1-1 有向線段與向量

1-1 有向線段與向量

一、有向線段與向量：

1.有向線段：帶有方向的一線段；包括始點、方向、長度。

如圖，記為^uuu_AB^v

2.向量：具有大小和方向的量。

表示方法：利用有向線段。(不考慮始點的位置) 3.零向量：始點與終點重合的有向線段，如^uuv_AA、_PP^uuv，

通常以₀^表示

4.負向量：始點與終點對調可得(大小相等，方向相反) 5.相等向量：二向量相等大小相等，方向相同

Ex1. 以正六邊形 ABCDEF 的六個頂點為端點所決定非零的向量、有向線段、線段各有 多少個？Ans：18；30；15

Ex2. 正五邊形 ABCDE 的邊可決定多少個向量？又以其五個頂點為端點所決定的非零 向量共有多少個？Ans：10；20

二、向量的加法與減法：

1.向量的加法：三角形法與平行四邊形法 2.向量加法的基本性質：

交換律：_{a b b a}^v_{  }^{v v v}

結合律：(a bvv)  c av v (b cvv) 零向量：_a^v_{   0}^v _a^v ₀^v _a^v 可逆性：av     ( av) 0 (v av) av 3.向量的減法：a bv   v av ( bv) 4.向量的分解：(P 為任一點)

加法：^uuu_AB^{v uuu}_{ AP PB}^{v uuv}_ (路過 P 點) 減法：  _{AB PB PA }

(後-前)(可將始點統一化)

Ex3. 化下列諸向量成最簡式：(1)_BC^+_CA^(2)^_AB–^_AC(3)_PB^–_PC^(4)^_AB+_BC^+_CD^+_DA^

Ans：(1)_BA^(2)_CB^(3)_CB^(4)₀^

三、向量的係數積：設a為一向量，rR，考慮^a的 r 倍，便以 r^a表示 1.若a≠₀^，

r0 時，r^a與a同向，長度為a的 r 倍 r0 時，r^a與a反向，長度為a的|r|倍 r=0 時，ra=0

2.若a=0，則 ra=0

Ex4. △ABC 為正三角形，D、E、F 各為_AB、_BC、_AC的中點，若_BD^=a，_BE^=b，試以 a、_b^表示(1)_DF^(2)_DE^(3)AC

(4)^_AE(5)_BF^

Ans：(1)b(2)a+b

(3)2a+2b(4)2a+b

(5)a+b

Ex5. ABCDEF 為正六邊形，^_AB=a，^_AC=b，試用a、_b^表示^_AD、^_AE、^_AF 、_BF^

Ans：2b

–2a；2b

–3a；_b^–2a；_b^–3a

B( 終點 )

A( 始點 )

a v a v

a v

a v ^{b v a b }

v v b v

a v

a v

b v

a b v  v

Ex6. 如圖，O 為正方形 ABCD 對角線的交點，且 E、F、G、H 分別為線段_OA、_OB、_OC、 OD的中點。試問下列何者為真？

(A)^_AB+BC

=^_AE+_EF^+FG +GC

(B)^_AB=2_EF^(C)^_AB–BC

=_DB^(D)^_AB+_BF^+_FE^= GC

Ans：ABCD

四、向量係數積的基本幾何應用：

1.平行向量：^ab

rR，使得^a=rb

；其中a、b

0 2.線性組合：

(1)任給不平行的二向量a、_b^，

則在a與_b^所決定之平面上的每一個向量都可以寫成 ra+sb的形式，

稱為a與_b^的線性組合；且其寫法唯一 (2)獨立性：a，_b^0 且不平行，若 ra+sb

=0，則 r=s=0 Ex7. (1)已知a，_b^0且不平行，若(3x+2y–1)a+(2x–3y+8)b

=0，求 x，y (2)∆ABC 中，已知 3x^_AB+(y+2)_BC^+(2x–5)_CA^=₀^，求 x，y

Ans：1，2；5，17

3.三點共線問題：設平面上三點 A、B、C，(O 為任意一點) A、B、C 三點共線

rR，使得AB r AC 

，R 且+=1，使得OAOBOC

△ABC 面積=0

補充 1：當+>1 或+<1 時，會是如何？

補充 2：_{P AB} (含端點)， OP







補充 3：P ABC(含邊)， OP









Ex8. A，B，C 三點共線，若 3OB=(5t1)OA

+(t+4)CO

，求 t 值？Ans：2

Ex9. 設 A，B，C 為不共線的三點，AP

=3AB

+2AC

，令 _AP與_BC交於 M，

而^{}_AM =xAB

+yAC

，求數對(x，y)。Ans：(3 5， 2

5)

4.內分點公式：(彬註：加權平均) 若 A–P–B，且 ^{AP m}

BP  n ，則 n m

OP OA OB

m n m n

 

 

  

(O 為任意一點)(係數和=1) 中點公式：若 P 為_AB中點，則 1

( )

OP 2 OA OB  5.外分點公式：(彬註：內分點公式，係數任擇一變號)

若 A–B–P，且 ^{AP m}

BP  n ，則 n m

OP OA OB

m n m n

  

 

  

Ex10. △ABC 中，點 M 在_AB上且 _AM ：_BM =2：3，點 P 在_CM 上且_CP：_PM=3：1，

若^_AP=x^_AB+yAC

，求(x，y)？Ans：( 3 10， 1

4)

D E F

A

B C

Ex11. △ABC 中，D 為_BC上一點且_BD：_CD=2：3，E 為_AC中點，

若_DE^=x^_AB+yAC

，求 x，y 之值。Ans：( 3 5

 ， 1 10)

補充：西瓦定理(三線共點)：(證明於幾何學課本) 已知：_AD，_BE，_CF共線於 P 點

則：(線段版) AF BD CE 1

FB DC EA   ，(向量版) AF BD CE 1 FB DC EA

  

  

  

補充：孟氏定理(三點共線)：(證明於幾何學課本) 已知：D，E，F 共線

則：(線段版) AF BD CE 1

FB DC EA   ，(向量版) AF BD CE 1 FB DC EA

   

  

  

Ex12. △ABC 中，點 D 在_AB上且 _AD：_BD=2：3，點 E 為_BC中點， _AE與_CD交於點 P，求 _AP：_PE。Ans：4：3

補充： hn km

AP AB AC

hn km kn hn km kn

 

   

  

Ex13. 平行四邊形 ABCD 中，E 在_CD上且_CD=3_DE，_AE與_BD交於 P，

若^_AP=x^_AB+y^_AD，求數對(x，y)。Ans：(1 4， 3

4)

D

E F

A

B C

P

h

k

m

P n A

B C

F E

Ex14. △ABC 中，點 D 在_AB上且 _AD：_BD=2：3，點 E 為_AC中點，_BE^與_CD交於點 P，若^_AP=x^_AB+yAC

，求(x，y)。Ans：(1 4，3

8)

5.面積比：

P 為△ABC 所在平面上任一點，若lPA mPB nPC   0，其中 l，m，nR 且均非零，

則面積比△PAB：△PBC：△PCA=|n|：|l|：|m|

Ex15. P 為△ABC 內部一點，若₂^_PA3PB^_4^{ }_PC0，^_AP交_BC^於 D，

(1)△PAB 面積：△PBC 面積：△PCA 面積。Ans：4：2：3 (2)若







7 7,

 

 

 

五、向量的內積：

1.定義：設a、_b^非零向量，且為其夾角(0)，

則定義a與_b^的內積為a b  a b   cos(彬曰：向量 Bible) 彬註 1：二向量經過內積運算後為一實數，不再是向量 彬註 2：物理力學的功

彬註 3：座標計算法a b  ( , ) ( , )x y_{1 1}  x y_{2 2} x x_{1 2}y y_{1 2} Ex16. 若^a=2，b

=3，^a與_b^ 夾角為 120^o，求_{a b}^_^。Ans：-3

2.性質：設a，_b^，c為任意三非零向量，kR，

(1)_{a b b a}^_{  }^{  }(交換)

(2)c a b  ( )   c a c b   (分配)

(3)k a b() ( ) ka b a kb     ( ) (結合) 但_{(a b c}^_{    }^₎ ^{ }_{a b c(}^{ }₎ (4)a a   a²

(5)a ba b  0

(6) a b² (a b) ( a b )  a a  2a b b b      a²2a b  b² Ex17. 設^a=4 且 3^a+2_b^=₀^，則a^∙b=？Ans：24

Ex18. 設a+2b

+3c=0且a∙b

=2，c∙a=–3，求^a。Ans： ⁵

Ex19. ^a=1，b

=2，^a與_b^夾角為 60^o，_OP^=^a+b，OQ

=2^ab， 則^{PQ}=？Ans： ¹³

3.平行四邊形面積：

以a和_b^為相鄰二邊之平行四邊形面積= a²b² (a b )² = 方積 積方 4.三角形面積：

以a和_b^為相鄰二邊之三角形面積=1 ^{2 2 2} ( ) 2 a b  a b 

Ex20. △ABC 中， AB



=2， AC



=3， AB





Ex21. 設^a=1，b

=2，^a與_b^ 之夾角為 120^o， (1)若b(a+tb

)，則 t=？

(2)當 t 值多少時， a tb  有最小值多少？Ans： 1 4；1

4， 3 2

Ex22. 平行四邊形 ABCD 中，_AB=5，_BC=3，求(1)^_AC•BD

(2)AC +BD

 Ans：16；6

Ex23. △ABC 是邊長為 2 的正三角形，P 為BC中點，求(1)^_AP•AB(2)^_AB•AC

(3)(_BC^+

AP)•AC

(4)(_BC^^_AP)•(^_AB+^_AP) Ans：3；2；5；8

Ex24. 若^a=2，b

=3，^a與_b^ 夾角為 120^o，求^a+2b

。Ans：^{2 7}

Ex25. 若^a=3，b

=4，^a+b

= ¹³，則a與_b^的夾角為何？Ans：120^o

Ex26. 設^a=b

=1，^a與_b^ 夾角為 60^o，求a+b與a +2b

的夾角為何？Ans：60^o

Ex27. 設^u，v不平行，若(x+1)^u+(x–3)^v=y(^u–^v)，求 x，y。Ans：x=1，y=2

Ex28. 平行四邊形 ABCD 中，E 在_CD上且_CD=3_DE，F 為_AB中點，_BE與_CF交於 P，

若^_AP=xAB

+yAD

，求數對(x，y)。Ans：( 5 7， 3

7)

Ex29. 平行四邊形 ABCD 中，E 為_AB的中點，₂^_{AF 3FD}^，_BF與_CE交於 K，則 (1)求_CK ：_KE(2)平行四邊形 ABCD 之面積為△BCK 之面積的幾倍？

(3)求_BK：_KF(4)若CKxCB yCD 

，求數對(x，y) Ans：10：3； 26

5 ；5：8；(10 13， 5

13)

1-2 向量的基本應用

一、向量與三角形

1.△ABC 中， 1 ^{2 2 2}

( )

AB AC 2 b c a

 

Ex30. △ABC 中，_AB=5，_BC=7，_CA=8，求^_AB^•_BC^之值。Ans：5

2.重心性質：(彬註：算術平均) G 為△ABC 重心，O 為任意一點

 1

( )

OG3 OA OB OC   

GA GB GC     0

Ex31. 過△ABC 的重心 G 的一直線與邊_AB、 _AC分別交於 P、Q，

試證： AB AC 3 AP AQ 

Ex32. 如圖，△ABC 中_DC^ _4BD^，_EC^_2^_AE，_FB^_2^_AF。 設 G 為△DEF 的重心，AGABAC

， 求數對(，)Ans：(17

45， 8 45)

Ex33. △ABC，若PA+_PB^+_PC^=₀^ 且PA

=1，PB

=2，PC

= 2， 求(1) _PA^{∙}_PB(2)△PAB 的面積(3)△ABC 的面積(4)_AB長

Ans：

2

 3 ；

4

7 ；

4 7

3 ；_{2 2}

3.內心性質：(彬註：加權平均)

設 I 為△ABC 的內心，_BC=a，_CA=b， _AB=c，O 為任意一點，則

a b c

OI OA OB OC

a b c a b c a b c

  

     

   

0 a IA b IB c IA     

補充：傍心有三個，為 a,b,c 三者任擇一取負值

Ex34. △ABC 中，_AB=8，_BC=4，_CA=6，I 為△ABC 的內心，O 為任意一點，

(1)若OIxOA yOB zOC  

，求序組(x，y，z)。Ans：( 2 9，1

3，4 9) (2)若 AI  AB AC ，求數對(α，β)。Ans：(1

3， 4 9)

4.外心性質：

設 T 為△ABC 的外心，則

2

2

1 2 1 2 AB AT AB AC AT AC

  



  



  

  

A

B D C

F E

補充：外心為比例為sin 2 :sin 2 : sin 2A B C的加權平均

Ex35. △ABC 中，_AB=6，_BC=2 7 ，_CA=4，T 為△ABC 外心，_TA^交_BC於 D，

(1)求^_AB^•AC

(2)若^_AT=x^_AB+yAC

，求數對(x，y) (3)若AD

=AB+AC

，求數對(，)Ans：12；(4 9，1

6)；( 8 11， 3

11)

Ex36. 設 T 為△ABC 的外心，又外接圓之半徑為 2，若A=60^o，B=45^o， 求 TA TB TC

  

=？Ans： ^{6 2}

Ex37. 設 T 為△ABC 的外心，又外接圓之半徑為 2，若₄







5.垂心性質：

設 H 為△ABC 的垂心，則

2 2 2

( ) ( ) 2

AB AC AB AH AC AH AB AF AD AH AC AE b c a

    

     

 



     

     

補充：垂心為比例為tan : tan : tanA B C的加權平均

Ex38. △ABC 中，_AB=6，_BC=5，_CA=7，H 為∆ABC 的垂心，(1)求^_AB•AC

(2)若^_AH

=x^_AB+y^_AC，求數對(x，y)。Ans：30；( 95 144， 5

24)

二、幾何證明：利用向量證明平面幾何上的一些定理 1.三角形中點連線定理：

△ABC 中，D、E 各為 _AB、_AC之中點，則_DE_BC且 1 DE 2BC

證明：

1 1 1

2 2 2

DE AE AD  AC AB BC

     

2.畢氏定理及其逆定理：

△ABC 中，B=90^o_AC² _{ AB}²_BC²

證明：          

F

E

D H

A

B C

3.平行四邊形定理：

ABCD 為平行四邊形_AC²_BD² _AB²_BC² _CD²_DA² 證明：

2 2 2 2 2 2

2 2 cos

AC  AB AD  AB  AD  AB AD  AB  AD  AB AD A

          

2 2 2 2 2 2

2 2 cos

BD  BC CD  BC CD  BC CD  BC  CD  BC CD B

          

二式相加可得 4.平行四邊形逆定理：

四邊形 ABCD，若_AC²_BD² _AB² _BC² _CD² _DA²，則 ABCD 為平行四邊形 證明：

右式減左式= PB PA  ²  PC PB ²  PD PC  ²  PA PD ²  PC PA  ²  PD PB  ²

=展開配方= PA PB PC PD      ²  BA CD  ²=0∴BA CD  5.中線定理：

△ABC 中， _AM 為中線，則_AB² _AC² _2(AM²_BM²₎ 證明：

右式=

2 2 2

2 1 1 1 1 1 1 2 1 2

2( ) 2( ) 2( )

2 2 2 2 2 2 2

AM  BC  AB AC  AC AB  AB  AC

       

=左式 6.三角形的三中垂線共點(外心 T)

△ABC 中，_TE^、_TF^為 _AC、 _AB中垂線，D 為_BC中點，試證：_TD^為_BC中垂線 證明：

∵0= 1 1 1 ² 1 ²

( ) ( )

2 2 2 2

TE AC   TC TA TC TA     TC  TA

∴ TC TA

∵0= 1 1 1 ² 1 ²

( ) ( )

2 2 2 2

TF AB   TB TA TB TA     TB  TA

∴ TB TA

∴ 1 1 1 ² 1 ²

( ) ( )

2 2 2 2

TD BC   TC TB  TC TB   TC  TB

=0∴Q.E.D.

7.三角形的三中線共點(重心 G)

△ABC 中，若中線 BE 交中線 CF 於 G，則 G 亦在中線 AD 上 證明：

(1) 1 1 2 2 AD AB AC

  

(2) ^{1 2 1 1}

3 3 3 3

AG  AB AC  AB AC

    

(3)由(1)(2)得 3 AD2AG

 

∴ADG 共線 8.三角形的三高共點(垂心 H)

設△ABC 中，^_AH、_BH^為二高，證明：_CH^為高

∵^_AH高∴_{HA BC}^{ }_ =0∴HA HC HA HB     

∵_BH^高∴_{HB AC}^{ }_ =0∴HB HC HB HA     

∴HC AB HC HB HA      (  )HC HB HC HA HA HB HA HB              0

∴_CH^為高

9.尤拉線：外重垂 TGH 共線，且_{GH 2GT} (1)





(2)TH





10.餘弦定理 證明：

2 2 2 2 2 2

2 2 cos

BC  AC AB  AB  AC  AB AC  AB  AC  AB AC A

          

即_a² _b²_c² _{2 cosbc A}

Ex39. 如圖，四邊形 ABPQ 與 ACRS 都是矩形，且AB2AQ

， _AS2AC求證：BSCQ

Ex40. 平行四邊形的對角線互相垂直該平行四邊形是菱形

Ex41. 試證：半圓的圓周角必為直角

Ex42. △ABC 中，若     AB BC BC CA CA AB    

，試證：△ABC 為正三角形

Ex43. 若PA PB PB PC PC PA         

，則 P 為△ABC 的？心 Ans：垂心

Ex44. 設a+_b^+c=₀^且_a∙b=1，b

∙c=2，c^∙a=–3，

(1)求^a=？(2)若b與c的夾角為，則 cos=？Ans：2；

15

 2

A

B C

P

Q

R S

T

H G

M

A

B C

1-3 平面向量的坐標表示法

一、平面向量的坐標表示法：

1.給定坐標平面上一向量v，將v的始點平移到原點 O，終點為 P(a，b)，

則記v=(a，b)，其中 a 稱為v的 x 分量，b 稱為v的 y 分量 2.v=(a，b)，則v的長度^v= ^a2b2

3.若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，則^_AB=(x2x1，y2y1)

4.設a=_OA^，_OA^與 x 軸正向的夾角稱為a的方向角(0<2) 若a的方向角為，則^a=(|^a|cos，|^a|sin)

Ex45. (1)設^a的長度為 10，^a的方向角為 150，求^a的坐標表示。

(2)已知AB

=4 且AB的方向角為2 3

 ，若 A(3，8)，求 B 坐標 Ans：(-5 3，5)；(1，8+2 3)

二、向量的加減法：(直接對應加減) 若a=(a1，a2)，b

=(b1，b2)，則a+b

=(a1+b1，a2+b2)，a–_b^=(a1–b1，a2–b2) Ex46. 設 A(1，0)、B(5，1)、C(7，4)，

(1)以 A，B，C 為三頂點之平行四邊形的另一頂點為何？

(2)平行四邊形 ABCD 的另一頂點 D 之坐標為何？

Ans：(3，3)，(-1，-3)，(11，5)；(3，3)

三、向量的係數積：直接對應相乘積之和 1.若a=(a1，a2)，則 ra=(ra1，ra2)

2.單位向量：長度為 1 的向量。

例如，若a=(a1，a2)，則 (1)與a同方向的單位向量為 a

a



 (2)與^a反方向的單位向量為 a a

  3.平行向量：設a=(a1，a2)，b

=(b1，b2)，則 ab

rR 使得^a=rb

，其中a，b

0

 ^{1 2}

1 2

a a

b  b (a1b2=a2b1) Ex47. 若 x0，AB

=(1，2)，AC

=(–x，2x)，△ABC 周長為6 5，求 x。Ans：30 11

Ex48. a=(2，1)，b

=(3，4)，若a(ka+b

)，求 k 值。Ans：–2

Ex49. 設^a=(2，1)，b

=(1，–2)，^c=(0，1)；若^a(b

+t^c)，求 t 值。Ans：5 2

Ex50. 設 A(7，–3)、B(k，–1)、C(1，1)三點共線，求 k 值。Ans：4

四、分點公式：

1.內分點公式：設 A(x1，y1)，B(x2，y2)，A-P-B，_{AP PB m n:  :} 則 P 點為( nx¹ mx²

n m



 ，ny¹ my² n m



 )

2.外分點公式：設 A(x1，y1)，B(x2，y2)，P-A-B 或 A-B-P，_{AP PB m n:  :} 則 P 點為( nx¹ mx²

n m



 ，ny¹ my² n m



 )(彬註：內分點係數任擇一變號) 3.中點公式：若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，則中點為(

, 2 2

2 1 2

1 x y y

x   ) 4.重心公式：若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，

則△ABC 重心為 G(

, 3 3

3 2 1 3 2

1 x x y y y

x     )

Ex51. △ABC 中，A(2，–8)，B(–6，2)，C(6，–5)，則 (1)若A 的內角平分線交BC

於 D 點，求 D 之坐標。Ans：(2，-4) (2)若A 的外角平分線交BC於 E 點，求 E 之坐標。Ans：(18，-8)

五、直線參數式

1.過 P(x0，y0)且平行向量v=(a，b)的直線參數式為

直式：

Rt t b y y

t a

xx 

 









 ,

0 0

橫式：



 



彬註 1：此直線的斜率為 b a

彬註 2：直線之參數方程式表示法非唯一。

2.設 A(x1，y1)，B(x2，y2)為相異二定點，

(1)直線^_AB的參數式為

t R t )y -y y y

t )x -x x x

1

1 

 









 ,

( (

2 1

2 1

(2)線段 _AB的參數式為

0, 1 (

(

2 1

2

1 

 









 t

t )y -y y y

t )x -x xx

1 1

(3)射線^_AB的參數式為

, 0 (

(

2 1

2

`1 

 









 t

t )y -y y y

t )x -x x x

1 1

(4)射線_BA^的參數式為 ^{1` 2 1}

1 2 1

( -x )

, 1 ( -y )

x x x t

y y y t t

 

 

  



Ex53. A(1，2)，B(2，–1)，P(x，y)_AB，求下列各式之最大值與最小值：(1)3x–

4y+6(2)x²+y²–4。Ans：M=16，m=1；M=1，m= 3 2



Ex54. 設 A(2，1)，B(3，2)，C(–1+t，1+t)，tR。

(1)求點 C 的軌跡方程式。(2)求△ABC 周長的最小值。Ans：x–y+2=0； 22 5

Ex55. 坐標平面上，a=(1，1)，_b^=(2，6)，若PQ

=2a–3_b^，則 (1)PQ

=？(2)已知 Q(3，8)，求 P 坐標。Ans：(1)(-4，-16)(2)(7，24)

Ex56. 若 A(5，4)，B(2，7)，求AB

及AB

的方向角。Ans：_{3 2}；135^o

Ex57. AB

=(4，3)，BC

=(0，6)，求△ABC 的周長及面積。Ans：16，12

Ex58. 在 xy 平面上，設 O 為原點，OA

=1，AB

= 2，BC

= 3，OA、^_AB、_BC^

之方向角分別為 30，45，60，求 C 之坐標。Ans：(1 3，3)

Ex59. 設a=(3，1)，求與a同方向且長度為 3 之向量。Ans：^{( 9 , 3 )} 10 10

Ex60. 若 A(–2，2)，B(1，–2)，C(4，–6)，

(1)求^_AB方向上的單位向量 Ans：(3 5， 4

5

 ) (2)若_CD^^_AB且CD

=10，求 D 點坐標。Ans：(10，-14)or(-2，2)

Ex61. 設圓 C 之圓心(3，4)，半徑 5。內接於圓 C 的正六邊形的頂點依序為

A1，A2，A3，A4，A5，A6，其中 A1=(0，0)，求    ^{A A}_{1 2} ^{ A A}_{1 3} ^{ A A}_{1 4} ^{ A A}_{1 5} ^{ A A}_{1 6} ^

？ Ans：(18，24)

Ex62. A(1，3)，B(4，7)，PAB， _AB5AP，求 P 坐標 Ans：(0，1)，(-2，5)

Ex63. 已知二圓之圓心各為 A(2，1)，B(2，3)，其半徑分別為 2，1，求 (1)外公切線之交點 P 的坐標。Ans：(6，5)

(2)內公切線之交點 Q 的坐標。Ans：(2 3，7

3)

Ex64. 過(10，–20)且與直線 x–3y=0 平行的直線交兩軸於 A、B，

則_AB上有多少個格子點？Ans：24

1-4 平面向量的內積

一、向量的內積：

若a=(a1，a2)，_b^=(b1，b2)，a ，_b^ 的夾角為，則 內積a∙b

=|^a||b|cos=a1b1+a2b2

Ex65. A(1，0)，B(2，3)，C(1，2)，求(1) AB AC

(2)sinBAC。Ans：4； ²₅

二、向量的垂直與平行：

1.^ab

^a∙b

=0 2.a//ba1b2=a2b1

三、直線的法向量與方向向量：

1.直線 ax+by+c=0 的法向量為(a，b) 2.方向向量可設為(b，a)

四、兩直線的夾角：(夾角有兩個，其一為，則另一為–)

1.設 L1：a1x+b1y+c1=0，L2：a2x+b2y+c2=0 為平面上二直線，夾角為，

則 cos= 2

2 2 2 2 1 2 1

2 1 2 1

b a b a

b b a a





 

2.設兩直線 L1，L2均不與 x 軸垂直，斜率分別為 m1、m2，夾角為(

2

 )，

則 tan= ^{1 2 1 2 2 1}

1 2 1 2 1 2

1

m m a b a b m m a a b b

 

  

 

3.直線夾角(、–)=方向向量夾角(、–)=法向量夾角(–、) Ex66. 求二直線 ₃xy+2=0 及 2x+2y+7=0 之夾角。Ans：75^o，105^o

Ex67. 過點(3，1)且與直線 x+ ₃y3=0 夾成 60^o角之直線方程式為何？

Ans：x 3y3+ 3=0orx=3

Ex68. a=(2，1)，_b^=(3，4)，當(ka+_b^)平分a、_b^之夾角時，求 k 值。Ans： ₅

五、正射影：若a，_b^的夾角為 1.a在_b^上的正射影為 ( cos ) b

a  b

  =(a b2 ) b b



 

 ，但_b^0

2.a在_b^上的分量為 cos a b a   b

3.用正射影證明 d(P，L)與投影點、對稱點公式 Ex69. a=(4，2)，b

=(–3，1)，求(1)b 在a上的正射影的長(2)_b^在a上的正射影 Ans： 5；(–2，–1)

Ex71. 若△ABC 的三頂點坐標為 A(2，5)，B(5，1)，C(3，7)，P 為_BC上的一點，且

AP在^_AB上的正射影為( 6

25， 8 25

 )，求 P 點的坐標。Ans：(52 15，28

5 )

Ex72. A(a，1)，B(2，b)，C(3，4)為平面上三點，O 為原點；若OA與_OB^在_OC^上的正 射影相同，則 a 與 b 滿足的關係式為何？Ans：3a–4b=2

六、面積公式：

1.^{A x y( , )}_{1 1} ，B x y( , )_{2 2} ，C x y( , )_{3 3} ，則△ABC 面積= ^{1 2 3 1}

1 2 3 1

1| |

2

x x x x y y y y =

1 1

2 2

3 3

1 1

| 1 |

2 1

x y x y x y 2.設 AB





則△ABC 面積

2 2 2

1

2 AB AC AB AC

   

   

2 a b c d

1 | | 2 ad bc

 　  3.平行四邊形的面積：(彬曰： 方積 積方- )

以^u　 ^(a　,b)，v　⁽c　^,d　⁾為相鄰兩邊的平行四邊形的面積為|ad–bc|

Ex73. A(0，4)，B(–2，–1)，C(3，1)，求

(1)△ABC 面積(2)由^_AB、^_AC所張成的平行四邊形面積。Ans：21 2 ；21

七、柯西不等式：

1.設a、_b^為二任意向量^a∙b

^ab

。等號成立於^a//_b^ 2.設 a1，a2，b1，b2R，則 1 1 2 2 ²

2 2 2 1 2 2 2

1 )( ) ( )

(a a 　b b  a b a b 。等號成立於a a1: 2 b b1: 2

3.男男 vs.女女

Ex74. 已知 a，b 均為正數，求 4 9

a b

b a

    

  

  的最小值。Ans：25

Ex75. 設^a=3，b

=4，求^a∙b

的最大值及最小值。Ans：12，-12

Ex76. 設

2

n ，nZ，求 2_ cos2_

9 sin

4  的最小值。Ans：25

Ex77. 設 x>0，y>0，且 x+y=6，求 4 9

x 的最小值。Ans： 25y 6

Ex78. 若為二直線 x–3y+3=0 與 4x+3y–2=0 之銳夾角，求 tan。Ans：3

Ex79. 若直線 1 2 1 3

x t

y t

  

  

 (tR)與 y 軸的夾角為，求 sin。Ans： 2 13

Ex80. 直線 L 過點(1，3)且與直線 y=2x+6 之夾角為 45^o，求 L 的方程式。

Ans：3x+y–6=0orx–3y+8=0

Ex81. 直線 2x+y+3=0 與 4x+ay+5=0 之銳夾角為 45^o，求 a 值。Ans：12or 4 3



Ex82. 設 D 點在△ABC 的 BC 邊上，且△ABD 的面積＝

3

2 △ADC 的面積，若 B 的坐標 為(0，5)，C 的坐標為(7，0)，則 D 的坐標為何？Ans：(14

5 ，3)

Ex83. 設^a=(x，2)，b

=(1，y)，且^a∙b

=2，求 x²+y²的最小值。Ans： 4 5

Ex84. 設 x，yR，且 3x+2y=6，求 (x14)²(y2)² 的最小值。Ans：4 ¹³

Ex85. 二直線 3x+4y7=0 與 4x+3y+2=0 所夾鈍角之平分線方程式為何？Ans：xy+9=0

Ex86. 三直線 x+2y1=0，2xy7=0，2x+y+1=0 所圍成的三角形，其內心坐標為何？

Ans：(3 2， 3

2

 )

Ex87. 設直線 L₁的方程式為 5x12y2=0，L₂的方程式為 4x+3y+11=0，試求 L₁與 L₂的 交角平分線方程式 Ans：3x+11y+17=0 及 11x3y+19=0

Ex88. 過點(4，5)且與二直線 3x4y7=0 及 12x5y+6=0 成等角之直線方程式為何？

Ans：9x7y1=0 或 7x+9y73=0

Ex89. A(1，2)，B(2，3)，C(0，1)，求(1)AB

之參數式(2)C 在AB

上之投影坐標 (3)C 到^_AB的距離(4)C 對^_AB的對稱點。Ans：略；(–1，0)； ₂；(–2，1)