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1-1 有向線段與向量

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Academic year: 2022

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(1)

1-1 有向線段與向量

一、有向線段與向量:

1.有向線段:帶有方向的一線段;包括始點、方向、長度。

如圖,記為uuuABv

2.向量:具有大小和方向的量。

表示方法:利用有向線段。(不考慮始點的位置) 3.零向量:始點與終點重合的有向線段,如uuvAAPPuuv

通常以0表示

4.負向量:始點與終點對調可得(大小相等,方向相反) 5.相等向量:二向量相等大小相等,方向相同

Ex1. 以正六邊形 ABCDEF 的六個頂點為端點所決定非零的向量、有向線段、線段各有 多少個?Ans:18;30;15

Ex2. 正五邊形 ABCDE 的邊可決定多少個向量?又以其五個頂點為端點所決定的非零 向量共有多少個?Ans:10;20

二、向量的加法與減法:

1.向量的加法:三角形法與平行四邊形法 2.向量加法的基本性質:

交換律:a b b av  v v v

結合律:(a bvv)  c av v (b cvv) 零向量:av   0v av 0v av 可逆性:av     ( av) 0 (v av) av 3.向量的減法:a bv   v av ( bv) 4.向量的分解:(P 為任一點)

加法:uuuABv uuu AP PBv uuv (路過 P 點) 減法:  AB PB PA

(後-前)(可將始點統一化)

Ex3. 化下列諸向量成最簡式:(1)BC+CA(2)ABAC(3)PBPC(4)AB+BC+CD+DA

Ans:(1)BA(2)CB(3)CB(4)0

三、向量的係數積:設a為一向量,rR,考慮a的 r 倍,便以 ra表示 1.若a0

r0 時,raa同向,長度為a的 r 倍 r0 時,raa反向,長度為a的|r|倍 r=0 時,ra=0

2.若a=0,則 ra=0

Ex4. △ABC 為正三角形,D、E、F 各為ABBCAC的中點,若BD=aBE=b,試以 ab表示(1)DF(2)DE(3)AC

(4)AE(5)BF

Ans:(1)b(2)a+b

(3)2a+2b(4)2a+b

(5)a+b

Ex5. ABCDEF 為正六邊形,AB=aAC=b,試用ab表示ADAEAFBF

Ans:2b

–2a;2b

–3ab–2ab–3a

B( 終點 )

A( 始點 )

a v a v

a v

a v b v a b

v v b v

a v

a v

b v

a b vv

(2)

Ex6. 如圖,O 為正方形 ABCD 對角線的交點,且 E、F、G、H 分別為線段OAOBOCOD的中點。試問下列何者為真?

(A)AB+BC

=AE+EF+FG +GC

(B)AB=2EF(C)ABBC

=DB(D)AB+BF+FE= GC

Ans:ABCD

四、向量係數積的基本幾何應用:

1.平行向量:ab

rR,使得a=rb

;其中ab

0 2.線性組合:

(1)任給不平行的二向量ab

則在ab所決定之平面上的每一個向量都可以寫成 ra+sb的形式,

稱為ab的線性組合;且其寫法唯一 (2)獨立性:ab0 且不平行,若 ra+sb

=0,則 r=s=0 Ex7. (1)已知ab0且不平行,若(3x+2y–1)a+(2x–3y+8)b

=0,求 x,y (2)∆ABC 中,已知 3xAB+(y+2)BC+(2x–5)CA=0,求 x,y

Ans:1,2;5,17

3.三點共線問題:設平面上三點 A、B、C,(O 為任意一點) A、B、C 三點共線

rR,使得AB r AC 

,R 且+=1,使得OAOBOC

△ABC 面積=0

補充 1:當+>1 或+<1 時,會是如何?

補充 2:P AB (含端點), OP



OA

OB  10 , 1

補充 3:P ABC(含邊), OP



OA

OBOC

    10  , , 1

Ex8. A,B,C 三點共線,若 3OB=(5t1)OA

+(t+4)CO

,求 t 值?Ans:2

Ex9. 設 A,B,C 為不共線的三點,AP

=3AB

+2AC

,令 APBC交於 M,

AM =xAB

+yAC

,求數對(x,y)。Ans:(3 5, 2

5)

4.內分點公式:(彬註:加權平均) 若 A–P–B,且 AP m

BPn ,則 n m

OP OA OB

m n m n

 

 

  

(O 為任意一點)(係數和=1) 中點公式:若 P 為AB中點,則 1

( )

OP 2 OA OB  5.外分點公式:(彬註:內分點公式,係數任擇一變號)

若 A–B–P,且 AP m

BPn ,則 n m

OP OA OB

m n m n

  

 

  

Ex10. △ABC 中,點 M 在AB上且 AMBM =2:3,點 P 在CM 上且CPPM=3:1,

AP=xAB+yAC

,求(x,y)?Ans:( 3 10, 1

4)

(3)

D E F

A

B C

Ex11. △ABC 中,D 為BC上一點且BDCD=2:3,E 為AC中點,

DE=xAB+yAC

,求 x,y 之值。Ans:( 3 5

 , 1 10)

補充:西瓦定理(三線共點):(證明於幾何學課本) 已知:ADBECF共線於 P 點

則:(線段版) AF BD CE 1

FB DC EA   ,(向量版) AF BD CE 1 FB DC EA

  

  

  

補充:孟氏定理(三點共線):(證明於幾何學課本) 已知:D,E,F 共線

則:(線段版) AF BD CE 1

FB DC EA   ,(向量版) AF BD CE 1 FB DC EA

   

  

  

Ex12. △ABC 中,點 D 在AB上且 ADBD=2:3,點 E 為BC中點, AECD交於點 P,求 APPE。Ans:4:3

補充: hn km

AP AB AC

hn km kn hn km kn

 

   

  

Ex13. 平行四邊形 ABCD 中,E 在CD上且CD=3DEAEBD交於 P,

AP=xAB+yAD,求數對(x,y)。Ans:(1 4, 3

4)

D

E F

A

B C

P

h

k

m

P n A

B C

F E

(4)

Ex14. △ABC 中,點 D 在AB上且 ADBD=2:3,點 E 為AC中點,BECD交於點 P,若AP=xAB+yAC

,求(x,y)。Ans:(1 4,3

8)

5.面積比:

P 為△ABC 所在平面上任一點,若lPA mPB nPC   0,其中 l,m,nR 且均非零,

則面積比△PAB:△PBC:△PCA=|n|:|l|:|m|

Ex15. P 為△ABC 內部一點,若2PA3PB4 PC0APBC於 D,

(1)△PAB 面積:△PBC 面積:△PCA 面積。Ans:4:2:3 (2)若

AD m AB n AC

,求數對(a,b)=?Ans: 3 4

7 7,

 

 

 

五、向量的內積:

1.定義:設ab非零向量,且為其夾角(0),

則定義ab的內積為a b  a b   cos(彬曰:向量 Bible) 彬註 1:二向量經過內積運算後為一實數,不再是向量 彬註 2:物理力學的功

彬註 3:座標計算法a b  ( , ) ( , )x y1 1x y2 2x x1 2y y1 2 Ex16. 若a=2,b

=3,ab 夾角為 120o,求a b。Ans:-3

2.性質:設abc為任意三非零向量,kR,

(1)a b b a    (交換)

(2)c a b  ( )   c a c b   (分配)

(3)k a b() ( ) ka b a kb     ( ) (結合) 但(a b c    )  a b c( ) (4)a a   a2

(5)a ba b  0

(6) a b2 (a b) ( a b )  a a  2a b b b      a22a b  b2 Ex17. 設a=4 且 3a+2b=0,則ab=?Ans:24

Ex18. 設a+2b

+3c=0且ab

=2,ca=–3,求a。Ans: 5

Ex19. a=1,b

=2,ab夾角為 60oOP=a+b,OQ

=2ab, 則PQ=?Ans: 13

3.平行四邊形面積:

ab為相鄰二邊之平行四邊形面積= a2b2 (a b )2 = 方積 積方 4.三角形面積:

ab為相鄰二邊之三角形面積=1 2 2 2 ( ) 2 a b  a b 

(5)

Ex20. △ABC 中, AB

=2, AC

=3, AB

AC夾角為 120o,求△面積。Ans:3 3

Ex21. 設a=1,b

=2,ab 之夾角為 120o, (1)若b(a+tb

),則 t=?

(2)當 t 值多少時, a tb  有最小值多少?Ans: 1 4;1

4, 3 2

Ex22. 平行四邊形 ABCD 中,AB=5,BC=3,求(1)ACBD

(2)AC +BD

Ans:16;6

Ex23. △ABC 是邊長為 2 的正三角形,P 為BC中點,求(1)APAB(2)ABAC

(3)(BC+

AP)AC

(4)(BCAP)(AB+AP) Ans:3;2;5;8

Ex24. 若a=2,b

=3,ab 夾角為 120o,求a+2b

。Ans:2 7

Ex25. 若a=3,b

=4,a+b

= 13,則ab的夾角為何?Ans:120o

Ex26. 設a=b

=1,ab 夾角為 60o,求a+b與a +2b

的夾角為何?Ans:60o

Ex27. 設uv不平行,若(x+1)u+(x–3)v=y(uv),求 x,y。Ans:x=1,y=2

Ex28. 平行四邊形 ABCD 中,E 在CD上且CD=3DE,F 為AB中點,BECF交於 P,

AP=xAB

+yAD

,求數對(x,y)。Ans:( 5 7, 3

7)

Ex29. 平行四邊形 ABCD 中,E 為AB的中點,2AF 3FDBFCE交於 K,則 (1)求CKKE(2)平行四邊形 ABCD 之面積為△BCK 之面積的幾倍?

(3)求BKKF(4)若CKxCB yCD 

,求數對(x,y) Ans:10:3; 26

5 ;5:8;(10 13, 5

13)

(6)

1-2 向量的基本應用

一、向量與三角形

1.△ABC 中, 1 2 2 2

( )

AB AC 2 bca

 

Ex30. △ABC 中,AB=5,BC=7,CA=8,求ABBC之值。Ans:5

2.重心性質:(彬註:算術平均) G 為△ABC 重心,O 為任意一點

 1

( )

OG3 OA OB OC   

GA GB GC     0

Ex31. 過△ABC 的重心 G 的一直線與邊ABAC分別交於 P、Q,

試證: AB AC 3 APAQ

Ex32. 如圖,△ABC 中DC 4BDEC2AEFB2AF設 G 為△DEF 的重心,AGABAC

, 求數對(,)Ans:(17

45, 8 45)

Ex33. △ABC,若PA+PB+PC=0 且PA

=1,PB

=2,PC

= 2, 求(1) PAPB(2)△PAB 的面積(3)△ABC 的面積(4)AB

Ans:

2

 3 ;

4

7

4 7

32 2

3.內心性質:(彬註:加權平均)

設 I 為△ABC 的內心,BC=a,CA=b, AB=c,O 為任意一點,則

a b c

OI OA OB OC

a b c a b c a b c

  

     

   

0 a IA b IB c IA     

補充:傍心有三個,為 a,b,c 三者任擇一取負值

Ex34. △ABC 中,AB=8,BC=4,CA=6,I 為△ABC 的內心,O 為任意一點,

(1)若OIxOA yOB zOC  

,求序組(x,y,z)。Ans:( 2 9,1

3,4 9) (2)若 AI  AB AC,求數對(α,β)。Ans:(1

3, 4 9)

4.外心性質:

設 T 為△ABC 的外心,則

2

2

1 2 1 2 AB AT AB AC AT AC

  



  



  

  

A

B D C

F E

(7)

補充:外心為比例為sin 2 :sin 2 : sin 2A B C的加權平均

Ex35. △ABC 中,AB=6,BC=2 7CA=4,T 為△ABC 外心,TABC於 D,

(1)求ABAC

(2)若AT=xAB+yAC

,求數對(x,y) (3)若AD

=AB+AC

,求數對(,)Ans:12;(4 9,1

6);( 8 11, 3

11)

Ex36. 設 T 為△ABC 的外心,又外接圓之半徑為 2,若A=60o,B=45o求 TA TB TC

  

 

=?Ans: 6 2

Ex37. 設 T 為△ABC 的外心,又外接圓之半徑為 2,若4

TA5

TB6TC

0, 求AB=?Ans:3

5.垂心性質:

設 H 為△ABC 的垂心,則

2 2 2

( ) ( ) 2

AB AC AB AH AC AH AB AF AD AH AC AE b c a

    

     

 

     

     

有夾角夾角零

補充:垂心為比例為tan : tan : tanA B C的加權平均

Ex38. △ABC 中,AB=6,BC=5,CA=7,H 為∆ABC 的垂心,(1)求ABAC

(2)若AH

=xAB+yAC,求數對(x,y)。Ans:30;( 95 144, 5

24)

二、幾何證明:利用向量證明平面幾何上的一些定理 1.三角形中點連線定理:

△ABC 中,D、E 各為 ABAC之中點,則DEBC且 1 DE 2BC

證明:

1 1 1

2 2 2

DEAE AD  ACABBC

     

2.畢氏定理及其逆定理:

△ABC 中,B=90oAC2 AB2BC2

證明:          

F

E

D H

A

B C

(8)

3.平行四邊形定理:

ABCD 為平行四邊形AC2BD2 AB2BC2 CD2DA2 證明:

2 2 2 2 2 2

2 2 cos

ACAB AD  ABADAB AD  ABADAB ADA

          

2 2 2 2 2 2

2 2 cos

BDBC CD  BCCDBC CD  BCCDBC CDB

          

二式相加可得 4.平行四邊形逆定理:

四邊形 ABCD,若AC2BD2 AB2 BC2 CD2 DA2,則 ABCD 為平行四邊形 證明:

右式減左式= PB PA  2  PC PB2PD PC  2  PA PD2PC PA  2PD PB  2

=展開配方= PA PB PC PD      2BA CD  2=0∴BA CD  5.中線定理:

△ABC 中, AM 為中線,則AB2 AC2 2(AM2BM2) 證明:

右式=

2 2 2

2 1 1 1 1 1 1 2 1 2

2( ) 2( ) 2( )

2 2 2 2 2 2 2

AMBCABACACABABAC

       

=左式 6.三角形的三中垂線共點(外心 T)

△ABC 中,TETFACAB中垂線,D 為BC中點,試證:TDBC中垂線 證明:

∵0= 1 1 1 2 1 2

( ) ( )

2 2 2 2

TE AC   TC TA TC TA     TC  TA

∴ TC TA

∵0= 1 1 1 2 1 2

( ) ( )

2 2 2 2

TF AB   TB TA TB TA     TB  TA

∴ TB TA

∴ 1 1 1 2 1 2

( ) ( )

2 2 2 2

TD BC   TC TB  TC TB   TC  TB

=0∴Q.E.D.

7.三角形的三中線共點(重心 G)

△ABC 中,若中線 BE 交中線 CF 於 G,則 G 亦在中線 AD 上 證明:

(1) 1 1 2 2 ADABAC

  

(2) 1 2 1 1

3 3 3 3

AGABACABAC

    

(3)由(1)(2)得 3 AD2AG

 

∴ADG 共線 8.三角形的三高共點(垂心 H)

設△ABC 中,AHBH為二高,證明:CH為高

AH高∴HA BC  =0∴HA HC HA HB     

BH高∴HB AC  =0∴HB HC HB HA     

HC AB HC HB HA      (  )HC HB HC HA HA HB HA HB              0

CH為高

(9)

9.尤拉線:外重垂 TGH 共線,且GH 2GT (1)

AH 2TM

(2)TH

3

TG

10.餘弦定理 證明:

2 2 2 2 2 2

2 2 cos

BCAC AB  ABACAB AC  ABACAB AC A

          

a2 b2c2 2 cosbc A

Ex39. 如圖,四邊形 ABPQ 與 ACRS 都是矩形,且AB2AQ

AS2AC求證:BSCQ

Ex40. 平行四邊形的對角線互相垂直該平行四邊形是菱形

Ex41. 試證:半圓的圓周角必為直角

Ex42. △ABC 中,若     AB BC BC CA CA AB    

,試證:△ABC 為正三角形

Ex43. 若PA PB PB PC PC PA         

,則 P 為△ABC 的?心 Ans:垂心

Ex44. 設a+b+c=0ab=1,b

c=2,ca=–3,

(1)求a=?(2)若b與c的夾角為,則 cos=?Ans:2;

15

2

A

B C

P

Q

R S

T

H G

M

A

B C

(10)

1-3 平面向量的坐標表示法

一、平面向量的坐標表示法:

1.給定坐標平面上一向量v,將v的始點平移到原點 O,終點為 P(a,b),

則記v=(a,b),其中 a 稱為v的 x 分量,b 稱為v的 y 分量 2.v=(a,b),則v的長度v= a2b2

3.若 A(x1,y1),B(x2,y2),則AB=(x2x1,y2y1)

4.設a=OAOA與 x 軸正向的夾角稱為a的方向角(0<2) 若a的方向角為,則a=(|a|cos,|a|sin)

Ex45. (1)設a的長度為 10,a的方向角為 150,求a的坐標表示。

(2)已知AB

=4 且AB的方向角為2 3

,若 A(3,8),求 B 坐標 Ans:(-5 3,5);(1,8+2 3)

二、向量的加減法:(直接對應加減) 若a=(a1,a2),b

=(b1,b2),則a+b

=(a1+b1,a2+b2),ab=(a1–b1,a2–b2) Ex46. 設 A(1,0)、B(5,1)、C(7,4),

(1)以 A,B,C 為三頂點之平行四邊形的另一頂點為何?

(2)平行四邊形 ABCD 的另一頂點 D 之坐標為何?

Ans:(3,3),(-1,-3),(11,5);(3,3)

三、向量的係數積:直接對應相乘積之和 1.若a=(a1,a2),則 ra=(ra1,ra2)

2.單位向量:長度為 1 的向量。

例如,若a=(a1,a2),則 (1)與a同方向的單位向量為 a

a

 (2)與a反方向的單位向量為 a a

  3.平行向量:設a=(a1,a2),b

=(b1,b2),則 ab

rR 使得a=rb

,其中ab

0

1 2

1 2

a a

bb (a1b2=a2b1) Ex47. 若 x0,AB

=(1,2),AC

=(–x,2x),△ABC 周長為6 5,求 x。Ans:30 11

Ex48. a=(2,1),b

=(3,4),若a(ka+b

),求 k 值。Ans:–2

Ex49. 設a=(2,1),b

=(1,–2),c=(0,1);若a(b

+tc),求 t 值。Ans:5 2

Ex50. 設 A(7,–3)、B(k,–1)、C(1,1)三點共線,求 k 值。Ans:4

四、分點公式:

1.內分點公式:設 A(x1,y1),B(x2,y2),A-P-B,AP PB m n: : 則 P 點為( nx1 mx2

n m

 ,ny1 my2 n m

 )

(11)

2.外分點公式:設 A(x1,y1),B(x2,y2),P-A-B 或 A-B-P,AP PB m n: : 則 P 點為( nx1 mx2

n m

 ,ny1 my2 n m

 )(彬註:內分點係數任擇一變號) 3.中點公式:若 A(x1,y1),B(x2,y2),則中點為(

, 2 2

2 1 2

1 x y y

x   ) 4.重心公式:若 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),

則△ABC 重心為 G(

, 3 3

3 2 1 3 2

1 x x y y y

x     )

Ex51. △ABC 中,A(2,–8),B(–6,2),C(6,–5),則 (1)若A 的內角平分線交BC

於 D 點,求 D 之坐標。Ans:(2,-4) (2)若A 的外角平分線交BC於 E 點,求 E 之坐標。Ans:(18,-8)

五、直線參數式

1.過 P(x0,y0)且平行向量v=(a,b)的直線參數式為

直式:

Rt t b y y

t a

xx

 

 ,

0 0

橫式:

x y,

 

x0at y, 0bt

彬註 1:此直線的斜率為 b a

彬註 2:直線之參數方程式表示法非唯一。

2.設 A(x1,y1),B(x2,y2)為相異二定點,

(1)直線AB的參數式為

t R t )y -y y y

t )x -x x x

1

1

 

 ,

( (

2 1

2 1

(2)線段 AB的參數式為

0, 1 (

(

2 1

2

1 

 

t

t )y -y y y

t )x -x xx

1 1

(3)射線AB的參數式為

, 0 (

(

2 1

2

`1 

 

t

t )y -y y y

t )x -x x x

1 1

(4)射線BA的參數式為 1` 2 1

1 2 1

( -x )

, 1 ( -y )

x x x t

y y y t t

 

 

  

(12)

Ex53. A(1,2),B(2,–1),P(x,y)AB,求下列各式之最大值與最小值:(1)3x–

4y+6(2)x2+y2–4。Ans:M=16,m=1;M=1,m= 3 2

Ex54. 設 A(2,1),B(3,2),C(–1+t,1+t),tR。

(1)求點 C 的軌跡方程式。(2)求△ABC 周長的最小值。Ans:x–y+2=0; 22 5

Ex55. 坐標平面上,a=(1,1),b=(2,6),若PQ

=2a–3b,則 (1)PQ

=?(2)已知 Q(3,8),求 P 坐標。Ans:(1)(-4,-16)(2)(7,24)

Ex56. 若 A(5,4),B(2,7),求AB

及AB

的方向角。Ans:3 2;135o

Ex57. AB

=(4,3),BC

=(0,6),求△ABC 的周長及面積。Ans:16,12

Ex58. 在 xy 平面上,設 O 為原點,OA

=1,AB

= 2,BC

= 3,OA、ABBC

之方向角分別為 30,45,60,求 C 之坐標。Ans:(1 3,3)

Ex59. 設a=(3,1),求與a同方向且長度為 3 之向量。Ans:( 9 , 3 ) 10 10

Ex60. 若 A(–2,2),B(1,–2),C(4,–6),

(1)求AB方向上的單位向量 Ans:(3 5, 4

5

 ) (2)若CDAB且CD

=10,求 D 點坐標。Ans:(10,-14)or(-2,2)

Ex61. 設圓 C 之圓心(3,4),半徑 5。內接於圓 C 的正六邊形的頂點依序為

A1,A2,A3,A4,A5,A6,其中 A1=(0,0),求    A A1 2 A A1 3 A A1 4 A A1 5 A A1 6

Ans:(18,24)

Ex62. A(1,3),B(4,7),PABAB5AP,求 P 坐標 Ans:(0,1),(-2,5)

Ex63. 已知二圓之圓心各為 A(2,1),B(2,3),其半徑分別為 2,1,求 (1)外公切線之交點 P 的坐標。Ans:(6,5)

(2)內公切線之交點 Q 的坐標。Ans:(2 3,7

3)

Ex64. 過(10,–20)且與直線 x–3y=0 平行的直線交兩軸於 A、B,

AB上有多少個格子點?Ans:24

(13)

1-4 平面向量的內積

一、向量的內積:

a=(a1,a2),b=(b1,b2),ab 的夾角為,則 內積ab

=|a||b|cos=a1b1+a2b2

Ex65. A(1,0),B(2,3),C(1,2),求(1) AB AC

(2)sinBAC。Ans:4; 25

二、向量的垂直與平行:

1.ab

ab

=0 2.a//ba1b2=a2b1

三、直線的法向量與方向向量:

1.直線 ax+by+c=0 的法向量為(a,b) 2.方向向量可設為(b,a)

四、兩直線的夾角:(夾角有兩個,其一為,則另一為–)

1.設 L1:a1x+b1y+c1=0,L2:a2x+b2y+c2=0 為平面上二直線,夾角為,

則 cos= 2

2 2 2 2 1 2 1

2 1 2 1

b a b a

b b a a

 

2.設兩直線 L1,L2均不與 x 軸垂直,斜率分別為 m1、m2,夾角為(

2

 ),

則 tan= 1 2 1 2 2 1

1 2 1 2 1 2

1

m m a b a b m m a a b b

 

  

 

3.直線夾角(、–)=方向向量夾角(、–)=法向量夾角(–、) Ex66. 求二直線 3xy+2=0 及 2x+2y+7=0 之夾角。Ans:75o,105o

Ex67. 過點(3,1)且與直線 x+ 3y3=0 夾成 60o角之直線方程式為何?

Ans:x 3y3+ 3=0orx=3

Ex68. a=(2,1),b=(3,4),當(ka+b)平分ab之夾角時,求 k 值。Ans: 5

五、正射影:若ab的夾角為 1.ab上的正射影為 ( cos ) b

ab

  =(a b2 ) b b



 

 ,但b0

2.ab上的分量為 cos a b a   b

3.用正射影證明 d(P,L)與投影點、對稱點公式 Ex69. a=(4,2),b

=(–3,1),求(1)b 在a上的正射影的長(2)ba上的正射影 Ans: 5;(–2,–1)

(14)

Ex71. 若△ABC 的三頂點坐標為 A(2,5),B(5,1),C(3,7),P 為BC上的一點,且

APAB上的正射影為( 6

25, 8 25

),求 P 點的坐標。Ans:(52 15,28

5 )

Ex72. A(a,1),B(2,b),C(3,4)為平面上三點,O 為原點;若OA與OBOC上的正 射影相同,則 a 與 b 滿足的關係式為何?Ans:3a–4b=2

六、面積公式:

1.A x y( , )1 1B x y( , )2 2C x y( , )3 3 ,則△ABC 面積= 1 2 3 1

1 2 3 1

1| |

2

x x x x y y y y =

1 1

2 2

3 3

1 1

| 1 |

2 1

x y x y x y 2.設 AB

=(a,b),

AC=(c,d),

則△ABC 面積

2 2 2

1

2 AB ACAB AC

   

   

= 1| |

2 a b c d

1 | | 2 ad bc

    3.平行四邊形的面積:(彬曰: 方積 積方- )

u  (a ,b)v (c ,d )為相鄰兩邊的平行四邊形的面積為|ad–bc|

Ex73. A(0,4),B(–2,–1),C(3,1),求

(1)△ABC 面積(2)由ABAC所張成的平行四邊形面積。Ans:21 2 ;21

七、柯西不等式:

1.設ab為二任意向量ab

ab

。等號成立於a//b 2.設 a1,a2,b1,b2R,則 1 1 2 2 2

2 2 2 1 2 2 2

1 )( ) ( )

(aa  bba ba b 。等號成立於a a1: 2b b1: 2

3.男男 vs.女女

Ex74. 已知 a,b 均為正數,求 4 9

a b

b a

    

  

  的最小值。Ans:25

Ex75. 設a=3,b

=4,求ab

的最大值及最小值。Ans:12,-12

Ex76. 設

2

n ,nZ,求 2 cos2

9 sin

4  的最小值。Ans:25

Ex77. 設 x>0,y>0,且 x+y=6,求 4 9

x 的最小值。Ans: 25y 6

Ex78. 若為二直線 x–3y+3=0 與 4x+3y–2=0 之銳夾角,求 tan。Ans:3

Ex79. 若直線 1 2 1 3

x t

y t

  

  

(tR)與 y 軸的夾角為,求 sin。Ans: 2 13

(15)

Ex80. 直線 L 過點(1,3)且與直線 y=2x+6 之夾角為 45o,求 L 的方程式。

Ans:3x+y–6=0orx–3y+8=0

Ex81. 直線 2x+y+3=0 與 4x+ay+5=0 之銳夾角為 45o,求 a 值。Ans:12or 4 3

Ex82. 設 D 點在△ABC 的 BC 邊上,且△ABD 的面積=

3

2 △ADC 的面積,若 B 的坐標 為(0,5),C 的坐標為(7,0),則 D 的坐標為何?Ans:(14

5 ,3)

Ex83. 設a=(x,2),b

=(1,y),且ab

=2,求 x2+y2的最小值。Ans: 4 5

Ex84. 設 x,yR,且 3x+2y=6,求 (x14)2(y2)2 的最小值。Ans:4 13

Ex85. 二直線 3x+4y7=0 與 4x+3y+2=0 所夾鈍角之平分線方程式為何?Ans:xy+9=0

Ex86. 三直線 x+2y1=0,2xy7=0,2x+y+1=0 所圍成的三角形,其內心坐標為何?

Ans:(3 2, 3

2

 )

Ex87. 設直線 L1的方程式為 5x12y2=0,L2的方程式為 4x+3y+11=0,試求 L1與 L2交角平分線方程式 Ans:3x+11y+17=0 及 11x3y+19=0

Ex88. 過點(4,5)且與二直線 3x4y7=0 及 12x5y+6=0 成等角之直線方程式為何?

Ans:9x7y1=0 或 7x+9y73=0

Ex89. A(1,2),B(2,3),C(0,1),求(1)AB

之參數式(2)C 在AB

上之投影坐標 (3)C 到AB的距離(4)C 對AB的對稱點。Ans:略;(–1,0); 2;(–2,1)

參考文獻

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