§1 随机变量

(1)

1

关键词：

随机变量

概率分布函数离散型随机变量连续型随机变量随机变量的函数

第二章随机变量及其分布

(2)

§1 随机变量

常见的两类试验结果：

示数的——降雨量；

候车人数；

发生交通事故的次数…

示性的——明天天气（晴，云…）；

化验结果（阳性，阴性）…

(3)

3

s e x

X=f(e) －－为 S 上的

单值函数， X 为实数

中心问题：将试验结果数量化

(4)

4

(5)

 ^{( )} 

B  e X  f e  I

即

  ^{( )}  ^{( )}  ^.

P X I   P B  P e f e  I

常见的两类随机变量

离散型的

连续型的

(6)

6

定义：取值至多可数的随机变量为离散型的随机变量。概率分布 ( 分布律 ) 为

1

0,

^

1



  

i i

i

p p

P

… …

x

1

x

₂

x

_i

p

1

p

₂

p

_i

X

§2 离散型随机变量及其分布

(7)

概率分布

写出所有可能取值

写出取每个可能取值相应的概率





(8)

8

例：若随机变量 X 的概率分布律为

求常数 c.

( ) 0,1, 2, , 0

! c

k

P X k k

k

 

  ，   

(9)

解：

0

1 { }

k

P X k





  

0

!

k k

c k







  ^ ^ce ^

c e ^ ^

 

(10)

例：某人骑自行车从学校到火车站，一路上要经过 3 个独立的交通灯，设各

灯工作独立，且设各灯为红灯的概率为

p

， 0<p<1 ，以 X 表示首次停车时所

通过的交通灯数，求 X 的概率分布律。

(11)

11

( 0) ( )

1

P X   P A  p ；

( 1) (

1 2

) (1 )

P X   P A A   p p ；

2 1 2 3

( 2) ( ) (1 )

P X   P A A A   p p ；

3

1 2 3

( 3) ( ) (1 )

P X   P A A A   p ；

解：设 A_i={ 第 i 个灯为红灯 } ，则 P(A_i)=

p

， i=1,2,3 且 A₁,A₂,A₃ 相互独立。

(12)

12

p

X 0 1 2 3

p p(1-p) (1-p)

²

p

⁽

1-p)

³

     

 

0 , 1 , 2 3

X X X

X S

  

 注意：

为的一个划分

(13)

几个重要的离散型随机变量

X

p q

0 1

p

随机变量只可 能取 0 、 1 两

个值

(p+q=1,p>0,q>0)

则称 X 服从参数为 p 的 0-1 分布，或两点分布

^.

若 X 的分布律为：

一、 0 － 1 分布

(14)

14

记为它的分布律还可以写为

~ 0 1( ) (1, ) X  p 或 B p

( )

^k

(1 ) ,

1 ^k

0,1.

P X  k  p  p

^

k 

(15)

对于一个随机试验，如果它的样本空间只包含两个元素，即，我们总能在 S 上定义一个服从（ 0 － 1 ）分布的随机变量。

1 2

{ , }

S



e e

1 2

0, ,

( ) 1, .

X X e e

e

 

    

当e 当e

来描述这个随机试验的结果。

(16)

16

检查产品的质量是否合格，对新生婴儿

的性别进行登记，检验种子是否发芽以

及前面多次讨论过的“抛硬币”试验都可以

用（ 0 － 1 ）分布的随机变量来描述。

(17)

一个随机试验 , 设 A 是一随机事件 , 且 P (A)=p,(0<p<1). 若仅考虑事件 A 发生与否 , 定义一个服从参数为 p 的 0-1 分布的随机变量 :

1, A ,

0, A A .

若发生

若不发生(即发生)

 

X



来描述这个随机试验的结果。只有两个

可能结果的试验，称为 Bernoulli 试验。

(18)

18

二、二项分布

即每次试验结果在相同条件下互不影响

重复进行

n 重贝努利试验：设试验 E 只有两个可能的结果： ,p(A)=p,0<p<1, 将 E 独立地重复进行 n 次，则称这一串重复的重复独立试验独立为 n 重贝努利试验。

A与A

(19)

 独立重复地抛 n 次硬币，每次只有两个可能的结果 : 正面，反面，

, , A A

  ^{1 2}

P 出现正面 

  ^{1 6}

P A 

 将一颗骰子抛 n 次，设 A={ 得到 1 点 } ，则 每次试验只有两个结果：

(20)

20

如果是不放回抽样呢？

, , A A

  ^{1 2}

P A 

从 52 张牌中有放回地取 n 次，设 A={ 取到

红牌 } ，则每次只有两个结果：

(21)

21

设 A 在 n 重贝努利试验中发生 X 次，则

( ) _n^k ^k (1 )^{n k} 0 1

P X



k



C p



p

^ ，

k

 ，，，

n

~ ( )

X B n p ，

0

1 ( )ⁿ ⁿ _n^k ^k ^{n k} 1

k

p q C p q ^ q p



  



 

注：其中

并称 X 服从参数为 p 的二项分布，记

(22)

3 1 2 3

( 0) ( ) (1 ) P X   P A A A   p

3 1 2 3

( 3) ( )

P X   P A A A  p

2 2 3 2

1 2 3 1 2 3 1 2 3 3

( 2) ( ) (1 )

P X   P A A A  A A A  A A A  C p  p ^

1 1 3 1

1 2 3 1 2 3 1 2 3 3

( 1) ( ) (1 )

P X   P A A A  A A A  A A A  C p  p ^

(P X  k)  C p_n^k ^k (1 p)^{n k}^ , k  0,1, 2, , n 一一

推导：设 A

_i

={ 第 i 次 A 发生 } ，先设 n

=3

(23)

例：由 6 位品酒师独立投票评定某种酒是否为优质酒。若 6 位中有 4 位投票同意，则定该酒为优质酒，设每位品酒师作出正确判断的概率为 p ， 0<p<1 。求：

（ 1 ）若该酒为优质酒时，能作出正确判断的概率 α ；

（ 2 ）若该酒不为优质酒时，能作出正确判断的概率 β.

(24)

24

6 6

6 4

(1) ^k ^k (1 ) ^k

k

C p p



^







解：

6 6

6 3

(2)

^k ^k

(1 )

^k

k

C p p



^



  

(25)

例：有一大批产品，其验收方案如下：

先作第一次检验 , 从中任取 10 件，经

检验无次品接受这批产品，次品数大于

2 拒收；否则作第二次检验，从中任取

5 件，仅当 5 件中无次品便接受这批产

品，设产品的次品率为 p ．求这批产品

能被接受的概率 .

(26)

26

(   0) (1   2 Y 0) 且＝

P X P X

( 0) (1 2) ( 0)

P X P X P Y

      

10 9 2 8 5

(1 p) [10 (1p p) 45 (1p p) ] (1 p)

       

( )

P A 

( 0) ( 1) ( 2)) ( 0)

P X P X P X P Y

       

解：设 A={ 接受该批产品 } 。设 X 为第一次抽得的次品数， Y 为第 2 次抽得的次品数 .

则 X ～ B(10,p) ， Y ～ B(5,p) ，且 {X=i} 与 {Y=j} 独立。

(27)

27

例：设随机变量 X ~ (100, 0.05),B

( 10) ( 10) P X  P X 

求和

(28)

Excel Excel

使用表单：在表单的任一单元格输入“＝”

( )F

 在主菜单中点击“插入”“函数”

 在选择类别的下拉式菜单中选择“统计”

BINOMDIST

 选择“”点击“确定”

"0.98852759"

点击“确定”即在单元格中出现。

_ 10, 100, _ 0.05,

Number s Trials Probability s Cumulative TRUE



   

在函数参数表单中输入

“”

( 10)

"0.016715884"

P X Cumulative TRUE

Cumulative FALSE

 

 

计算，只要将上述步骤中“”

改为“”即出现。

(29)

泊松分布 (Poisson 分布 )

( ) 0,1, 2, , 0

! ^ ，

 ^ 

  ^ke   

P X k k

k

~ ( ) X  

若随机变量 X 的概率分布律为

称 X 服从参数为 λ 的泊松分布，记

(30)

30

~ (4.8)

X  _，

求 (1) 随机观察 1 个单位时间，至少有 3 人候车的概率；

(2) 随机独立观察 5 个单位时间，恰有 4 个单位时间至少有 3 人候车的概率。

例：设某汽车停靠站单位时间内候车人数

(31)

31

 ^{1 (}^{P X} ^{  }^{3) 1} ^{P X}⁽ ^{ }⁰⁾ ^{P X}⁽ ^{ }¹⁾ ^{P X}⁽ ^ ²⁾

解：

 

4 4 5

2 5 3

~ (5, ), ( 3) 0.8580 ( 4) (1 ) 0.7696.

Y

Y B p p P X

P Y C p p

  

   

设个单位时间内有个单位时间是“至少有人候车”，

则其中，于是

4.8 4.82

1 (1 4.8 ) 0.8580 e^ 2!

    

(32)

 

10, 0.1 ,

_n^k ^k

1

^{n k} ^k

,

n p

C p p e np

k



 

 

 

  

二项分布与泊松分布有以下

近似公式：

当时

！其中

(33)

33

¹ ^{n k} _!( ^! _)!

   

^k ¹ ^{n k}

k k

n n

k n k n n

C p  p ^   ^  ^ ^

事实上，

   

( 1)...( 1)

1 1

!

n k

k

n n n k

n n

k n

 

 ^ ^{  }  ^ ^^ 

    

e k

k



 

！

(34)

34

例：某地区一个月内每 200 个成年人中有 1 个会患上某种疾病，设各人是否患病相互独立。若该地区一社区有 1000 个成年人，求某月内该社区至少有 3 人患病的概率。

(35)

5 5 2 5

5,

5 5

( 3) 1 0.8753

0! 1! 2!

e e e

P X



  



     

利用泊松分布进行近似计算，取

(36)

36

Excel Excel

注：泊松分布也可以使用表单：在表单的任一单元格输入“＝”

( )F

POISSON

 选择“”点击“确定”

2, 5,

X Mean Cumulative TRUE

 在函数参数表单中输入“”   

"0.124652019"

( 3) 1 ( 2) 0.875347981 P X    P X  

(37)

称 X 服从超几何分布

1 1 2

1 2

( ) , , 1,..., ,

max(0, ), min( , ).

k n k a b

n N

P X k C C k l l l C

l n b l a n

 



 

  

其中，

超几何分布

(38)

38

例：一袋中有 a 个白球， b 个红球， a ＋ b

＝ N, 从中不放回地取 n 个球，设每次取到各球的概率相等，以 X 表示取到的白球数，则 X 服从超几何分布。

(39)

称 X 服从参数 p 的几何分布

( ) (1 ) ,^k 1 1, 2,3,..., 0 1.

P X  k  p  p ^ k   p

几何分布

(40)

40

例：从生产线上随机抽产品进行检测，设产品的次品率为 p ， 0<p<1 ，若查到一只次品就得停机检修，设停机时已检测到 X 只产品，则 X 服从参数 p 的几何分布。

(41)

称 X 服从参数为 (r,p) 的巴斯卡分布 .

1

( ) 1 (1 ) , , 1, 2,..., 0 1.

r r k r

P X k C pk p k r r r

r p

 

      

其中为正整数，  

巴斯卡分布

(42)

42

例：独立重复地进行试验，每次试验的结果为成功或失败，每次试验中成功的概率均为 p

， 0<p<1, 试验进行到出现 r 次成功为止，以 X 表示试验次数，则 X 服从参数为 (r,p) 的巴斯卡分布。

(43)

§3 随机变量的分布函数

, , ( )

X x P X  x x

随机变量对实变量应为的函数

, ,

( ) ( )

X x

F x  P X  x X

定义：随机变量对任意实数称函数

为的概率分布函数，简称分布函数。

( )

F x 的几何意义：

x

X ^{任何随机变量}

都有相应的分布函数

(44)

44

1 2 2 1

0  P x (  X  x )  F x ( )  F x ( )



1) 0  F x ( ) 1 

( )的性质：

F x

2) ( ) F x 单调不减，且 F (   ) 0 ， F (   ) 1

3) ( ) F x 右连续即 , F x (  0)  F x ( ).

(45)

例： p>0,q>0,q+p=1.^X_p ⁰_q ¹_p

  

¹



X F x P X 

求的概率分布函数及的值。

(46)

46

解：

 

0 0

( ) 0 1

1 1

x

F x P X x q x x

 

     

 



( 1)

P X   p

( P X   1) p x  1 F x ( ) 1 

比较与当时，

0 1

q

1

x

 

F x

(47)

一般地，设离散型随机变量的分布律为X

 ^X

^

^x 

^

^p

^一

^k

^ ¹^一²^一_

P

_k _k

的分布函数为由概率的可列可加性得X

 

} {

, 2 , 1 ,

) (

k k

k

x X

P p

k x

x x

F



 其跳跃值为

处有跳跃，

在

分布函数 







x x

k

p x

F ) (

(48)

48

例：设一物体在 A,B 两点间移动， A,B 之间 距离 3 个单位。该物体停留在 A,B 两点的概率 各为 1/4 ，落在 A,B 间任一子区间的概率与区 间长度成正比。设它离 A 点的距离为 X ，求 X 的分布函数。

(49)

0, 0 ( ) ( ) 1 0 3

4 6

1 3

x

F x P X x x x

x

 

      

 



(0 3) 1, P  X   解：根据题意，

( 0) ( 3) 1/ 4, (0 3) 3 , P X   P X   P  X   k

(0 3) 1 ( 0) ( 3) 1/ 2, 1/ 6 P  X    P X   P X    k

(50)

§4 连续型随机变量及其概率密度

定义 : 对于随机变量 X 的分布函数若存在非负的函数使对于任意实数有： f x( ),

( )

^x

( ) F x f t dt

 



( ), F x

,

x

则称 X 为连续型随机变量，

( )

f x X

其中称为的概率密度函数，简称概率密度。

(51)

( )

f x

的性质：

1) ( ) 0 f x 

2) +^ f x dx( ) 1

 



 

²

1

1 2 2 1

1 2

( )

^x ( ) ( ) 0

x

x x x x

P x X x f t dt P X a



  



  

3)对于任意的实数，

( )

y



f x

面积为1

x

1

x

₂

 1 2

P x X x 

(52)

52

与物理学中的质量线密度的定义相类似

( ) ( )

P x  X     x x f x   x

0 0

( ) ( ) ( )

( ) '( )

x x

F x x F x P x X x x

f x F x lim lim

x x

   

      

  

 

( )

f x

的性质：

4) 在 f x ( ) 连续点， x F x '( )  f x ( )

( )

即在

f x

的连续点

, ] ( )

X x x x  x f x x

这表示落在点附近（的概率近似等于

(53)

例：设 X 的概率密度为

(1) 求常数 c 的值；

(2) 写出 X 的概率分布函数；

(3) 要使求 k 的值。

0 1 ( ) 2 9 3 6

0

c x

f x x

  

   

 其他

( ) 2

P X  k  ，3

(54)

54

解：  ¹ ¹ ^



_^ ^{f t dt}^{( )}

 ² ^{( )}^{F x} ^ ^{P X} ^ ^x ^



_^x ^{f t dt}^{( )}

2

3 c

1 6  

0 3

2

c dt 9 dt

    ^{ }^c ¹₃

0 1 0

1

0 3

0 0 1 0 1 13

1 3

31 2

3 6

3 9

1 6

 

  



   

   

 





 

x

dt x

dt dt x

x

0 0

3 0 1 1 3 1 3 (2 3) / 9 3 6 1 6

 

  

   

   

 



x

x x

x

x x

x

(55)

55

 

⁽ ⁾ ² ^{( )} ^4.5

P X



k

 3

F k

 

k

3 使

(56)

56

例：一银行服务需要等待，设等待时间 X

（分钟）的概率密度为

1 10

, 0

( ) 10

0, 0

x

e x

f x

x

 

 

  

某人进了银行，且打算过会儿去办另一件事，于是先 等待，如果超过 15 分钟还没有等到服务就离开，设他 实际的等待时间为 Y ， (1) 求 Y 的分布函数 ;(2) 问 Y 是离散型随机变量吗？连续型随机变量吗？

(57)

10

0, 0

( ) ( ) 1 , 0 15

1, 15

y

F y P Y y e y

y



 

 

      

 



解：(1)

1.5

[0,15]

{ 15} 0

Y

P Y   e

^

 Y

(2) 的取值范围为，故不是离散量；

又，因此也不是连续量。

(58)

几个重要的连续量

均匀分布定义： X 具有概率密度 1 ( , ) ( )

0

x a b f x b a

 

  

 其他

称 X 在区间 (a,b) 上服从均匀分布，记为 X ～ U (a,b) ^{f x}^{ }

0 a b x

b a1

(59)

59

( ) ^{c l} 1

c

a c c l b

P c X c l dt l c

b a b a



   

     

 



设

- - - -与无关

0 ( )

1

x a

F x x a a x b b a

x b

 

 

    

  ^{F x}^{ }

0 a b x

1

(60)

例：（ 1 ）在区间 (-1,2) 上随机取一数 X ，试写出 X 的概率密度。并求的值；

（ 2 ）若在该区间上随机取 10 个数，求 10 个数中恰有两个数大于 0 的概率。

( 0) P X 

(61)

61

1 , 1 2 ( ) 3

0, f x x

   

  

 其他

( 0) 2 , P X   3

~ (10, )2

Y B

3 ² ² ⁸

10

2 1

( 2)

3 3

P Y C    

          解：（ 1 ） X 为在区间 (-1,2) 上均匀分布

（ 2 ）设 10 个数中有 Y 个数大于 0 ， 则：

(62)

例：杭州某长途汽车站每天从早上 6 点（第一 班车）开始，每隔 30 分钟有一班车开往上海。

王先生在早上 6:20 过 X 分钟到达车站，设 X 服从（ 0 ， 50 ）上的均匀分布，

（ 1 ）求王先生候车时间不超过 15 分钟的概率

；

（ 2 ）如果王先生一月中有两次按此方式独立 地去候车，求他一次候车不超过 15 分钟，另一 次候车大于 10 分钟的概率。

(63)

63

6:20 6:30 6:45 7:00 7:10

解：（ 1 ） P( 候车时间不超过 15 钟 )=25/50

=0.5

(2) P( 候车时间大于 10 分钟 )=30/50=3/5

6:30 6:50

P( 一次候车时间不超过 15 分钟，另一次时间 大于 10 分钟 )=2×1/2×3/5=3/5

(64)

指数分布

其中 λ>0 为常数，则称 X 服从参数为 λ 的 指数分布。记为

0 ( ) 0 0

e x x

f x x



^

 

  

~ ( ) ~ ( )

X Exp

 _或

X E



定义：设 X 的概率密度为

(65)

65

1 0

( ) 0 0 e

x

F x x



 





   

0 0

( )

P X t t P X t

  



0 0

1 ( )

1 ( ) F t t

t

F t e



 



 

  P X (  t )

X 具有如下的无记忆性：

(66)

 

例：某大型设备在任何长度为t的区间内

发生故障的次数N t服从参数为λt

的Poi sson分布，记设备无故障运行的时间为T.

1 求T的概率分布函数；

2 已知设备无故障运行10个小时，

求再无故障运行8个小时的概率。

(67)

67

      ^{ }

P N t  k  e^^^t t ^k / !, k k  0,1, 2, 一一 1

 

0 0

当时， t  F t

_T



   

¹

 

F t

T 

P T t

  

P T t



     

0 1 0 1

当时，

t



F t

_T  

P N t

  

e

^^^t

     

 ¹⁸ ⁸  

2 18 | 10 8

10

P T T P T e P T

P T



 

     



(68)

68

正态分布

定义：设 X 的概率密度为

2 2

( )

1 2

( )

2

x

f x e x







 

 ，    

其中为常数，称 X 服从参数为的正态分布 (Gauss 分 布 ) ，

记为

~ ( , 2) X N  

, 0

 

    

 

,

(69)

可以验证： ^

f x dx ( ) 1







+^

f x dx ( )







¹ ²²

2

t x t

e dt



 



 

 







令

2

1 2

2

t

 e dt

 







(70)

70

2 2

( )

2 2

x y

I e dxdy

 

  

2

2 2

0 0

r

d re dr





^ ^

   ^{ } ^I ² ^

( ) 1

f x dx







 

2

t

I

^{ }

e dt







记

(71)

max

1 ( )

2 ( ) 1

2 3 ( ) 0

关于对称



 

 



 





x

f x x

f f

lim f x

2 2

( ) 2

2

( ) 1

2 ~ ( , ):

，







 

 

     

x

f x e x

X N

(72)

正态概率密度函数

2 2

( )

1 2

( )

2

x

f x e x







 

 ，    

(73)

, ,

( ) ,

;

σμ

f x x

当固定改变的大小时

图形的形状不变只是沿着轴作平移变换

(74)

, , ( )

, , , , ,

. μσf x

σσ

当固定改变的大小时图形的对称轴

不变而形状在改变越小图形越高越瘦越大图形越矮越胖

(75)

称 μ 为位置参数 ( 决定对称轴位置 ) σ 为尺度参数 ( 决定曲线分散性 )

~ ( ,

2

) X N  

0

 

f x

 ₁ _x

  5

0.51.0fxx1.50.7980.3990.2660

(76)

X 的取值呈中间多，两头少，对称的特性。

当固定 μ 时， σ 越大，曲线的峰越低，落在 μ 附近的概率越小，取值就越分散，即 σ 是反映 X 的取值分散性的一个指标。

在自然现象和社会现象中，大量随机变量服从或近似服从正态分布。

(77)

正态分布下的概率计算

t σ e

x

F ^x ^σ

μ t

2 d ) 1

( ²

2

2 )



 (

 

 

 }

{X x

P 

 ?

(78)

~ (0 1)

若，，称服从标准正态分布 Z N Z

 

2

1 2

2

x

Z  x e



 

的概率密度：

2

1 2

( )

2

x t

Z x e dt





 





的分布函数：

 

^x

 

^x ¹

    

( ) y x

( )x

 ( x)

 

0

y

x

x

(79)

~ ( ,

X N  

2) 当时

( ) (  ) (  )

 

 

     b   a P a X b

(

P a X

 

b

)



（作变换：） 



 

x t

2 2

( )

1

2

b x

a

e dx







 

 

2

1

2

b t

a

e dt





 

 

 



~ ( ,X N   2) 当时

(80)

例：

^X ^{~ ( ,} ^N

  ²

⁾

( ) ( )

( )

(1) ( 1) 2 (1) 1 0.6826

     

      

  

      

    

  

        

P X P X

P X

( 2 ) 2 (2) 1 0.9544 P X       

(P X   3 ) 2 (3) 1 0.9974    

99.74%

3 2  

68.26%

2 3

 

95.44%

(81)

例：用天平称一实际重量为的物体，天平的读数为随机变量，设时，

（ 1 ）求读数与的误差小于 0.005 的概率；

（ 2 ）求读数至少比多 0.0085 的概率。

~ ( , 0.01 )

2

X N a

X

a a

a

(82)

82

(

P X a

  0.005) 解：(1)

2 0.6915 1 0.3830   

查附表

===

0.005 0.005

( ) ( )

0.01 0.01

    

2 (0.5) 1

  

(83)

83

( 0.0085)

P X a Excel

Excel

注：计算使用表单： 

在表单的任一单元格输入“＝”

( )F

NORMDIST

 选择“”点击“确定”

0.0085, 0, _ 0.01,

X Mean Standard dev Cumulative TRUE



   

在函数参数表单中输入

“”

"0.802337508"

(84)

例：一批钢材 ( 线材 ) 长度

(1) 若 μ =100 ， σ =2 ，求这批钢材长度小于 97.8cm 的概率；

(2) 若 μ =100 ，要使这批钢材的长度至少

有 90% 落在区间 (97,103) 内，问 σ 至多取何值？

( ) ~ ( , 2) X cm N  

(85)

85

( P X  97.8)

解：(1)

⁽ ¹⁰⁰ ^{97.8 100}⁾

2 2

 

 X 

P

1 (1.1)

  

1 0.8643 0.1357  

查附表

===

 

97 103 90%

(2)需： P  X  

103 100 97 100 3

( ) ( ) 2 ( ) 1 90%

  

 

      

即

( ) 0.953

    3

1.645

    



1.8237

97.8 100

( )

2

  

(86)

例：设一天中经过一高速公路某一入口的重型车辆 数 X 近似服从，已知有 25 ％的天数超过 400 辆，有 33 ％的天数不到 350 辆，求

( , 2 ) N

§1 随机变量

X=f(e) －－为 S 上的

单值函数， X 为实数

 ( ) 

B  e X  f e  I

  ( )  ( )  .

P X I   P B  P e f e  I

离散型的

连续型的

0,

1

  

p p

P

x

x

x

p

p

p

X

( ) 0,1, 2, , 0

! c

P X k k

k

 

  ，   

1 { }

P X k

  

!

c k



   ce 

c e  

 

p

( 0) ( )

P X   P A  p ；

( 1) (

) (1 )

P X   P A A   p p ；

( 2) ( ) (1 )

P X   P A A A   p p ；

( 3) ( ) (1 )

P X   P A A A   p ；

p

p

X 0 1 2 3

p p(1-p) (1-p)

p

1-p)

     

 

X

p q

0 1

p

(p+q=1,p>0,q>0)

则称 X 服从参数为 p 的 0-1 分布，或两点分布

若 X 的分布律为：

记为它的分布律还可以写为

~ 0 1( ) (1, ) X  p 或 B p

( )

(1 ) ,

0,1.

P X  k  p  p

k 

对于一个随机试验，如果它的样本空间只 包含两个元素，即 ，我们总能在 S 上定义一个服从（ 0 － 1 ）分布的随机 变量。

S

e e

0, ,

( ) 1, .

X X e e

e

 

    

当e 当e

来描述这个随机试验的结果。

检查产品的质量是否合格，对新生婴儿

 ^{( )} 

  ^{( )}  ^{( )}  ^.

  ^ ^ce ^

c e ^ ^

对于一个随机试验，如果它的样本空间只包含两个元素，即，我们总能在 S 上定义一个服从（ 0 － 1 ）分布的随机变量。

用（ 0 － 1 ）分布的随机变量来描述。

一个随机试验 , 设 A 是一随机事件 , 且 P (A)=p,(0<p<1). 若仅考虑事件 A 发生与否 , 定义一个服从参数为 p 的 0-1 分布的随机变量 :

  ^{1 2}

  ^{1 6}

  ^{1 2}

X  _，