臺北市立萬芳高級中學九十六學年度第一學期第三次定期考試試卷

臺北市立萬芳高級中學九十六學年度第一學期第三次定期考試試卷

科目：高三數學乙 適用班級：301-305 高中部

1. 設 A ( 1，2 )，B ( 2，0 ) 在直線 L：2x －y + k = 0 之不同側，則 k 之範圍為 __(1)____。

2. 已知 P ( k – 2 , k ) 在不等式

 













0 4 3

4 2

y x

y

x

的圖形區域內，求k 的範圍為___(2)___。

3. 在 x



0，y



0，2



x + y



4 之條件下，求 (1) x －y 之最大值為___(3)___。

(2) x² + y²之最小值為___(4)___。

(3) x

y 之最小值為__(5)____。

4. 求聯立不等式























0 3

5 0

y x y

x y x

之面積為__(6)____。

5. 設 A ( 2 , 1 )，B ( 3 , 3 )，若直線 L：y－2 = m（x－1）與線段AB相交，則m 之範圍 為___(7)___。

6. x，y 為整數，滿足 2x + 3y



6，x



0，y



0 之格子點共有__(8)____個。

7. 設 A ( 4 , 0 )，B ( 2 , 2 )，C ( 0 , 0 ) 為坐標平面上的三點, 試以聯立不等式表示ABC 的內部__(9)____。

8. 若^(x,y)為不等式





















31 5

4 2

9 3

y x

y x

y x

圖形上的任一點，且^Pkxy在(1,6)有極小值時，則k

的範圍為_(10)_____。

9. 在不等式

 



















4 2

2

3 1

y x

y

x

所決定之區域中，求3x – y 有最大值的坐標（x,y）＝

____(11)__。

10.已知 A ( 2 , 1 )，B ( 2 , 6 )，C ( 5 , 3 )，D ( 5 , 0 ) 為坐標平面上的四點，若 P ( x , y ) 為四邊形ABCD 的任一點，則 2x + y + 3 的極大值為 (12) 。

二、應用題 ：每題10 分、共 40 分

1.某校舉辦校外教學要租用旅遊車，師生共 250 人參加，現知汽車公司當日有 大型車 5 部，

中型車10 部，司機 12 人可供調用，除司機外，大型車每輛可載 50 人，租金 6000 元；中 型車每輛可載20 人，租金 3000 元。試求：(1)車輛調配方法最省租金的方式？（5 分）(2) 租金最少為多少元？（5 分）

2.圖解下列各不等式：

(1) 2x＋y＞2 （5 分） (2)

 











10 6 4

6 2

＋ y 5x

3y

x

（5 分）

3.某五金商有二工廠，第一廠有產品 40 單位，第二廠有產品 50 單位，欲運貨至甲，乙兩鎮，

甲鎮申購30 單位，乙鎮申購 40 單位，而運費如附表，應如何分配二工廠產品的數量至甲，

乙兩鎮，才能使得運費最低？（10 分）

4. 試在聯立不等式

 



 



















0 1 2

3 6 3 2

x y y x

x＋ y

的條件下，利用直線平移的方法，求下列各小題P 的極大值。

(1) P = x + 2y （5 分） (2) P = x – y（5 分）

一、填充題 ：每格5 分、共 60 分

(1) (2) (3) (4)

(5) (6) (7) (8)

(9) (10) (11) (12)

二、應用題 ：每題10 分、共 40 分

(1) (2)

(3) (4)

一、填充題 ：每格5 分、共 60 分 (1)

-4< k <0

(2)

–3



k



2

(3) 4

(4)

2

(5) 0

(6) 23

(7) -1



m



2 1

(8) 7

(9)

 

 











0 4

0 0



 y x

y x y

(10)

3 k

(11) ( 5 , –6 )

(12) 16

二、應用題 ：每題10 分、共 40 分

1. (5,0) , 30000 元 2. 略

3. 第一廠→甲鎮 30 單位，乙鎮 10 單 位；

第二廠→甲鎮 0 單位, 乙鎮 30 單位

4. ； 3

每格 5 分

1.設 f(x)  2x²–12x + 24 , 1 x 4 試求 f(x)的最大值與最小值。 ( a ) 與 ( b )

2.解下列不等式: (1) x²–3x+2＞0 ( c ) (2) 2^{2x－7 }2^x－8＞0 ( d ) 。

3.若對所有實數 x﹐3x²＋2ax－a > 0 均成立﹐則 a 之範圍為 ( e ) 。

4.(0.3)^x2x＞0.09﹐解為 ( f ) 。

5.log₂(x－1)＜log₄(2x＋1) 之解為 1＜x＜ ( g ) 。

6.0  x  2π﹐解 2sinx＞ 2^{﹐得x 之範圍為} ( h ) 。

7.設 n 為自然數﹐則滿足 10^n－1＞9ⁿ的n 值中最小的為 (i) 。（log2＝0.301﹐log3＝0.4771）

8.若 P(A)＝

2

1 ，P(B)＝

3

1，P(A∩B)＝

10

1 ， P(A∪B) = ( j ) 。

9.欲從 8 個男生﹐4 個女生中﹐選出 3 人組成一個委員會﹐則此委員會的成員是 (1)2 男 1 女的機率為 ( k ) ﹐

(2)男,女生各至少 1 人的機率為 ( l ) 。

10.在某地一斤牛肉的平均價錢是 75 元﹐標準差是 5 元﹐一斤豬肉的平均價錢是 55 元﹐標準差是 3 元﹒

如今張先生花了80 元買一斤牛肉﹐57 元買一斤豬肉﹐以市面的情況而言﹐哪種肉相對地買得比較貴 了﹖ ( m )

11.袋子裡有 3 個球﹐2 個球上標 1 元﹐1 個球標 5 元﹐從袋中任取 2 個球﹐即可得到兩個球所標錢數的總 和﹐則此玩法所得錢數的期望值是 ( n ) 元。

12.袋中有 3 個紅球，2 個白球，1 個黑球，每球被取的機會相同，

(1)若一次取兩球，則兩球同色的機率為 ( o ) (2)若一次取三球，則三球均不同色的機率為 ( p ) 。

13.某次學力測驗之後，抽出 13 個學生，得知他們的成績分別如下：

73，70，77，85，43，25，55，75，65，50，80，81，60，則這 13 個同學成績的中位數為 ( q ) ， 四分位差為 ( r ) 。

14.某班段考數學成績之以下累積次數分配曲線圖如下，試問：不及格者有幾人？ ( s )

15.擲一粒均勻骰子 3 次，求在 3 次中至少出現一次 3 點的機率為 ( t ) 。

答 案 卷

學生班級： 學生姓名： 座號：

每格5 分

(a) (b)

(c) (d )

(e)

(f) (g)

(h) (i) (j)

(k) (l) (m) (n) (o)

(p) (q) (r) (s) (t)

臺北市立萬芳高級中學九十 三 學年度第 一 學期

^{□第 3} 次定期考查 □競試

□第 次補考 □第 次複習考

試卷

科目：數學 適用班級：s301,s302,s303,s304 高中部 □國中部

學生班級： 學生姓名： 座號：

填充題：100% .(每格 4 分，若答案為分數請約成最簡分數)

1. 欲從 8 個男生﹐4 個女生中﹐選出 3 人組成一個委員會﹐則此委員會的成員是 1 男 2 女的機 率為_________。

2. 甲﹐乙兩隊比賽籃球﹐依過去經驗知每場比賽中﹐甲贏的機率為2

3﹐則在四場比賽中﹐甲 贏其中3 場的機率為_________。

3. 某次民意調查，從隨機抽樣的 50 人中，得到對三位縣長候選人的支持率，如下表所示：

候選人 甲 乙 丙

支持率 30％ 30％ 40％

現在從這50 人中任選兩人，則這兩人支持同一候選人的機率為_________。

4. 袋中有大小不同的鞋子五雙﹐今由袋中任取 2 隻鞋子﹐求 2 隻不成雙的機率為_________。

5. 袋中有 5 紅球，3 白球；今任取 3 球，每球被取到的機會相等，則 3 球中至少 2 紅球之機率 為_________。

9. 擲一均勻硬幣 2 次﹐每出現一個正面得 5 元﹐一個反面賠 2 元﹐則所得總額之期望值為____

___元。

10. A 袋中有紅球 5 個，白球 3 個，黑球 4 個，且每球被取出的機率相同，取出一個紅球得 100 元，一個白球得 10 元，一個黑球得 1 元，自 A 袋中任取一球，其期望值為____ ____

_。

11. 一盒子中有 5 個紅球，3 個白球，且每球被取的機率相同，若一次取三球，則取到紅球個 數的期望值為_________個。

12. 設有一母群體分為三層﹐第一層個數 25000﹐第二層為 20000﹐第三層為 5000﹐今欲以 分層抽樣法抽取300 個為樣本﹐若依最佳比例部署原則﹐則第三層應抽取的樣本數為____

_____個﹒

13. 某高中合作社欲了解高二學生吃早餐之偏好，社長發現，高二各班班內各學生吃早餐之偏 好差異甚大，但班與班之間的情形大致相同，則社長應採用何種抽樣的方式？_________。

(A) 分層隨機抽樣(B)部落抽樣(C)系統抽樣 (D)重複的系統抽樣 (E)簡單隨機抽樣 。 14. 由高三 1000 名學生中，隨機抽得樣本 50 名的數學成績，其最高分 90 分，最低分 18 分，

第一四分位數為30 分，中位數為 44 分，第三四分位數為 58 分，則可估計高三 1000 名 學生的平均數學成績為_________。

15. 調查 11 人的身高資料如下（單位﹕公

分）162﹐160﹐160﹐165﹐164﹐163﹐166﹐170﹐169﹐168﹐168﹐求其四分位 差

________。

16.二次不等式 x²－2x－15



0 的解為________。

17.不論 x 為何實數，x²＋kx＋k＞0 恒成立，則實數 k 的範圍為________。

18.不等式 4^x – 7（2^x）＜8 的解為________。

19.不等式 1＋logx < log(2x＋1) 的解為________。

20.若 2x＋1,x,2x-1 為一鈍角三角形之三邊長，試求 x 的範圍為________。

21.log1/3（x-1）＜log1/3（3-x）試求 x 的範圍為________。

22. 設 0＜x<2π，求不等式2 cosx1的解為________。

23.設矩形 ABCD 內接於一個半徑 r 的半圓，求此矩形的最大面積。

24.已知 0＜x<

2

 ，解不等式4sin²x－1< 0 。

25.設二次不等式 ax²+bx+6＞0 的解為-3＜x＜2 ，試求 x²+ax+6b＞0 的解。

【解答】

(1) 12

55 (2) 32

81 (3) 16

49 (4) 8

9 (5)

7 5

(6) 1 18

(7) 1

(8) ¹ 2

(9) 3 (10) 89/2

(11) 15/8

(12) 30 (13) B (14) 46.5 (15) 6

(16) x



5，

-3



x

(17) 0＜k＜4 (18) x＜3

(19) 0＜x＜1/8 (20) 2＜x＜8

(21) 2＜x＜3

(22) 0＜x＜

3

或

5 3

＜x＜2^

(23) r² (24) 0<x<π/6, (25) x＜-2, x＞3

台北市立萬芳高級中學九十學年度高三上學期數學科期末考試卷(社會組)

班級： 姓名： 座號：

一、單一選擇題：50 分(每題 5 分)

1.設 A=



















 1 4 2

2 1 2

4 1 3

，B=



















 1 1 2

1 4 3

2 1 0

，則2A+ 3B=

(1)



















 5 11 2

7 10 13

14 5 6

(2)

















5 11 2

7 10 13

14 5 6

(3)

























5 11 2

7 10 13

14 5 6

(4)



















 5 11 12

7 10 10

12 5 6

2.已知 _



 









1 8 2

0 4

3 +A = _



 







 1 2 2

3 4

1 ，則A＝

(1) _



 











2 6 4

3 0

2 (2) _



 





6 2 4

3 0

2 (3) _



 













2 6 4

3 0

2 (4) _



 





2 6 4

3 0 2

3.設 A=



















 5 2

3 1

1 2

，B= _



 





2 2 4

1 3

1 ，則3(AB) =

(1)























8 4 22

5 3 13

4 8 2

(2)























24 12 66

15 9 39

4 8 2

(3)























24 12 66

15 9 39

12 24 6

(4)























24 12 66

5 3 13

12 24 6

4.已知 A= _^





 

0 4

3 1

，B= _^





 3 5

1 2

，且2X+A=4B－A，則矩陣 X=

(1)





















1 14

6 6

5 5

(2)























1 14

6 6

5 5

(3)























1 14

6 6

5 5

(4)

























1 14

6 6

5 5

5.求

10

cos5 sin 5

sin5 cos5

















  





＝(1) _



 





 1 0

0

1 (2) _



 



 0 1

1

0 (3) _



 



 1 0

0

1 (4) _



 





1 0 1 0

6.求二次函數 f(x)=2x²＋4x－1 的最小值為 (1) 3 (2) －3 (3) －1 (4) 1 7.二次不等式 4x²＋4x－3＞0 的解為 (1) x＜

2

 3 (2) x＞

2 1 (3)

2

 3 ＜x＜

2

1 (4) x＜

2

 3 或 x＞

2 1

8.不等式

25

5^2x1  1 的解為 (1) x



2

1 (2) x



2

1 (3) x



2

 3 (4) x



2

 3

9. 不等式log₂(7x－1)＜2＋log₂x 的解為 (1) x＜

3

1 (2) x＞

7

1 (3) x＜

3

1 或 x＞

7 1 (4)

7

1 ＜x＜

3 1

10. 設二次函數 f(x)= x²＋ax＋4＞0 恆成立，則 a 的範圍為 (1) a＜4 (2) －4＜a＜4 (3) a＜2 (4) －2＜a＜2 二.綜合題：50 分(每題 10 分)

1. 設 A= _



 



 2 3

1

2 ，B= _



 





 1 2

1

1 且AX=B，求(1)A 的反方陣(2)矩陣 X。

2. 已知 0



 ＜2



，求不等式2sin －1＞0 的解為何？

3. 在坐標平面上，畫出不等式組























0 0

24 3 4

10 2

y x

y x

y x

的圖形。

4. 小文只有 40 元，打算買橘子和葡萄柚，橘子的個數至少是葡萄柚個數的 2 倍。若橘子每個 4 元，葡萄柚每個 10 元，問在橘子與葡萄柚至少各買一個的情況下，共有幾種可能的買法？

5. 某餅店製作的豆沙月餅每個成本 35 元，售價 50 元；鳳梨月餅每個成本 20 元，售價 30 元。

現在要將這兩種月餅裝成一盒，月餅個數不超過 10 個，售價不超過 360 元，問豆沙月餅與 鳳梨月餅各放幾個，可使利潤最大，利潤最大是多少？

台北市立萬芳高級中學九十學年度高三上學期數學科期末考試卷(自然組)

班級： 姓名： 座號：

備註：背面有參考公式

1. 有 10 張籤條，其中 3 張有獎，今有 10 人逐一抽取，求前兩人皆中獎之機率為 (1)

10 3 (2)

9 2 (3)

15 1 (4)

100 9

2. 設甲、乙、丙射擊的命中率各為 0.4、0.5、0.6，今在靶場中，有一目標靶，三人同時各射擊一發，

且各人命中靶面的事件為獨立事件，求至少有一人命中的機率為 (1) 0.12 (2) 0.88 (3) 0.22 (4) 0.78

3. 數學期末考測驗時，答對有兩種可能，一種是會做而答對，一種是不會做但猜對，已知小榮 會做

的機率是0.8，現有一題 5 選 1 的選擇題，設小榮會做就答對，不會就亂猜。已知此題小榮 答對，

試問在此條件之下，此題小榮是因會做而答對(不是亂猜)的機率為 (1) 21

20 (2) 5 4 (3)

21 1 (4)

5 1

4. 根據過去記錄知，某工廠檢驗其產品的過程中，將良品檢驗為不良品的機率為 0.20，將不良 品檢驗

為良品的機率為0.16。在該產品中，不良品佔 10﹪，良品佔 90﹪。若一件產品被檢驗為良品，

但該

產品實際上為不良品之機率為(小數點以後第三位四捨五入)　(1) 0.02 (2) 0.08 (3) 0.98 (4) 0.92

5. 設以點 O’(－4,3)為新原點，平移坐標軸，若點 A 之新坐標為(5,2)，則點 A 的舊坐標為 　　(1) (－1,5) (2) (1,－5) (3) (－1,－5) (4) (1,5)

6. 設 P(2, 3)是坐標平面上的點，把坐標軸旋轉60，則P 的新坐標 P’為 　　(1) (

2 , 3 5 2

 )　 (2) (

2 , 3 2

5 ) (3) (

2 , 3

25  ) (4) (

2 , 3 2

5 )　

7. 若將坐標軸旋轉正銳角 ，原坐標平面上有一四邊形ABCD，下列何者會改變？

(1) 四邊形的面積 (2) 四邊形的周長 (3) 四邊形的形狀 (4) 四邊形的頂點坐標

8. 設二次曲線 2x²＋ 3xy＋y²＋3x－4y－2＝0，若將原坐標系旋轉一銳角 後，使新方程式中 不含xy 項，則 ＝(1) 30 (2) 45 (3) 60 (4) 75

9. 試判斷二次曲線 3x²＋2xy－y²－x＋3y－2＝0 屬於那一類圖形？

(1)拋物線類 (2)橢圓類 (3)雙曲線類 (4)無法判斷

10. .已知 _



 









1 8 2

0 4

3 +A = _



 







 1 2 2

3 4

1 ，求A＝

11. 求

10

cos5 sin 5

sin 5 cos5

















  





＝ (1) _



 





 1 0

0

1 (2) _



 



 0 1

1

0 (3) _



 



 1 0

0

1 (4) _



 





1 0 1 0

12. 已知平面上 P 點坐標為(5,－6)，v=(－2,－3)，將 P 點平移向量v後的位置為何？

(1) (3,9) (2) (－3,9) (3) (3,－9) (4)(－3,－9)

13. 已知 A 點坐標為(2,6)，以原點 O 為旋轉中心，旋轉30後P 點的位置為何？

(1) ( 3＋3,1+3 3) (2) ( 3－3,1－3 3) (3) ( 3＋3,1－3 3) (4)( 3－3,1+3 3) 14. 點 A(－6, 5)經由 y 軸鏡射對應到點 B，點 B 又經由 x 軸鏡射對應到點 C，求 C 點的坐標為 (1) (6,－5) (2) (－6,－5) (3) (6,5) (4) (－6,5)

---背面尚有題目---

二.綜合題：30 分(每題 10 分) 1. 設 A= _



 



 2 3

1

2 ，B= _



 





 1 2

1

1 且AX=B，求(1)A 的反方陣(2)矩陣 X。

2. 設將坐標系 S 平移(3,－4)得到新坐標系 S’，若直線 L 對原坐標系 S 的方程式為 2x－y－5＝

0，

則 L 對新坐標系 S’的方程式為何？

3. 設 L：x＋2y－3＝0。將直線 L 以原點為中心，旋轉30得直線L’，求 L’的方程式？

參考公式：設原坐標為(x，y)，新坐標為(x’，y’) 1.坐標軸平移公式：設新原點 O’(h，k)，則











 k ' y y

h ' x x

2.坐標軸旋轉公式：設原坐標軸旋轉θ 角度後，則













θ θ

θ θ

cos ' y sin ' x y

sin ' y cos ' x x

或











θ θ

θ θ

cos y sin x y

sin y cos x ' x

3.坐標軸不動圖形平移公式：設點坐標 P(x，y)平移(h，k)後得點 P’(x’，y’)，

則 _



 



 ' y

'

x = 



 



 y

x + 



 



 k

h

4.坐標軸不動圖形旋轉公式：設點坐標 P(x，y)以原點 O 為中心，旋轉θ 角度後得 點P’(x’，y’)， 則 



 



 ' y '

x = 



 



 

θ θ

θ θ

cos sin

sin

cos 



 



 y x

5.鏡射公式： 



 



 ' y

'

x = 



 





 θ

θ

θ θ

cos sin

sin

cos 



 



 y x

( )1.某次考試後，統計的結果，甲班的平均分數為 70 分，標準差為 10 分，乙班的平均 分數為45 分，標準差為 9 分，由此可知，甲班分數的變異大於乙班分數的變異。

( )2.某班有 45 位同學，以簡單隨機抽樣抽出 5 位同學為樣本，若將全班同

學從1 號到 45 號編號，則第 5 號在第 5 次被抽中的機率與第 10 號在第 45 次被抽中的 機率相同。

( )3.某次測驗後，如果每位同學的語文成績各加 2 分，每個同學的自然學科都增加為原來 的1.2 倍，則成績改變前後，全班同學的語文與自然學科成績的相關係數變成原來的 1.2 倍。

( )4.欲檢驗某工廠出產的燈泡耐用時間是否符合要求，宜使用抽樣調查。

二、填充題64 (﹪ 每題 4 分)

1.如下圖所示的 5 筆數值資料(x，y)，試問去掉哪一筆後，剩下的 4 筆的直線相關係數最大？

（單選）A:____(a)_______

(A)甲　(B)乙　(C)丙　(D)丁　(E)戊

2..82 年與 83 年兩年度某一學科考試的結果，經統計後，得到下表：

試就上面的統計表回答下面的問題：

(1)分數幾分以上，83 年度的學生人數都比 82 年度的學生人數少？_____(b)____

(1)此公司的員工中，除中華民國之外，其餘國籍所占的機率為何？___(d)_____

(2)此公司的員工中，亞洲的國籍所占的機率為何？___(e)_____

4. 設 A，B 是樣本空間 S 中的兩事件，且 P(A)=

5

2 ，P(A∪B)=

4 3

(1)若 A 與 B 為互斥事件，求 P(B)=___(f)____

(2)若 A 與 B 為獨立事件，求 P(B)=____(g)___

5. 甲、乙兩人同解一題數學題。已知甲能解出的機率為 0.8，乙能解出的機率為 0.6，（甲、乙 同解此題且互不影響）

(1)此題被解出的機率為__(h)_______

(2)此題只被 1 人解出_____(i)______

6. 設結核病經 X 光檢查，有結核病者 90%可發現，無結核病者有 98%是正確，若某一地區有 結核病者佔0.1%，且其中一人經 X 光檢查知有結核病，問此人確實患有結核病的機率是多 少？_____(j)________

7. 若已知一組資料的平均數為 80 公分，變異係數為 20%，求此組資料的標準差。____(k)____

8. 一袋中有 6 個白球，4 個紅球，甲、乙兩人依甲先乙後的次序各抽出一球，取後不放回，求 (1)甲取得白球的條件下，乙取得紅球的機率._____(l)______

(2)甲、乙兩人都取到紅球的機率.______(m)_______

7. 設 A，B 兩事件獨立，且已知 P(A)=

5

2 ,P(B)=

3

1 試求：

(1)P(A∩

B

)=____(n)_____ (2)P(

A

∪B)=____(p)______

8. 已知兩變數 X 與 Y 的相關係數為 0.48，則變數 3X－5 與 10－2Y 的相關係數是多少？

___(q)_______

三、計算題:20 (﹪ 每題 10 分)

1.小明在本學期第一次段考前的五次數學平時測驗中，複習功課的時數 X 與測驗成績 Y，如下 表所示：

X（小時） 3 4 5 6 7

Y（分） 50 60 70 90 80

求(1)兩組資料 X 與 Y 的相關係數。

(2)Y 對 X 的最適合直線方程式。

2. 已知有包含 10 組樣本點（x ,i yi）的資料，其有關的統計量已計算出如下：











    









 ¹⁰

1 10

1 10 2

1 10 2

1 10

1

1647 ,

3465 ,

846 ,

180 ,

90

i i i i

i i

i i

i i

i y x y x y

x

求下列的值：

（1）^x,y （2）Sx，Sy （3）r

※ 



 



 

 

 



 





2 1

2 1

2

1 ) 1

1 (

1 x nx

x n n x

S ⁿ

i i

n

i i

x

※ r= ₂

1 1

2 1

) ( )

(

) )(

(





















 n

i i n

i i n i

i i

y x

xy

y y x

x

y y x x S

S S

2 1

1

2 1

) ( )

( 















 



 







n

i i n

i i n i

i i

y y x

x

y x n y x

※

( )

) (

) )(

( )

ˆ (

1

2

1

x x

x x

y y x x y

x s x

r s y

y

_n

i i n

i

i i

x

y

















 







一、 是非題：20 (﹪ 每題 4 分)

1. 2. 3. 4.

二、 填充題：64 (﹪ 每題 4 分)

(a) (b) (c) (d)

(e) (f) (g) (h)

(m) (n) (o) (p)

三、 計算題：20 (﹪ 每題 10 分) 1.

2.