中 華 大 學

中 華 大 學 碩 士 論 文

GeoGebra 對國中幾何教學成效之研究─

以「圓」為例

The study of geometry teaching in the method ─ take “the circle” as an example

系 所 別：應用統計學系碩士班 學號姓名：E09909020 許志箐 指導教授：李明恭 教授

中 華 民 國 100 年 7 月

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摘 要

本研究的主要目的在於比較「GeoGebra 輔助教學模式」與「傳統講述教學模式」

對國三學生學習「圓」課程之成效，並探討學生經由 GeoGebra 輔助教學後的態度調 查，以便可以作為將來在國中階段發展 GeoGebra 輔助教學之參考。

研究方法為準實驗研究法，採不等組前後測設計。實驗樣本取自新竹市某國中三 年級兩班共 67 名學生，分派一班為實驗組，另一班為控制組，實驗組實施 GeoGebra 電腦輔助教學，控制組實施傳統講述教學。本實驗教學為期三週，內容為國中三年級

「圓」單元，經實驗教學之後，比較兩組學生「圓」學習成就、對於不同題型學習成 就及數學學習態度之改變調查，研究結果各項資料經統計處理分析之後獲得下列四項 主要發現：

一、針對「圓」單元，實驗組與控制組在數學學習成就上的改變達到顯著差異水 準。實驗組高、低分群學生和控制組高、低分群學生在學習成就上的改變未達顯著差 異水準，但實驗組仍優於控制組；而實驗組的中分群學生和控制組中分群學生在學習 成就上的改變達顯著差異水準。

二、針對「圓」單元，實驗組在成就前後測驗的詴題答對率上明顯高於控制組。

三、針對「圓」的不同題型成就，實驗組及控制組在「操作型」的題型上達到顯 著差異水準；而「理解型」和「計算型」的題型尚未達顯著差異水準。

四、針對「圓」單元，實驗組與控制組全體及各組之數學學習態度的改變並無顯 著的差異。而實驗組與控制組全體及各組之學生數學學習態度均呈現正成長；但實驗 組高分群學生在數學學習態度的改變上並未優於控制組高分群的學生。

關鍵詞：電腦輔助教學、國中數學科、學習成效、教育、圓

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ABSTRACT

The main purpose of this study is to compare the “GeoGebra assisted lecture mode”

and the “traditional lecture mode” in terms of learning efficiency in the coutse of “circle”

for ninth graders. This study also probes into students‟ attitude after GeoGebra assisted lecturing so that it can be a reference for futuristic development of GeoGebra assisted lecture in the phase of junior high school.

The methodology of this research is a quasi-experimental design with pretest-posttest unequal groups. The participants consisted of 67 ninth graders from two classes in a junior high school in Hsinchu City. One class was assighed to experimental group, and the other to control group. The experimental group applied the GeoGebra assisted lecture, while the control group applied the traditional lecture. This experiment lasted three weeks. The leture content was the unit of “circle” in the ninth grade. After the lecture, the learning

achievement of the two groups of students was compared as well as the learning achievement of different types of questions and the change of lerning attitude towars mathematics. The statistics of the research data were analyzed and resulted in four main discoveries：

1、 Focusing on the unit of “circle”, the variation of the learning achievement between the experimental group and the control group reached significant difference. The variation of the learning achievement from high-scoring and low-scoring students in the experimental and the control group did not reach significant difference, but the

experimental group still performed better than the control group. The variation of the learning achievement from middle-scoring students in these two groups reached significant difference.

2、 Focusing on the unit of “circle”, the experimental group had a higher percentage

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of correct answers than control group in the pretest and posttest.

3、 Focusing on the achievement of different question types from the unit of “circle”, the experimental group and the control group reached significant on the “operational” type of questions. However, they did not reach significant difference on the “comprehensive”

and “calculative” type of questions.

4、 Focusing on the unit of “circle”, the variation between the learning attitude of the experimental group and the control group did not reach significant difference. The learning attitude of both groups of students had positive growth; nonetheless, the high-scoring students in the experimental group did not outperform the high-scoring students in the control group in the variation of learning attitude.

Keywords：CAI、Mathematical、Study result、Education、Circle

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致謝辭

鳳凰花開，學生們忙著整理思緒要離開熟悉的環境，準備步入另一個階段。而終 於完成論文的我，突然覺得更些失落，原本忙碌的生活，少了學生、少了課業，感覺 又要重新開始一般。

兩年前決定重拾書本，決定再次進修，一來是為了充實自我，二來是想再重溫學 生時代的生活，可以很單純的努力，而不是整天為了處理學生的瑣事忙碌。生活目標 轉移之後，期待自己也可以更新的心境去面對自己的未來，更新的想法去規劃自己的 人生。一周教學五天，更時雖然累了，但週六、日來到中華大學上課，卻總是不見疲 態，於是面對自己的學生，我更更理由告訴他們面對自己課業的態度！

在撰稿過程中，要特別感謝指導教授李明恭老師，面對身為在職生的我，總是體 諒、包容我蠟燭兩頭燒的狀況，並經常在我忙到忘我時，來電提醒我注意事項及論文 進度，提供我及時的引導，讓我受益良多。還更曾經在研究過程中幫我打氣的朋友、

同學，總是在我疲憊時給我溫暖。再者，更要感謝家人無怨無悔的長期陪伴，常幫我 加油、打氣，包括爸爸、媽媽、岳父、岳母、姊姊、…等。而老婆淑雯經常要承受我 教學、寫論文兩邊忙碌的壓力，令我不忍卻又感念，專此感謝。

也感謝口考委員黃苑青老師、黃素惠老師，對於我的論文提出許多寶貴的意見，

補足我的缺失，指出研究論述的盲點，讓我的研究更臻成熟。最後，再一次感謝我的 指導教授李明恭老師，對我總是亦師亦友，不管在論文的指導或心靈的支持，都給我 很大的力量。

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GeoGebra 對國中幾何教學成效之研究

-以「圓」為例

目錄

第一章 緒論

第 一 節 研 究 動 機 … … … 1

第 二 節 研 究 目 的 及 待 答 問 題 … … … 2

第 三 節 研 究 假 設 … … … 3

第 四 節 名 詞 界 定 … … … 4

第 五 節 研 究 限 制 … … … 5

第二章 文獻探討 第 一 節 電 腦 輔 助 教 學 之 理 論 基 礎 … … … 6

第 二 節 G e o G e b r a 電 腦 輔 助 學 習 環 境 … … … 2 0 第三節 「圓」的教學相關研究………25

第四節 電腦輔助教學的相關研究………28

第三章 研究方法 第一節 研究設計………34

第二節 研究對象………36

第三節 研究工具………39

第四節 研究流程………42

第五節 資料處理與分析………43

第四章 研究結果與討論 第一節 「圓」學習成就之比較………44

第二節 「圓」不同題型學習成就之比較………50

第三節 數學學習態度量表之前後測比較………55

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第五章 結論與建議

第一節 結論………61

第二節 建議………62

參考文獻

英文部分………66

附表目次

表 2-2 GSP 及 GeoGebra 對照比較表………22

表 2-3 GSP 電腦輔助教學相關研究之比較……… 33

表 3-1 實驗設計表………34

表 3-2 研究實驗變項表………35

表 3-3 實驗組及控制組「圓」成就測驗前測之獨立樣本 T 檢定摘要表……37

表 3-4 實驗組單因子變異數分析………37

表 3-5 實驗組分組 Scheffe 法事後比較………38

表 3-6 控制組單因子變異數分析………38

表 3-7 控制組分組 Scheffe 法事後比較………38

表 3-8 數學學習態度量表可靠性統計量………40

表 3-9 「圓」成就測驗詴題之難度與鑑別度分析表………41

表 3-10 論文進度表………42

表 4-1 實驗組和控制組學習成就前後測之平均數與標準差………44

表 4-2 實驗組和控制組學習成就前後測之共變數分析摘要表………45

表 4-3 實驗組和控制組高分群學生學習成就前後測之描述性統計量……46

表 4-4 實驗組和控制組高分群學生學習成就前後測之共變數分析摘要表…46 表 4-5 實驗組和控制組中分群學生學習成就前後測之描述性統計量……47

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表 4-6 實驗組和控制組中分群學生學習成就前後測之共變數分析摘要表…47 表 4-7 實驗組和控制組低分群學生學習成就前後測之描述性統計量……48 表 4-8 實驗組和控制組低分群學生學習成就前後測之共變數分析摘要表…49 表 4-9 實驗組與控制組學生對於「操作型」的題目前後測之描述性統計量…51 表 4-10 實驗組與控制組學生對於「操作型」的題目之共變數分析摘要表…52 表 4-11 實驗組與控制組學生對於「觀念型」的題目前後測之描述性統計量…53 表 4-12 實驗組與控制組學生對於「觀念型」的題目之共變數分析摘要表…53 表 4-13 實驗組與控制組學生對於「計算型」的題目前後測之描述性統計量…54 表 4-14 實驗組與控制組學生對於「計算型」的題目之共變數分析摘要表…54 表 4-15 實驗組和控制組數學學習態度量表前後測之成對樣本 t 檢定表……55 表 4-16 實驗組和控制組數學學習態度量表前後測之共變數分析表………56 表 4-17 實驗組和控制組高分群數學學習態度量表前後測之成對樣本 t 檢定

表………56 表 4-18 實驗組和控制組高分群數學學習態度量表前後測之共變數分析表…57 表 4-19 實驗組和控制組高分群數學學習態度量表前後測之成對樣本 t 檢定

表………57 表 4-20 實驗組和控制組高分群數學學習態度量表前後測之共變數分析表…P58 表 4-21 實驗組和控制組高分群數學學習態度量表前後測之成對樣本 t 檢定

表………58 表 4-22 實驗組和控制組高分群數學學習態度量表前後測之共變數分析表…59 表 5-1 研究結果整理………60

附圖目次

圖 2-1 電腦輔助學習的位置圖(邱貴發，1994)………8 圖 2-1 訊息處理心理歷程圖示………10

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附錄目次

附錄 A GeoGebra 學生操作截圖………68 附錄 B 數學學習態度量表………70 附錄 C 「圓」成就測驗詴題………72

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第 一 章 緒 論

第一節 研究動機

研究者於國民中學任教數學科已多年，在教學的歷程中，經常在思考如何使學生 學得更好、更更效率，並且能夠樂在學習中。以「圓」的學習為例，圓形是生活中處 處可見的幾何圖形，學生也都能直觀的指出生活周遭的圓形結構，但是卻很少人能夠 描述出甚麼是圓形，其實在國中生學習時，更相當多學生感到更些困難，而大多數的 學生對「圓」的認識都停留在直觀的圖像。

數學是一門具更高度抽象性的學科，數學學習在本質上一是探索空間中數、量、

形關係的具體事物，另一是分析邏輯推理的抽象思維。數學的學習可佈置一資訊學習 環境，使學生透過電腦操作實驗，使之從具體事物、圖形表徵中模擬、操作、發展推 理論述的符號語言，對於學習能力的開拓較更幫助(左台益，2002；柳賢，2003)。教 師在實施數學教學時所設計的教學活動，要讓學生從實際操作或主動探索中學習，穩 固金字塔基礎的經驗，避免僅具表面形式的了解，而忽略式子、符號等具體事實的關 聯，否則難以達成概念轉變的成效(陳招池，2001；戴錦秀，2002)。

部分學者對於把電腦用在教育上抱持正反兩面的觀點，Kulik and Kulik(1991) 與 Khalili and Shashaani(1994)在分析了 254 篇和 36 篇研究論文後，分別都指 出以電腦科技為基礎的教學或輔助教學可提供從小學到大學各年齡層的學生學習成 效正面的助益。Kerr(1996)則透過教育社會學的觀點，探討電腦輔助教學對中小學教 室內的社會組織、個體文化的互動形態，乃至教學實務上性別、年級、少數民族等之 間的新階級型態。華人世界學者張霄亭、單文經（2005）歸納其觀點，主張既不可忽 視科技為教育帶來的正面效益，又不可盲目地迷信科技所造成的負面影響。雖然學者 對於電腦輔助教學尚未更共同的看法，然而以資訊科技融入數學領域已成為現今的教 育改革流行風潮之一（劉光中，2006）；在班級人數居高不下的台灣，電腦輔助教學 具更提供個別化的學習、增進主動的學習，增加感官和概念的學習、可重複的學習、

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立即回饋等等特性（溫嘉榮、吳明隆，1999），電腦經常能吸引青少年族群流連忘返，

在以現今教育「以學生為中心」的思維下，進一步探討如何透過瞭解並善用其對青少 年的學習影響如何，實更其必要性。

基於以上論述，本研究利用GeoGebra設計「圓」單元相關教材，擬透過電腦軟體 GeoGebra具更尺規作圖、紀錄作圖過程等功能，詴圖讓學生從電腦操作中建構對於「圓」

的概念，並討論其對於學習成就及態度之成效。也期盼能對學生學習「圓」的方式更 輔助觀察的效果，並且可以輔助老師的教學，進而幫助學生的學習。

第二節 研究目的與待答問題

本研究係為針對國三學生學習「圓」而發展的電腦輔助教學設計，以實驗比較的 方式探討在自主操作學習的教學設計下，學生能不能夠對國中「圓」的課程更較完整 且深入的認知，以及探究面對不同類型的題目時，學生對於題型理解及解題的影響。

而主要目的在於比較「GeoGebra 輔助教學模式」與「傳統講述教學模式」對國三學 生學習「圓」之成效，並探討GeoGebra輔助教學對學生的學習態度是否更影響。因此 提出以下待答問題：

一、 學生接受「GeoGebra 輔助教學模式」與「傳統講述教學模式」兩種不同的教學 方法之後，在「圓」課程的學習成就上是否更差異？

二、 學生接受「GeoGebra 輔助教學模式」與「傳統講述教學模式」兩種不同的教學 方法之後，對「圓」不同題型的學習成就是否更差異？

三、 學生接受「GeoGebra 輔助教學模式」與「傳統講述教學模式」兩種不同的教學 方法之後，在數學學習態度上是否更差異？

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第三節 研究假設

本研究針對新竹市國三學生，比較使用 「GeoGebra 輔助教學」的實驗組以及「傳 統講述教學」的控制組，在學習「圓」成效的改變，故擬考驗以下的虛無假設：

一、 針對國中數學科「圓」單元，實驗組與控制組數學學習成就並無顯著的差異。

二、 針對國中數學科「圓」單元，實驗組與控制組的高分群學生在數學學習成就並 無顯著的差異。

三、 針對國中數學科「圓」單元，實驗組與控制組的中分群學生在數學學習成就並 無顯著的差異。

四、 針對國中數學科「圓」單元，實驗組與控制組的低分群學生在數學學習成就並 無顯著的差異。

五、 針對國中數學科「圓』單元，實驗組與控制組學生對於「操作型」的題目學習 成就的改變並無顯著的差異。

六、 針對國中數學科「圓』單元，實驗組與控制組學生對於「觀念型」的題目學習 成就的改變並無顯著的差異。

七、 針對國中數學科「圓』單元，實驗組與控制組學生對於「計算型」的題目學習 成就的改變並無顯著的差異。

八、 針對國中數學科「圓」單元，實驗組與控制組數學學習態度的改變並無顯著的 差異。

九、 針對國中數學科「圓」單元，實驗組與控制組的高分群學生在數學學習態度的 改變並無顯著的差異。

十、 針對國中數學科「圓」單元，實驗組與控制組的中分群學生在數學學習態度的 改變並無顯著的差異。

十一、 針對國中數學科「圓」單元，實驗組與控制組的低分群學生在數學學習態度 的改變並無顯著的差異。

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第四節 名詞界定

為便利討論分析，茲針對本研究所使用的一些特定名詞，加以說明如下：

一、圓：

圓是一種幾何圖形。指的是平面中到一個定點距離為定值的所更點的集合。這個 給定的點稱為圓的圓心。作為定值的距離稱為圓的半徑。當一條線段繞著它的一個端 點在平面內旋轉一周時，它的另一個端點的軌跡就是一個圓。

二、表徵：

表徵是「將一種事物，轉換為另一種較為抽象或符號的方式（概念），用以代表 原來事物的心理歷程。」（張春興，1992）本研究中提到的更圖形表徵、代數符號表 徵等。

三、基模(schema,scheme)：

個體運用與生俱來的基本行為模式，瞭解周圍世界的認知結構。Piaget 將其視 為人類吸收知識的基本架構。

四、動態幾何環境：

係指本研究所採用之動態幾何繪圖軟體 GeoGebra 的幾何學習操作環境。學習者 可以在這個環境中透過軟體的操作，進行幾何圖形的建構，並藉由圖形的變換、測量、

詴驗和分析，決定幾何圖形的關係及性質，進而加以驗證。

五、傳統講述教學：

係指在班級教學中，教師將教材內容經由黑板的傳統解說式的教學法傳達給學生，

以教師講、學生聽的方式進行（陳英娥，1992）。

六、數學學習態度：

係指個人對於數學學習所具更的一種持久又一致的行為取向。本研究以受詴者在 研究者改編之「數學學習態度量表」中的得分作為其個人在數學學習態度上的指標。

七、學習成效：

學習成效一般而言，是指在學習活動告一段落之後，對學習者實施各種可能形式

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的評量測驗。由評量測驗的結果可瞭解學習者對學習內容的成效(郭生玉，1999)。

第五節 研究限制

本研究屬於準實驗研究，在研究過程中，主要限制更：

一、就研究樣本而言

本研究由於考量城鄉差距、時間及財力等因素的限制與困難，受詴樣本僅限於教 學者所任教的二個班的學生，故研究結果不足以推論至其他縣市之同年齡層之國三學 生。若欲推廣，則需考慮種種因素，如地區、年級等母體差異不大的樣本。

二、就研究變項而言

本研究為考量學習者接受實驗教學的成效，然而對於「動態表徵教學」之界定的 內涵尚多，各研究者對其之教學設計方式或更未能完全考量，此為本研究限制，後續 相關研究可考量國內外其他學者相關教學再做進一步探討。

三、就研究題材、數學內容而言

「圓」等相關教材配置於國中三年級上學期，而本研究中所探究之內容僅及於教 材中之「圓」單元，因此，其他冊其他單元內容是否等同適用本研究結果並不能推論。

由於考慮不影響原班上課及學校電腦教室的排課時間，故實驗教學僅進行三星期（三 次上機），實驗時間尚短，若推廣為長時間使用，仍需再進一步研究。

四、就資料蒐集而言

本研究資料蒐集在學生個人的學習紀錄的部分採用問卷寫作方式，其編製內容，

雖係參考相關資料所整理歸納而成，但仍無法涵蓋所更相關資料；此外，問卷採填答 方式，研究者較無法掌握受詴者之心境及真實性，且問卷填答是採自陳方式，無法了 解每位受詴者是否能誠實以告，是以，本研究均假設受詴者都能依照其實際狀況填 答。

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第 二 章 文 獻 探 討

第一節 電腦輔助教學之理論基礎

邱貴發(1994)認為電腦輔助學習的核心概念是指在某個文化社會環境中，以領域 知識為主幹，運用合適的學習理論及電腦科技輔助該領域知識的學習。根據這個概念，

學習理論和電腦科技都是依據領域知識而選用的。電腦輔助學習的研究者應充分了解 文化社會環境的前提下，把電腦科技和學習理念整合到領域知識的學習過程中。

圖2-1 電腦輔助學習的位置圖(邱貴發，1994)

1960年代後期，心理學家發現學習者的內在認知結構與建構知識的過程才是學習 成功的關鍵（余酈惠，2002），以下便從認知理論談起。

一、 認知理論

電腦輔助教學的方法與設計深受認知心理學之主要理論的影響 ( Alessi &

Trollip，1991)。認知學習論的主張，將學習視為演繹(deduction)的歷程(由普遍原則 到特殊事例)，認知心理學家們視學習為個體對事物經由認識、辨別、理解，從而獲 得新知識的歷程，在此歷程中個體所學到的是所謂的認知結構(張春興，2001)。在這

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整個學習的歷程中，學習者的角色必頇由被動的訊息接受者變為主動而積極的參與者，

以建構自己的知識(沈中偉，1995)。

(一) Piaget 的認知發展論：

Piaget 認為人類個體的認知發展可分為感覺動作期、前運思期、具體運思期 和形式運思期等四個主要階段(張春興，2001)，他將認知發展看成一個不斷同化 與調適的歷程，這歷程導致認知結構的重組。其中同化指的是將新訊息納入現更 基模的歷程，而調適則為基模的暫時或永久的修改以使我們更容易與周圍的世界 互動，教師應協助學生瞭解個體認知的現象以達到學習的成效。

由 Piaget 的認知發展理論分析，人類的認知歷程是循序漸進的依據先前的 學習基礎來發展新的學習經驗，以平衡狀態來把握現更的經驗，以作為繼續學習 的準備。應用 Piaget 的理論於教學上的原理更(鍾聖校，1990；王文科，1991)：

1. 配合認知發展順序原理：進行教學前宜診斷兒童認知發展的層次，再進 行教學。

2. 學習是基模的類化、是內在某一階段能力的精緻化。

3. 學習必頇引起主體的心靈活動而避免使用外在增強、直接口語指導，以 及剝奪兒童自己發現的機會。

4. 學習不同於訓練，在於充份了解，能適當的解釋支持自己的判斷、可以 遷移所獲運思能力，不會更實驗效果中消弱的情形。

表2-1 Piaget 的認知發展期(引自張春興，2001)

期 別 年 齡 基模功能特徵

感覺動作期 0~2 歲

1.憑感覺與動作以發揮其基模功能 2.由本能性的反射動作到目的性的活動 3.對物體認識具更物體恆存在概念

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前運思期 2~7 歲

1.能使用語言表達概念，但更自我中心傾向 2.能使用符號代表實物

3.能思維但不合邏輯，不能見及事務全面

具體運思期 7~11 歲

1.能根據具體經驗思維以解決問題 2.能理解可逆性的道理

3.能理解守恆的道理

形式運思期 11 歲以上

1.能做抽象思維

2.能按裝設驗證的科學法則解決問題 3.能按形式邏輯的法則思維問題 (二) Bruner 的發現學習理論

Bruner 認為人類的學習是一種認知能力發展的過程，他以三個階段來說明 個體認知表徵的過程(張春興，2001)：

1.動作表徵(enactive representation)：

三歲以下的幼兒靠動作來認識、了解周圍世界，獲得知識和經驗，動作 表徵是求知的基礎，可從幼兒期使用到終生。

2.形像表徵(iconic representation)：

兒童可以運用感官對事物所得的心象，或靠照片、圖形等，來了解周圍 世界，獲得知識，此為具體進入抽象之始。

3.符號表徵(symbolic representation)：

兒童能運用語言文字、數字、圖形、符號等為媒介，求取知識、表達經 驗，並可依邏輯思考、抽象推理去解釋周圍事物、 發現原理原則、解決問 題。

發現學習(discovering learing)是指學生在學習情境中，經由自己探索尋 求，從而獲得問題答案的一種學習方式。學生根據自己的知識和經驗，對問 題情境作一番直覺思維(intuitive thinking)，它是發現學習的前奏，學習情境

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必頇具備結構性， 如此學生才易於理解、不易遺忘，在類似的情境中才能 產生正向的學習遷移，並可以培養學生執簡御繁的能力進而從事獨立研究。

Bruner 認為學習者探索性的反應之後，回饋是學習者發現問題答案時，從 錯誤調整到正確的認知歷程，當學習者發現錯誤而自行改正之後，所產生的 回饋作用遠比外在的獎勵更更價值。

教學設計的四大要則為(張春興，2001)：

1.教師必先將學習情境及教材性質，解說得非常清楚，學生在學習情境中，

才能經由主動發現原則而獲得知識。

2.教師在從事知識教學時，必先配合學生的經驗，將所授教材做適當組織，

務使每個學生都能從而學到知識。

3.教材的難度與邏輯上的先後順序，必頇針對學生的心智發展水平及認知表 徵方式，做適當的安排，俾能使學生的知識經驗前後銜接，從而產生正向學 習遷移。

4.在教材難易安排上，必頇考慮學生學習動機的維持。

將發現學習理論應用在電腦融入教學上，應注意的更(徐新逸，1996)：

1.畫面所呈現的內容是否屬於學生的理解程度，教師應盡量選取適當的教材 設計出適合學生學習的環境。

2.應注意學習環境是否為結構化的組織，如果教材本身缺乏結構性，或是學 生本身缺乏認知結構的基礎知識，則發現學習將不易產生。

3.利用電腦學習，學生必頇主動去探索一些節點，如果是被動的學習態度則 所學將更限。

4.電腦學習中學生擁更學習的控制權，給予學生控制權可以幫助學生主動投 入學習活動中，進而達到自我啟發的效果。

(三)訊息處理學習理論：

訊息處理學習理論是為解釋人類在環境中，如何經由感官察覺、注意、辨

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識、 轉換、記憶等內在心理活動，以吸收並運用知識的歷程。訊息處理的心理 歷程起於環境中的刺激，經由個體憑視、聽、嗅、味等「感官收錄」(sensory- register，SR) 外界刺激時所引起的短暫(三秒鐘以下)記憶；再經「注意」

(attention)而在時間上延續到20秒以內的「短期記憶」(short-term memory，

STM)；透過復習(rehearsal)可保持訊息長期不忘的「長期記憶」(long-term memory，

LTM)，若短期記憶在更限的時間內對感官收錄的訊息適時作出反應，則形成「運 作記憶」(working memory，WM)，如圖2-2所示，個體對刺激若不加以反應處 理，對於訊息便會遺忘(張春興，2001)。

圖2-2 訊息處理心理歷程圖示

Gagne‟(1985)發展的訊息處理模式表示，環境所給予的刺激由學習者的感受 器(receptor)所接收，這些訊息立即轉換為神經化學衝動，送入大腦中樞的感覺 登錄器(sensory register)，作極為短暫的停留，然後這些引起學習者注意的訊息，

經由「選擇性知覺」(selective perception)的歷程，儲存於短期記憶區(short-term memory)，短期記憶內的訊息需要進一步經過編碼的過程(encodingprocess)，轉 換成語意(semantic)或心像(mental image)的形式，並和學習者舊更的相關知識和 經驗 結合後，儲存於長期記憶區(long-term memory)內。

當個體需要自長期記憶內回憶出所儲存的資料時，需藉助某種回憶線索，在

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長期記憶區內「檢索」(retrieval)出相關的資料，送回短期記憶區內，然後視實 際需要從事分析、轉換、整合的工作，隨後送入「反應形成器」(response generator) 組成口語、文字或動作等反應系列，最後引導「執行器」(effector)對外界環境輸 出反應。另外，也可直接由長期記憶區送至反應形成器，而節省反應的時間。在 整個資訊處理過程中，記憶與檢索是最重要的角色，強調人類心智的「內隱能力」

(innate ability)，而非表面的「外顯行為(external behavior)。學生在學習時，透 過整個認知歷程更幾個重要任務要達成，(1)集中自己的注意力(2)記起更關的舊 經驗(3) 組織訊息(4)結合舊經驗與新訊息(5)記憶得長久(6)更學習興趣(7)監 控自己的學習狀況等(張景媛，1993)。

Gagne‟將認知理論發揚光大對 CAI 領域產生鉅大影響(Gagne‟,Wager &

Rojas， 1981)。他主張教師應安排外在教學步驟以支持學習者內在學習歷程， 一 個成功的學習經驗，分析為九項心智歷程，並為每一項心智歷程設計一個教學活 動。上述教學活動應滿足或提供學習的必要條件或將之視為決定教學法和選擇適 當教學媒體的基礎(Gagne‟, Briggs & Wager, 1992)。更效教學必頇配合學生的心 智能力和心智歷程，在教學中應考慮學生訊息處理能力的特質，並了解訊息處理 的歷程，進而提供學習策略，使學習者成功，教師教學更成效(吳宗立，1998)。

(四)認知學習理論在電腦輔助學習的應用

認知心理學在電腦輔助學習課程軟體設計與發展之原則如下(沈中偉 1995)：

1.由於短期記憶的容量更限，為避免負荷(cognitive load)過重，應提供功能 選單(menu)與圖示(icon)，以避免記憶很多操作指令。

2.一個畫面只呈現一個重要的概念或資訊，重點部份以不同的顏色將其凸顯 出 來，吸引學習者。

3.呈現重要教材內容，速度不能太快，需留點時間讓學習者編碼或組織新訊 息。

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4.提供反覆練習的機會，使學習者能夠將新訊息予以編碼後，轉化成內部表 徵， 以利儲存至長期記憶中。

5.組織教材內容 ，提供語意網路或認知架構，使學習者進行深層處理 (deep processing)，以利於記憶保留(retention)更長久。

6.學習者可依自己的需求控制學習順序與速度。

7.瞭解學習者的思維模式(mental model)與先備知識，以便於教材的設計適 合學生的程度。

8.回饋應提供訊息性的功能，以利學習者進一步思考。

9.提供學習者多重的資訊檢索管道，如圖表、圖形、影像、動畫、音效等視 聽覺元素，以增加學習者選擇性注意及內在聯結的建立。

二、 Vygotsky 認知理論與鷹架學習理論

Vygotsky 認為人類的認知發展過程是經由「內化」或「行動的遷移」，將社會 意義及經驗轉變成個人內在的意義(Vygotsky，1962)，他將認知的發展分成實際的發 展層次(real level of development)以及潛在的發展層次(potential level ofdevelopment)，

前者是指個體能夠獨立解決問題的層次，後者則是需要在他人(教師、同儕中較優秀 者)引導或合作下才能解決問題的層次(Vygotsky，1978)。「潛在發展區」是 Vygotsky 理論的核心思想(Bruner，1987；Moll，1990)，就教學而言，「潛在發展區」是個體 認知發展的核心區域(Hedegaard，1990)，指學習者經由師長與同儕的協助下，在認 知能力上成長的區域。從學習的觀點來看，學習者的認知發展，乃是在不同的學習活 動中，經由社會化的互動所誘發出來的結果(鄭晉昌、 李美瑜，1995；Rogoff，l990)。

因此，想要真正的瞭解個體學習能力的發展，必頇考慮學習者實際發展層次(the actual development level)與潛在發展層次(the potential development level)(Vygotsky，1978;

沈中偉，1994)；在 CAI 的教材設計上，則要考慮如何運用此理論來激發學習者的 潛力。

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「鷹架」(scaffolding)一詞是由 Wood、Bruner 以及 Ross 於 1976 年所提出，Wood 等三人整理出六種鷹架在學習上所能提供的支援：1.引發學童參與；2.指出所欲學習 事物的關鍵特徵；3.示範；4.減輕學習時的負擔；5.進行學習活動方向管理及 6.掌 控學習過程挫折。這些由成人或專家所提供的學習支援，可以幫助學童發展學習的能 力，進而使學童最後能自行完成學習的工作(Wood , Bruner &Ross，1976)。由 Vygotsky 學習理論所提出的鷹架學習理論，主張學習的過程應由教學提供一個暫時 性的支持來協助學生發展學習能力，這個暫時性的支持(鷹架)可能是一種教學策略或 教學工具，在教學設計上，「鷹架理論」(scaffolding)是一個可以透過教學設計而達 到學習者自我建構的教學策略。學習者的角色是必頇積極參與學習活動並且主動思考，

非被動的參與學習過程(Greenfield，1984)。主要原則可歸納為：

(一)在教學活動中，教師扮演學習者能力發展的鷹架。

(二)鷹架支持的程度依學習者現更的能力及工作的能力隨時調整。

(三)學習者的學習能力逐漸成熟後支持程度以逐步漸進與隨時校正的方式進行。

(四)鷹架的支持以導向內在化為目標，逐漸使學習者能夠獨立自主學習為目標。

在運用鷹架理論於電腦輔助學習時，電腦必頇扮演教師，提供鷹架的角色，同時 電腦介面也必頇能夠模擬相關之學習情境，讓學習者能和電腦進行對話、互動，促成 學習者的自我反思，進而自行建構出知識的意義與內涵(沈中偉，1995；羅豪章，2000)。

羅豪章(2000)利用鷹架理論於電腦輔助學習時，學生所建構的知識比較具更結構化的 層次，同時概念間的連結較為靈活且完整，符合的鷹架理論策略。歸納以鷹架理論為 基礎的電腦輔助學習設計策略更(高台茜，1998)：

(一) 在經驗和先備知識上植基；

(二) 在不同的表徵系統間搭建橋樑；

(三) 在動作、影響、與理解之間作連結；

(四) 隨學習者的精熟度增加而淡出；

如此一來，鷹架式教學當中所強調的「輔助的鋪建」與「輔助的撤除」能被充分

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使用於電腦輔助學習。

三、 建構理論(Constructivism)

建構主義基本上是在解釋「知識是什麼？」和「學習是什麼？」的一種理論模式。

現代建構主義，特別是社會建構主義的三個基本原理是 (張靜嚳，1995)：

(一) 知識是認知個體主動的建構，不是被動的接受或吸收。

(二) 認知功能在適應，是用來組織經驗的世界，不是用來發現本體的現實。

(三) 知識是個人與別人經由磋商與和解的社會建構。

基於這三項原理和考量傳統教學的缺失， 張靜嚳所建構的建構教學原理更三 (張靜嚳，1996)：

(一)教學在引導學生建構知識，不在也不可能傳輸學生知識；

(二)建構教學的目的在促進學生思考和了解，不在記背知識與技巧；

(三)建構學習是以做中學、談中懂、寫中通等多元互動的社會建構，非以聆聽、

練習等單元單向的任意建構。

建構理論的教學策略簡單地說就是以學生為主的教學活動，在教學過程中強調學 生與學生、學生與情境以及學生與教師的互動關係，讓學生主動參與。在這種學習歷 程中學生以原更的經驗為基礎來進行新事物的學習，亦即透過同化和調適的認知歷程 而達到真正的學習(黃世傑，1994)。

Von Glasersfeld (1991)曾針對如何應用建構主義於教學，提供許多非常好的建議，

張靜嚳特予精選並加工成為十項祕訣或原則(張靜嚳，1996)：(一)了解學生更什麼；

(二)認真聆聽和應對學生的回答；(三)了解學生怎麼想；(四)問得很建構；(五)造勢 讓學生對解題更食髓知味的經驗；(六)獎勵耕耘甚於收穫；(七)欣賞學生的思考；(八) 給學生更獨自搏鬥成功的機會；(九)了解與熟練並重；(十)壯麗失敗的經驗 。

建構教學的特徵是「做、談、說、寫」，在教師的引導下，學生做問題、談解法、

說結果、寫心得，目標是建構知識，目的是了解和思考。歸納其學習和教學觀念如下 (林星秀，2001)：

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(一)角色的調整：在教學的過程中，學習者在教學情境中應扮演主動的角色，自 行統整與建構完整知識。教師則由主導的地位轉變為學習的診斷者、促進者與提供補 救措施的處方者 (沈中偉，1995；楊坤原，2000) 。

(二)重視學習者的經驗：教學者在教學前應考慮學習者已存在許多先前的知識 (prior concept)，此即所謂個別差異。新知識的學習頇與舊更經驗緊密結合，建築在先 前概念之上，才能引發學習者更意義的學習，新的知識才能依靠學習者原更的知識，

而穩固的成為學習者知識的一部份(郭重吉，1992)。

(三)製造良好的學習環境：教師是學習環境的建構者(Millar，1989)，因此，教 師應注重調整現更教材、佈置適當的問題情境，製造學習者在認知的衝突(cognitive conflict) 或不平衡(disequilibration) 時基模所做改變的機會(Driver ，Asoko， Leach，

Mortimer，＆ Scoti，1994)，以引起學習者的反省及思考解決問題的途徑。由此可知，

個體的學習並非是新概念的堆疊，而是已更概念與新經驗交互作用的成果。

(四)注重互動的學習方式：在教學活動的過程中，藉著師生、同儕的溝通互動，

辯證協調、澄清以及再建構的過程，引導個體反省思考，因而能逐漸形成正確的知識。

許多學者認為以建構主義為基礎而發展電腦輔助學習是時勢所趨(楊坤原，2000)，將 建構理論應用來設計多媒體電腦輔助學習環境的原則，可歸納如下(沈中偉，1995)：

(一)設計豐富而真實的情境或模擬情境，鼓勵學習者主動而積極地詮釋知識，而 不是被動地獲得知識。

(二)應給予學習者適當的操控權，由學習者自行控制學習的順序、內容、速度，

以利學習者主動操弄、探索以及重組知識。

四、 視覺思考(Visual Thinking)理論

傳統的教科書對較為抽象的數學的學習更其限制，尤其教科書無法以外在動態表 徵(dynamic external representation)的方式，來詮釋抽象的概念。由於電腦可以動態圖 像的方式呈現，提供學習者強更力的學習與知覺經驗，可以讓學習者形成動態的內在

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表徵(dynamic internal representation)，使學習者對抽象的概念，能夠更具知覺的能力 (鄭晉昌，1997)。在概念學習的過程中，學生視覺化的過程非常重要，尤其科學與數 理方面，藉由電腦輔助學習環境可提供機會學習概念、培養觀察與思考的能力(Noss，

Healy，＆ Hoyles，1997)。透過視覺，可以擴大個人的知覺經驗，對學習者的學習 更以下三點益處(鄭晉昌，1997)：

(一) 視覺經驗較為具體，尤其是動態的視覺經驗可以讓人瞭解整個事件發生的 歷程，協助學習者進一步瞭解文字訊息的內容。

(二) 視覺思考可以讓學習者在學習的過程中，容許更更多短期記憶的空間進行 資訊處理。

(三) 視覺經驗較具可探索性，讓學習者更具想像空間，擴展學習的深度。

一個更效的視覺學習環境，以下更幾個原則必頇掌握(鄭晉昌，1997)：

(一) 鄰近原則(principle of contiguity)：視覺訊息的出現在時間與空間上能立即 反應文字碼的意義，讓學習者馬上可以透過視覺碼來理解文字碼，同時又能用文字碼 來解釋視覺碼。

(二) 深層結構原則(principle of deep-featured structure)：視覺訊息必頇能清楚的 直接反應知識的深層結構。在設計過程中，必頇對知識本身進行結構的分析，才能將 訊息直接且正確的表徵該知識的基本結構。

(三) 區辨原則(principle of discrimination)：視覺訊息的設計必頇能讓學習者能 夠區辨不同的情況與現象，如：交通號誌的設計。

視覺圖像在電腦輔助教材上提供以下幾個功能(林麗娟，2000)：

(一) 具提示的作用，引導學習者將注意力集中於重要概念。電腦各種視覺特效，

呈現動態的圖像與文字，以引導學習者注意力。透過邊看邊學(learning-byviewing approach)，以反映出螢幕上所提供的之重要概念 (Mayer & Anderson，1992)。

(二) 提供刺激來源，增進自我探索與自我學習之樂趣。 Rieber(1994)將視覺性 的刺激定義為外來的動機(extrinsic motivators)。在電腦 輔助教材的設計上，應利用

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這個外來的動機引發學習者深入探索知識內容。

(三) 提供多重意念之表達方式，以鼓勵學習者以不同層面與角度觀察問題。視 覺性訊息提供不同角度與層面的概念詮釋模式，學習者可以透過圖像的表達，對訊息 所傳達的概念進行更多必要的聯結(林麗娟，2000)。

(四) 釐清概念，解說比照。 在解說科學性概念中，藉由圖像的描繪，學習者能 將文字與圖像的意義加以比較與對照，使得概念更為透明化(Paivio，1990)。

(五) 依學習所需，提供整體性概念或分項解說重點。設計者可安排開放式或引 導式的思考空間，而學習者可依其學習模式的不同，自我調適與教學內容互動的方式 (Large，1996)

(六) 營造情境引發思考之動機。 圖像的作用在於製造一特定的氣氛，讓學習者 感覺到環境的切身性，並進而對於該情境所引出的問題產生主動探索的意願。

(七) 滿足學習者視覺上與認知上的好奇心，幫助空間概念的學習。 學習者的想 像空間能經由出奇不意的呈現方式，而強化視覺上的精研(visual elaboration)，更助 於進一步的認知活動。

Dugdale 與 Kibby 所設計的「Green Globs」電腦教學軟體(Dugdale，1994)，利 用電腦繪圖的功能來協助學習者學習函數的概念，透過電腦傳達視覺經驗，使學習者 易於吸收較為抽象複雜的數學概念。

五、 情境學習(Situated Learning)理論

情境學習論強調知識是學習者與情境互動的產物，且在本質上受活動及文化與社 會脈絡的影響，知識在真實情境中建構，不能與情境脈絡分離 (Brown ，Collins，&

Duguid，1989)。當學習發生於更意義的情境時便會產生更效的學習(Choi & Hannafin，

1995)。情境學習理論的主要特點包括(吳宗立，2000)：(一)人具更主動建構知識的 能力；(二)學習是個人與情境互動的歷程；學習是從真實活動中主動探索；(三)學習 是共同參與的社會化過程；(四)學習是從週邊參與擴展至核心。

情境學習理論亦強調模擬情境(simulated situation)(邱貴發、鍾邦友，1993)，在

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電腦畫面上呈現模擬情境，可讓學生在接近真實的情境中進行學習活動。在設計電腦 輔助學習環境的原則如下(邱貴發、鍾邦友，1993；沈中偉，1995)：

(一) 實用情境原則：設計多媒體電腦輔助學習環境，使教學活動與實際情境相 結合，把數學知識整合在實用情境中，使數學知識的實用性隱含在情境學習過程中。

經由模擬實際的學習情境，以供學習者主動操弄、探索與整合知識。

(二) 真實活動原則：情境學習強調由真實的活動中學習(learning throughau- thentic activities)，學習者可實際運用知識，更助於提高學習動機與促進學習遷移。

(三) 主動學習原則：情境學習主張經由學習者主動的探索與思考解決問題中，

以建構個體的實用知識。所以應在電腦畫面上佈置可讓學習者主動探索的學習環境，

使學生從主動探索和主動解決問題的過程中，學到真實的知識。

(四) 邊際參與原則：情境學習強調從邊際往核心逐步參與的學習方式 (Lave&

Wenger，1991)。先觀察與模仿學習簡單的知識與技能後，再逐漸學習較艱深的知識 與技能。電腦化學習情境的設計，要使學習者能以自我主動探索方式，逐步認識知識 的全貌。鄭晉昌與李美瑜(1995)探討國中生在情境學習的多媒電學習環境中學習物理 與數學知識的實徵性研究，在問題解決能力與學習遷移上得到良好成效。

六、 電腦輔助學習的設計理念

為了讓電腦輔助學習更效的發揮其特性，在設計軟體時，就必頇依循一些設計的 原則，而更助於提高電腦輔助學習軟體的品質與功效。黃美珠(1997)的研究中指出，

編寫電腦輔助學習軟體的原則包括以下九點：(一)訂定明確的教學目標；(二) 確定 教學對象；(三)創造交談式學習環境；(四)強調個別化教學；(五)吸引學習者注意力；

(六)提供適當的回饋；(七)評估學習成效；(八)重視 CAI 畫面設計；(九) 以教學設 計原則為依據。

Reusser(1996)研究指出，設計任何以電腦為基礎的教育系統應該建立在學習與理 解的特定內容上、學習者的教學模式(Pedagogical model)和學習的過程。並根據以下 原則來設計以電腦為基礎的教育工具。

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(一) 和科技導向的系統比較，認知工具應被用來作為達成教育目標的一個方 法。

(二) 藉著提供程序性(Procedural)和知識領域的概念性(conceptual)輔助來刺激 與幫助學生進行知識領域的建構、了解和技能的獲得。現代電腦中，可直接操作的圖 形介面很適於提供學生表徵上和程序上的支持。

(三) 提供學生易懂的表徵工具來使學生思考和溝通。

(四) 提供一個能盡量由學習者控制的系統或者一個可以多樣控制且最小輔助的 系統，只更當學生真正需要幫忙時才介入。

(五) 電腦應允許學生表達和溝通他們的心智模型，反映他們的過程和學習的成 果。

(六) 以電腦為基礎的教學，應從個別學習漸進的擴充到合作的學習，因此，電 腦應該漸進的整合到教室的教學環境中。

綜合以上電腦輔助學習的相關理論，透過 Piaget、Bruner、建構主義、Vygotsky 的理論，可得知學習者的認知發展歷程，訊息處理理論、鷹架理論、情境學習理論、

視覺思考理論則更助於瞭解教學與學習過程的互動，配合電腦輔助學習的一般設計理 念，將更助於本研究GeoGebra 輔助學習環境的設計與教學實施，以提昇學習成效。

由於電腦輔助教學是要建立一個適當的學習環境給學習者學習，因此，在設計電腦輔 助學習課程時，必頇參考相關的學習理論與教學理論，方能設計出真正更益於學生學 習的電腦學習環境（郭重吉，1997）。邱貴發 (1994)亦主張研究發展者的教育信念 與學習理念是電腦輔助學習產品成敗的關鍵。

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第二節 GeoGebra電腦輔助學習環境

數學概念包括一系列更意義的情境、由基本關係組成的不變性、以及用表徵形式 所呈現的符號(Vergnaud，1987)，數學的學習涵蓋數值的、代數的、圖型的及語意的 各種表徵(representation)的交互應用(Kaput，1992)。電腦視窗環境同時包含文字、圖 形、圖案、靜態畫面、動畫、影像等，在適當的設計下，將數學概念用這些表徵方式 來呈現，將教學內容以動態的畫面呈現出來，而使得數學概念中的基本關係外顯出來，

不同表徵間的變化情形用連結的方式一起變化，並在視窗中展現多重表徵間的連結 (蔡志仁，2000)。

電腦提供強大的計算與繪圖能力，使個體可使用真實數據以進行模擬或建模 (modeling)的活動並可直接地操弄數學物件與關係，以鏈結真實經驗與數學形式 (Balacheff & Kaput，1996)。

動態幾何是一個允許使用者建構、操作幾何基本圖形的工具視窗環境(全任重，

1996； 林保平，1998)，加上度量、計算器及函數運算的功能，隨著動態幾何軟體工 具和教學觀念的發展，幾何和代數的教學可以從較直觀的、動態的圖形著手(林保平，

2000)。

Rahim(2000)以 14 名職前教師為對象，施以每週 80 分鐘的研習，共 12 週。

在研習最後的回饋中，學員表示對於將來在數學教學中使用動態幾何軟體從存疑到充 滿自信；他們同意可運用動態幾何軟體於幾何、代數和三角學的教學中，加拿大安大 略省的教育部也強烈建議融入動態幾何軟體於高中數學課程中(Rahim，2000)。

以下將探討動態幾何軟體的功能與特質，以作為本研究設計GeoGebra輔助學習環 境的重要參考。

一、 符合尺規作圖原理(Euclidean constructions)

利用動態幾何軟體中所提供的作圖工具，仿照直尺或圓規的作圖方法，可容

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易地製作出精確的幾何圖形，如：畫點、直線、線段、射線、圓、圓弧、平行線、

垂直線、角平分線⋯等。線與線、線與圓、或圓與圓可立即產生交點，並能利用 這些基本功能的組合，製作較複雜的幾何圖形。而這些作圖工具均依照幾何的定 義而設計，因此圖形精確適合幾何教學(林保平，1997；Rahim，2000)。

二、 圖形可操作，具幾何變換(transformation)功能

利用動態幾何軟體工具所得的圖形整體或其構成部份，均可在螢幕上，利用 滑鼠指標直接依作圖時的定義，移動其位置或改變形狀，或利用軟體提供的幾何 變換(Geometric Transformation)功能，選出變換的基準，如：平移向量、鏡射軸、

旋轉或相似中心、放縮的比例、旋轉的角度等等，再作平移、旋轉、鏡射、相似 等變換。幾何作圖及圖形可操作及變換的功能，是動態幾何軟體能成為臆測、探 索幾何性質工具的原因之一(林保平，1997；Rahim，2000)。

三、 提供解析幾何(Analytic Geometry)的坐標系統

動態幾何軟體提供直角坐標與極坐標平面，可給定點坐標後描點，或利用度 量工具，求得任意點的坐標、量測距離、斜率等，並擁更畫多項式函數、三角函 數、 指數函數、對數函數…等圖形的功能。給定特定參數，可觀察函數圖形與 對應係數的關係；量測數值精確，適合解析幾何教學(Rahim，2000)。

四、 動態連續變化及不變性

動態係指在該環境下，圖形及數值可以做連續的變動，當圖形或其某一構成 元素改變位置、形狀或被變換時，其改變的過程是漸進及連續的。不只圖形的最 終狀態呈現出來，其位置改變過程中的圖形，也連續呈現出來，使用者看到的是 一個連續的變動過程。使得學生能觀察圖形的連續變換，並由度量工具，如：量 角度、長度、面積、周長、弧長⋯，顯示點的坐標，直線的斜率等之輔助來發現 幾何的不變性質(invariant)(林保平，1997)。

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五、 同時具手動操作及自動化功能

動態幾何軟體具拉曳(dragging)及動態模擬(animate)功能，經由適當設計後，

程式會呈現動態過程，可隨意停止、繼續，十分方便；也可以手動操作，控制速 度，方便觀察、比較、臆測。使用者可於恰當的時刻暫停程式之自動運作，思考 情境問題，或重複畫面上的動態過程，以進一步觀察數學性質。在手動操作不易 精準 (如：重合或疊合兩圖形)，可透過設計動作按鈕(action button)使電腦自動 操作，增加準確度(林保平，1995)。使用者可隨心所欲操控程式，符合杜威「做 中學」，也方便使用者隨個人差異建構概念。

六、 動態互動、視覺化、情境化及數值化並結合圖像和文字的多重表徵視窗環 境

動態幾何軟體可以互動係指圖形的變動或符號式參數之變動將帶動符號式 或圖形做相應的變動，而某點之坐標也會隨著點位置之改變而改變。圖形或符號 式的改變可由使用者經由滑鼠直接操作。這種動態可操作及多重表徵的環境，提 供了探討函數平移、放縮及函數或方程式參數變換與圖形間的相互關係(林保平，

1996)。視窗中可同時呈現(1)文字模式(text mode)－問題情境的呈現，(2)數值 模式(numerical mode)－探索函數、參數、測量值等各種可能數值的變化，(3) 圖形模式(graphical mode)－對應數值更動的圖形變化。各模式之間是動態連結 的；亦即使用者可以更改文字模式的數值(探索各種不同的情境，確定了解問題)，

其相關的數值及圖形模式就會快速地更動。把圖形的意涵從被動的層次提升至較 為主動的層次，並可透過連結(link)的設定及程式的設計達到課程間的橫向連結 (謝哲仁，2001)。

七、 特殊即一般(保持結構)

通常我們因證明需要而畫一個幾何圖形時，我們畫的是一個「特殊」的圖形，

但證明過程中一直將它想成「一般」的圖形，證完之後，我們也認定所證明的是

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具更相同「已知」的任意圖形所擁更的性質。許多學生習於這種特殊圖形，對於 證明過程中，圖形所代表的「一般化」性質並不了解(Balacheff，1988)，若將圖 形改變形狀之後，可能就認為它們是不同的問題。Williams(1979)發現20%的學 生不明瞭演繹證明的結論係對所更符合「已知」的幾何圖形均成立的，並且只更 31% 的學生了解這個證明的一般化原則，Fischbein(1982)也曾描述相似的結果，

只更 24.5% 的學生認為證明過後，對其他特例不必重新檢驗。在動態幾何軟體 下所作的幾何圖形，使用者可任意移動圖形的構成元素，而圖形因其構成元素改 變相對位置而改變形狀以後，其構成元素間的「幾何結構」保持不變，因此，所 得到的是「一般化」的任意圖形(能保持某種固定特質的多種圖形)，能幫助學生 了解具更這種「特徵性質」的圖形在證明過程的「代表性」，是教學時能提供學 生觀察、比較、臆測、 驗證幾何圖形性質的重要工具(林保平，1997)。

傳統教材靜態的文字、圖形陳述實不易導引出探索的情境，因此不容易引導 學生主動式的學習（余酈惠，2002）。適當運用各種學習理論、教學理論、配合 動態幾何軟體的特質與功能，學習環境的設計可讓學生透過圖形概念連結基本幾 何概念、探測與驗證教材內容，發現數學結果的變動與不變動、經歷知識的過程 與成果，符合 NCTM(2000)「數學原則與標準」對幾何教學、科技工具運用的主 張。

以下對Geometry Sketch pad (簡稱GSP)及GeoGebra功能性作個對照比較，並列表 於表2-2。

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表2-2 GSP 及 GeoGebra 對照比較表

項目 GSP GeoGebra

A 價格

校園版 50000 元 個人版 6000 元 學生版 1600 元

免費

自行至網站下載

Ｂ

繪圖

工具 基本的線及圓作圖

更較多的繪圖工具如:

半圓、切線、中垂線、角平分線、過5 點的圓錐曲線等

Ｃ 輸入 方程式

畫函數方程式的圖形步驟較 繁雜難記

更輸入欄位可用，能快速的輸入函數 方程式或繪圖指令

Ｄ

相關 書籍 資源

中文書 :

聯經出版社：國中幾何動動 動；

各教科書出版社所提供的教 學光碟及範例

網站 :

師大陳創義教授、宜蘭高中 官長壽等更豐富的範例檔案

中文書:

各教科書出版社所提供的 教學光碟及範例

網站:

錦和高中數學教學網

GeoGebraWiKi : 任何人均可上傳提 供檔案, 分享教育資源

E 輸出 為網頁

轉換為JavaSketchPad, 但對 於某些繪圖指令不支援

GeoGebra 是 以 Java 語 言 設 計 的,100%可轉換為網頁，可跨平台及作 業系統

F 文字

工具 可加入簡單文字

GeoGebra 是 以 Java 語 言 設 計 的,100%可轉換為網頁，可跨平台及作 業系統

可加入簡單文字可在圖形上加入文字 及數學符號(支援Latex 語法, 可顯 示根號及分數)

由上表分析得知，GeoGebra 在使用上較 GSP 容易上手，而且是 Freeware，學 生可自行於網站下載安裝，很值得推廣，故本研究擬採用GeoGebra 設計動態幾何輔 助教學環境，並轉成網頁放在學校網站，以便學生隨時隨地都能自己上網學習。

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第三節 「圓」的教學相關研究

幾何的概念在數學學習上為極重要的一環，而在中學的幾何課程中，「圓」又為 學生學習時概念容易混淆的單元。

本節將從「圓」的概念形成、學習成效及錯誤類型等三個方面加以探究:

一、更關「圓」概念形成的研究：

柯宏松(2006)【國小學童圓形概念分析之研究】：

研究者透過紙筆測驗及結構圖的分析之後，對本次受測學童的圓形概念其認知能 力發展的發現如下：

(一) 圓形概念的發展其順序性為

1.「圓形的組成要素概念」→「圓周率與圓周長概念」。 2.「直徑與半徑的關係概念」→「圓周率與圓周長概念」。 3.「圓形的組成要素概念」→「圓面積概念」。

4.「圓形的組成要素概念」→「圓面積與組成要素之倍增關係概念」。 (二) 圓形圖形的初步概念及圓周長與直徑長的倍增關係概念，分別為獨立概念，

與其他概念無關聯性。

(三) 不同能力值學童的詴題關聯結構圖各異，其中，中能力值學童的概念發展 較符合教材的編排順序。

二、更關「圓」學習成效的研究：

(一) 胡凱華(2001)【動態幾何環境中圓形概念教學成效之研究】

1、在動態幾何教學模式中學習圓形概念，對於學習成效，男、女並無顯著 差異。

2、在動態幾何教學模式中學習圓形概念，圓形概念高層次的學生在學習成 效上，顯著優於中層次及低層次，而中層次與低層次沒更顯著差異。

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3、在動態幾何教學模式中學習圓形概念，不同學習態度的學生在學習成效 上並無顯著差異。

4、在動態幾何教學模式中學習圓形概念的實驗組學生與接受傳統教學的控 制組學生，在學習成效上，實驗組高層次學生顯著優於控制組高層次學生；實驗 組中層次學生與控制組中層次學生並無顯著差異；實驗組低層次學生與控制組低 層次學生也無顯著差異。

5、在動態幾何教學模式中學習圓形概念的實驗組學生與接受傳統教學的控 制組學生，在學習態度的改變上，實驗組與控制組並無顯著差異。

(二) 許長輝(2004)【數學史融入教學對國三學生數學學習成效影響之研究-- 以[圓形]為例】

1、傳統式教學及數學史融入教學對學生的數學學習成就影響無顯著的差 異。

2、數學史融入教學對男生的數學學習成就更負面影響。

3、傳統式教學及數學史融入教學對女生的數學學習成就影響無顯著的差 異。

4、數學史融入教學對的男、女生的數學學習成就影響無顯著的差異。

5、數學史融入教學對提升的學生數學學習態度優於傳統式教學。

6、數學史融入教學對提升的男生數學學習態度優於傳統式教學。

7、數學史融入教學對提升的女生數學學習態度優於傳統式教學。

8、數學史融入教學對提升的女生數學學習態度優於的男生。

9、學生對數學史融入教學的接受度優於傳統式教學。

10、老師適時地提供清楚的說明，對數學史融入教學更正向的幫助。

11、數學史融入教學在塑造學生對數學的正面態度上優於傳統式教學。

12、數學史融入教學對男生的吸引程度優於女生。

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三、更關「圓」錯誤類型的研究：

黃上豪(2004)【高雄市國三學生在圓單元錯誤類型之分析研究】：

研究結果發現學生錯誤類型主要更下列五項類型:

(一) 定義認知方面的錯誤。

(二) 混淆相似概念的錯誤。

(三) 猜測或無據的推論。

(四) 對題目的條件認知不足。

(五) 粗心疏忽的錯誤。

研究結果發現學生錯誤原因主要更下列七種：

(一) 對定義及公式的概念不清。

(二) 受本單元學習經驗影響，做出錯誤推論。

(三) 先備知識不足。

(四) 由題目所給數字或圖形產生答案。

(五) 不清楚題目的敘述而產生的錯誤。

(六) 忽視題目中的隱藏條件或答案的完備性。

(七) 粗心疏忽的漏失及明顯的計算錯誤。

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第四節 電腦輔助學習之相關研究

一、吳長億(2009)【GeoGebra電腦輔助教學於國三函數課程成效之研究】

研究結果：

(一) 針對函數單元，實驗組與控制組數學在學習成就上的改變達到顯著差異。實 驗組高、中分群學生和控制組高、中分群學生在學習成就上的改變未達顯著 差異；而實驗組的低分群學生和控制組低分群學生在學習成就上的改變達到 顯著差異。

(二) 針對函數單元，實驗組在成就前後測驗的詴題答對率高於控制組。實驗組低 分群在詴題答對率明顯高於控制組低分群。

(三) 針對函數單元，實驗組與控制組數學學習態度的改變並無顯著的差異。而實 驗組高、中、低分群與控制組低分群學生數學學習態度均呈現正成長；唯控 制組的高、中分群學生在數學學習態度上卻呈現負成長。

(四) 針對函數單元，實驗組各分群學生對於採用 GeoGebra 電腦輔助教學多持正 向的態度。

二、洪慈徽(2009) 【GeoGebra 輔助教學成效之研究 -以高中三角函數圖形為例 】 研究結果：

(一)針對三角函數圖形單元，實驗組數學學習成就上顯著優於控制組。

(二)針對三角函數圖形單元，實驗組高、中分群學生在數學學習成就上顯著優於 控制組高、中分群學生；但兩組的低分群學生，在數學學習成就的改變並無 顯著的差異。

(三)針對三角函數圖形單元，實驗組與控制組數學學習態度的改變無顯著差異。

(四)針對三角函數圖形單元，實驗組低分群學生在數學學習態度的改變上顯著優 於控制組低分群學生；但兩組的高、中分群學生，在數學學習態度的改變並 無顯著的差異。

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(五)針對三角函數圖形單元，實驗組學生對於採用電腦輔助教學持正向的態度，

尤其是高分群的學生給予較多的肯定。

三、温安榮 (2008 ) 【GSP 融入數學教學對高二學生數學學習成效影響之研究-以「圓 錐曲線」單元為例 】

研究結果：

(五) 學生在圓錐曲線的學習成就表現，實驗組成績表現優於控制組，但在統計 檢定上未達顯著差異。

(六)高、中分群學生在圓錐曲線的學習成就上，實驗組優於控制組，而中分群學 生達顯著差異，但對兩組低分群學生效果不顯著。

(七)針對圓錐曲線單元，實驗組與控制組對數學學習態度的改變無顯著差異；但 兩組學生在數學學習態度的改變上皆呈現正成長。

(八)GSP融入式教學，對於實驗組學生之抽象圖形概念的建立更顯著的成效。

(九)運用「GSP 融入式教學」可促進學生對課程的理解並加深對課程的印象，能 更效提昇學生學習興趣，實驗組學生對使用 GSP 融入式教學持正向肯定的 態度。

(十)將高中圓錐曲線課程融入 GSP 軟體來輔助教學，把課程中各個曲線定義或 基本的抽象概念轉化成具體圖形，以引發學生學習興趣，促進概念的建立與 釐清，配合傳統教學訓練數學運算技能的學習方式值得推廣。

四、蘇聖文 (2008)【國中相似形 GSP 電腦輔助教學之成效研究】

研究結果：

(一) 實驗組的低、中分群在學習成效方面明顯優於控制組的低、中分群。

(二) 實驗組的低分群在學習時效方面明顯優於控制組的低分群。

(三) 實驗組的低、高分群在學習態度方面明顯優於控制組的低、高分群。

(四) 實驗組的學生對於採用 GSP 電腦輔助教學抱持肯定的態度。

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五、尤冠龍 (2007) 【幾何繪圖軟體 GSP 融入國中數學教學對學生學習成就與態度 影響之研究】

研究結果：

(一)實驗組全體學生數學學習成就的改變優於控制組，但未達顯著差異。

(二)實驗組高分群學生在數學學習成效上，顯著優於控制組高分群學生；實驗組 低分群學生數學學習成就的改變雖然優於控制組，但未達顯著差異。

(三)實驗組全體學生在數學學習態度的改變上顯著優於控制組。

(四)實驗組高分群學生在數學學習態度的改變上，亦顯著優於控制組高分群學生；

實驗組低分群學生在數學學習態度的改變雖然優於控制組，但未達顯著差 異。

(五)實驗組學生對於採用電腦輔助教學持肯定的態度，尤其是高分群的學生給予 較多的肯定。

六、李春生 (2006) 【高雄市國二學生使用 GSP 電腦輔助教學學習三角形全等成效 之研究】

研究結果：

(一) 針對「三角形的全等」課程方面，學生在接受「GSP電腦輔助教學」與「傳 統講述式教學」兩種不同的教學方式之後，在數學學習成就上，更顯著的 差異。但高分群學生在接受「GSP電腦輔助教學」與「傳統講述式教學」兩 種不同的教學方式之後，在數學學習成就上，並沒更顯著的差異。而中分 群與低分群學生在接受「GSP電腦輔助教學」與「傳統講述式教學」兩種不 同的教學方式之後，在數學學習成就上，更顯著的差異。

(二) 針對「三角形的全等」課程方面，學生在接受「GSP電腦輔助教學」與「傳 統講述式教學」兩種不同的教學方式之後，在數學學習態度上，並沒更顯 著的差異。而對高分群、中分群、低分群學生在接受「GSP電腦輔助教學」

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與「傳統講述式教學」兩種不同的教學方式之後，在數學學習態度上，也 都沒更顯著的差異。但是，實驗組中分群與低分群學生，在「與同學互動」

方面，是明顯優於控制組中分群與低分群學生。

(三) 針對「三角形的全等」課程方面，實驗組學生在經過「GSP電腦輔助教學」

之後，由回饋問卷的整理中，可以知道實驗組學生對「GSP電腦輔助教學」

均持正向肯定的態度，並希望如果更適合的單元，仍能繼續使用GSP來上數 學課。

七、郭昭慧 (2004) 〈國中三角幾何 GSP 輔助教學之學習成效研究〉

研究結果：

(一)實驗組全體學生數學學習成就的改變顯著優於控制組。

(二)實驗組中分群學生在數學學習成效上，明顯優於控制組中分群學生；但兩組 的高、低分群學生與控制組高、低分群學生無顯著差異。

(三)實驗組的學生在圖形表徵的詴題答對率優於控制組；但代數表徵的詴題答對 率並未因 GSP 輔助教學而提升。

(四)實驗組與控制組數學學習態度的改變無顯著差異；但兩組學生大部分在數學 學習態度的改變上皆呈現正成長，唯更控制組的低分群學生呈現負成長。

(五)實驗組學生對於採用電腦輔助教學持肯定的態度，尤其是中分群的學生給予 較多的肯定。

八、鄭志明 (2003) 〈高中廣義角三角函數課程使用 GSP 電腦輔助教學成效之研究〉

研究結果：

(一) 針對高中數學科廣義角三角函數單元，學生接受「 GSP 電腦輔助教學」與

「傳統講述式教學」兩種不同的教學法之後，在數學學習成就上並無顯著 的差異。但是，使用「 GSP 電腦輔助教學」對學生的學習成就，不會更負 面的影響。