中興大學物理系 孫允武 機械波六-1
聲波與基本聲學
(Sound Waves and Acoustics)
樂音與音階
音階(musical scale)的結構
人類對音高(pitch)的感覺和logf成比例。音階基本上是等比級數。
頻率變兩倍對應音階高八度。
音律（或音階）的制訂一般分為自然律與平均律，前者利用泛音(諧波)
，後者則是用數學定義出來的。
機械波
(a)自然律（純律）
大調音階
C D E F G A B C
f 89 f 45 f 34 f 23 f 53 f 158 f 2 f
8 9
9 10
15 16
8 9
9 10
8 9
15 16
大調音階是利用大三和弦的頻率比例制訂 C：E：G=F：A：C=G：B：D=4：5：6
（此為最簡單的三個諧波或泛音的頻率比，音頻倍增或減半均不產生新的音階，
只是改變八度）
2
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小調音階
A B C D E F G A
f 89 f 56 f 34 f 23 f 58 f 95 f 2 f
8 9
15 16
9 10
8 9
15 16
8 9
9 10
小調音階是利用小三和弦的頻率比例制訂 A：C：E=D：G：B=D：F：A=10：12：15
（此為次簡單的三個諧波或泛音的頻率比）
中國古代有所謂三分損益法來定音律，是以2：3（大五度）上下相生產生十二律。
問題在於：轉調（旋宮）不易，全音有不同比例。
中興大學物理系 孫允武 機械波六-4
機械波
(b)十二平均律 Bach (1722)
中國之密律 (1581之前)
八度內之12音列以等比級數來定義：
f :af :a2f :a3f :a4f… … :a12f=2f
L 059463 .
1
12
2 =
=
a
為一無理數C D E F G A B C
12
4
124
122
124
124
124
122
問題：合音較不優美
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樂器
較常見的樂器是利用絃或是管共振發聲。較低音之樂器需較大之共振腔，
故體形較大。
機械波
共振管中之駐波
共振管中之駐波形式和管端形式(開放端或封閉端)有關。其邊界條件如下：
封閉端 s=0 空氣分子之位移為零(s波形之節點) 開放端 ∆p=0 壓力變化為零(∆p波形之節點，s之波腹)
4
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雙端開放的共振管(pipe with two open ends)
單端開放的共振管(pipe with only one open end)
L 3 , 2 , 1
, 2 / ) 1 ( 4
/ + − =
= m m
L λ λ
L n
L n
f
n n
L n
L
4 / 2 2
/ /
3 , 2 , 1 /
2 2
/
υ υ
λ υ
λ λ
=
=
=
=
=
→
⋅
= L
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機械波
L n
L m
f
n n L m
L
m m
L
4 / 4
/ ) 1 2
(
7 , 5 , 3 , 1 , / 4 ) 1 2
/(
4
) 1 2
( )
2 2
( 4
υ υ
λ
λ λ
λ
=
−
=
=
=
−
=
−
=
− +
=
L
f/(υ /4L) 1 3 5 7 9
2 4 6 8 10 Pipe with two open ends
Pipe with only one open end
相同之管長，單端開放之共振管有較低之基頻頻率，對應聲波之波長為管長 之4倍。且單端開放之共振管僅有奇次諧波存在。
以20Hz為例，波長為，雙端開放之共振管需長8.6 m，單端開放者僅需4.3 m。
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拍音(Beats)
兩個頻率十分相近但不完全一樣的聲音同時到達耳朵，聽起來就像是一單頻 之聲音，但其振幅做週期性之變化，且其變化之頻率恰為二者之頻率差。
( )
[
s t]
ts
t t
s t t
s s s s
t s
s t s
s
m
m m
m m
ω ω
ω ω ω
ω ω ω
ω ω ω
ω ω
ω
ω ω
cos cos
2
) (
), (
) (
cos ) (
cos 2
cos cos
cos
, cos
2 2 1
1 2
2 1 1
2 1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
1
2 2
1 1
= ′
+
=
−
′=
+
−
= +
= +
=
=
=
低頻項 高頻項
機械波
2 1 beat
2 1 beat 2
f f f = −
−
′=
= ω ω ω
ω
拍音可利用來做樂器的調音。人類可感覺之拍音約<7Hz。
利用空間的頻律（單位長度的線條數）差亦可觀察到此現象
