排列组合

1. 两个基本原理

分类加法计数原理 分步乘法计数原理

排列组合

名称

内容 加法原理 乘法原理

定 义

相同点 不同点

做一件事，完成它可以有n个步骤，

做第一步中有m₁种不同的方法，

做第二步中有m₂种不同的方法……，

做第n步中有m_n种不同的方法，

那么完成这件事共有

N=m₁·m₂·m₃·…·m_n 种不同的方法。

两个原理的区别与联系：

做一件事或完成一项工作的方法数

直接（分类）完成 间接（分步骤）完成

做一件事，完成它可以有n类办法，

第一类办法中有m₁种不同的方法，

第二类办法中有m₂种不同的方法…，

第n类办法中有m_n种不同的方法，

那么完成这件事共有

N=m₁+m₂+m₃+…m_n 种不同的方法

例1 某校组织学生分4个组从3 处风景点中选一处去春游,则不 同的春游方案的种数是

A. B. C. D. C³⁴ P³⁴ 3⁴ 4³

（ 选 C）

例2 有不同的数学书7本，语文书 5本，英语书4本，由其中取出不是 同一学科的书2本，共有多少种不 同的取法？

（7×5 + 7×4 + 5×4 = 83）

例3 将数字1、2、3、4 填入标号为1、

2、3、4 的四个方格里 , 每格填一个数 字，则每个方格的标号与所填的数字都 不相同的填法共有

A. 6 种 B. 9种 C.11种 D.23种

（ 3×3×1= 9）

2. 排列、组合的意义

把握排列和组合的区别与联系, 抓住“顺序”这个关键。

1 2

3 )

2 (

) 1 (

) 1 (

) 2 (

) 1 (

⋅

⋅

−

⋅

−

⋅

=

+

−

−

⋅

−

⋅

=



 n

n n

m n

n n

n

P P

n n m n

! ) (

! m n

P^mn n

= − _{（规定 0！=1）}

3. 排列数、组合数计算公式

从 n 个不同元素中取出m个元素的 排列数 m^m

m n m

n C P

P = ⋅

) 1 )! (

(

!

!

!

) 1 )...(

2 )(

1 (

0 =

= −

+

−

−

= −

=

n m

m m m n

n

m C n

m

n

m

m n

n n

n P C P

4. 组合数的两个性质

1 1

+ −

−

+

=

=

m n m

n m

n

m n

n m

n

C C

C

C C

例 4 学生要从六门课中选学两门：

（1）有两门课时间冲突，不能同时 学，有几种选法？

（2）有两门特别的课，至少选学其 中的一门，有几种选法？

1 14

4 1

2 2

4 + C C =

解法一： C

14

2 1

6 − =

解法二： C

（1）有两门课时间冲突,不能同时 学，有几种选法？

2 9

2 1

4 1

2 C + C =

解法一： C

2 9

4 2

6 − C =

解法二： C

（2）有两门特别的课，至少选 学其中的一门，有几种选法？

例 5 3 名医生和 6 名护士被分配 到 3 所学校为学生体检,每校分配 1 名医生和 2 名护士,不同的分配方法 共有多少种?

解法一：先组队后分校（先分堆 后分配）

3 540

3 2

4 2

6 C ⋅ P =

C

解法二：依次确定到第一、第二、

第三所学校去的医生和护士.

540 1

) (

)

(C¹₃ C₆² ⋅ C¹₂ C²₄ ⋅ =

π

=

+ +

+ +

+ +

=

=

∫

∑

∞ +

∞

−

− +∞

=

dx e

n x x

x x k

e x

x

n

k

k x

2

! ...

! ...

3

! 1 2

!

3 2

0

微积分