Frenet 公式流程表

Frenet 公式流程表 2013.doc 佩諭製 SK 增修

Frenet 公式流程表

-0.5 00.5 0

5 10

-0.50.50 -0.5 00.5

0 5

10

時間參數表示法(x(t), y(t), z(t))

時空關係：控制方程式 d s d x ² d y² d z ²

d t d t d t d t

        

       

       

初始條件s(0)=0 時空對照圖 s=s(t)

時間轉成弧長表示法 ((x(t), y(t), z(t)))→ X (s) = ((X (s), Y(s), Z (s)))

切方向



=(

X s Y s Z s 

( ),



( ),



( ))

( X s Y s Z s ( ), ( ), ( ))

     

曲率半徑 1



=





=( X s Y s Z s ( ), ( ), ( ))

 ^{  }

法向量

   

    

= 1

 

  

0 1 0

1 1

= 0

0 1 0

  

 

 

 



 

 

  

   

 

     

   

     

      

0

0 0

(0) (0) =

(0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

   

公式:

3

2 2

(1 )

=

y

 ^ y ^



(函數為 y=y(x)時適用)

3

2 2 2

( )

= x y

x y x y

 ^{  }

    

^{(任何函數皆適用)}

2 2

= 1

X Y

   

(弧長表示法才適用)

( )

A

n ds dA

Q P

Pdx Qdy dxdy

x y

F dr F t ds F n dS

     

 

  

 

     

 

  

  

% % %

% % % %

i

Ñ i

2 1 cos 2

2

2 1 cos 2

2

sin cos

















方向導微相關公式：

The directional derivative at the point

A

in the direction

v

:

( )

 T  v A v

The maximum rate of the field at the point

A

:

( )

 T A

The tangent hyperplane across the point,

 a,b, c,T a b c ^{( , , )} 



B

^:

   

     

( ) ( )

( ) , , 0

T T

x a y b

x y

T z b T T a b c z

    

 

     



B B

B

保守力場

F =  

^：

   

= 0

B

A

ds B A

ds

 

   







F t

Ñ F t

i.e. path independnet.

According to Stokes' theorem

= = 0

ds dS

  

 ^{F t}  ^{F n} Ñ

= 

 F   0

保守力場：重力場、靜電力場、

萬有引力場、彈簧力場 非保守力場：摩擦力場

2 4 6 8 10x

-8 -6 -4 -2 2 4 T x

-10 -5 0 5 10

x -10 -5 0 5 10

y

0 2.5 5 7.5 10

T x,y

-10 -5 0 5 10

x -10 -5 0 5 10

y

B

T(x)

tangent line

B

A