物 理 教 育 學 刊 Chinese Physics Education

Chinese Physics Education

2019 第二十卷第一期

物 理 教 育 學 刊

2019 年春季刊

中華民國物理教育學會出版

The Physics Education Society

of the Republic of China

中華民國一〇八年七月出版

第二十卷第一期 2019 年春季刊

學術論文

從圓到橢圓：克卜勒行星定律的排序與軌道圖像之探討

邱韻如……… 1

教學論文

VPhysics 跨領域課程設計

王一哲……… 14

實驗設計論文

利用發光二極體進行普朗克常數量測

余進忠……… 26

報導與評論

「乘雲駕物」 第一屆全國雲教授創意教材設計競賽

林建宇……… 38 中央研究院低溫物理實驗室參訪記趣

陳育仁……… 40 哈爾濱物理演示實驗教學研討會

邱韻如……… 44 HDMI 物理教師專業學習社群的點點滴滴

林春煌……… 49

物理教學活動 ……… 56 會議記錄 ……… 74

物理教育學刊稿約

學術論文

2019, 第二十卷第一期, 01-13 2019, 20(1), 01-13

從圓到橢圓：克卜勒行星定律的排序與軌道圖像之探討

邱韻如

長庚大學 通識中心 yjchiu@mail.cgu.edu.tw

（投稿日期：民國 108 年 05 月 22 日，接受日期：108 年 06 月 11 日）

摘要：克卜勒三大定律是物理課程重要的概念之一。在發展的過程中，克卜勒是 先確定等時間掃過等面積的第二定律之後，才發現火星軌道其實是橢圓的，和目 前教科書上的順序顛倒，也就是說，現行教科書把後發現的橢圓律稱為第一定律，

先發現的面積律稱為第二定律。除了順序問題之外，在陳述克卜勒前兩定律時，

為強調行星軌道是橢圓的，絕大部分的物理教科書所畫的橢圓軌道，離心率大都 超過 0.5 以上，甚至是高達 0.8 的長橢圓，導致許多學生誤以為太陽系行星的軌道 都是長橢圓。另一方面，講到第三定律時，許多教科書把軌道畫成圓的，但卻以 哈雷彗星為例來說明此定律。本研究從科學典籍與圖像出發，探討教科書的繪圖 表徵所引起的迷思概念，提出其對物理教與學的影響及相關問題。從三方面來探 討：(一) 從古希臘到十七世紀，行星軌道從圓到橢圓的演變歷程及其圖像表徵。(二) 從克卜勒前兩定律的順序被翻轉，探討教科書的物理定律陳述與實際歷史發展之 歧異。 (三) 從教科書中與橢圓軌道相關的繪圖表徵及其相關的迷思概念，提出適 切的教學表徵教學建議。

關鍵詞：橢圓軌道、科學史、科學圖像表徵、迷思概念、教科書

壹、 前言

筆者在幾年前發現，克卜勒提出的行星橢圓軌道，對一般人來說，根本圓到看不出是橢 圓¹。然而，絕大部分課本上的軌道圖，都畫得非常橢圓，導致大眾都誤以為太陽系行星的軌 道都是長橢圓。之後，筆者又發現現行物理教科書中，克卜勒前兩個行星定律的排序與其發 展的順序相反，因此耙梳史料與典籍，以探究竟。

克卜勒三大行星定律的前兩個，寫在 1609 年出版的《新天文學》（Astronomia nova）裡

，這是他自 1600 年以來和火星奮戰的成果；第三定律直到十年後出版的《世界的和諧》（

Harmonices Mundi）裡才出現，並延伸到太陽系的其他行星。在發展的過程中，克卜勒是先 確定等時間掃過等面積的第二定律之後，才發現火星軌道其實是橢圓的，現行教科書把後發

1 邱韻如(2012)，〈克卜勒的行星橢圓軌道有多橢？〉

10.6212/CPE.201907_20(1).0001

現的橢圓軌道律稱為第一定律，先發現的等面積律稱為第二定律。在探討過程中，筆者繼而 注意到許多物理課本或坊間查詢到的行星軌道圖，不僅畫成很明顯的橢圓，其太陽的位置也 常不在焦點上。本文分三方面探討：一是從地心說到日心說的同心圓宇宙圖像；二是克卜勒 前兩個定律的順序；三是調查學生橢圓軌道概念，探討教科書圖像對教學的影響。

貳、 從地心說到日心說

一、細觀各個同心圓

一般常見的托勒密宇宙體系圖像，如圖 1，是以地球為中心的同心圓，每個圓軌道的半 徑大約呈等差的關係。實際上，在古希臘時代就已經知道行星的逆行現象²，為解釋其觀測結 果，在如圖 1 這般完美的同心圓上，還有「本輪」(epicycle)和「均輪」(deferent)的設計：行 星繞著本輪轉，此本輪又繞著均輪轉³；地球並非位於均輪中心⁴，而是有一段「偏心距」（圖 2）。只要計算出每個行星的本輪均輪大小、偏心距大小，就可成功預測行星的運行。以火星 為例⁵，托勒密的火星本輪與均輪的半徑比是 39.5：60，大約是 2：3。

圖 1：托勒密的宇宙體系(Peter Apian's geocentric cosmology from Cosmographia, 1524.)

圖 2：本輪均輪簡易模型 (作者 繪)

圖 3：1580-1596 年間以地球為中 心的火星軌跡。(Kepler’s Astronomia nova, Ch1,1609)

哥白尼在《天體運行論》一書中，大膽的把宇宙中心置換為太陽，繼續使用圓軌道及本 輪⁶，並列出各行星相對於太陽的運行數據。圖 4a 是 1543 年《天體運行論》印刷版的日心模 型，哥白尼在此同心圓圖上標注各行星軌道週期的大約值：土星 30 年、木星 12 年、火星 2

2 以火星為例，大約每兩年會逆行兩個月。

3 邱韻如(2018)，〈克卜勒的火星任務〉。

4 因此，「均輪」又稱為「偏心圓」。

5 哥白尼，《天體運行論》，中文版，p46，註 11

6 哥白尼在 1514 年撰寫的《小評》(Commentariolus)上說他「只」用了 34 個圓。Berry《A Short History of Astronomy》(p121) 提及這 34 個包括地球 3 個、月球 4 個、水星 7 個、金火木土各 5 個。

年、地球和月亮 1 年、金星 7 個半月、水星 88 天，並在文章中提及「週期與軌道圓大小成 比例」。仔細察看，發現這些圓軌道的半徑並非如圖 1 般成等差增加，而是越外圍增加得越 多，但未根據與週期成比例來繪製。2005 年出版的中文版（圖 4b），各行星軌道圓的半徑比 例，和哥白尼原著（圖 4a）有差距，再仔細看，發現圈數也不相同。繼續追查，找到哥白尼 的手稿（圖 4c），發現手稿圖沒有月繞地的小圓，各行星的軌道半徑增量及圈數也和前兩圖 有差異。較符合比例繪製的是克卜勒在《世界的和諧》第五卷所畫的太陽系行星軌道圖（圖 5）及弗龍堡大教堂裡的哥白尼墓（圖 6）。

(a)1543 年 印刷版 (b) 2005 年 中文版 (c)哥白尼手稿 圖 4：日心模型(Copernicus' De revolutionibus orbium coelestium,1543.)

圖 5：克卜勒所繪行星軌道。

(Kepler’s Harmonices mundi, libri V, Ch3, 1619.)

圖 6：哥白尼墓，位於波蘭弗龍堡大教堂 (Frauenburger Dom)。(作者拍攝)

二、克卜勒與火星的戰爭

克卜勒根據第谷的觀測數據，與火星鏖戰了五年。他在 1609 年出版⁷的《新天文學》第 一章，畫出 1580 年到 1596 年間以地球為中心的火星運行軌跡（圖 3）⁸，接著一一討論分析 托勒密、哥白尼及第谷三種模型對火星運動位置所做預測的準確度，他歸納出這三個系統其 實都是差不多的，只是觀察點不同而已⁹。克卜勒選擇哥白尼體系，發明了所謂的「跨週期量 天術」¹⁰，先用逐日測得的地日距離與角度，找到地球繞日等時間掃過等面積的定律，繼而 找到火星繞日的等面積律。之後，他才發現，火星的軌道形狀與圓不太吻合。起先，他以為 是杜勒(Dürer,1471-1528) 所說的「卵形」(ovals)，接著推測是在卵形和圓形之間。之後，他 靈光一閃想到橢圓，發現竟然吻合。1605 年 10 月 11 日他寫信給天文學家友人大衛·法布里 奇烏斯¹¹，宣告路徑是個完美的橢圓。

So, Fabricius, I already have this: that the most true path of the planet [Mars] is an ellipse, which Dürer also calls an oval, or certainly so close to an ellipse that the difference is insensible. ¹²

參、 前兩個定律的順序

筆者在閱讀咸豐年間出版的《談天》一書時，赫然發現等面積律竟寫在橢圓律的前面，

其排序與現行物理教科書不同：

一曰歷時同則星日距所過面積亦同。二曰諸行星皆行橢圓道，以日為橢圓之一心。三 曰諸行星距日中數與周時有公比例。（《談天》卷九）

為確定前兩個定律的順序，筆者展開追查，除了閱讀克卜勒《新天文學》之外，也追查 幾本天文及物理教科書，企圖找出是從何時開始，兩個定律順序被翻轉。

一、《談天》與其底本《天文學綱要》

《談天》是最早把西方近代天文學引入中國的一本書，於咸豐九年(1859 年) 刊行，由 傳教士偉烈亞力口譯，李善蘭刪述，徐建寅續述，全書共十八卷。這本書的底本是約翰赫歇 爾（John Frederick William Herschel, 1792-1871）¹³的《天文學綱要》（Outlines of Astronomy）

第四版(1851 年)。

7 因為與第谷後人間有數據產權的爭議，延遲到 1609 年才出版。

8 他稱此圖為「四旬齋節椒鹽餅」(panis quadragesimalis)。四旬齋節是從復活節往前 40 天這一段期間，

椒鹽餅(pretzel)最早出現在德國南部，是四旬齋節期間分送給小孩的食物。(《追蹤哥白尼》，p73-76)

9 Simonyi, A Cultural History of Physics. pp.190, 2012.

10 項武義、張海潮、姚珩，《千古之謎－幾何、天文與物理兩千年》，Ch4。

11 大衛·法布里奇烏斯（David Fabricius，1564 -1617）德國牧師、天文學家。他和長子約翰內斯·法布 里奇烏斯（1587-1615）一起用望遠鏡確認了太陽黑子的存在。克卜勒和這對父子密切通信。

12 克卜勒全集第 15 卷 (Johannes Kepler Gesammelte Werke, Vol. 15), letter 358: a letter to David Fabricius from 11 October 1605.

13 《談天》將作者名譯為侯矢勒約翰。約翰·赫歇爾是天文學家威廉·赫歇爾(William Herschel,1738-1822) 的兒子，出生於英國斯勞（Slough）。

《天文學綱要》這本書在當時非常暢銷，1849 年初版，在約翰·赫歇爾生前共發行了 11 版，身後還有「新版本」(new edition,1875)出版。筆者查閱 1875 年的版本，克卜勒的面積律 是「第一」，橢圓律是「第二」，如下：

To begin with the first law, that of the equable description of areas…. (art.490)

The second law of Kepler, or that which asserts that the planets describe ellipses about the sun as their focus, …. (art.491)

二、貝瑞《簡明天文學》

知名科學史家貝瑞(Arthur Berry, 1862-1969)的《簡明天文學》（A Short History of Astronomy），1898 年初版，是當時很有名的教科書。此書在 Art 140 敘述克卜勒發現前兩定 律的歷程時，是先述及其發現火星軌道是橢圓，太陽位於橢圓焦點，才說到火星離太陽近時 移動快，離太陽遠時移動慢，進而才提出所謂的面積律。貝瑞以 Fig 59（圖 7a）講解橢圓的 焦點及離心率，然後以 Fig 60 介紹克卜勒第二定律（圖 7b），並在該圖下方特別說明此圖的 離心率大約是 1/3，是為凸顯而誇張繪圖，實際火星的軌道離心率僅有 1/10。在這兩個圖之 後，貝瑞於 Art 141 列出前二定律（圖 7c）。筆者不敢斷言最早把橢圓律稱為第一定律的就是 這本書，只能說在此書之後，筆者找到的書都將橢圓律稱為第一定律。

圖 7：克卜勒定律 (Berry’s A Short History of Astronomy, 1898.)

肆、 行星軌道的形狀

一、現今教科書上的橢圓軌道

實際根據從表 1 的離心率來繪圖，可以發現，太陽系的行星軌道雖是橢圓，但其實看起 來很接近圓。許多教科書為了強調是橢圓而不是圓，都把圖畫得很誇張，但卻沒有註明其圖 未按比例繪製，導致讀者誤以為行星的軌道很橢圓。

彗星軌道非常橢圓，例如哈雷彗星的離心率大約是 0.967。在克卜勒時代，尚未把彗星 與行星的運行歸為同類，克卜勒可能也沒想過，他的行星定律竟然也適用於彗星。

表 1: 太陽系六行星及哈雷彗星軌道資料 與太陽的距離(AU)

行星 離心率 近日點

Perihelion

遠日點 Aphelion

平均

水星 0.206 0.31 0.47 0.39 金星 0.007 0.72 0.73 0.72 地球 0.017 0.98 1.02 1.00 火星 0.093 1.38 1.67 1.52 木星 0.048 4.95 5.45 5.20 土星 0.056 9.04 10.12 9.58 哈雷彗星 0.967 0.95 35.10 17.84

圖 8：六種離心率不同的橢圓

在網路上搜尋與「行星軌道」相關的圖片，可以看到大多數橢圓軌道圖像都是不對的。

圖 8 是六種不同離心率的橢圓（已標示出其焦點位置）。表 2 是幾本普物課本裡的橢圓軌道，

圖 9 是表 2 裡其中四本教科書上的圖，可以看到除了離心率都不小之外，太陽的位置幾乎都

不在該橢圓的焦點處。此外，筆者還發現，有些課本在講前兩定律時，把軌道畫得很橢圓，

但講到第三定律時，軌道圖常常變回很圓，這期間的矛盾卻少有人提出。有的教科書，講的 是「行星」，講到第三定律時，卻以彗星當例題，但未說明克卜勒定律適用於行星和彗星。

表 2: 某些教科書中的克卜勒定律橢圓軌道示意圖

教科書 克卜勒前兩定律示意圖

第三定律 No Code 離心率 太陽位置錯誤率

1 TBU_K e= 0.81 error= 54% circular 2 TBU_Y e= 0.71 error= 31% none 3 TBU_M e= 0.25* error= 0% none 4 TBU_B e= 0.41* error= -13% circular 5 TBU_H e= 0.82* error= 9% circular 6 TBU_G e= 0.67 error= 33% circular 7 TBH_CW e= 0.78 error= 33% none 8 TBH_HL e= 0.71 error= 36% none

* 圖說有特別註明該圖是誇張畫法

圖 9：四本教科書（表 2）的橢圓軌道圖

二、學生的地球繞日軌道圖像概念

筆者為瞭解學生的行星軌道圖像概念，設計了一份地球繞日軌道試卷。測驗的對象有兩 群，樣本 A 是 90 位大一理工科系學生，樣本 B 是 74 位高一科學班學生（已學過高一物理的 克卜勒定律單元）。筆者請學生在試卷上選擇最接近地球繞日的軌道後，再在其選擇的軌道 圖上標示出太陽的位置（圖 10）。正確答案應選「A」（參考表 1 的離心率），且太陽位置幾 乎在中間。從結果（表 3）看到，大多數學生並不知道地球繞日軌道其實非常接近圓，選擇 D 和 E 的人數最多，且太陽位置幾乎都不在其選擇橢圓圖的焦點位置。

圖 10：行星橢圓軌道問卷用圖

表 3： 地球繞日軌道形狀測驗 人數(*)

軌道類型 樣本 A 樣本 B

A 1 2 (2)

B 6 8 (1)

C 3 4

D 23 (1) 19

E 47 (1) 34

F 10 7

合計 90 74

*刮號內是把太陽位置標示在該橢圓焦點位置的人數

伍、 問題與討論

一、從地心到日心

自古以來，天文學家們仰望星空，企圖找出行星們的運行規律。常見的托勒密地心說圖 像，並未在同心圓上畫出本輪、均輪、偏心點等結構，這也無可厚非，畢竟這已是「過時」

的理論。哥白尼日心說與托勒密地心說所選擇的參考點不同，但以其理論推算與觀測數據的 密合度來看，托勒密的密合度反倒較高，這是值得我們尊敬的。比較圖 3 和圖 4 的火星運行 圖像，可以想見，要把地球上的觀測數據轉換成地球會公轉的日心體系，並不是件容易的事。

二、日心說圖像的各軌道半徑

比較三個哥白尼太陽系圖像（圖 4a,4b,4c），可以看到軌道間距及軌道圈數都有差異，

可見從手稿到印刷，從原文到翻譯，圖像的繪製有出入，值得注意及繼續探究。哥白尼在《天 體運行論》提到，軌道的半徑大約和行星週期成正比，當時已掌握行星週期了。雖然克卜勒 已呈現出依軌道半徑比例繪圖的太陽系圖像（圖 5），哥白尼的墓碑也是依半徑比例繪圖（圖 6），但是教科書與坊間目前流傳的太陽系圖像，絕大多數都還是把土星和木星畫得太靠近 太陽，未依比例，且未告知其未依比例。

太陽系行星中，不管是行星體積還是軌道半徑，在天王星與海王星加入太陽系團隊後，

大小的差距更顯鉅大，要大致依照比例繪圖，需要特別的呈現方式；例如為呈現哈雷彗星軌 道，只畫外行星（圖 11），地球與內行星則要另繪圖表示。

圖 11：哈雷彗星軌道與外行星的關係（作者繪）

三、行星軌道的圖像

克卜勒將圓改成橢圓，是破天荒的突破，為了強調橢圓，大部分教科書把前兩個定律畫

得很橢圓，但卻「忘記」提醒讀者，他們並未按比例畫圖。矛盾的是，講到第三定律，卻又 常常把軌道畫成圓。此外，也少有人在此提出質疑，如果軌道是那麼橢圓，為何克卜勒之前 的天文學家都沒有發現。

火星軌道看起來真的很圓。在教學上應該不是故意畫得很橢來提醒學生它不圓，而是強 調為何克卜勒能看出它不是正圓，以及引領學生提出問題，例如：

 為何克卜勒之前，沒有人發現是橢圓？

 為何這麼圓，克卜勒卻能看出是橢圓？

 行星軌道的橢圓和圓的這一點點差距，在天文學上有多大的意義及啟發？

筆者想到與橢圓軌道有關的兩個例子：季節的更迭與火星衝，提供參考。

因地軸傾斜，夏天時太陽直射北半球，冬天時直射南半球，許多教科書畫了地繞日的橢 圓軌道來解釋，反倒讓學生很不理解，因為北半球夏天時太陽與我們的距離反倒比冬天時還 遠，如果學生知道其實軌道還挺圓的，就比較能夠接受。

去年（2018 年）七月底，正好是火星大衝，火星距離地球最近，火紅得在天上閃耀。地 球繞日的週期是一年，火星則為 1.88 年，當日地火三者排成一線時（地球在中間），稱為火 星衝（Mars oppositions, 圖 10)。以太陽為中心，畫出地球及火星繞日軌道後，可以看到火星 軌道的「橢圓」被彰顯出來了。

圖 10：火星衝（作者繪）¹⁴

14 Mars oppositions 2010~ 2022, by Deborah Byrd in TODAY'S IMAGE , May 22, 2016 (http://earthsky.org/todays-image/mars-oppositions-2010-2022)

四、克卜勒前兩定律順序顛倒的啟發

從邏輯推理來看，先定義軌道形狀是橢圓，再講等時間掃過等面積的面積律，似乎比較 合理。探討科學史，讓我們瞭解定律的發展是經過漫長的歲月。早在古希臘時代，學者們已 經發現行星運行的速率會有快慢變化及逆行現象，發明了本輪、均輪還有偏心距等來描述行 星運動，以後見之明來看，橢圓的特性其實已經呼之欲出。克卜勒選擇太陽為中心，把從地 球上觀測的數據轉換為日心的數據，他推算出行星繞日的速率會變化，發明所謂的「量天術」

找出所謂的面積律，最後才進而發現軌道的形狀並不夠圓，關鍵在於他所掌握的第谷觀測數 據夠精確。

不只是克卜勒行星定律，物理課本上許多定律，都和科學史上的發展有歧異，物理教師 應該要有此認知。

五、教學上的建議

課本上或坊間許多比例不正確的圖像，造成了我們對行星軌道圖像的迷思。筆者提出兩 個教學相關活動供參酌：動手作圖及數據模擬。

很少學生實際親自動手畫過橢圓。教師可以引導學生動手畫橢圓，讓他們真正體驗橢圓 離心率和焦點的關係。還可以讓學生根據實際天文數據（例如表 1）按照比例來畫太陽系圖 像。

再進一步，可以讓學生透過數據模擬方式探討地球和火星的互動關係，以及地心說與日 心說的轉換。可以搜尋或製作火星和地球繞日的動態圖（圖 10），引導學生思考以地球為中 心時，所觀測到的火星軌跡（圖 3）；或者引導學生思考與探究，從以地球為中心觀測某行星 的數據，如何轉換成以太陽為中心的系統¹⁵。

陸、 結論

絕大多數教師及學生的史觀，是透過教科書建立的。透過科學史的研究與典籍的閱讀，

常讓我們驚覺教科書的敘述與真實歷史發展的差異是如此之大。

克卜勒本人並沒有以定律一二三的形式表述他的發現，是後世天文學家把他歷經近二十 年的成就整理簡化成三大定律，以與牛頓三大定律對應¹⁶。克卜勒前兩定律的順序，和其發 展順序是相反的，第三定律則是十年後才出現在另一本書《世界的和諧》上，這也是絕大多 數教科書沒有告訴讀者的。特別一提的是，今年(2019 年)正是《世界的和諧》出版 400 週年，

筆者翻閱此書，除了寫下所謂的克卜勒第三定律外，這本書還充滿了音樂，但限於筆者的音 樂程度，目前還無法進一步瞭解此書。

筆者不敢斷言是從何時或哪一本教科書開始翻轉前兩定律的順序，目前只能說大概從二 十世紀初開始，教科書幾乎都是把後發現的「橢圓律」列為第一，而先發現的「面積律」排 序為第二。如此排序翻轉，已積重難返，但卻可以在得知此事實之後，藉機回顧與探究克卜 勒當年發展這些定律的歷程。

15 Timberlake, T. K. (2013) 介紹托勒密、哥白尼與第谷三種不同系統的數據模擬轉換的教學活動。

16 金格瑞契，《追蹤哥白尼》，p197。

教科書的插圖在科學學習上扮演很重要的角色。以本研究為例，絕大多數人腦海裡的太 陽系行星軌道圖像，都與實際相差很多，包括形狀其實沒那麼橢圓、太陽的位置沒畫在焦點 上，以及各行星軌道的半徑差異等。錯誤的圖像，以訛傳訛，造成許多迷思與誤解，教學上 應提出與糾正。反方向來思考，從這些各式各樣未依比例繪圖且彼此矛盾的圖像中，可以設 計許多值得探究與實作的議題，引領學生閱讀相關資料、找出矛盾、提出問題、實際作圖或 數據模擬等等。

致謝

感謝長庚大學 BMRP922 支助，特致謝忱。

參考資料

1. 克卜勒著、張卜天譯 (2005)，《世界的和諧》，臺北：大塊文化。

2. 江曉原(1994)，〈托勒密評傳〉，《世界著名科學家傳記 天文學家 II》，科學出版社。

3. 邱韻如(2012)，〈克卜勒的行星橢圓軌道有多橢？〉，《科學月刊》，43(7)，p492~493。

4. 邱韻如(2018)，〈克卜勒的火星任務〉，《科學月刊》，49(4)，p264-267。

5. 金格瑞契(Owen Gingerich)著、賴盈滿譯(2007)，《追蹤哥白尼：—部徹底改變歷史但沒 人讀過的書》，臺北：遠流出版。

6. 侯失勒撰、偉烈亞力譯、李善蘭刪述、徐建寅續述(1859)，《談天》，續修四庫全書。

7. 姚珩、黃秋瑞(2003)，〈克卜勒行星橢圓定律的初始內涵〉，《科學教育月刊》，期 256，

頁 33-45。

8. 哥白尼著、張卜天譯(2005)，《天體運行論》，臺北：大塊文化。

9. 項武義、張海潮、姚珩(2010)，《千古之謎－幾何、天文與物理兩千年》，臺北：台灣商 務印書館。

10. Berry, A. (1898). A short history of astronomy. London: Murray.

11. Caspar, M. (1959). Kepler, trans. and ed. C. Doris Hellman, New York.

12. Copernicus, N. (1995). De Revolutionibus Orbium Coelestium. [published originally in 1543].

13. Herschel, John Frederick William (1857). Outlines of Astronomy. Blanchard & Lea.

14. Kepler, J. (1609). Astronomia Nova. Heidelberg.

15. Kepler, J. (1968). Harmonices Mundi Libri V. Tampachius, [published originally in 1619].

16. Kepler, J. and Dyck,W. (1951). A letter to David Fabricius from 11 October 1605. Johannes Kepler Gesammelte Werke, Vol. 15.

17. Kuhn, T. S. (2012). The structure of scientific revolutions. University of Chicago press.

18. Simonyi, K. (2012). A cultural history of physics. AK Peters/CRC Press.

19. Timberlake, T. (2013). Modeling the History of Astronomy: Ptolemy, Copernicus and Tycho.

Astronomy Education Review, 12 (1), 010201.

From Circular to Elliptical: Exploring the Sequence and Related Illustrations of Kepler's Laws of Planetary Motion

Yun-Ju Chiu Chang Gung University yjchiu@mail.cgu.edu.tw

Abstract

Kepler’s three laws of planetary motion proposed in 1600s are famous and important in physics course. However, the sequence of the first two laws in physics textbooks is in reverse order, different from their historical context. The second law, about the equal area in the same time interval, was in fact arrived first. Then, Kepler found the orbit an ellipse, which is now called the first law. Additionally, most textbooks emphatically point out that planetary orbits are elliptical in the first two laws and illustrate elliptical orbits of large eccentricity to strengthen the concept.

These exaggerated illustrations lead students to mistake that most planetary orbits are long ellipses.

Actually, very different from the illustrations of elliptical orbits in textbooks, most planetary orbits are nearly circular. On the other hand, textbooks usually use circular orbits to state the third law. In an odd way, some textbooks use the orbit of Comet Halley as an example to interpret the third law.

The aim of this study is to bring forth some enlightenment of teaching and learning from exploring the representation of improper scientific illustrations and related misconceptions on the concept of ellipse and the elliptic orbits. The study will discuss from several aspects:(1) to understand the historical development and the graphical representations about planetary orbits from ancient Greece to 17th century; (2) to explore the disambiguation between the sequence of the first two laws and their historical context; (3) to find out some improper illustrations from the modern textbooks and then design some questionnaires to probe further related misconceptions.

Key words: elliptical orbit, history of science, representation of scientific illustrations, misconception, textbooks

教學論文

2019, 第二十卷第一期, 14-25 2019, 20 (1), 14-25

VPhysics 跨領域課程設計

高慧君¹ 王一哲²* 石明豐³ 賴錦緣⁴

1臺北市立南港高級中學

2新北市立中和高級中學

3國立臺灣大學 物理學系

4國立臺中科技大學 通識教育中心

*通訊作者：yizhe@mail2.chshs.ntpc.edu.tw

（投稿日期：108 年 03 月 16 日，接受日期：108 年 05 月 06 日）

摘要：跨領域學習已成為新時代教育重要的課題。本文報導高中物理教材與 Python 程式語言結合（稱 VPhysics）之跨領域課程設計、教學策略、目前實施困難及未 來教學的可行性。我們將此課程對學生和教師進行了現場教學試驗，結果發現此 課程不僅可改善學生物理學習的困難，亦可培養其運用程式解決問題的運算思維 能力。參與的教師體會了創新教學的設計，亦對跨領域教學具備信心，也習得將 程式和物理教學整合的概念與技巧。這些結果顯示此課程值得未來持續推廣，以 提昇物理與程式教學的品質，落實跨領域的教與學。

關鍵詞：VPhysics、物理教學、程式設計、跨領域

壹、 前言

高中物理對於大多數學生而言是不容易學習的，部份原因在於物理課裡常常會有(a)單以 方程式難以理解，而需要利用三維動態圖像來了解的物理，或是(b)列出方程式後，需要以高 等或繁複的數學來解，而常讓學生迷惑於解數學方程式而非學物理概念。因為受限於學生的 數學能力，許多物理情境必須加上一些理想化的條件，才能將算式簡化到高中生能夠計算的 程度。有些物理情境則是太過抽象，學生很難憑空想像物體的運動過程。

隨著時代的進步，藉由 Python 程式語言與 VPython 3D 空間模組，能夠讓學生很輕易地 透過程式設計將物理現象在電腦螢幕中展現，非常適合高中物理課程內容中所需要的「三維 空間展示」、「動態變化」、「現象模擬」。另一方面，對於程式設計教學而言，透過物理現象 模擬，程式執行的結果是可被觀察到的事物，而不再只是抽象化的數值變化，這種視覺化環 境也有助於程式設計的學習，能夠降低程式設計的學習門檻，對於提升學習興趣有幫助。

石明豐教授結合了這二項特性，運用 Python 語言與 VPython 套件所研發出來的 VPhysics

10.6212/CPE.201907_20(1).0002

跨領域課程能夠有效降低物理與程式設計學習的困難度。此套高中物理模擬程式設計課程，

共有九大主題: (1)物體的一維等速運動(2)物體的一維等加速運動(3)物體的三維運動(4)力的 合成(5)等速率圓周運動(6)虎克定律和簡諧運動(7)動量(8)彈性碰撞(9)行星公轉 ²（石明豐，

2019）。高慧君老師依照這九大主題，考量了南港高中學生的程度加以簡化，完成了 VPhysics16 堂課，並且已經在高一資訊課連續實施了五個學期³（高慧君，2019）。王一哲教師則是進一 步將高中物理課程中可以運用程式展現的主題加以延伸，也發展了一套教材¹（王一哲，2019

）。本文將介紹目前我們已發展成熟的 VPhysics 課程，並進一步探討 VPhysics 與 108 新課綱 間的關係。

貳、 課程特色

一、程式設計結合物理課程

（一）什麼是 VPython？

VPython 是由 David Scherer 等人開發的 Python 視覺化套件，目前最新的版本為 VPython 7 搭配 Python 3。VPython 套件提供相當多形狀的物件，例如方形 (box)、球形 (sphere)、圓 柱 (cylinder)、箭頭 (arrow)……等等，我們可以在程式中指定這些物件的位置 (pos)、速度 (v)、

加速度 (a)、質量 (m) ……等性質，再設定好每個物件遵守的物理定律，利用迴圈 (loop) 計 算物體的運動過程。所以當學生使用 VPython 探討物理問題時，也會同時學習如何撰寫 Python 程式，訓練程式運算思維。

由於 Python 是開源軟體，可以從網路上免費取得，而且運行 VPython 套件所需要的硬體 配備不高，用目前市面上常見的筆記型電腦就能很順暢地運作，如果學生在課後想要自行練 習也不成問題。

（二）先學會寫程式，再藉由程式學習更進階的學科內容

現在學生所面對未來的產業絕大多數都會和資訊技術相關，而程式語言是資訊工具的基 礎，如果能讓我們的學生更早具備程式設計的基礎，將會對台灣將來的產業有重大影響。除 此之外，各個專業學門，不管是科學（如數學、物理、化學、生物等）或是工程（如電機、

資訊、機械等）在研究和技術發展上，都有很大的比例已經是利用程式來做模擬、計算或設 計，因此，讓學生們提早了解程式在這些領域的用途，也會讓學生在大學或研究所時，減少 進入這些學門的障礙。

在目前的體制下，資訊教育在中學階段不是升考試的考科，也不是主要的學科，受限於 時數、師資、學生的學習時間（因考科）有排他性等因數，對於絕大多時中學生來說，學習 程式語言並且以寫程式來解決問題，誘因非常的小。

我們認為透過學生對於物理學科的理解，引導他們學習程式是一個很好的開始，因為中 學階段物理教學的第一階段力學，所學習的都是看到的現象。就以國三理化到高中物理最初 都會學的自由落體與拋體運動來說，就是一個迴圈(loop)與判斷(if)的實際例證：當球被丟出 後，(a)判斷球是否碰到地，如果不是，球就按照重力加速度，計算速度，再計算位置，然後 再回到(a)作下一瞬間的判斷，如果碰到地的話，就停止。按照這個邏輯，一個只有幾行的程

式，加上一些開視窗、畫球、地板的部份，很容易的將拋體運動描述出來。

圖 1：抛體運動模擬流程圖

圖 2：抛體運動模擬程式碼

圖 3：抛體運動模擬畫面

（三）應用於實際的物理情境：以考慮空氣阻力的自由落下運動為例

將一個小球於高處由靜止釋放，小球受到重力的作用開始落下，在高中物理課程當中為 了簡化計算，通常會忽略空氣阻力，這樣就能簡化為等加速度直線運動。但實際上小球一定 有受到空氣阻力，而且空氣阻力𝑓的量值與小球的速度𝑣有關，假設兩者的關係為

𝑓 = −𝑏𝑣²

上式中的負號表示兩者方向相反。若小球的質量為𝑚，重力加速度為𝑔，則小球所受的合力 方向向下，量值為

𝐹 = 𝑚𝑔 − 𝑏𝑣²

由牛頓第二運動定律可得小球的加速度𝑎與速度𝑣方向相反，量值為 𝑎 = 𝐹

𝑚= 𝑔 −𝑏𝑣² 𝑚

但是𝑎、𝑣兩者會互相影響，我們無法以高中數學計算出整個運動過程中每一個時刻 t 對應的 𝑎、𝑣量值，只能計算小球的終端速度𝑣_𝑡，也就是小球速度無法再增加時的量值，此時

𝑎 = 0 ⇒ 𝑣_𝑡 = √𝑚𝑔 𝑏

我們所採用的方法如圖 4 所示，假設經過的時間 dt = 0.0001 秒，在這麼短的時間內，可 以將小球的速度 v 視為定值，計算小球在一小段時間 dt 內的位移，更新小球的速度 v、位置 y 之後，再用此時的速度 v 計算對應的加速度 a，重複以上的過程直到小球達到終端速度為止，

採用這樣的方法，我們可以將小球的運動過程完整地畫出來。假設𝑚 = 1 kg、𝑏 = 0.1 N s²/m²、

𝑔 = 9.8 m²/s²、𝑑𝑡 = 0.0001 s，理論上𝑣_𝑡 ≑ 9.899495 m/s，程式計算的結果為9.899494 m/s，

與理論值相符，圖 5 為小球的高度 y – 時間 t、速度 v – 時間 t、加速度 a – 時間 t 關係圖，

圖中的實線為考慮空氣阻力的計算結果，虛線則是不考慮空氣阻力的計算結果。

圖 4：用 VPython 處理考慮空氣阻力的自由落下運動流程圖

圖 5：小球自由落下時的 y - t、v - t、a - t 圖，實線為考慮空氣阻力，虛線為不考慮空氣阻力

二、物理現象與建立模型

大部分的學生對於建立模型（以下簡稱為建模）相當陌生，這是因為在傳統的物理課程 當中，我們並沒有特別強調建模的方法，但如果要使學生具備研究問題的能力，絕對不能忽 略建模的方法。

（一）物理建模的方法

建立物理模型要有根據，從現象及實驗數據中找出各個物理量之間的關聯性，例如當我 們分析一輛滑車在軌道上向左平移的運動過程後得到下圖，從圖中可以得知滑車以穩定的速 度向左平移。接下來再分析滑車的受力情形，我們發現滑車在移動的過程中，似乎沒有受到 水平方向的外力作用，因此我們可以提出「當物體在某個方向不受外力作用時，物體在此方 向會維持原來的運動狀態」，這樣就是一個簡單的物理模型。通常我們會希望用數學式子來 表達物理模型，例如將滑車的位置與時間關係式寫成

𝑥 = 𝑥₀+ 𝑣𝑡

我們可以利用這個式子來預測滑車在某個時刻的位置，假設預測與實驗結果相符，則這個模 型的可信度會更高。

圖 6：平移的滑車位置 x - 時間 t 關係圖（左），速度 v - 時間 t 關係圖（右）

剛才提出的模型前提是「當物體在某個方向不受外力作用時，物體在此方向會維持原來 的運動狀態」，但如果物體受到某個方向的定力作用時會有什麼變化？由於假設前提不同，

我們需要一個新的模型來解釋當物體受到固定外力作用時的運動過程。

當我們分析一個物體被抛出後鉛直方向的運動狀態，會發現物體的位置先上升再下降，

鉛直方向速度則由向上逐漸變為向下，速度隨著時間穩定地變化，鉛直方向加速度應該是定 值。如果分析物體的受力情形，會發現物體在鉛直方向受到重力的作用，使物體有向下的等 加速度，因此我們可以提出「當物體在某個方向受到定力作用時，則物體在此方向做等加速 度運動」，這個模型的適用範圍比前一個模型更大一點。如果要將這個模型用數學式子來表 達，可以將物體的鉛直方向速度與時間關係式寫成

𝑣 = 𝑣₀+ 𝑎𝑡 從上式推廣則可以得到物體的鉛直位置與時間關係為

𝑦 = 𝑣₀𝑡 −1 2𝑔𝑡²

圖 7：抛體運動位置 y - 時間 t 關係圖（左），速度 v - 時間 t 關係圖（右）

（二）利用電腦模擬協助建模

傳統的建模方法經常會受到數學工具及能力上的限制，以兩個物體發生一維彈性碰撞為 例，如圖 8 所示，為了方便我們想像物體碰撞的過程，我們在兩個木塊之間加上一條理想的 彈簧，假設右側木塊質量為 0.5 kg、初速為 -0.55 m/s，左側木塊質量為 0.25 kg、原為靜止，

當彈簧被壓縮時，彈簧的回復力會使右側的木塊減速、左側的木塊加速，當彈簧回到原長時 碰撞過程結束。模型的想法相當簡單，先由兩個木塊之間的距離判斷彈簧是否被壓縮，再計 算彈簧的回復力量值，就可以得到兩個木塊的加速度，更新木塊在經過一小段時間後的速度、

位置，不斷重覆以上的過程，很適合用程式語言中的迴圈來處理。

圖 8：一維彈性碰撞示意圖 一維彈性碰撞的末速理論值為

𝑣₁^′ = 𝑚₁− 𝑚₂

𝑚₁+ 𝑚₂𝑣₁+ 2𝑚₂

𝑚₁+ 𝑚₂𝑣₂ ≈ −0.183 m/s

𝑣₂^′ = 2𝑚₁

𝑚₁+ 𝑚₂𝑣₁+ 𝑚₂− 𝑚₁

𝑚₁+ 𝑚₂𝑣₂≈ −0.733 m/s

圖 9 為實驗結果，圖 10 則是模擬程式運算的結果，從圖中可以看出兩個木塊的末速很接近 理論值，而且兩者的總動量守恆，因此我們可以確定用理想彈簧模擬彈性碰撞的過程是相當 適合的模型。

圖 9：一維彈性碰撞實驗結果

圖 10：一維彈性碰撞模擬結果

對更多無法在教室或實驗室中做具體觀察的物理現象而言，這樣以電腦程式輔助來建模，

就會顯得更有威力，以理想氣體分子動力模型為例，在高中的物理或化學課，只能以最簡單 的彈性碰撞建模，告訴學生在「氣體分子的大小假設為零，和分子間無遠距交互作用力，而 只考慮分子間有彈性碰撞的條件下，會得出理想氣體方程式 PV = nRT」的結果，而無法告 訴學生，此建模的結果如何受到「氣體分子大小不為零、或是有分子間有遠距交互作用力」

等真實世界所存在物理條件的影響，此時若有一個理想氣體模擬程式，就可以在程式內改變 氣體分子的大小，或增加遠距作用力(如凡得瓦力)，讓學生看到類似真實氣體的現象。當然，

實體實驗是進行科學學習和研究的重要步驟，學生可以對真實世界的物理現象有第一手的親 身觀察，並具此培養實驗和動手做能力，但是電腦模擬，卻可提供一個方便的手段，讓學生 用眼睛就看得到的物理過程，而產生更具體的物理直覺。

三、創新教學

電腦程式語言是近 70 年才發展出來的知識，不像數學已有千年歷史，而程式設計如何 成功地進入教學現場以達到普及化教學，對很多人來說是陌生的。教程式設計不比教數學簡 單，面對這項新知識，我們除了從教材本身加以改進外，在教法上也有重大突破。

（一）螺旋式教材設計

傳統程式教材是依照語法分類呈現線性發展，像是談到變數，就一次把所有可能的變數 資料型態介紹完，學生之後會不會用到並沒有考量到，偏向工具書(字典)性質。雖然對於知 識整理得很有條理，但是對於大多數學生而言，這種知識中心的教材和他們的生活經驗是格 格不入，無法引起學生的注意。石明豐教授所編撰的高中物理模擬動畫程式設計課程，是以 螺旋式安排知識，物理與程式是絞在一起並行，首先安排一個小任務，再引入解決任務的物 理或程式知識，接著再安排一個小任務，而這項任務中會用到舊知識，也會介紹新知識。隨 著學生所學知識的增長，能夠解決的任務也愈來愈大。

（二）以錄製影片取代教師講課

為達成有效教學，我們發展的 VPhyscis16 堂課採取課堂實作結合線上教學的混成學習

（blended learning）方式，因此建置了教學網站，每一個單元的教材除了文字、圖像的說明 外，亦錄製程式講解與操作的影片提供學生觀看學習。因此，學生可以根據自己的情況，決 定影片觀看的速度和次數，進而達到差異化教學的目的，亦可彈性利用時間來觀看影片而達 到自主學習。

（三）讓學生複製貼上程式碼

在教法方面，我們突破傳統程式教學「見樹再見林」的教法，改為「見林再見樹」的教 法。傳統程式設計課程從基本語法入手，示範的例子都是很小的問題，而問題與問題之間缺 乏銜接性，學生往往只學到如何解決個別的小問題，對於大問題無法進行拆解，換句話說，

就是教師把每顆樹都詳細介紹，但是沒有帶學生看見整片樹林，而學生也在認識每棵樹的細 節中失去耐性，這也是目前高中端普及化程式教育所面臨的問題。為了讓學生快速掌握程式 設計的用途，我們精心準備了授課網頁(講義)，以提供程式碼的方式讓學生可以複製，到 Python 編輯器貼上，去執行程式碼，看到程式執行的結果後，再回過頭來想程式碼的意義。

使用複製貼上教學法一方面是避免讓學生從零開始，因為不慎拼錯的英文字，造成程式無法 執行，而有挫折感，另一方面，也讓授課老師不要因為忙著幫學生除錯，而沒有辦法帶學生 體會理解程式設計的美好。

（四）設計作業提供學生即時回饋

為了避免學生只是學會複製與貼上的動作，並沒有對程式碼進行閱讀理解，我們為每一 個小單元設計了作業，要求學生能夠針對程式碼關鍵的地方進行修改，以達成課程知識學習 理解的目的，提供學生即時的回饋。在學生完成老師指定的作業後，要上傳(1)心得(2)程式碼 (3)執行結果(擷圖)到網站上。換句話說，我們是先帶學生看到整片樹林，再講解一棵棵的樹

木，然後讓學生能夠在欣賞樹林的同時，一一認識樹木的美好。

在學習程式的過程中，為避免學生因卡關過久失去信心而放棄學習，本研究提供「看解 答」的機制。當學生遇到瓶頸，或程式執行結果與預期不一樣時，除了求救授課老師或同學 外，也可以選擇觀看解答。但在選擇觀看解答時，系統會出現「觀看解答會扣積分，你確定 要看嗎？」的提示語，以提醒學生是否要看解答，或是繼續靠自己解題。

（五）運用分組促進彼此切磋討論與分享

為促進學生彼此合作學習，透過網站設計的機制，老師可以輕鬆地將學生分組，然後指 派每組一位成員擔任小老師，「學然後知不足，教然後知困。教學相長也」我們鼓勵學生擔 任小老師，讓學生能夠透過教別人而自我成長的方式，不僅可以減輕教師的負擔，也讓學生 學習更有成就感。

參、 於高中推行 VPhysics 的困難

一、教師缺乏 Python 程式設計的經驗

由於在物理系的必修課程當中，只有計算機概論是與資訊相關的課程，而且教授不一定 是教 Python，可能是教 C、MATLAB……等其它的程式語言，所以對於高中物理教師而言，

具備 Python 程式設計能力的人數並不多。

在賴錦緣教授主持的計畫支持之下，我們曾經利用寒暑假辦理三天 18 小時的 VPhysics 教師研習，培訓了 59 位中小學教師，成效不錯，大部份教師都能完成自行看影片做作業，

完成 VPhysics16 堂課。因此，如果物理老師對於本課程有興趣，可以透過高慧君老師的教學 網站自學，花 12~18 小時就可以獲得 VPhysics 基本入門知識，更進階技巧可以參考王一哲老 師的線上課程。

二、硬體設備不足

如果想要開設 VPhysics 的選修課，讓每個選課的學生都能實際操作、撰寫程式，勢必要 讓每個學生都有 1 台電腦能用，比較適合在電腦教室上課。但是電腦教室的數量有限，會優 先安排給資訊課使用，對於設備及場地較少的學校而言會有點困難。

未來，隨著學校資訊設備增加，愈來愈多學校可以增設無線網路環境及 Chrome Book，

就可以達成在一般教室上課學生 1 人 1 機的需求，而對於這些使用 Chrome OS 或是無法於電 腦上安裝軟體使用者而言，可以使用線上版的 VPython，網址為 http://www.glowscript.org/。

交通大學林一平教授目前也正在利用物聯網系統 IoTtalk⁴ (Lin, 2017)，開發線上版的 VPhysics 課程網站，可以和手機互動。只是目前仍在測試階段，近期將對外開放。

三、學生缺乏程式語言基礎

即將推行的 108 課綱中規定了名為「探究與實作」的自然科部訂必修，這門課程的學習 內容為「發現問題、規劃與研究、論證與建模、表達與分享」，這與傳統的科學方法「觀察、

解說、預測、確認、評估、發表」相當類似，基本上就是科學家研究問題時使用的方法。我 們認為 VPhysics 課程符合探究與實作特性，目前物理老師可能會對於要教學生寫程式感到陌

生，然而，在 108 課綱實施三年後的高一學生，就有接受過國中三年 6 學分的資訊課，在這 個基礎之上，學生應該會對 VPhysics 的接受度更高。

肆、 結語

身為教育工作者的我們，不應該只專注於自我學科領域的學習，更應該跨領域和各學科 一同發現合作的美好，並帶給學生更豐富的學習與刺激，這也我們致力於研發教材並引入 VPhysics 物理模擬程式設計的初心，我們希望提供跨領域的學習，讓學生能更有動力學習程 式設計，也讓物理抽象化的學習更具體清晰可見，讓學習變得更豐富多元。

從學生學習的現場，我們發現：因為物理視覺化的學習，讓學生對於程式設計學習產生 更強的動力學習。學生對於以物理觀念藉由程式設計的表達，完成視覺化的挑戰，讓原本抽 象的物理被程式「做」出來且「看見」感到有趣。原來透過寫程式模擬物理現象，可以帶學 生回到科學家當初發現物理規則的喜悅。學生不僅探究物理原理，也透過程式碼實作出物理 現象模擬。此外，線上學習雖然能提供很好的教材，然而老師存在的引導與鼓勵，更能激發 學生學習潛能，讓學生獲得更多的成就感。因此，老師存在的必要性，正因為人與人之間的 互動，讓老師與同學能面對面的分享學習喜悅，這應該就是線上課程所缺乏的溫暖。

從教師研習的現場，我們發現：VPhysics 除了帶給老師課程創新外，更是對程式設計的 感動：在虛擬的世界中，運用真實世界的物理規則，以及程式設計的方法，讓物體按照創作 者的意志力運動。如何讓老師自身的經歷與感受，透過視覺化模擬的結果充分展現，傳達這 份感動給學生。正因為這份感動，會讓老師產生更堅強的信念，去克服教學上的困難，專注 於把學生教會。

本課程經近五年的發展與實施，逐步累積了許多寶貴的教學經驗，在我們努力不懈地一 點一滴改進後，目前已經完成了有效教學與差異化教學的課程開發。我們所發展的這個程式 教育翻轉教學模式，不僅適用於學生學習，也可以適用於教師增能研習，我們相信這個模式 適合推廣給其它老師參考。

致謝

本文感謝科技部經費補助（計畫編號：106-2630-S-025-001），並謝謝學生、教師與專家 之參與。

參考文獻

1. 王一哲 (2019)。VPhysics。2019 年 3 月 10 日，取自：https://bit.ly/2HcigEg 2. 石明豐 (2019)。VPhysics。2019 年 3 月 10 日，取自：http://vphysics.ntu.edu.tw 3. 高慧君 (2019)。VPhysics。2019 年 3 月 10 日，取自：

http://coding.nutc.edu.tw/student/lessons/E/

4. Lin, Y.B., Lin, Y.W., Huang, C.M., Chih, C.Y., Lin, P. (2017). IoTtalk: A Management Platform for Reconfigurable Sensor Devices. IEEE Internet of Things Journal, 4(5) 1552-1562.

VPhysics Cross-disciplinary Curriculum Design

Hue-Ching Kao¹, Yi-Zhe Wang²*, Ming-Feng Shih³ and Chin-Yuan Lai⁴

1 Taipei Municipal Nangang High School

2 New Taipei Municipal Zhonghe Senior High School

3 Department of Physics, National Taiwan University

4 Center for General Education, National Taichung University of Science and Technology

*Corresponding author: yizhe@mail2.chshs.ntpc.edu.tw Abstract

Cross-disciplinary learning has become an important topic in the new era of education. This paper reports on the design of interdisciplinary curriculum VPhysics that combined physics concepts in senior high school and Python programming. The teaching strategies, current implementation difficulties and feasibility of future teaching are also been described. We conducted field experiments for students and teachers to test the effects of VPhysics. The findings revealed that this course not only improved students’ difficulty in learning physics, but also cultivated their computing-thinking ability where students could use programming to solve problems. The participated teachers experienced the innovative teaching design, had confidence in cross-disciplinary teaching, and learned concepts and skills that integrate programming and physics instruction. These results showed that this course is worth promoting continuously in the future to improve the quality of physics and programming teaching and thus to fulfill the cross-disciplinary teaching and learning.

Key words

:

實驗設計論文

利用發光二極體進行普朗克常數量測

徐義鴻 余進忠*

國立高雄大學 應用物理學系

*通訊作者：yucc@nuk.edu.tw

（投稿日期：民國 108 年 06 月 03 日，接受日期：108 年 06 月 19 日）

摘要：近代物理實驗中常以光電效應為基礎去進行普朗克常數的量測，為避免外 界光線干擾，光電效應實驗往往需在暗室中進行，並需要一抽真空的光電二極管 作為光電效應發生的環境，整組器材要價不斐，若本體以玻璃製作則容易撞擊破 裂，因此不利存放及推廣的進行。本文中，我們改以發光二極體作為實驗對象，

利用電致發光所提供的能量恰為光子能量來進行普朗克常數的推估，實驗器材係 透過 Arduino 主板與相關電子元件來實現定電壓源及電壓、電流量測，並以手機 APP 進行實驗參數控制及接收數據。由於整個實驗系統以鋰電池供電且器材體積 小，因此適合於普通教室進行實驗操作且不受環境影響。其成本低廉、體積小，

十分符合推廣物理教育目的。

關鍵詞：普朗克常數、電致發光、二極體、p-n 接面、內建電場、Arduino、電壓 源、電壓量測、電流量測

壹、 前言

普朗克常數(Planck’s constant)是一重要的基本物理常數，在量子領域中佔有重要的角色

，在此常數被發現前，大部分物理學家們認為能量是連續的，直到 1900 年，馬克斯·普朗克 (Max Planck)在研究物體熱輻射現象時發現，只有假定電磁波的發射和吸收的能量是不連續 的，如此理論計算的結果才能與實驗結果相符。此即能量量子化的假說，亦即電磁輻射的能 量為 E = hν，其中ν是頻率，並引入了一個重要的物理常數 h，稱之為普朗克常數，而熱輻 射能量只能以不可分的量子(quanta)的形式向外輻射。這樣的假說調和了古典物理學理論研究 熱輻射現象時所遇到的矛盾。基於這樣的假設，他給出了黑體輻射的普朗克公式，圓滿地解 釋了實驗現象。這個成就揭開量子論的序幕，因此馬克斯·普朗克被視為近代物理學的開拓者 之一。[1,2]

在近代物理實驗中，一般是以光電效應實驗來測定普朗克常數，於此實驗中，當入射光

10.6212/CPE.201907_20(1).0003

頻率高於底限頻率時，足夠能量的電磁波(又稱光子(photon))照射在一金屬板上時，光子會激 發金屬板內的束縛電子，使其克服功函數(work function)並從金屬板上逃脫，進而形成光電子

。實驗常以汞燈做為光源並利用濾光片選擇色光(頻率)，照射在光電二極管，然後記錄其截 止電壓，再做頻率對截止電壓之關係圖，其圖形呈現一斜直線，斜率為ℎ 𝑒⁄ ，再將斜率乘上 e

，即可得普朗克常數。[3,4,5]

但如果要以光電效應進行普朗克常數測定並做推廣，將面臨以下幾個問題：(1)實驗要在 暗室中進行，以屏蔽外界光線、(2)器材裝置要價不斐，一個授課班級僅少數學生可以進行實 驗、(3)光電二極管受到撞擊易破碎，面臨器材移動及保存問題、(4)體積大器材重不利於教育 推廣的進行。[3] 因此在此實驗設計中，我們利用發光二極體的電致發光(electroluminescence) 現象，透過量測其電流-電壓曲線(current-to-voltage curve)計算出產生光子所需的能量，亦即 外加電場所提供的能量恰為光子能量，來進行普朗克常數的量測。實驗器材係透過手機 App

、Arduino Nano 板與相關電子元件實現定電壓源施加及電壓、電流量測，透過此一方式可避 免傳統光電效應的缺點，並可將實驗器材縮小化適合一般教室使用。

貳、 實驗裝置

為了便於推廣，所用之電子器材都是以方便取得且便宜為主，利用簡易的電子電路元件、

Arduino 相關模組，並搭配智慧手機來進行實驗。表 1 為本實驗所使用到的電子元件與 Arduino 相關模組清單。圖 1 為實驗組裝線路圖，圖 2 為實際組裝後的實驗裝置成品。

表 1 實驗所需材料

編號 元件名稱 用途

1 10Ω精密電阻 使用在測量電流部分，通過量測電壓差及已知的電阻來

計算電流值(I =^𝑉_𝑅)

2 9V 電池 提供 Arduino nano 主板電源

3 共陰/陽 RGB LED 發出紅、綠、藍色光，此種 LED 不會有摻雜螢光粉，

可較為準確產生單色光

4 Arduino nano 單板微控制器 將程式碼燒錄進主板後，對相應腳位做輸出或接收訊號 5 HC-05 藍牙模組 與手機藍牙連結，做訊號的接收與傳送

6 MCP4725 12 位元 DAC 轉換模組 將數位訊號轉換為類比輸出，負責控制輸出 0 至 5V 的 DC 電壓給 RGB LED

7 ADS1115 16 位元 ADC 轉換模組 將接收到的電流類比訊號轉換為數位訊號，並提高接收 的位元，以提高電流解析度(註:一般 Arduino 主板內建 的是 10 位元 ADC 轉換器

圖 1：利用 Fritzing 繪製的實驗線路圖

圖 2：實驗裝置成品

參、 裝置原理與實驗量測

一、 p-n 接面(p-n junction)

將 p 型半導體與 n 型半導體採用一些特殊製程相互結合，在二者接觸面的位置形成一 p-n 接面。p 型、n 型半導體由於分別含有較高濃度的「電洞」和「自由電子」，存在濃度梯 度，所以二者之間將產生擴散運動，亦即自由電子由 n 型半導體向 p 型半導體的方向擴散；

而電洞由 p 型半導體向 n 型半導體的方向擴散。載子經過擴散的過程後，擴散的自由電子 和電洞相互結合，使得原有的 n 型半導體的自由電子濃度減少，同時原有 p 型半導體的電洞 濃度也減少，造成結合面附近的區域內缺乏載子，形成空乏區（depletion region）。

然而 n 型半導體中的電子並不會不斷的透過接合面與 p 型半導體的電洞結合，直到所 有的電子與電洞都消失；實際的情形卻是，靠近接合面的 n 型半導體失去一些電子，變成正 離子，p 型半導體失去一些電洞形成負離子，這些正負離子會在接合面附近形成一電場，阻 止電子與電洞的繼續結合（正離子排斥電洞，負離子排斥電子），並達到熱平衡，使得接合 面附近只有離子，沒有載子（電子或電洞），並在兩半導體中間位置形成一個由 n 型半導體 指向 p 型半導體的「內建電場(built-in electric field)」。圖 3 所示 p-n 接面於零偏壓與熱平衡下 的載子、內建電場及內建電位分布情形。[6]

當施加一電流由 p 型流向 n 型半導體，亦即外加一電壓的負極接在 n 型半導體，此時電 子由 n 型半導體注入，內建電場寬度縮小，稱為順向偏壓，至內建電場寬度為零後，電流開 始通過接面；反之，如施加一電流由 n 型流向 p 型半導體，則內建電場寬度變大，此時電流 將更難以通過 p-n 接面，稱逆向偏壓，因此 p-n 接面具備二極體(diode)性質。如施加順向偏 壓，超過內建電位後電子與電洞將復合，並將所帶有的能量轉為光子，具此特性的二極體稱 為發光二極體(light-emitting diode, LED)。[7]

圖 3：p-n 接面在零偏壓與熱平衡狀態下。(取自維基百科並重畫[8])

於 n 型半導體中電子的能量處於導帶(conduction band)的下緣，而 p 型半導體中的電洞 的能量則位於價帶(valence band)上緣，當施加順向偏壓克服此一內建電場後，使得電子與電 洞復合，放出的光子能量(ℎ𝜈)恰等於能隙(energy gap)寬度，亦等於載子克服內建電場所需的 能量(𝑒𝑉₀)。[9] 其公式如下：

𝑒𝑉₀= ℎ𝜈 ………(1) 其中𝑒𝑉₀ 為克服內建電場所需的能量，ℎ𝜈 為光子能量。

上述物理式(1)中， 𝑒 = 1.6 × 10⁻¹⁹C 視為已知，𝑉₀為內建電位、𝜈為光波頻率，透過實 驗量測𝑉₀及𝜈，即可得出普朗克常數 ℎ。

二、 量測原理及實驗操作程序

（一）電壓源

為縮小化及利於教學推廣，我們利用 Arduino 自製可控的電壓源，及電壓、電流量測裝 置。以 Arduino Nano 作為主板，利用 12 位元的 digital-to-analog converter (DAC)模組 MCP4725 [10]，做為 0 至 5V 輸出的電壓源，以電壓上限 5V 為例，12 位元解析度表示有將2¹²= 4096 個不同的類比訊號編碼，可以表示成 0~4095，則我們的訊號在輸出時的解析度為5/(2¹²− 1) ≅ 0.001V，表示數位訊號上升一個單位約 1mV，若輸出的值為 100，12 位元解析度的數 位訊號為 000001100100，輸出的電壓約為100 × 1mV = 100mV。[11]

MCP4725 與 Arduino 主板係透過 I2C（Inter-Integrated Circuit）介面傳送資料，當欲透過 程式輸出電壓值𝑉_𝑜𝑢𝑡，則可依以下公式轉換：

𝑉_𝑜𝑢𝑡

5 × 4095 = 𝑉_𝐷

𝑉_𝐷即為輸出電壓值的數位訊號，將𝑉_𝐷帶入 MCP4725 的專用函式，即完成特定電壓的輸 出。

（二）內建電位(build-in potential)的量測原理

透過量測發光二極體的電流－電壓曲線，可以得出二極體的內建電位。常見的方式係利 用一般的電源供應器提供一電壓於發光二極體兩端，並串接一電表量測通過二極體的電流，

將施加的電壓與通過的電流數據分別記錄下來，即可繪製發光二極體的電流－電壓曲線。(註：

施加電壓時應由小到大且為順向偏壓，通過發光二極體的電流應盡量保持在 20mA 以下，以 避免發光二極體燒壞。)

此 處 我 們 將 發 光 二 極 體 串 聯 一 小 電 阻 ( 在 此 使 用 10Ω精 密 電 阻)， 使用 16 位 元 analog-to-digital converter (ADC)模組 ADS1115 [12]，測量下圖 4 標示𝑉₂測量點的電位。利用 輸出電位(𝑉₁)減去量測點電位(𝑉₂)，即為發光二極體兩端的電位差(𝑉₁− 𝑉₂)；而流經二極體 的電流，則由電阻 R 兩端的電位差除以電阻值得出(I = 𝑉₂/𝑅)。