中興大學物理系 孫允武 機械波三-1
駐波(Standing Waves)
波的反射與穿透(Reflection and Transmission of Waves)
機械波
y(x,t)=Acos(kx-ωt) y'(x,t)=A'cos(kx-ωt+δ1)
y''(x,t)=A''cos(k2x-ωt+δ2) 入射波
反射波
透射波
介質1 介質2
界 面 數學模型
A'、A''、δ1、δ2由界面的特性決定
Boundary Conditions 邊界條件
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兩端點固定之繩波
— 駐波(Standing Wave)之一例
t kx
A
y = ( 2 sin ) cos ω
k和線長有關 節 反 點
節 點
機械波
) sin(
) sin(
cos ) sin 2 (
t kx A t kx A
t kx
A y
ω ω
ω
+ +
−
=
=
b a b a b
a ) sin cos cos sin
sin( ± = ±
利用
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邊界條件與模態(normal mode) 0 L x
0 ) , (
0 ) , 0 (
conditions Boundary
cos ) sin 2 ( ) , (
=
=
=
t L y
t y
t kx A t x
y ω
, K 3 , 2 , 1
2 0
sin
=
=
=
=
=
n
L L
k n kL
kL
n
n
λ
π π
n L n L L
L n
k n
n n nn
n
= = λ = λ = λ =
λ π π
2 2 , , 2
2 ,
每一個n值的振動形式稱做一個振動模態(normal mode)
機械波
諧波(harmonics)
不同模態的振動頻率並不相同，但呈簡單之有理數比例。
n L f
n L L n v k
n n
o o n
n
2 2
, υ
π ω
ω υπ π ω
υ ω
=
=
=
=
=
=
其中
υ = T µ
這些簡單比例的頻率稱為諧波。n愈高之諧波，頻率愈高。
不同的模態或諧波可以同時存在同一條振動的絃上且不互相影響，由線性疊 加可得合成之波形。
也可以倒過來做，任何波形可以分解為許多不同模態或諧波之線性疊加。
傅利葉級數展開
t L x
A n t x k A t x
yn( , )=2 nsin n cosωn =2 nsin π cosωn
∑
=
n n
x t y t
x
y ( , ) ( , )
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數學處理方法
L
x
x=0 x=L
y(0,t)=0 Boundary Conditions (B.C.’s) y(L,t)=0 µ υ µT T⇒ = , 已知
y(x,t) 必須合乎波的方程式 及B.C.'s
2 2 2 2
2 ( , ) ( , )
x t x y t
t x y
∂
= ∂
∂
∂ υ
先不考慮B.C.'s，y(x,t)之一般解可寫為
k t
kx y t kx y t x
y( , )= +( −ω)+ −( +ω), whereω=υ 若只考慮兩傳遞方向相反的弦波(sinusoidal waves)
) cos(
) cos(
) ,
( x t
=A
+kx
−ω t
+A
−kx
+ω t
+δ y
此時k（或ω）並無特定之選擇
機械波
加入B.C.'s y(0,t)=0 for all t,
t kx A
t kx t
kx A t x y
A A A
t A t A
t y
ω
ω ω
δ
δ ω ω
sin sin 2
)]
cos(
) [cos(
) , (
0 , choose can We
0 ) cos(
) cos(
) , 0 (
=
+
−
−
=
⇒
=
=
−
=
= + +
−
=
− +
− +
y(L,t)=0 for all t,
L 3 , 2 , 1
0 sin sin 2 ) , (
=
=
⇒
=
=
n n
kL
t kL A t L y
π
ω
L n v f
L n v
L n v vk
L L n
k n
n n
o o n
n
n n n
2 2
,
2 2 ,
=
=
=
=
=
=
=
=
=
π ω
ω π π ω
ω
λ λ
π
π
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能量是否在絃上傳遞？
)]
cos(
) [cos(
) ,
( x t A k x t k x t
y
n=
n n− ω
n−
n+ ω
n+
dt
dE −
dt dE
0
total
=
+
=
=
− +
− +
dt dE dt dE dt
dE dt dE dt
dE
能量並不傳遞，只留在振動的絃上，故名駐波(Standing Wave)。
對於任何n，yn(x,t)均為合適的解，他們的線性疊加也是合適的解，即任一絃上
的波可寫為 =
∑
=∑
n
n n n n
n x t A k x t
y t x
y( ,) ( , ) 2 sin sinω
真正的絃上振動可能是許多模態的線性組合（疊加），由起始條件和邊界條 件決定。
機械波
二維的駐波模態
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傅立葉分析 (Fourier Analysis)
傅立葉理論(Fourier Theorem)f(t)是週期性函數
∑
∞= ++
=
⇔
1
0
0 cos( )
) 2 (
n
n
n n t
A A t
f ω δ
注意事項：
a. ω0=2Tπ，稱為基頻(fundamental frequency)，T 為 f(t)之週期。
b. A1cos(ω0t+δ1)稱為基頻項或基頻分量，其他項稱為諧波(harmonics) n 次諧波項：Ancos(nω0t+δn)
c. 若 f(t)為 t 之奇函數⇔ =
∑
∞=1
0) sin(
) (
n
n n t
A t
f ω
d. 若 f(t)為 t 之偶函數
∑
∞=
+
=
⇔
1
0
0 cos( )
) 2 (
n
n n t
A A t
f ω
t可以換為 x，ω→k=2λπ （空間的傅立葉轉換）
機械波 例題
(1) 鋸齒波(sawtooth wave)
L L t t
t t
y ω
ω π ω π
π sin3
3 2 1 2 sin sin 1 ) 1
( =− − −
圖中為6項相加的結果，愈多項則愈和原曲線相像。
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(2) 方波(square wave)
機械波
＊＊頻譜分析 (Fourier Spectrum Analysis)
2 0
)
( n A
nP ω =
或P ( ω ) = A ( ω )
2ω P(ω)
ω0 2ω0 3ω0 4ω0 Spectrum of sawtooth wave
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共振（Resonance)
∆f 當外力或外加之能量的頻率和系統之特徵頻率
（包括諧波），系統會產生最大的振盪或反應，
此現象稱為共振。
右圖為振幅對應外力之頻率圖。曲線形狀的寬 度(∆f)和振盪的衰減有關。這裡可以用受迫振盪 子的數學模型來描述。Q= f0 /∆f。
