1.6.1 无穷小 1.6.2 无穷大

中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组

第1章 函数与极限

高等数学A

1.6 无穷小与无穷大

1.6.1 无穷小 1.6.2 无穷大

1.6.3 无穷小与无穷大的运算 1.6.4 无穷小的比较

1.6 无穷小与无穷大

1.6.3 无穷小与无穷大的运算 1.6.1 无穷小

无 穷 小 与 无 穷 大

有限个无穷小的代数运算 有界函数与无穷小的乘积 有限个无穷小的乘积

无穷大的简单运算 无穷小的定义

无穷小与函数极限的关系

无穷大的定义 无穷大与无穷小的关系

习例1-12

1.6.2 无穷大

1.6.4 无穷小的比较

无穷小阶的定义 等价无穷小及性质

定义1

0

时为无穷小 当

则称

若

x x



 

: )

(

定义

. )

(

, )

( 0

, 0 ,

0

0

0

时为无穷小 当

则称

时 当

若

x x

x f

x f x

x

















   

. )

( ,

0 )

(

lim

则称 当 时为无穷小

若



 f x f x x

x

0 0

lim

, 0 lim

, 1 0

lim

0  0 

  



 x x x

x x

比如

注意: (1)无穷小并不是一个很小的数.

(2)数“0”是无穷小量.

(3)无穷小是一类特殊函数, 是在某一变化过程中极限 为0的函数, 并且在一个过程中为无穷小的量在另一过 程中可能不是无穷小量.

1. 无穷小的定义

一、无穷小





lim1  

 x

x

定理1

^其中

证明:

则对 设 lim ( ) ,

x0

x f x  A



时的无穷小。

是 则

于是令

(

)

(

)

,

(

)

. 0 )

( lim )

( )

(

0





 A x  x

x f

x

x 

 ^，其中

即

充分性: 设 f (x)  A(x),且lim(x)  0;则f (x)- A (x).

. )

( lim

x0

x f x  A

即 

2. 无穷小与函数极限的关系

, )

( 0

, 0 ,

0

当

时有

成立

        

 x x f x A

仅证明 的情况. x  x₀

必要性:

. )

( )

(

, 0

, 0 ,

0

成立 有

时 当

于是对































x A

x f

x x

) lim"

"

(以下定理中 表示x  x₀或x  等都成立

定义2

0

时为无穷大 当

则称

若

x x





  : )

(M 

定义

. )

( ,

) (

0 ,

0 ,

0

0 0

时为无穷大 当

则称

时 当

若

x x

x f M

x f

x x

M

















  

. )

( ,

) (

lim

则称 当 时为无穷大

若



 f x f x x

x

注意:

(3) 无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未 必是无穷大. 如：

. )

( lim )

2 (

0

认为极限存在

切勿将  

 f x

x x

. ,

, 0 , ,

2 , 0 , 1 , 0

; ,

, ,

2 ,

1



 与 



1. 无穷大的定义

二、无穷大

1 . lim 1

lim 1 .

1 0 1  

 

 

 x ^x x

x

和 证明

例

2. 无穷大与无穷小的关系

定理2

证明: 1 ,

, 0 ,

) ( lim

x0

x      

 f x 则 根据无穷大的定义，对于M

设

) . ( , 1

) 1 ( ,

0 ,

0 当

时 有 即

成立

 

       

 x x f x M f x

在自变量的同一变化过程中，如果 为无穷大，则 为无穷小. ^f  ^x _{ }

x f

1

反之，如果 为无穷小，且 ，则 为无穷大 . ^f  ^{x f  x  0} _f¹_{ x}

所以 ，即 为当 时的无穷小. ^{xlimx0 f1} ^{x  0 f1 x x  x0}

反之，如果 为无穷小，且 . ^f  ^{x f} ^{x  0} M  0,^{根据无穷小的定义，}

对于 ， ，当 时，有

M

 1

  0 0  x  x₀  

 x M

f    1 即 ^f1 ^{x  M}

所以 , 即 为当 时的无穷大. ^{xlimx0 f1} ^{x   f1} ^{x x  x0}

定理2也可以叙述为：

) . ( lim 1

, 0 )

( ,

0 )

( lim

) 2 (

; ) 0

( lim 1

, )

( lim

) 1 (















x x f

f x

f

x x f

f

则 且

若

则 若

定理 3 (1)有限个无穷小的代数和仍为无穷小.

. 0 )]

( )

( lim[

, 0 )

( lim ,

0 )

(

lim x   x  ^则  x   x  即若

证明:

0 0



 

 x x

x x x

x

 

不妨设

 0





) 2 ( ,

0 ,

0 _{0 1}

1

 





 当 x x 时 有 x

2 . )

( ,

0 ,

0 _{0 2}

2

 





 当 x x 时 有 x











取 当

 时

0 )]

( )

( [ lim

0





  x x

x

x

 

2 . ) 2

( )

( )

( )

(

     



三、无穷小与无穷大的运算

注意: 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.

1 , ,

,

时 是无穷小

例如

定理4

. 0 )

( )

( lim

0 )

( lim

, )

(

0 0









 M  x  u x x

x u

x x x

x

 

即若

证明:

0

 x 

x

x



 ,

 0





x M x

x

  



 当 时 有

. )

( )

( )

( )

(











M M x

x u x

x 则 u

. 0 )

( )

( lim

0





  u x x

x

x



例如. 计算下列极限

x x

x

sin 1 lim

) 1 (

0

 

x x

x

sin 1 lim

) 2

( 





x x

x

lim sin )

3 (

0

x x

x

lim sin )

4

( 

;

 0

x x

x 1

sin 1 lim

  1;

;

 1

x x

x 1 sin

lim 

   0.

推论1. 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积 是无穷小.

推论2. 常数与无穷小的乘积是无穷小.

推论3. 有限个无穷小的乘积也是无穷小.

. 0 )

( lim

, 0 )

( lim

0 0



 

 x x

x x x

x  

不妨设 ,

 0

 ₁  0,当0  x  x₀  ₁时, 有 (x)  ; . )

( ,

0 ,

0 _{0 2}

2   

     

 当 x x 时 有 x

 , , min ₁ ₂

 

取 当0  x  x₀  时,

. 0 )

( )

( lim

0





  x x

x

x  

. )

( )

( )

( )

(      

 x  x  x  x    有

证明:

定理5 对于自变量相同变化趋势下的无穷大有如下性质:

注意：

无穷大与有界函数的乘积也不一定是无穷大 .









 0

（1）有限个无穷大的乘积是无穷大;

（2）无穷大与有界量之和是无穷大.

例如,

x x

x 3

lim

2

0

x x

x 3

lim sin

0

2 2

0

sin 1

lim x

x x

x

1 . sin ,

sin ,

, 3 , ,

0时 ^{2 2} 都是无穷小

当x  x x x x x x

极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同.

;

2

比 x 3 要快得多

x

; 3

sin x

与 x 大致相同

不可比.

,

 0

3,

 1

x

x

sin 1 lim0



_不存在

观 察 各 极 限

四、无穷小的比较

1.无穷小阶的定义

定义3 ^设





^且 

);

( ,

, 0 lim

) 1

(



 

就说 是比 高阶的无穷小 记作

如果

; ,

lim )

2

( 如果 就说是比低阶的无穷小



 _{ }

; ) ( ,

), 0 (

lim )

3

(    



  C C  就说 与 是同阶的无穷小 记作 O 如果

;

~

; ,

1 lim

) 4

(    



 则称 与 是等价的无穷小 记作

如果 

. ),

0 ,

0 (

lim )

5

( 如果 C C k 就说 是 的k阶无穷小

k  



 _{  }

例1 证明: 当 时

, ～

ln(1  x ) ~ x

例2 证明: 当 时

,

例3

证明当 x  0 , 时 e

 1 ~ x

例1 证明: 当 时

, ～

证

 1

～



 ⁿ

n b

a (a  b) (a^n1 a^{n 2} b 



0

ln(1 ) lim

x

 x

 

.

 1

1

lim ln(10 )^x

x x

 

e

 ln

证

ln(1  x ) ~ x

例2 证明: 当 时

,

ln(1  x ) ~ x

所以，当 时

,

例3 证明当 x  0 , 时 e

 1 ~ x

.

 1

0 0

lim 1 lim

ln(1 )

x

x y

e y

x y

 

 



解 令 e ^x  1  y, 则 x  ln(1  y), .

0 ,

0 

 y

x 时

当

y y

y

0 1

) 1

ln(

lim 1



 

同理可得

0

lim 1 ln , 1~ ln ( 0 ).

x

x x

a a a x a x

 x

 

则

，

时

定理6 设

为无穷小

则

证明：

^若 









则lim  lim(  1)









(



   o



), (

   o 



若 则











lim

lim   o

则 ( )]

1

lim[





 o

  1

.

~ 





2.等价无穷小的性质

定理7 等价无穷小替换定理

. lim

lim ,

lim ,

~ ,

~ 









 





 

 



 

 且 存在 则

设

证明: 

( ) lim ( 

 x

x



 ^{(x) ~} ^(x), . ) 1

( ) lim ( 

x x





) ) (

) ( )

( ) ( )

( ) lim( (

) (

) lim (

x x x

x x

x x

x















 ^





 



) (

) lim (

) (

) lim (

) (

) lim (

x x x

x x

x











 ^





  .

) (

) lim (

x x







 

. tan

4 , 0 :

.

证明 当 时

为 的四阶无穷小 例

证明:

4 3 0

tan lim 4

x

x x



0 tan ) (

lim

4 x

x

x

  4,

. tan

4 ,

0

时

为 的四阶无穷小

故当

注意:

(1)任何无穷小与其本身是等价无穷小.

(2)等价无穷小代换只适用于乘积中;

对于代数和或复合函数中各无穷小不能分别替换.

(3)熟记一些常用的等价无穷小

,

~

sin x x tan x ~ x,

,

~

arcsin x x arctan x ~ x, ,

~ ) 1

ln(  x x e^x 1 ~ x, 2 ,

~ cos

1

x2

 x _{1 1 ~ .}

n x x

n  

因为

(

sin x  x  o x tan x  x  o(x),

), (

arcsin x  x  o x arctan x  x  o(x),

), (

) 1

ln(  x  x  o x e^x  1  x  o(x),

), 2 (

cos

1 ²

2

x x o

x  

 1 1 o(x).

n x x

n    

所以有：

sin

4. lim

. sin

x x

x

e e

x x





例 计算极限

0

1 cos

6. lim .

(1 cos )

x

x

x x

 

 例 计算极限 

0 3

tan sin . lim .

sin

x

x x

 x

例5 计算极限

. arcsin 2 lim 1

. 2

2 sin

0 x

e ^x

x

 计算极限 

例

2 0

1 2 1

1. lim .

arcsin arctan

2 3

x

x

x x



 

例 计算极限

0

1 1

3. lim arccos . sin

x

x

 x 例 计算极限  

五、无穷小与无穷大例题分析

0 0 2

ln 1 ( )

sin ( )

7. lim ( 0, 1), lim .

x 1

x x

f x x f x

A a a

a x

 

  

 

    

例 设  求

2 2 2

8. 0 , ( ) ,

, , .

x ex ax bx c x

a b c

   

例 当 时 是比 高阶的无穷小

求

5 4

9. lim [( 7 2)

] , .

x x x x c

   

例 存在且不为零 求 及极限

解：

~ 1 1 2

1  x   x

  x²

2 , 2 ~

arcsin x x

3 , 3 ~

arctan x x

3 2 lim arctan 3

arcsin 2

1 2

lim 1

2 0

2

0 x x

x x

x x

x

x 

 

 



  6.

2 0

1 2 1

1. lim .

arcsin arctan

2 3

x

x

x x



 

例 计算极限

. arcsin 2

lim 1

. 2

2 sin

0 x

e ^x

x

 计算极限 

例

解：

arcsin 2 1 lim e

2 sin

0 x

x x





2 2 lim sin

0 x

x

x



.

 4 2

lim 2

0 x x

 x

解:

1 lim 1

arccos(

sin

1 arccos 1

lim

0

0 x

x x

x

x x



 









sin ) lim 2

arccos(

0 x

x

 x

3 2

arccos 1 _





0

1 1 3. lim arccos .

sin

x

x

 x 例 计算极限  

sin

4. lim

. sin

x x

x

e e

x x





例 计算极限

解:

e e

x x

e

e ^{x x x}

x x

x

x sin

) 1 lim (

lim sin

sin sin

0 sin

0 

 



 ^





x x

x x

e ^x

x sin

) sin lim (

sin

0 

 



. 1 lim ^sin

0



 

x

x e

解： 当

时

~ 1 cos

1 ,

~

sin x x  x x²

0 3 0 3

sin lim tan

sin

sin lim tan

x

x x

x

x x

x x

 

 





2. 1 cos

2 1 lim ₃

2

0

 

  x x x x

x

0 3

tan sin 5. lim .

sin

x

x x

 x 例 计算极限 

x x

x x

x cos

) cos 1

( lim sin ₃

0

 



0 3

lim x x x

x

 

原式

解 ^当

^时

.

 0

错

错误原因：

0 1

sin tan

lim 0

0



 



x x

x



x x sin tan 



x  x  0

问：下列推导是否正确？

不能滥用等价无穷小代换. 在用等价无穷小 代换时，要用与分子或分母整体等价的无穷 小代换.

对于代数和中各无穷小, 一般不能分别 代换. 即遇无穷小 “+”, “”时, 一般不能 代换；

1°

2° 遇无穷小乘积时，可用各无穷小的等价 无穷小进行代换.

注

0

1 cos

6. lim .

(1 cos )

x

x

x x

 



例 计算极限 

解:

lim 1 )

cos 1

(

cos lim 1

0

0 x x x

x x

x

x

x

x  

 







 



) cos 1

2 ( lim 2

2

0 x x

x

x

x   

   .

2

 1

0 0 2

ln 1 ( )

sin ( )

7. lim ( 0, 1), lim .

x

1

x x

f x

x f x

A a a

a x

 

  

 

    

例 设

求

解:

sin ) lim (

0 

 x

x f

x

 lim ( ) 0.

0 

  f x

x

1 sin

) 1 (

ln lim

0 



 

 

 x ax

x x f

x a

x

x f

x ln sin

) lim (

0 

 

a x

x f

x ln

) lim ₂(

0

 0 2

) lim (

ln 1

x x f a ^x

  A, ^{lim (}₂ ^{) ln .}

0 A a

x x f

x 

 

1 sin

) ( lim _ln

0 

 x ex a

x x f

2 2 2

8. 0 , ( ) ,

, , .

x ex ax bx c x

a b c

   

例 当 时 是比 高阶的无穷小

求

解:

0

2

 





 x

c bx

ax e^x

x



, 0 )]

( [

lim ²

0

2    

  e^x ax bx c

x

.

 1

c ,

0 1 )

1 ( lim

2 0

2





 

  b

x ax x

e x

x x

又

, 0 1 )

( lim

2 0

2





 

 b

x ax x

e^x

x

则 b  0.

, 0 1 )

(

lim0 2

2



 

 a

x e^x

x

从而 a  1.

. 1 ,

0 ,

1  



a b c

5 4

9. lim [( 7 2)

] , .

x x x x c

   

例 存在且不为零 求 及极限

解:

x





 

 

] 2 )

1 7 ( [

lim 5

5 x

x x

x ^{c c}

x   

 

], 1 2 )

1 7 ( [

lim ^{5 1}   ₅ 

 ^





c c

x x x x x

. 0 ] 1 2 )

1 7 ( [

lim ^{5 1}   ₅  





c c

x x x x

则

, 1 2 )

1 7 (

lim   ₅ 





c

x x x

又由于 必有5c 1  0.

. 1 2 )

1 7 (

lim ^{5 1}   ₅ 





c c

x x x x

否则 .

5

 1

c

] 1 2 )

1 7 [(

lim ⁵

1

5 





  x x x

x

原式

x x x

x 1

2 1 1 7

lim

5   5 

 

x x x

x 1

2 ) (7

5 1

lim ⁵



  2 )

7 5(

lim 1 ₄

x

x 

  .

5

 7

) 0 (

~ 1

1   x 

n x x

n