3 函數的導數

3 ^{函數的導數}

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3.5 _{隱函數的微分}

隱函數的微分

之前我們所定義的函數，都是有指明對應關係或者直接寫下 表示式的函數，例如

y =

然而有些時候我們知道變數與應變數的部分關係式，並不是 明確的函數關係，例如：

x ²

²

x ³

³

隱函數的微分

有些時候我們可以從部分的關係式，解出 y 對 x 的表示式。

例如前述的例子 x

²

²

y =

也就是，這個方程式決定了兩個函數：

f(x) = g(x) =

隱函數的微分

f(x) 跟 g(x) 的函數圖形剛好是方程式 x

²

²

圖一

隱函數的微分

另外一個例子是 x, y 的三次式

x ³

³

想用 x 去解 y ，事實上不是那麼好解。

然而利用電腦繪圖我們還是可以大致上描點得到以下的圖形。

這個方程式的解圖形稱為迪卡兒葉形線 (folium of Descartes) ，可以分成幾個部分的函數圖形。

迪卡兒葉形線

隱函數的微分

其中一種分法，三個函數圖形如下圖所示：

此時我們稱這三個圖形所代表的函數，為迪卡兒葉形線方程 式

x ³

³

圖三

將迪卡兒葉形線分成三個函數圖形

隱函數的微分

不過如果只是要求這些函數的微分，我們不必要真的把 y 對 x 的函數表示式解出來，取而代之的是，我們可以使用隱函 數的微分法。

隱函數的微分法，是將等式兩邊同時微分，將等式兩邊的式 子視為 x, y(x) 的合成函數，在微分後利用 (x,y(x)) 的值，解 y‘(x) 。

注意到隱函數關係並不一定能夠寫成一個完整的函數，而有 可能拆成幾個不同的函數所組成，也因此在使用隱函數的微 分需要注意到不同函數部分各自的定義域與值域。例如前述 範例中，圓的上半部分跟下半部分的定義域均為 (-5,5) ，但 對應到的值域不同。

範例一

(a) 若 x

²

²

(b) 求過圓 x

²

²

解:

(a) 對式子的兩邊同時微分 x

²

²

範例一 / 解

注意到 y 是 x 的函數，我們將 y

²

代回原式，再解得 dy/dx 之值：

cont’d

範例一 / 解

(b) 在點 (3, 4) ，我們便直接將 x = 3, y = 4 代入前式

利用點斜式可以得到

y – 4 = (x – 3) or 3x + 4y = 25

解二:

(b) 直接解出函數表示式 y = . ，觀察到我們關心 的點 (3, 4) 式在上半圓函數圖形上 y = f(x) = ，因 此直接微分計算斜率，再代入點斜式即可，算式如後頁

cont’d

範例一 / 解

利用連鎖率對 f 微分

代入 (3,4)

得到跟前一個解同樣的結果 3x + 4y = 25 。

cont’d