每期期末每期期末，每期期末，，我，我我我們稱這種年金為

們稱這種年金為們稱這種年金為

們稱這種年金為「「「「普通年金普通年金普通年金普通年金」」」」(Ordinary Annuity)；；；若支領發生於每期期初；若支領發生於每期期初若支領發生於每期期初，若支領發生於每期期初，，我們稱這種年金為，我們稱這種年金為我們稱這種年金為「我們稱這種年金為「「「期期期期初年金

初年金初年金

初年金」」」(Annuity Due)。」。。除非有特別說明。除非有特別說明除非有特別說明除非有特別說明，，，，，，，，一般均指一般均指一般均指一般均指「「「普通年金「普通年金普通年金」普通年金」」」。。。。二

二二

二、、、、年金現值年金現值年金現值年金現值 (

((

(一一一一))))、、、普通年金、普通年金普通年金普通年金現值現值現值現值

【【

【【釋例釋例釋例釋例】】】你現在是大學二年級】你現在是大學二年級你現在是大學二年級，你現在是大學二年級，，，從現在到大四畢業從現在到大四畢業從現在到大四畢業，從現在到大四畢業，，，你每年年底平均需繳交你每年年底平均需繳交你每年年底平均需繳交你每年年底平均需繳交 101010 萬元學費10萬元學費萬元學費萬元學費，，，為期三年，為期三年為期三年為期三年 ((((假假假假設你順利畢業

設你順利畢業設你順利畢業

設你順利畢業))))，，，則你的父母今天要存入銀行多少金額，則你的父母今天要存入銀行多少金額則你的父母今天要存入銀行多少金額，則你的父母今天要存入銀行多少金額，，做為你未來三年的學費基金，做為你未來三年的學費基金做為你未來三年的學費基金？做為你未來三年的學費基金？？已知銀？已知銀已知銀已知銀行支付的年利率為

行支付的年利率為行支付的年利率為行支付的年利率為 5%5%5%5%。。。。

【

【解析解析解析解析】】】】 1.

1.

1.時間線時間線時間線時間線 2.

2.

2.公式公式公式公式

3.

3.查表查表查表查表

【

【練習練習練習練習】】】民生公司於】民生公司於民生公司於 X4民生公司於X4X4 年X4年年 1年111 月月月 1月111 日購置機器一部日購置機器一部日購置機器一部，日購置機器一部，，，價款自當年價款自當年價款自當年價款自當年 12121212 月月月月 31313131 日起日起日起，日起，，每年償還，每年償還每年償還每年償還$100,000$100,000$100,000$100,000，，，，五年付清五年付清五年付清

五年付清，，，年利率為，年利率為年利率為年利率為 10%10%10%10%，，，每年複利一次，每年複利一次每年複利一次，每年複利一次，，，試求試求試求試求：：：(1)：(1)(1)(1)若購買時一次付清所應支付之價款若購買時一次付清所應支付之價款若購買時一次付清所應支付之價款。若購買時一次付清所應支付之價款。。。 (2)

(2)(2)

(2)分期付款方式下分期付款方式下分期付款方式下分期付款方式下，，，各期間之利息費用，各期間之利息費用各期間之利息費用。各期間之利息費用。。。

【

(((

(二二二二))))、、、到期、到期到期到期((((期初期初期初期初))))年金年金年金現值年金現值現值現值

到期年金現值之意義到期年金現值之意義到期年金現值之意義到期年金現值之意義

到期年金現值係指每期期初支付一定金額到期年金現值係指每期期初支付一定金額到期年金現值係指每期期初支付一定金額，到期年金現值係指每期期初支付一定金額，，各金額按複利折算至第一期期初之現值總和，各金額按複利折算至第一期期初之現值總和各金額按複利折算至第一期期初之現值總和。各金額按複利折算至第一期期初之現值總和。。。

到期年金現值之計算到期年金現值之計算到期年金現值之計算到期年金現值之計算 PVA

PVAPVA

PVA^d^dd^d＝＝＝＝ PMTPMTPMTPMT ×××× PVIFAPVIFAPVIFAPVIFA^n,^n,^n,^n,I^II^I×××× (1(1(1(1＋＋＋＋i) i) i) i) ＝＝＝＝ PMTPMTPMTPMT ×××× (PVIFA(PVIFA(PVIFA(PVIFAⁿⁿ^n-ⁿ^--^-1,i^1,i^1,i^1,i＋＋＋＋1)1)1)1)

【

【釋例釋例釋例釋例】】】假如上述的每年】假如上述的每年假如上述的每年 10假如上述的每年101010 萬元萬元萬元，萬元，，為期三年學費，為期三年學費為期三年學費，為期三年學費，，，均在每年年初繳交均在每年年初繳交均在每年年初繳交均在每年年初繳交，，，，這種年金稱為期初年金這種年金稱為期初年金這種年金稱為期初年金這種年金稱為期初年金。。。期。期期期初年金現值與普通年金現值的差異在於

初年金現值與普通年金現值的差異在於初年金現值與普通年金現值的差異在於

初年金現值與普通年金現值的差異在於，，，，將每筆等額支付向左移一年將每筆等額支付向左移一年將每筆等額支付向左移一年將每筆等額支付向左移一年，，，，因此因此因此因此，，，，每筆等額支付每筆等額支付每筆等額支付每筆等額支付將會少折現一年

將會少折現一年將會少折現一年將會少折現一年。。。。

【

(6)

1.

1.查表查表查表查表由於由於由於

由於「「「「期初年金現值期初年金現值期初年金現值期初年金現值」」」的每筆等額支付均比」的每筆等額支付均比的每筆等額支付均比的每筆等額支付均比「「「「普通年金現值普通年金現值普通年金現值普通年金現值」」」少折現一年」少折現一年少折現一年少折現一年，，，，所以期初年金現值比所以期初年金現值比所以期初年金現值比所以期初年金現值比普通年金現值有價值

普通年金現值有價值普通年金現值有價值

普通年金現值有價值。。。。我們可將普通年金現值乘以我們可將普通年金現值乘以我們可將普通年金現值乘以我們可將普通年金現值乘以 (1+i) (1+i) (1+i) (1+i) 來得到期初年金現值來得到期初年金現值來得到期初年金現值來得到期初年金現值，，，，即即即即：：：：

2.

2.以上述每年以上述每年以上述每年以上述每年 101010 萬元10萬元萬元萬元，，，，為期三年的期初學費為期三年的期初學費為期三年的期初學費，為期三年的期初學費，，，其現值為其現值為其現值為其現值為：：：：

【

【練習練習練習練習】】】大明公司】大明公司大明公司租用機器一部大明公司租用機器一部租用機器一部，租用機器一部，，，租期五年租期五年租期五年租期五年，，，每年租金，每年租金每年租金$160,000每年租金$160,000$160,000 於年初支付$160,000於年初支付於年初支付於年初支付，，，，設年利率為設年利率為設年利率為設年利率為 9%9%9%9%，，，，每年每年每年每年複利一次複利一次複利一次

複利一次，，，試求機器租金之年金現值，試求機器租金之年金現值試求機器租金之年金現值試求機器租金之年金現值。。。。

【【

【【解析解析解析解析】】】】 (((

(三三三三))))、、、與年金、與年金與年金與年金現值現值現值有關其他項目之計算現值有關其他項目之計算有關其他項目之計算有關其他項目之計算

已知已知 PV已知已知PVPVPV、、、n、nnn、、、、iiii 求求求求 PMTPMTPMTPMT

【

【練習練習練習練習】】】】中強公司於中強公司於中強公司於中強公司於 X5X5X5X5 年年年年 7777 月月月月 1111 日向銀行借入日向銀行借入日向銀行借入$75,000日向銀行借入$75,000$75,000$75,000，，，，年利率年利率年利率年利率 12%12%12%12%，，，，約定自約定自約定自 X6約定自X6X6 年X6年年 6年666 月月月 30月3030 日起30日起日起，日起，，，本本本本息分五年平均償還

息分五年平均償還息分五年平均償還

息分五年平均償還，，，，求每年應償還之金額求每年應償還之金額求每年應償還之金額求每年應償還之金額。。。。

【

已知已知 P已知已知PPP、、、、RRRR、、、i、iii 求求求求 nnnn

【

【練習練習練習練習】】】支昌公司於】支昌公司於支昌公司於 X5支昌公司於X5X5 年X5年年 8年888 月月月 1月111 日購入機器一部日購入機器一部日購入機器一部，日購入機器一部，，，向銀行借款向銀行借款向銀行借款向銀行借款$267,763$267,763$267,763，$267,763，，年利率為，年利率為年利率為 10%年利率為10%10%10%，，，約定自即，約定自即約定自即約定自即日起每年日起每年日起每年

日起每年 8888 月月月月 1111 日償還日償還日償還日償還$50,000$50,000$50,000$50,000，，，，其中包括期初借其中包括期初借其中包括期初借其中包括期初借款利息及本金之償還款利息及本金之償還款利息及本金之償還，款利息及本金之償還，，，試計算該公司需幾試計算該公司需幾試計算該公司需幾試計算該公司需幾年始能將借款償清

年始能將借款償清年始能將借款償清年始能將借款償清？？？？

【

已知已知 P已知已知PPP、、、、RRRR、、、n、nnn 求求求求 IIII

【

【練習練習練習練習】】】】吉星公司於吉星公司於吉星公司於吉星公司於 X5X5X5X5 年年年年 2222 月月月月 1111 日向銀行借入日向銀行借入日向銀行借入日向銀行借入$203,400$203,400$203,400，$203,400，，，約定自約定自約定自約定自 X6X6X6X6 年年年年 2222 月月月月 1111 日起分十期償還日起分十期償還日起分十期償還日起分十期償還，，，，每年每年每年每年償還償還償還

償還$36,000$36,000$36,000，$36,000，，，試求該項借款之利率試求該項借款之利率試求該項借款之利率。試求該項借款之利率。。。

【

【解析解析解析解析】】】】 (

((

(四四四四))))、、、遞延年金現值、遞延年金現值遞延年金現值遞延年金現值 1.

1.

1.意義意義意義意義::::遞延數期後開始於每期收付一定金額遞延數期後開始於每期收付一定金額遞延數期後開始於每期收付一定金額遞延數期後開始於每期收付一定金額，，，，按複利折算至第一期期初之現值總和按複利折算至第一期期初之現值總和按複利折算至第一期期初之現值總和按複利折算至第一期期初之現值總和。。。。 2.

2.

2.計算方式計算方式計算方式計算方式:(:(:(1:(111))))....先求出數期後先求出數期後先求出數期後先求出數期後(m)(m)(m)之年金現值(m)之年金現值之年金現值之年金現值，，，再計算至，再計算至再計算至再計算至目前之複利現值目前之複利現值目前之複利現值目前之複利現值

年金現值年金現值年金現值 PVA年金現值PVAPVAPVA ==== PMTPMTPMTPMT ×××× PVIFAPVIFAPVIFAPVIFAⁿⁿ^n-ⁿ^--^-m,^m,^m,^m,I^II^I×××× PVIFPVIFPVIFPVIF ^m,i^m,i^m,i^m,i (

((

(2222))))....以兩項年金現值差額計算遞延年金現值以兩項年金現值差額計算遞延年金現值以兩項年金現值差額計算遞延年金現值以兩項年金現值差額計算遞延年金現值

(7)

年金現值年金現值年金現值 PVA年金現值PVAPVAPVA ==== PMTPMTPMTPMT ×××× PVIFAPVIFAPVIFAPVIFA^n,i^n,i^n,i^n,i －－－－ PMTPMTPMTPMT ×××× PVIFAPVIFAPVIFAPVIFA^m,i^m,i^m,i^m,i

【

【釋例釋例釋例釋例】】】張君於】張君於張君於 X4張君於X4X4 年計劃於銀行存款以供其子日後升大學之用X4年計劃於銀行存款以供其子日後升大學之用年計劃於銀行存款以供其子日後升大學之用年計劃於銀行存款以供其子日後升大學之用，，，其子預定，其子預定其子預定 X8其子預定X8X8 年可入學X8年可入學年可入學年可入學，，，，自自自自 X8X8X8 年X8年年年 8888 月月月

月 1111 日起每年預計提款日起每年預計提款日起每年預計提款$50,000日起每年預計提款$50,000$50,000$50,000 共四年共四年共四年。共四年。。。若銀行利率為若銀行利率為若銀行利率為若銀行利率為 8%8%8%8%，，，，每年複利一次每年複利一次每年複利一次每年複利一次，，，，則張君於則張君於則張君於 X4則張君於X4X4 年X4年年年 8

88

8 月月月月 1111 日應於銀行存款若干日應於銀行存款若干日應於銀行存款若干日應於銀行存款若干？？？？

【

【解析解析解析解析】】】】 (1)

(1) (1)

(1)方法一方法一方法一方法一：：：：

先將先將先將先將 X7X7X7X7 年至年至年至年至 X11X11X11X11 年部分求出年部分求出年部分求出年部分求出 X7X7X7X7 年之年金現值年之年金現值年之年金現值年之年金現值。。。。

X7X7X7X7 年年年年 8888 月月月月 1111 日年金現值日年金現值日年金現值日年金現值

PVAPVAPVAPVA＝＝＝$50,000 × PVIFA＝$50,000 × PVIFA$50,000 × PVIFA$50,000 × PVIFA^4,8%^4,8%^4,8%^4,8%＝＝＝＝$50,000 × 3.312127 $50,000 × 3.312127 $50,000 × 3.312127 $50,000 × 3.312127 ＝＝＝＝ $165,606 $165,606 $165,606 $165,606

再以此金額求其再以此金額求其再以此金額求其再以此金額求其 X4X4X4 年之複利現值X4年之複利現值年之複利現值年之複利現值，，，即為所求之，即為所求之即為所求之即為所求之

遞延年金現值遞延年金現值遞延年金現值遞延年金現值。。。。 X4X4X4X4 年年年年 8888 月月月月 1111 日複利現值日複利現值日複利現值日複利現值

PVAPVAPVA PVA ＝＝＝＝ $165,606$165,606$165,606$165,606 ×××× PVIFPVIFPVIFPVIF^3,8%^3,8%^3,8%^3,8%＝＝＝＝ $165,606$165,606$165,606$165,606 ×××× 0.793832 0.793832 0.793832 0.793832 ＝＝＝＝ $131,463$131,463$131,463$131,463 (2)(2)

(2)(2)方法二方法二方法二方法二：：：：

將前三年與後四年合併為一七年之年金將前三年與後四年合併為一七年之年金將前三年與後四年合併為一七年之年金將前三年與後四年合併為一七年之年金，，，，計算其普通年金現值計算其普通年金現值計算其普通年金現值(A)計算其普通年金現值(A)(A)(A)。。。。

再計算再計算再計算再計算一包括三期之年金現值一包括三期之年金現值一包括三期之年金現值一包括三期之年金現值(B)(B)(B)(B)，，，由，由由(A)由(A)(A)中減除(A)中減除中減除中減除(B)(B)(B)，(B)，，，其餘額即為所求之遞延年金現值其餘額即為所求之遞延年金現值其餘額即為所求之遞延年金現值其餘額即為所求之遞延年金現值。。。。

PVAPVAPVA＝PVA＝＝＝$50,000$50,000$50,000$50,000 ×××× PVIFAPVIFAPVIFAPVIFA^7,8%^7,8%^7,8%^7,8%－－$50,000－－$50,000$50,000 $50,000 ×××× PVIFAPVIFAPVIFAPVIFA^3,8%^3,8%^3,8%^3,8% ＝＝＝＝ $50,000$50,000$50,000 $50,000 ×××× (PVIFA(PVIFA(PVIFA(PVIFA^7,8%^7,8%^7,8%^7,8%－－－－PVIFAPVIFAPVIFAPVIFA^3,8%^3,8%^3,8%^3,8%))))

＝＝＝＝$50,000$50,000$50,000$50,000 ×××× (5.206370(5.206370(5.206370(5.206370 －－－－ 2.577097)2.577097)2.577097)2.577097) ＝＝＝＝$131,463$131,463$131,463$131,463 三

三三

三、、、、年金終值年金終值年金終值年金終值 (

((

(一一一一))))、、、普通年金、普通年金普通年金普通年金終值終值終值終值

【

【釋例釋例釋例釋例】】】你的父母在未來的每年年底將存入銀行】你的父母在未來的每年年底將存入銀行你的父母在未來的每年年底將存入銀行 10你的父母在未來的每年年底將存入銀行101010 萬元做為你的創業基金萬元做為你的創業基金萬元做為你的創業基金萬元做為你的創業基金，，，設若年利率為，設若年利率為設若年利率為設若年利率為 5%5%5%5%，，，則在，則在則在則在第三年年底

第三年年底第三年年底

第三年年底，，，，創業基金總共有多少錢創業基金總共有多少錢創業基金總共有多少錢創業基金總共有多少錢？？？？

【【

【【解析解析解析解析】】】】 1.

1.

1.時間線時間線時間線時間線

2.

2. 公式公式公式公式為了找出為了找出為了找出

為了找出「「「「年金終值年金終值年金終值年金終值」」」(Future Value of Annuity」(Future Value of Annuity(Future Value of Annuity，(Future Value of Annuity，，，簡稱簡稱簡稱簡稱 FVA) FVA) FVA) FVA) 的公式的公式的公式的公式，，，，我們先用下面的時間我們先用下面的時間我們先用下面的時間我們先用下面的時間線表示線表示

線表示線表示：：：： 3

33

3. . . . 查表查表查表查表不同的不同的不同的

不同的 iiii 與與與 n與nnn 的數值的數值的數值，的數值，，，可求得不同的可求得不同的可求得不同的可求得不同的 FVIFAFVIFAFVIFAFVIFA^{i, n}^{i, n}^{i, n}^{i, n}的值的值，的值的值，，，這些數值列於附錄這些數值列於附錄這些數值列於附錄這些數值列於附錄表表表表。。。每年。每年每年 10每年101010 萬元的創業萬元的創業萬元的創業萬元的創業基金的提列

基金的提列基金的提列

基金的提列，，，年利率，年利率年利率 5%年利率5%5%，5%，，為期三年合計為，為期三年合計為為期三年合計為為期三年合計為：：：：

(8)

( ((

(二二二二))))、、、期初年金終值、期初年金終值期初年金終值期初年金終值 1.

1.

1. 如果上述創業基金的三筆如果上述創業基金的三筆如果上述創業基金的三筆 10如果上述創業基金的三筆101010 萬元存款是在每年年初存入銀行萬元存款是在每年年初存入銀行萬元存款是在每年年初存入銀行，萬元存款是在每年年初存入銀行，，這種年金稱為期初年金，這種年金稱為期初年金這種年金稱為期初年金這種年金稱為期初年金。。。。 2. 2.

2. 2. 時間線時間線時間線時間線 3.

3.

3. 公式與查表公式與查表公式與查表公式與查表

伍伍伍

伍、、、永續年金、永續年金永續年金(Perpetuity) 永續年金 (Perpetuity) (Perpetuity) (Perpetuity)

永續年金永續年金永續年金指年金流量的支付持續到永遠永續年金指年金流量的支付持續到永遠指年金流量的支付持續到永遠，指年金流量的支付持續到永遠，，是年金的一種特例，是年金的一種特例是年金的一種特例。是年金的一種特例。。。最典型的實例是英國政府在最典型的實例是英國政府在最典型的實例是英國政府在最典型的實例是英國政府在 1815181518151815 年發行的統合公債

年發行的統合公債年發行的統合公債

年發行的統合公債 (Consol)(Consol)(Consol)(Consol)，，，這種公債依據公債面值的大小來支付利息，這種公債依據公債面值的大小來支付利息這種公債依據公債面值的大小來支付利息，這種公債依據公債面值的大小來支付利息，，，一直到永遠一直到永遠一直到永遠一直到永遠；；；；另一種現代另一種現代另一種現代另一種現代的實例是支付固定現金股利直到永遠的特別股

的實例是支付固定現金股利直到永遠的特別股的實例是支付固定現金股利直到永遠的特別股的實例是支付固定現金股利直到永遠的特別股。。。。

【

【釋例釋例釋例釋例】】】在】在在 1815在181518151815 年年年年，，，，英國政府發行巨額的債券英國政府發行巨額的債券英國政府發行巨額的債券英國政府發行巨額的債券，，，，所得資金用來償還早年籌集戰爭費用所發行的多種所得資金用來償還早年籌集戰爭費用所發行的多種所得資金用來償還早年籌集戰爭費用所發行的多種所得資金用來償還早年籌集戰爭費用所發行的多種仍流通在市面上的小額公債

仍流通在市面上的小額公債仍流通在市面上的小額公債

仍流通在市面上的小額公債，，，其目的在於整合統一過去的公債，其目的在於整合統一過去的公債其目的在於整合統一過去的公債其目的在於整合統一過去的公債，，，，故稱之為統合公債故稱之為統合公債故稱之為統合公債故稱之為統合公債。。。。假設每假設每假設每假設每一種統合公債每年支付債券利息

一種統合公債每年支付債券利息一種統合公債每年支付債券利息

一種統合公債每年支付債券利息 100100100100 英鎊英鎊英鎊，英鎊，，折現率為，折現率為折現率為 5%折現率為5%5%5%，，，，則這種統合公債的價值為多少則這種統合公債的價值為多少則這種統合公債的價值為多少則這種統合公債的價值為多少？？？？

【【

【【解析解析解析解析】】】PV (】PV (PV (永續年金PV (永續年金永續年金) = PMT/i = 100/5% = 2,000 (永續年金) = PMT/i = 100/5% = 2,000 () = PMT/i = 100/5% = 2,000 () = PMT/i = 100/5% = 2,000 (英鎊英鎊英鎊) 英鎊) ) )

陸陸陸

陸、、、現值與終值在會計上之應用、現值與終值在會計上之應用現值與終值在會計上之應用現值與終值在會計上之應用

一一

一一、、、、不附息長期票據之評價不附息長期票據之評價不附息長期票據之評價不附息長期票據之評價票據之現值

票據之現值票據之現值

票據之現值＝＝＝票據之面額按市場利率折算之現值＝票據之面額按市場利率折算之現值票據之面額按市場利率折算之現值票據之面額按市場利率折算之現值

【【

【【釋例釋例釋例釋例】】】太康公司購入機器一部】太康公司購入機器一部太康公司購入機器一部，太康公司購入機器一部，，，以面額以面額以面額以面額$120,000$120,000$120,000$120,000 之二年期不附息票據抵付之二年期不附息票據抵付之二年期不附息票據抵付之二年期不附息票據抵付，，，，若當時之市場利率為若當時之市場利率為若當時之市場利率為若當時之市場利率為 10%

10%10%

10%，，，，試決定機器之成本及票據之現值試決定機器之成本及票據之現值試決定機器之成本及票據之現值試決定機器之成本及票據之現值。。。。

【【【【解析解析解析解析】】】】 (1)

(1) (1)

(1)機器之成本機器之成本機器之成本機器之成本＝＝＝＝票據之現值票據之現值票據之現值票據之現值

＝＝＝$120,000 × PVIF＝$120,000 × PVIF$120,000 × PVIF$120,000 × PVIF^2,10%^2,10%^2,10%^2,10% ＝＝＝＝$120,000 × 0.826446 $120,000 × 0.826446 $120,000 × 0.826446 $120,000 × 0.826446 ＝＝＝＝ $99,174 $99,174 $99,174 $99,174 (2)

(2) (2)

(2)機器之成本及應付票據均機器之成本及應付票據均機器之成本及應付票據均機器之成本及應付票據均應按應按應按$99,174應按$99,174$99,174 入帳$99,174入帳入帳入帳。。。。至於票據面額至於票據面額至於票據面額$120,000至於票據面額$120,000$120,000 與$120,000與與$99,174與$99,174$99,174 之差額則為二年$99,174之差額則為二年之差額則為二年之差額則為二年之利息費用

之利息費用之利息費用

之利息費用，，，，應先以應先以應先以應先以「「「應付票據折價「應付票據折價應付票據折價」應付票據折價」」」科目列為票據面額之減項科目列為票據面額之減項科目列為票據面額之減項科目列為票據面額之減項。。。。 (3)(3)

(3)(3)若不按現值評價若不按現值評價若不按現值評價若不按現值評價，，，則不僅資產，則不僅資產則不僅資產(則不僅資產(((機器機器機器機器))))及負債及負債及負債及負債((((應付票據應付票據應付票據)應付票據)))之評價錯誤之評價錯誤之評價錯誤之評價錯誤，，，利息費用及折舊費用之認列，利息費用及折舊費用之認列利息費用及折舊費用之認列利息費用及折舊費用之認列亦將不正確

亦將不正確亦將不正確亦將不正確。。。。二

二二

二、、、、公司債理論發行價格之決定公司債理論發行價格之決定公司債理論發行價格之決定公司債理論發行價格之決定發行價格

發行價格發行價格

發行價格＝＝＝利息之年金現值＝利息之年金現值利息之年金現值＋利息之年金現值＋＋＋面額之複利現值面額之複利現值面額之複利現值面額之複利現值

(9)

【

【釋釋釋釋例例例】例】】湖南公司於】湖南公司於湖南公司於 X5湖南公司於X5X5 年X5年年 1年111 月月月 1月111 日發行年利率日發行年利率日發行年利率 8%日發行年利率8%8%8%之五年期公司債之五年期公司債之五年期公司債之五年期公司債，，，，面額面額面額$1,000,000面額$1,000,000$1,000,000，$1,000,000，，，每年每年每年每年 1111 月月月月 1111 日日日日付息一次付息一次付息一次

付息一次，，，若發行時市場利率為，若發行時市場利率為若發行時市場利率為若發行時市場利率為 10%10%10%10%，，，，試求該公司債之理論發行價格試求該公司債之理論發行價格試求該公司債之理論發行價格試求該公司債之理論發行價格。。。。

【【

(1)(1)(1)(1)湖南公司未來支付的款項湖南公司未來支付的款項湖南公司未來支付的款項湖南公司未來支付的款項，，，，包括包括包括包括

未來五年內每年底須按年利率未來五年內每年底須按年利率未來五年內每年底須按年利率 8%未來五年內每年底須按年利率8%8%8%支付利息支付利息支付利息$80,000支付利息$80,000$80,000$80,000，，，，及及及及

五年後償還公司債面額五年後償還公司債面額五年後償還公司債面額$1,000,000五年後償還公司債面額$1,000,000$1,000,000$1,000,000。。。該公司。該公司該公司債之理論發行價格等於上述未來支付款項按該公司債之理論發行價格等於上述未來支付款項按債之理論發行價格等於上述未來支付款項按債之理論發行價格等於上述未來支付款項按市場利率

市場利率市場利率

市場利率 10%10%10%10%折算之現值折算之現值折算之現值，折算之現值，，，其中其中其中其中

為年金現值為年金現值為年金現值為年金現值((((每年底之利息每年底之利息每年底之利息每年底之利息) ) ) ，) ，，而，而而而為複利現值為複利現值為複利現值為複利現值((((公司債面額公司債面額公司債面額公司債面額))))。。。。 (2)

(2) (2)

(2)利息之年金現值利息之年金現值利息之年金現值利息之年金現值

＝＝＝＝$80,000 × PVIFA$80,000 × PVIFA$80,000 × PVIFA$80,000 × PVIFA^5,10%^5,10%^5,10%^5,10%＝＝＝＝ $80,000 × 3.790787 $80,000 × 3.790787 $80,000 × 3.790787 $80,000 × 3.790787 ＝＝＝$ 303,263＝$ 303,263$ 303,263 $ 303,263

面面面面額之複利現值額之複利現值額之複利現值額之複利現值

＝＝＝＝$1,000,000 × PVIF$1,000,000 × PVIF$1,000,000 × PVIF$1,000,000 × PVIF^5,10%^5,10%^5,10%^5,10%＝＝$1,000,000 × 0.620921 ＝＝$1,000,000 × 0.620921 $1,000,000 × 0.620921 $1,000,000 × 0.620921 ＝＝＝＝ 620,921620,921620,921620,921

公司債理論發行價格公司債理論發行價格公司債理論發行價格公司債理論發行價格 $924,184$924,184$924,184 $924,184 (3)

(3) (3)

(3)投資人以投資人以投資人以投資人以$924,184$924,184$924,184$924,184 之價格買進公司債之價格買進公司債之價格買進公司債之價格買進公司債，，，，但到期日仍按面額收回但到期日仍按面額收回但到期日仍按面額收回但到期日仍按面額收回$1,000,000$1,000,000$1,000,000$1,000,000，，，，其差額即在彌補利其差額即在彌補利其差額即在彌補利其差額即在彌補利息之不足

息之不足息之不足

息之不足，，，，故投資人名義上所收利息為故投資人名義上所收利息為故投資人名義上所收利息為故投資人名義上所收利息為 8%8%8%8%，，，，而實際所得則為而實際所得則為而實際所得則為而實際所得則為 10%10%10%10%。。。反之。反之反之，反之，，，發行公司之實際利息發行公司之實際利息發行公司之實際利息發行公司之實際利息負擔亦為負擔亦為

負擔亦為負擔亦為 10%10%10%10%。。。。

練習和計算題練習和計算題練習和計算題練習和計算題

1.

複利終值

複利終值複利終值複利終值

設現在存款$10,000，期間三年，利率為 12%，試求下列各項複利終值：(1)每年計息一次，(2)每半年計息一次，(3)每季計息一次，(4)每月計息一次。

2.

複利現值

複利現值複利現值複利現值

設張三持一張面額$10,000，三年到期，未附息的票據向你貼現，你所要求的投資報酬率是 10%，

每年計息一次，試問你願以多少錢購買張三的票據?

3.3.

年金現值

年金現值年金現值年金現值

計算下列各項的年金終值：

(1) 每年年底存入$10,000，共二十年，利率年息 12%。

(2) 每半年期末存入$5,000，共四十期，利率年息 12%，每半年複利一次。

(3) 每季期末存入$2,500，共八十期，利率年息 12%，每季複利一次。

4.

年金現值

年金現值年金現值年金現值

設大華公司承租機器一部，租期三年，每月付租金$5,000，第一期租金於簽約日支付，若利率為 12%，求算所有租金的現值。

5.5.

普通年金

普通年金普通年金普通年金、、、、到期年金及遞延年金到期年金及遞延年金到期年金及遞延年金到期年金及遞延年金

張三 08 年 1 月 1 日退休，領得退休金$1,283,922，當即存入銀行，年息 8%，每年複利一次。

試求：

(1) 若張三每年提款為$150,000，第一次提款為 08 年 12 月 31 日，張三共能提款幾次？

(2) 若張三想於每年年底提取定額的存款，共計二十年，則每年能提款多少？

(3) 若張三想分十五年提款，第一次提款為 08 年 1 月 1 日，則每次能提款多少？

(4) 若張三想在第五年底開始提款，共十五年，每年能提款多少？

6.

普通年金

普通年金普通年金普通年金

李四購買房屋一棟，成本$1,500,000，先付自備款$500,000，其餘向銀行貸款支付，期限十年，

(10)

利率 12%，按季複利，分四十期平均攤還本息，均於期末付款。

試作：

(1) 每期應攤還本金和利息多少？

(2) 列示前三期每期償還的本金和利息。

7.

複利和年金現值

複利和年金現值複利和年金現值複利和年金現值

指南公司發行面額$1,000,000，期限十年，利率 10%，每年 4 月 30 日和 10 月 31 日付息的公司債。

試作：

(1) 設市場利率分別為 8%，10%，12%，求該公司債的售價。

(2) 作發行公司債的分錄。

8.8.

普通年金

木柵公司為了籌措廠房擴建資金，擬於每年底提撥基金$2,000,000 存入銀行，為期五年。

試作：

(1) 若利率為 10%，每年計息一次，五年後的基金有多少？

(2) 若利率為 12%，每年計息一次，要想累積基金至$20,178,024 須時多少年？

(3) 若每年複利一次，要想在第五年底累積基金至$12,400,000，利率應該多少？

9.

遞延年金

遞延年金遞延年金遞延年金

假設王君今年考取大學，估計唸大學四年平均每年的學雜費和生活費約需$180,000，在唸書期間無任何收入。王君的高中同學李君未考取大學，到社會上就業，每年的薪水扣除生活費後，均可儲蓄$60,000。王君大學畢業後到社會上做事，其收入每年均較其高中同學李君多$120,000，設利率為 10%，每年複利一次，所有上列數字均於每年度的期末發生。

試作：王君畢業後至少應工作幾年才能把唸大學四年多花費用和少賺的收入彌補回來？

10.

普通和遞延年金

普通和遞延年金普通和遞延年金普通和遞延年金

長安公司應付公司債$2,000,000 將於十年後到期。長安公司擬於今後每年底均提撥償還基金存於銀行生息，設前三年每年均提撥$100,000，按年息 8%每年複利一次。

試作：利率仍為 8%，長安公司在後七年每年應提撥多少基金(每年相等)才能在十年後累積到

$2,000,000？

11.

普通年金

秀明公司於 08 年 1 月 1 日訂定員工退休辦法，規定員工於 65 歲退休時，自退休日起算每一年度終了可領退休俸，其數額為$10,000 乘以服務年資(例如服務四十年可領取$400,000)。退休辦法訂立時張三剛好 40 歲，已在公司服務十五年，根據生命表統計，張三預期可活到 77 歲。假設張三會再公司服務到 65 歲退休，利率為年息 10%，每年計息一次。

試作：

(1) 在退休辦法訂立時，秀明公司對於張三服務的年資已經發生多少退休金成本？(註：即對已服務的年資將來應支付的退休俸在 08 年 1 月 1 日的現值)。

(2) 在退休辦法訂立時，秀明公司對於張三至 65 歲全部服務年資所負擔的退休金成本多少？

(3) 如果秀明公司想在張三今後的服務期間每年底提撥一筆退休金生息，以便在張三退休後剛好足夠支付每年的退休俸，試問秀明公司每年底應提撥多少基金？

12.

普通年金

李四以每年租金$50,000 向人承租一塊土地栽植橘子，租期還剩三十年，橘子現已開始生產，估計未來五年每年的收入為$200,000，其次五年(6~10 年)每年的收入為$250,000，再其次十年 (11~20 年)每年的收入為$300,000，最後十年(21~30 年)每年的收入為$150,000。果園每年的成本為$60,000，假設所有的收入和支出均於年底發生，利率為年息 8%。今王五擬向李四頂讓該土地

(11)

的承租權。

試作：計算合理的頂讓價格。

13.

遞延年金

遞延年金遞延年金遞延年金

中華綜合證劵公司決定公開承銷科瑞公司普通股，雖然科瑞公司目前尚無法產生任何淨現金流入，但中華公司估計科瑞公司在六年後開始，可以每年平均產生$300,000 的淨現金流入，共計 30 年，目前市場上公平利率為 12%。

試按下列方式計算科瑞公司股票承銷價：

(1) 計算科瑞公司淨現金流入在第三十五年年底所累積的數額，以該數額計算的第一年年初現值為承銷價。

(2) 計算科瑞公司淨現金流入在第五年年底的現值，再以其現值在第一年年初的現值為承銷價。

14.

計算退休金

計算退休金計算退休金計算退休金

王君想自行設立一筆退休基金，以便在 65 歲退休之後，每年生日那天 (6 月 30 日) 可以提取

$500,000，連續五年，自 2012 年至 2016 年。設銀行利率為 6%，王君擬自 2008 年至 2011 年每年 6 月 30 日提撥等額的基金。試問：

(1) 至 2011 年 6 月 30 日，該基金應累積到多少金額?

(2) 自 2008 年至 2011 年，每年應提撥多少金額?

15.

租購方案選擇

租購方案選擇租購方案選擇租購方案選擇

合家歡超商擬在台北東區開設一家分店，經積極接洽後，在文山區找到三家合適的店面，其條件分別為：

A 店面：須用現金購買，價格$30,000,000，耐用年限 25 年。

B 店面：可租用 25 年，每年租金$3,500,000，期初付款，租期屆滿房屋歸還房東。

C 店面：須用$32,500,000 現金購買，耐用年限 25 年。這棟房子比較大，可將一部分轉租，每年租金$350,000，期末付款，租期 25 年。

試作：設合家歡超商的資金成本為 10%，請評估應選擇哪一家店面?

16.16.

計算現值

計算現值計算現值計算現值

請回答下列各獨立的小題：

(1) 長榮公司於 08 年 1 月 1 日出售一筆土地，收到一張面額$50,000,000，未付息，三年期票據。

土地未有客觀的公平價值，該票據的合理市場利率為 10%，試問該土地售價多少?

(2) 長發公司於 08 年 1 月 1 日以分期付款方式購買一部機器，每年年底支付$250,000，共計十年，設市場利率為 8%，求算該機器的成本。

(3) 長頌公司於 08 年 1 月 1 日購買 200 張面額$100,000 的政府公債，附息 8%，每年 6 月 30 日及 12 月 31 日付息，十年到期。長頌公司該筆投資的有效利率為 10%，試問長頌公司付了多少錢?

(4) 長安公司擬於 08 年 1 月 1 日提撥一筆退休基金，按年息 9%生息，以便每年年底支付員工退休金$5,000,000，共計十年。請問長安公司應提撥多少錢?

(5) 長立公司於 08 年 1 月 1 日購買房屋一棟，付頭期款$5,000,000，並應於五年內每年年底支付$4,000,000，自第六年至第十年每年底支付$2,000,000，設利率為 7%，試計算該房屋的成本。

17.17.

運用利息觀念解決實務問題

運用利息觀念解決實務問題運用利息觀念解決實務問題運用利息觀念解決實務問題回答下列各小題：

(1) 水雲公司目前有資金$5,000,000 可供投資，該公司正在考慮兩個投資方案，方案一可於每年底題曲現金$750,000，共計十年。方案二可於第十年底提取現金$12,500,000，請問水雲公

壹、 、 、利息 、 利息 利息： 利息 ： ： ：單利 單利 單利 單利與 與 與 與複利 複利 複利 複利

附錄 附錄 附錄

附錄： ： ：利息 ： 利息 利息： 利息 ： ： ：現值與終值之 現值與終值之 現值與終值之 現值與終值之觀念與運用 觀念與運用 觀念與運用 觀念與運用

壹 壹 壹

壹、 、 、利息 、 利息 利息： 利息 ： ： ：單利 單利 單利 單利與 與 與 與複利 複利 複利 複利

貳 貳 貳

貳、 、 、現值 、 現值 現值( 現值 (( (Present Value， ， ， ，簡稱為 簡稱為 簡稱為 簡稱為 PV) )) )

) ( )

1 ( 1 )

1

/(

FV PVIF

i FV

i FV

PV =

= + +

=

參 參 參

參、 、 、終值 、 終值 終值(Future Value， 終值 ， ， ，簡稱為 簡稱為 簡稱為 簡稱為 FV)

FV FV

FV FV

＝ ＝ ＝ ＝ PV PV PV PV (1+i) (1+i) (1+i) (1+i)

i, n

i, n = (1+i) n

n = PV(FVIF i, n )

肆 肆

肆 肆、 、 、年金 、 年金 年金(Annuity) 年金 (Annuity) (Annuity) (Annuity)之觀念 之觀念 之觀念 之觀念

伍 伍 伍

伍、 、 、永續年金 、 永續年金 永續年金(Perpetuity) 永續年金 (Perpetuity) (Perpetuity) (Perpetuity)

陸 陸 陸

陸、 、 、現值與終值在會計上之應用 、 現值與終值在會計上之應用 現值與終值在會計上之應用 現值與終值在會計上之應用

練習和計算題 練習和計算題 練習和計算題 練習和計算題

複利終值

複利現值

年金現值

年金現值

普通年金

普通年金

複利和年金現值

普通年金

遞延年金

普通和遞延年金

普通年金

普通年金

遞延年金

計算退休金

租購方案選擇

計算現值

運用利息觀念解決實務問題

壹、、、利息、利息利息：利息：：：單利單利單利單利與與與與複利複利複利複利

附錄附錄附錄

附錄：：：利息：利息利息：利息：：：現值與終值之現值與終值之現值與終值之現值與終值之觀念與運用觀念與運用觀念與運用觀念與運用

壹壹壹

壹、、、利息、利息利息：利息：：：單利單利單利單利與與與與複利複利複利複利

貳貳貳

貳、、、現值、現值現值( 現值 (( (Present Value，，，，簡稱為簡稱為簡稱為簡稱為 PV) )) )

參參參

參、、、終值、終值終值(Future Value，終值，，，簡稱為簡稱為簡稱為簡稱為 FV)

＝＝＝＝ PV PV PV PV (1+i) (1+i) (1+i) (1+i)

i, n = (1+i) ⁿ

肆肆

肆肆、、、年金、年金年金(Annuity) 年金 (Annuity) (Annuity) (Annuity)之觀念之觀念之觀念之觀念

伍伍伍

伍、、、永續年金、永續年金永續年金(Perpetuity) 永續年金 (Perpetuity) (Perpetuity) (Perpetuity)

陸陸陸

陸、、、現值與終值在會計上之應用、現值與終值在會計上之應用現值與終值在會計上之應用現值與終值在會計上之應用

練習和計算題練習和計算題練習和計算題練習和計算題