1-1 有向線段與向量
一、有向線段與向量:
1.有向線段:帶有方向的一線段;包括始點、方向、長度。
如圖,記為uuuABv
2.向量:具有大小和方向的量。
表示方法:利用有向線段。(不考慮始點的位置) 3.零向量:始點與終點重合的有向線段,如uuvAA、PPuuv,
通常以0表示
4.負向量:始點與終點對調可得(大小相等,方向相反) 5.相等向量:二向量相等大小相等,方向相同
Ex1. 以正六邊形 ABCDEF 的六個頂點為端點所決定非零的向量、有向線段、線段各有 多少個?Ans:18;30;15
Ex2. 正五邊形 ABCDE 的邊可決定多少個向量?又以其五個頂點為端點所決定的非零 向量共有多少個?Ans:10;20
二、向量的加法與減法:
1.向量的加法:三角形法與平行四邊形法 2.向量加法的基本性質:
交換律:a b b av v v v
結合律:(a bvv) c av v (b cvv) 零向量:av 0v av 0v av 可逆性:av ( av) 0 (v av) av 3.向量的減法:a bv v av ( bv) 4.向量的分解:(P 為任一點)
加法:uuuABv uuu AP PBv uuv (路過 P 點) 減法: AB PB PA
(後-前)(可將始點統一化)
Ex3. 化下列諸向量成最簡式:(1)BC+CA(2)AB–AC(3)PB–PC(4)AB+BC+CD+DA
Ans:(1)BA(2)CB(3)CB(4)0
三、向量的係數積:設a為一向量,rR,考慮a的 r 倍,便以 ra表示 1.若a≠0,
r0 時,ra與a同向,長度為a的 r 倍 r0 時,ra與a反向,長度為a的|r|倍 r=0 時,ra=0
2.若a=0,則 ra=0
Ex4. △ABC 為正三角形,D、E、F 各為AB、BC、AC的中點,若BD=a,BE=b,試以 a、b表示(1)DF(2)DE(3)AC
(4)AE(5)BF
Ans:(1)b(2)a+b
(3)2a+2b(4)2a+b
(5)a+b
Ex5. ABCDEF 為正六邊形,AB=a,AC=b,試用a、b表示AD、AE、AF 、BF
Ans:2b
–2a;2b
–3a;b–2a;b–3a
B( 終點 )
A( 始點 )
a v a v
a v
a v b v a b
v v b v
a v
a v
b v
a b v v
Ex6. 如圖,O 為正方形 ABCD 對角線的交點,且 E、F、G、H 分別為線段OA、OB、OC、 OD的中點。試問下列何者為真?
(A)AB+BC
=AE+EF+FG +GC
(B)AB=2EF(C)AB–BC
=DB(D)AB+BF+FE= GC
Ans:ABCD
四、向量係數積的基本幾何應用:
1.平行向量:ab
rR,使得a=rb
;其中a、b
0 2.線性組合:
(1)任給不平行的二向量a、b,
則在a與b所決定之平面上的每一個向量都可以寫成 ra+sb的形式,
稱為a與b的線性組合;且其寫法唯一 (2)獨立性:a,b0 且不平行,若 ra+sb
=0,則 r=s=0 Ex7. (1)已知a,b0且不平行,若(3x+2y–1)a+(2x–3y+8)b
=0,求 x,y (2)∆ABC 中,已知 3xAB+(y+2)BC+(2x–5)CA=0,求 x,y
Ans:1,2;5,17
3.三點共線問題:設平面上三點 A、B、C,(O 為任意一點) A、B、C 三點共線
rR,使得AB r AC
,R 且+=1,使得OAOBOC
△ABC 面積=0
補充 1:當+>1 或+<1 時,會是如何?
補充 2:P AB (含端點), OP
OA
OB 1,0 , 1補充 3:P ABC(含邊), OP
OA
OBOC
1,0 , , 1Ex8. A,B,C 三點共線,若 3OB=(5t1)OA
+(t+4)CO
,求 t 值?Ans:2
Ex9. 設 A,B,C 為不共線的三點,AP
=3AB
+2AC
,令 AP與BC交於 M,
而AM =xAB
+yAC
,求數對(x,y)。Ans:(3 5, 2
5)
4.內分點公式:(彬註:加權平均) 若 A–P–B,且 AP m
BP n ,則 n m
OP OA OB
m n m n
(O 為任意一點)(係數和=1) 中點公式:若 P 為AB中點,則 1
( )
OP 2 OA OB 5.外分點公式:(彬註:內分點公式,係數任擇一變號)
若 A–B–P,且 AP m
BP n ,則 n m
OP OA OB
m n m n
Ex10. △ABC 中,點 M 在AB上且 AM :BM =2:3,點 P 在CM 上且CP:PM=3:1,
若AP=xAB+yAC
,求(x,y)?Ans:( 3 10, 1
4)
D E F
A
B C
Ex11. △ABC 中,D 為BC上一點且BD:CD=2:3,E 為AC中點,
若DE=xAB+yAC
,求 x,y 之值。Ans:( 3 5
, 1 10)
補充:西瓦定理(三線共點):(證明於幾何學課本) 已知:AD,BE,CF共線於 P 點
則:(線段版) AF BD CE 1
FB DC EA ,(向量版) AF BD CE 1 FB DC EA
補充:孟氏定理(三點共線):(證明於幾何學課本) 已知:D,E,F 共線
則:(線段版) AF BD CE 1
FB DC EA ,(向量版) AF BD CE 1 FB DC EA
Ex12. △ABC 中,點 D 在AB上且 AD:BD=2:3,點 E 為BC中點, AE與CD交於點 P,求 AP:PE。Ans:4:3
補充: hn km
AP AB AC
hn km kn hn km kn
Ex13. 平行四邊形 ABCD 中,E 在CD上且CD=3DE,AE與BD交於 P,
若AP=xAB+yAD,求數對(x,y)。Ans:(1 4, 3
4)
D
E F
A
B C
P
h
k
m
P n A
B C
F E
Ex14. △ABC 中,點 D 在AB上且 AD:BD=2:3,點 E 為AC中點,BE與CD交於點 P,若AP=xAB+yAC
,求(x,y)。Ans:(1 4,3
8)
5.面積比:
P 為△ABC 所在平面上任一點,若lPA mPB nPC 0,其中 l,m,nR 且均非零,
則面積比△PAB:△PBC:△PCA=|n|:|l|:|m|
Ex15. P 為△ABC 內部一點,若2PA3PB4 PC0,AP交BC於 D,
(1)△PAB 面積:△PBC 面積:△PCA 面積。Ans:4:2:3 (2)若
AD m AB n AC
,求數對(a,b)=?Ans: 3 47 7,
五、向量的內積:
1.定義:設a、b非零向量,且為其夾角(0),
則定義a與b的內積為a b a b cos(彬曰:向量 Bible) 彬註 1:二向量經過內積運算後為一實數,不再是向量 彬註 2:物理力學的功
彬註 3:座標計算法a b ( , ) ( , )x y1 1 x y2 2 x x1 2y y1 2 Ex16. 若a=2,b
=3,a與b 夾角為 120o,求a b。Ans:-3
2.性質:設a,b,c為任意三非零向量,kR,
(1)a b b a (交換)
(2)c a b ( ) c a c b (分配)
(3)k a b() ( ) ka b a kb ( ) (結合) 但(a b c ) a b c( ) (4)a a a2
(5)a ba b 0
(6) a b2 (a b) ( a b ) a a 2a b b b a22a b b2 Ex17. 設a=4 且 3a+2b=0,則a∙b=?Ans:24
Ex18. 設a+2b
+3c=0且a∙b
=2,c∙a=–3,求a。Ans: 5
Ex19. a=1,b
=2,a與b夾角為 60o,OP=a+b,OQ
=2ab, 則PQ=?Ans: 13
3.平行四邊形面積:
以a和b為相鄰二邊之平行四邊形面積= a2b2 (a b )2 = 方積 積方 4.三角形面積:
以a和b為相鄰二邊之三角形面積=1 2 2 2 ( ) 2 a b a b
Ex20. △ABC 中, AB
=2, AC
=3, AB
與
AC夾角為 120o,求△面積。Ans:3 3Ex21. 設a=1,b
=2,a與b 之夾角為 120o, (1)若b(a+tb
),則 t=?
(2)當 t 值多少時, a tb 有最小值多少?Ans: 1 4;1
4, 3 2
Ex22. 平行四邊形 ABCD 中,AB=5,BC=3,求(1)AC•BD
(2)AC +BD
Ans:16;6
Ex23. △ABC 是邊長為 2 的正三角形,P 為BC中點,求(1)AP•AB(2)AB•AC
(3)(BC+
AP)•AC
(4)(BCAP)•(AB+AP) Ans:3;2;5;8
Ex24. 若a=2,b
=3,a與b 夾角為 120o,求a+2b
。Ans:2 7
Ex25. 若a=3,b
=4,a+b
= 13,則a與b的夾角為何?Ans:120o
Ex26. 設a=b
=1,a與b 夾角為 60o,求a+b與a +2b
的夾角為何?Ans:60o
Ex27. 設u,v不平行,若(x+1)u+(x–3)v=y(u–v),求 x,y。Ans:x=1,y=2
Ex28. 平行四邊形 ABCD 中,E 在CD上且CD=3DE,F 為AB中點,BE與CF交於 P,
若AP=xAB
+yAD
,求數對(x,y)。Ans:( 5 7, 3
7)
Ex29. 平行四邊形 ABCD 中,E 為AB的中點,2AF 3FD,BF與CE交於 K,則 (1)求CK :KE(2)平行四邊形 ABCD 之面積為△BCK 之面積的幾倍?
(3)求BK:KF(4)若CKxCB yCD
,求數對(x,y) Ans:10:3; 26
5 ;5:8;(10 13, 5
13)
1-2 向量的基本應用
一、向量與三角形
1.△ABC 中, 1 2 2 2
( )
AB AC 2 b c a
Ex30. △ABC 中,AB=5,BC=7,CA=8,求AB•BC之值。Ans:5
2.重心性質:(彬註:算術平均) G 為△ABC 重心,O 為任意一點
1
( )
OG3 OA OB OC
GA GB GC 0
Ex31. 過△ABC 的重心 G 的一直線與邊AB、 AC分別交於 P、Q,
試證: AB AC 3 AP AQ
Ex32. 如圖,△ABC 中DC 4BD,EC2AE,FB2AF。 設 G 為△DEF 的重心,AGABAC
, 求數對(,)Ans:(17
45, 8 45)
Ex33. △ABC,若PA+PB+PC=0 且PA
=1,PB
=2,PC
= 2, 求(1) PA∙PB(2)△PAB 的面積(3)△ABC 的面積(4)AB長
Ans:
2
3 ;
4
7 ;
4 7
3 ;2 2
3.內心性質:(彬註:加權平均)
設 I 為△ABC 的內心,BC=a,CA=b, AB=c,O 為任意一點,則
a b c
OI OA OB OC
a b c a b c a b c
0 a IA b IB c IA
補充:傍心有三個,為 a,b,c 三者任擇一取負值
Ex34. △ABC 中,AB=8,BC=4,CA=6,I 為△ABC 的內心,O 為任意一點,
(1)若OIxOA yOB zOC
,求序組(x,y,z)。Ans:( 2 9,1
3,4 9) (2)若 AI AB AC ,求數對(α,β)。Ans:(1
3, 4 9)
4.外心性質:
設 T 為△ABC 的外心,則
2
2
1 2 1 2 AB AT AB AC AT AC
A
B D C
F E
補充:外心為比例為sin 2 :sin 2 : sin 2A B C的加權平均
Ex35. △ABC 中,AB=6,BC=2 7 ,CA=4,T 為△ABC 外心,TA交BC於 D,
(1)求AB•AC
(2)若AT=xAB+yAC
,求數對(x,y) (3)若AD
=AB+AC
,求數對(,)Ans:12;(4 9,1
6);( 8 11, 3
11)
Ex36. 設 T 為△ABC 的外心,又外接圓之半徑為 2,若A=60o,B=45o, 求 TA TB TC
=?Ans: 6 2
Ex37. 設 T 為△ABC 的外心,又外接圓之半徑為 2,若4
TA5
TB6TC
0, 求AB=?Ans:35.垂心性質:
設 H 為△ABC 的垂心,則
2 2 2
( ) ( ) 2
AB AC AB AH AC AH AB AF AD AH AC AE b c a
有夾角夾角零補充:垂心為比例為tan : tan : tanA B C的加權平均
Ex38. △ABC 中,AB=6,BC=5,CA=7,H 為∆ABC 的垂心,(1)求AB•AC
(2)若AH
=xAB+yAC,求數對(x,y)。Ans:30;( 95 144, 5
24)
二、幾何證明:利用向量證明平面幾何上的一些定理 1.三角形中點連線定理:
△ABC 中,D、E 各為 AB、AC之中點,則DEBC且 1 DE 2BC
證明:
1 1 1
2 2 2
DE AE AD AC AB BC
2.畢氏定理及其逆定理:
△ABC 中,B=90oAC2 AB2BC2
證明:
F
E
D H
A
B C
3.平行四邊形定理:
ABCD 為平行四邊形AC2BD2 AB2BC2 CD2DA2 證明:
2 2 2 2 2 2
2 2 cos
AC AB AD AB AD AB AD AB AD AB AD A
2 2 2 2 2 2
2 2 cos
BD BC CD BC CD BC CD BC CD BC CD B
二式相加可得 4.平行四邊形逆定理:
四邊形 ABCD,若AC2BD2 AB2 BC2 CD2 DA2,則 ABCD 為平行四邊形 證明:
右式減左式= PB PA 2 PC PB 2 PD PC 2 PA PD 2 PC PA 2 PD PB 2
=展開配方= PA PB PC PD 2 BA CD 2=0∴BA CD 5.中線定理:
△ABC 中, AM 為中線,則AB2 AC2 2(AM2BM2) 證明:
右式=
2 2 2
2 1 1 1 1 1 1 2 1 2
2( ) 2( ) 2( )
2 2 2 2 2 2 2
AM BC AB AC AC AB AB AC
=左式 6.三角形的三中垂線共點(外心 T)
△ABC 中,TE、TF為 AC、 AB中垂線,D 為BC中點,試證:TD為BC中垂線 證明:
∵0= 1 1 1 2 1 2
( ) ( )
2 2 2 2
TE AC TC TA TC TA TC TA
∴ TC TA
∵0= 1 1 1 2 1 2
( ) ( )
2 2 2 2
TF AB TB TA TB TA TB TA
∴ TB TA
∴ 1 1 1 2 1 2
( ) ( )
2 2 2 2
TD BC TC TB TC TB TC TB
=0∴Q.E.D.
7.三角形的三中線共點(重心 G)
△ABC 中,若中線 BE 交中線 CF 於 G,則 G 亦在中線 AD 上 證明:
(1) 1 1 2 2 AD AB AC
(2) 1 2 1 1
3 3 3 3
AG AB AC AB AC
(3)由(1)(2)得 3 AD2AG
∴ADG 共線 8.三角形的三高共點(垂心 H)
設△ABC 中,AH、BH為二高,證明:CH為高
∵AH高∴HA BC =0∴HA HC HA HB
∵BH高∴HB AC =0∴HB HC HB HA
∴HC AB HC HB HA ( )HC HB HC HA HA HB HA HB 0
∴CH為高
9.尤拉線:外重垂 TGH 共線,且GH 2GT (1)
AH 2TM
(2)TH
3
TG10.餘弦定理 證明:
2 2 2 2 2 2
2 2 cos
BC AC AB AB AC AB AC AB AC AB AC A
即a2 b2c2 2 cosbc A
Ex39. 如圖,四邊形 ABPQ 與 ACRS 都是矩形,且AB2AQ
, AS2AC求證:BSCQ
Ex40. 平行四邊形的對角線互相垂直該平行四邊形是菱形
Ex41. 試證:半圓的圓周角必為直角
Ex42. △ABC 中,若 AB BC BC CA CA AB
,試證:△ABC 為正三角形
Ex43. 若PA PB PB PC PC PA
,則 P 為△ABC 的?心 Ans:垂心
Ex44. 設a+b+c=0且a∙b=1,b
∙c=2,c∙a=–3,
(1)求a=?(2)若b與c的夾角為,則 cos=?Ans:2;
15
2
A
B C
P
Q
R S
T
H G
M
A
B C
1-3 平面向量的坐標表示法
一、平面向量的坐標表示法:
1.給定坐標平面上一向量v,將v的始點平移到原點 O,終點為 P(a,b),
則記v=(a,b),其中 a 稱為v的 x 分量,b 稱為v的 y 分量 2.v=(a,b),則v的長度v= a2b2
3.若 A(x1,y1),B(x2,y2),則AB=(x2x1,y2y1)
4.設a=OA,OA與 x 軸正向的夾角稱為a的方向角(0<2) 若a的方向角為,則a=(|a|cos,|a|sin)
Ex45. (1)設a的長度為 10,a的方向角為 150,求a的坐標表示。
(2)已知AB
=4 且AB的方向角為2 3
,若 A(3,8),求 B 坐標 Ans:(-5 3,5);(1,8+2 3)
二、向量的加減法:(直接對應加減) 若a=(a1,a2),b
=(b1,b2),則a+b
=(a1+b1,a2+b2),a–b=(a1–b1,a2–b2) Ex46. 設 A(1,0)、B(5,1)、C(7,4),
(1)以 A,B,C 為三頂點之平行四邊形的另一頂點為何?
(2)平行四邊形 ABCD 的另一頂點 D 之坐標為何?
Ans:(3,3),(-1,-3),(11,5);(3,3)
三、向量的係數積:直接對應相乘積之和 1.若a=(a1,a2),則 ra=(ra1,ra2)
2.單位向量:長度為 1 的向量。
例如,若a=(a1,a2),則 (1)與a同方向的單位向量為 a
a
(2)與a反方向的單位向量為 a a
3.平行向量:設a=(a1,a2),b
=(b1,b2),則 ab
rR 使得a=rb
,其中a,b
0
1 2
1 2
a a
b b (a1b2=a2b1) Ex47. 若 x0,AB
=(1,2),AC
=(–x,2x),△ABC 周長為6 5,求 x。Ans:30 11
Ex48. a=(2,1),b
=(3,4),若a(ka+b
),求 k 值。Ans:–2
Ex49. 設a=(2,1),b
=(1,–2),c=(0,1);若a(b
+tc),求 t 值。Ans:5 2
Ex50. 設 A(7,–3)、B(k,–1)、C(1,1)三點共線,求 k 值。Ans:4
四、分點公式:
1.內分點公式:設 A(x1,y1),B(x2,y2),A-P-B,AP PB m n: : 則 P 點為( nx1 mx2
n m
,ny1 my2 n m
)
2.外分點公式:設 A(x1,y1),B(x2,y2),P-A-B 或 A-B-P,AP PB m n: : 則 P 點為( nx1 mx2
n m
,ny1 my2 n m
)(彬註:內分點係數任擇一變號) 3.中點公式:若 A(x1,y1),B(x2,y2),則中點為(
, 2 2
2 1 2
1 x y y
x ) 4.重心公式:若 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),
則△ABC 重心為 G(
, 3 3
3 2 1 3 2
1 x x y y y
x )
Ex51. △ABC 中,A(2,–8),B(–6,2),C(6,–5),則 (1)若A 的內角平分線交BC
於 D 點,求 D 之坐標。Ans:(2,-4) (2)若A 的外角平分線交BC於 E 點,求 E 之坐標。Ans:(18,-8)
五、直線參數式
1.過 P(x0,y0)且平行向量v=(a,b)的直線參數式為
直式:
Rt t b y y
t a
xx
,
0 0
橫式:
x y,
x0at y, 0bt
彬註 1:此直線的斜率為 b a
彬註 2:直線之參數方程式表示法非唯一。
2.設 A(x1,y1),B(x2,y2)為相異二定點,
(1)直線AB的參數式為
t R t )y -y y y
t )x -x x x
1
1
,
( (
2 1
2 1
(2)線段 AB的參數式為
0, 1 (
(
2 1
2
1
t
t )y -y y y
t )x -x xx
1 1
(3)射線AB的參數式為
, 0 (
(
2 1
2
`1
t
t )y -y y y
t )x -x x x
1 1
(4)射線BA的參數式為 1` 2 1
1 2 1
( -x )
, 1 ( -y )
x x x t
y y y t t
Ex53. A(1,2),B(2,–1),P(x,y)AB,求下列各式之最大值與最小值:(1)3x–
4y+6(2)x2+y2–4。Ans:M=16,m=1;M=1,m= 3 2
Ex54. 設 A(2,1),B(3,2),C(–1+t,1+t),tR。
(1)求點 C 的軌跡方程式。(2)求△ABC 周長的最小值。Ans:x–y+2=0; 22 5
Ex55. 坐標平面上,a=(1,1),b=(2,6),若PQ
=2a–3b,則 (1)PQ
=?(2)已知 Q(3,8),求 P 坐標。Ans:(1)(-4,-16)(2)(7,24)
Ex56. 若 A(5,4),B(2,7),求AB
及AB
的方向角。Ans:3 2;135o
Ex57. AB
=(4,3),BC
=(0,6),求△ABC 的周長及面積。Ans:16,12
Ex58. 在 xy 平面上,設 O 為原點,OA
=1,AB
= 2,BC
= 3,OA、AB、BC
之方向角分別為 30,45,60,求 C 之坐標。Ans:(1 3,3)
Ex59. 設a=(3,1),求與a同方向且長度為 3 之向量。Ans:( 9 , 3 ) 10 10
Ex60. 若 A(–2,2),B(1,–2),C(4,–6),
(1)求AB方向上的單位向量 Ans:(3 5, 4
5
) (2)若CDAB且CD
=10,求 D 點坐標。Ans:(10,-14)or(-2,2)
Ex61. 設圓 C 之圓心(3,4),半徑 5。內接於圓 C 的正六邊形的頂點依序為
A1,A2,A3,A4,A5,A6,其中 A1=(0,0),求 A A1 2 A A1 3 A A1 4 A A1 5 A A1 6
? Ans:(18,24)
Ex62. A(1,3),B(4,7),PAB, AB5AP,求 P 坐標 Ans:(0,1),(-2,5)
Ex63. 已知二圓之圓心各為 A(2,1),B(2,3),其半徑分別為 2,1,求 (1)外公切線之交點 P 的坐標。Ans:(6,5)
(2)內公切線之交點 Q 的坐標。Ans:(2 3,7
3)
Ex64. 過(10,–20)且與直線 x–3y=0 平行的直線交兩軸於 A、B,
則AB上有多少個格子點?Ans:24
1-4 平面向量的內積
一、向量的內積:
若a=(a1,a2),b=(b1,b2),a ,b 的夾角為,則 內積a∙b
=|a||b|cos=a1b1+a2b2
Ex65. A(1,0),B(2,3),C(1,2),求(1) AB AC
(2)sinBAC。Ans:4; 25
二、向量的垂直與平行:
1.ab
a∙b
=0 2.a//ba1b2=a2b1
三、直線的法向量與方向向量:
1.直線 ax+by+c=0 的法向量為(a,b) 2.方向向量可設為(b,a)
四、兩直線的夾角:(夾角有兩個,其一為,則另一為–)
1.設 L1:a1x+b1y+c1=0,L2:a2x+b2y+c2=0 為平面上二直線,夾角為,
則 cos= 2
2 2 2 2 1 2 1
2 1 2 1
b a b a
b b a a
2.設兩直線 L1,L2均不與 x 軸垂直,斜率分別為 m1、m2,夾角為(
2
),
則 tan= 1 2 1 2 2 1
1 2 1 2 1 2
1
m m a b a b m m a a b b
3.直線夾角(、–)=方向向量夾角(、–)=法向量夾角(–、) Ex66. 求二直線 3xy+2=0 及 2x+2y+7=0 之夾角。Ans:75o,105o
Ex67. 過點(3,1)且與直線 x+ 3y3=0 夾成 60o角之直線方程式為何?
Ans:x 3y3+ 3=0orx=3
Ex68. a=(2,1),b=(3,4),當(ka+b)平分a、b之夾角時,求 k 值。Ans: 5
五、正射影:若a,b的夾角為 1.a在b上的正射影為 ( cos ) b
a b
=(a b2 ) b b
,但b0
2.a在b上的分量為 cos a b a b
3.用正射影證明 d(P,L)與投影點、對稱點公式 Ex69. a=(4,2),b
=(–3,1),求(1)b 在a上的正射影的長(2)b在a上的正射影 Ans: 5;(–2,–1)
Ex71. 若△ABC 的三頂點坐標為 A(2,5),B(5,1),C(3,7),P 為BC上的一點,且
AP在AB上的正射影為( 6
25, 8 25
),求 P 點的坐標。Ans:(52 15,28
5 )
Ex72. A(a,1),B(2,b),C(3,4)為平面上三點,O 為原點;若OA與OB在OC上的正 射影相同,則 a 與 b 滿足的關係式為何?Ans:3a–4b=2
六、面積公式:
1.A x y( , )1 1 ,B x y( , )2 2 ,C x y( , )3 3 ,則△ABC 面積= 1 2 3 1
1 2 3 1
1| |
2
x x x x y y y y =
1 1
2 2
3 3
1 1
| 1 |
2 1
x y x y x y 2.設 AB
=(a,b),
AC=(c,d),則△ABC 面積
2 2 2
1
2 AB AC AB AC
= 1| |2 a b c d
1 | | 2 ad bc
3.平行四邊形的面積:(彬曰: 方積 積方- )
以u (a ,b),v (c ,d )為相鄰兩邊的平行四邊形的面積為|ad–bc|
Ex73. A(0,4),B(–2,–1),C(3,1),求
(1)△ABC 面積(2)由AB、AC所張成的平行四邊形面積。Ans:21 2 ;21
七、柯西不等式:
1.設a、b為二任意向量a∙b
ab
。等號成立於a//b 2.設 a1,a2,b1,b2R,則 1 1 2 2 2
2 2 2 1 2 2 2
1 )( ) ( )
(a a b b a b a b 。等號成立於a a1: 2 b b1: 2
3.男男 vs.女女
Ex74. 已知 a,b 均為正數,求 4 9
a b
b a
的最小值。Ans:25
Ex75. 設a=3,b
=4,求a∙b
的最大值及最小值。Ans:12,-12
Ex76. 設
2
n ,nZ,求 2 cos2
9 sin
4 的最小值。Ans:25
Ex77. 設 x>0,y>0,且 x+y=6,求 4 9
x 的最小值。Ans: 25y 6
Ex78. 若為二直線 x–3y+3=0 與 4x+3y–2=0 之銳夾角,求 tan。Ans:3
Ex79. 若直線 1 2 1 3
x t
y t
(tR)與 y 軸的夾角為,求 sin。Ans: 2 13
Ex80. 直線 L 過點(1,3)且與直線 y=2x+6 之夾角為 45o,求 L 的方程式。
Ans:3x+y–6=0orx–3y+8=0
Ex81. 直線 2x+y+3=0 與 4x+ay+5=0 之銳夾角為 45o,求 a 值。Ans:12or 4 3
Ex82. 設 D 點在△ABC 的 BC 邊上,且△ABD 的面積=
3
2 △ADC 的面積,若 B 的坐標 為(0,5),C 的坐標為(7,0),則 D 的坐標為何?Ans:(14
5 ,3)
Ex83. 設a=(x,2),b
=(1,y),且a∙b
=2,求 x2+y2的最小值。Ans: 4 5
Ex84. 設 x,yR,且 3x+2y=6,求 (x14)2(y2)2 的最小值。Ans:4 13
Ex85. 二直線 3x+4y7=0 與 4x+3y+2=0 所夾鈍角之平分線方程式為何?Ans:xy+9=0
Ex86. 三直線 x+2y1=0,2xy7=0,2x+y+1=0 所圍成的三角形,其內心坐標為何?
Ans:(3 2, 3
2
)
Ex87. 設直線 L1的方程式為 5x12y2=0,L2的方程式為 4x+3y+11=0,試求 L1與 L2的 交角平分線方程式 Ans:3x+11y+17=0 及 11x3y+19=0
Ex88. 過點(4,5)且與二直線 3x4y7=0 及 12x5y+6=0 成等角之直線方程式為何?
Ans:9x7y1=0 或 7x+9y73=0
Ex89. A(1,2),B(2,3),C(0,1),求(1)AB
之參數式(2)C 在AB
上之投影坐標 (3)C 到AB的距離(4)C 對AB的對稱點。Ans:略;(–1,0); 2;(–2,1)