數 學巨擘高斯 (Carl Fridrich Gauss)( 上 )
顏一清
1850 年代的高斯
簡介: 高斯 (1777-1855) 出生於德 國 Brunswick 一窮困人家。 他從小就有算 學異稟。 他的才智受到當地 Brunswick[註 1]公爵的關注, 就一直資助他完成大學教育, 取得博士學位, 並出版數學巨著 「整數論 研考」(“Disguisitiones Arithmeticae”)[註 2]。
高斯年冠十九, 就在數學上有登峰造極 的表現: 他突破數學史上二千多年的沈寂, 以 直尺與圓規作出正十七邊形的圖形來。 他並
維持如此傑出的研究品質達半個世紀之久。
他的研究範圍廣泛, 遍及純數學與應用數學, 研究內容新穎、 深入。 這使他成為十九世紀科 學領域上最突出的人物。 更因他在曲面學上 的研究, 導引 Riemann 創造 Riemann 幾 何學, 並誘發二十世紀初 Einstein 作出一般 相對論來。
Gauss 就業以後一直定居在 G¨ottin- gen。 他去世後不久, G¨ottingen 地方的領主 Hanover 王 George V [註 3] 為表彰他的 豐功偉業敕令鑄造一個七公分直徑的紀念章 贈與 Gauss 家族。 紀念章邊緣以拉丁文刻 著“Georgius V. rex Hannoverage Math- ematicorum principi” (Hanover 君主喬治 五世向數學家之王致敬)[註 4]。 從此, 稱呼高 斯為 「數學之王」 的名號不脛而走。
一 . 身世
Johann Friedrich Carl Gauss (洗禮 名, 後來他常用 Carl Friedrich Gauss) 在 1177 年 4 月 30 日出生於 Brunswick 的一貧 窮勞工人家。 他的父親叫做 Gebhard Diet-
25
rich Gauss(1744-1808), 母親是 Dorothea Benze (1743.6.18-1839.4.18)。
Gauss的祖先姓 Goos, 是德國北部 V¨olkenrode 村的新教徒人家。 Carl的祖父 J¨urgen Goos 是曾祖父 Heinrich Goos 三次婚姻中最後第二個兒子, 在家鄉他沒有 什麼份量, 只能往外地求發展。 他結婚後於 1739 年到 Brunswick-Wolfenb¨uttel 公國 的首都 Brunswick 定居, 改姓 Gauss。 起 先由於沒有置產, 在當時的同業工會的限制 下, 只能做零工糊口。 好不容易貸款購得一所 小房子居住了十四年, 生育三男一女。 後來換 房子到 Wilhelm 街 30 號。 1774 年 7 月 5 日 債未還清, 他就因肺病去世。 他的妻子早他三 個月故去。長子 Gebhard 一向幫忙他父親做 工, 就由他負責償債。 不過他也跟弟妹談好, 房子歸他繼承, 弟妹分得一些現款 (借來的) 做為補償。 這些債 Gebhard 費了二十五年 才還清。
Gebhard 在1768年與 Dorothea Ver- necke 結婚, 第二年 1 月 14 日生子 Johann Georg Heinrich。 1775 年 9 月 5 日他的妻子 因肺病去世。 1776 年 4 月 25 日 Gebhard 與 鄰村的 Dorothea Bentze 再婚。 1777 年 4 月 30日他們在 Wilhelm 街30號的家裡生下 數學天才 Carl。 Carl是 Dorothea 唯一的孩 子。 Dorothea 在結婚前當過 7 年女傭。 她沒 有正式受過教育, 不會書寫, 印刷體字勉強可 以唸。
Gebhard做過各式各樣的工作, 最後十 五年他只從事造園業。 由於他會書寫, 也會計 算, 他當過一家葬儀社的會計。
Carl曾經向他再婚對象 Minna Wal- deck 描述過他父母親: 「父親是一位老實、 忠 厚的人, 在外頭他值得別人的尊敬。 但是在家 裡他是個暴君。 好在我很早就不用依靠他, 彼 此間的衝突較少。 母親個性堅強、 明朗、 善良 又聰明。 在我與父親有衝突的時候, 她很袒護 我。 我很敬愛她。」
Carl的外祖父是位石工, 因工作使然的 空氣污染, 30 歲便得癆病去世了。 Carl有一 位舅父 Johann Friedrich, 他自學成精巧的 織緞人才。 這位舅舅與 Carl 很親, 他常會講 一些話引起 Carl 的好奇心, 他覺得 Carl 好 聰明。 當他在 1809年去世時 Carl 悲嘆: 「一 位生就的天才過去了。」 從父母親的祖先來看, 他們都是一些農工階級的人, 子孫能出 Carl 這樣的神童可說是個異數。
二 . 幼少年時代
有關 Carl Friedrich Gauss 小時候的 故事都是 Gauss 晚年向追隨他的人們說的。
他記性好極, 而且重複敘述中並無出入的情 形, 所以他說的話可信度大。
Gauss 很小的時候家門前有一條濠溝 (後來圍起來) 直通 Ocker 河。 春天一到, 濠 溝裡漲滿了水。 有一次小 Carl 在溝邊玩耍時 掉進溝裡, 在他溺斃前被路過的工人救起, 逃 過一劫。
在夏天 Gebhard Gauss 是一家磚瓦工 廠的督工, 到星期六得給工人們發薪。 有一回 他要發薪, 3 歲的小 Carl 站起來說: 「爸爸, 算錯了。」 在眾人目瞪口呆之下重算的結果證 實小 Carl 是對的。
Carl 7 歲時進 St. Cathrine 小學。 老 師是 J. B. B¨utter。 班上有百來個學生。 老師 在屋頂低, 地板凹凸不平的教室裡拿著鞭子 來回走動。 鞭子是老師教、 懲兩用的。 Carl 在 這這樣的環境下平安無事過了兩年。 Carl在 九歲左右時在算術課 B¨uttner 要學生們 「寫 出 1到100的數字來, 並求出它們的總和」。 寫 好的同學把運算用的石盤 (當時紙張還是奢 侈品) 翻下放在老師桌子上。 再來交的同學依 次疊上石板。 老師想, 出這樣的考題他可以清 靜一下了吧。 沒想到 Carl 一下子就把石盤拿 去老師桌上放了, 說: 「我交了。 (Br¨unswick 土語, Liggest se!, 英譯: there it lies)」
其他小朋友汗流夾背地忙著運算。 Carl 靜坐 著, 不理會老師奇怪的眼神。 結果大部份的 小朋友都錯了, 因而挨了打。 Carl 的石盤只 見 5050 這個數字。 他給老師的解釋是: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, . . . , 50 + 51 = 101。 所以 1 + 100 等於有 50 對 101, 答案便 是 5050。
這件事的發生有它象徵性的意義。 終其 一生 Gauss 做出來的結果都是簡潔而正確 的。 但是眾人須要它有詳盡的解釋。
Carl的親戚們聽到到這件事後直搖頭。
因為依據俗語, 神會讓祂寵受的人夭折, 這孩 子的壽命恐怕不長。
老師 B¨uttner 經歷這件事後覺得他再 也沒有什麼可教給 Carl 了。 於是特地從 Hamburg 為 Carl 買一些好的算學書如 Re- mer 著 「Arithmetica」 (在扉頁上有 Gauss 的簽名及 1786年12月6日字樣), 或 Hemel- ing 的 「小算術計算書」。 這兩本書都有被頻 繁使用過的痕跡與許多小孩子計算的字跡。
B¨uttner有一位助手 Martin Bartels (1769-1836)。 他的工作是替小朋友削鵝毛 筆, 改正他們的書寫等。 他是白鉛細工匠的兒 子, 住在 Carl 家附近。 可能是 B¨uttner 或是 Bartels 跟 Carl 的父親 Gobhord 商量過 Carl 往後的教育問題。 做父親的認為 Carl 與異母兄 Georg 一樣, 將來走定他自己的路 子: 當工人。 他那有錢供兒子唸書呢? 對方 說可能找得到高貴人士出資給 Carl 讀書。 從 此頑固的父親在晚上不再要 Carl 織一定量 的亞麻絲, 甚至把紡車帶到後院劈成塊, 當材 燒了。 取而代之的是 Bartels 與 Carl 常在一 起挑燈夜讀。 他們交成好朋友。 Burtels 1788 年後又去讀書, 專攻數學, 後來成為 Kasan 大學的教授。
Gauss在 11 歲時便能導出二項定理的 一般展開式, 並對無限級數的展開很熟稔。 於 是神童 Guass 的名字傳遍 Brunswick。
在 1788年經由 B¨uttner 或 Bartels 說 服不情願的父親, Gauss終於進入 Brunk- wick 的預科學校 Katharineum。 在那兒學 生的年齡相若。 Gauss 早些時說的地方德語 也改正成官方德語了。 數學老師 Helling 第 一次看過 Gauss 交的作業便批示這麼優異的 學生用不著再來上他的課。 Gauss在那個時 期又得到年長朋友 Bartels 與 J. H. J. Mey- erhoff (1770-1812) 的幫助自學拉丁語與希 臘語。 這些古代語言對唸古典書籍是必需的。
有一天 Gauss 看書看迷了, 走進 Brunswick 公爵的御花園而不自覺。 倒是公 爵夫人看到了他, 夫人訝異那麼一個小孩難 道看得懂他拿著的書? 一問之下才知道真的 看得懂。 改天她教僕人找 Gauss 過來給公爵
看。 公爵發現這個內向、 拘謹的 14 歲小孩的 確很聰明。
Bartels在 1788 年進入 Brunswick 的 Caroline 高等學校, 認識了那裡的數學教 授 E. A. W. Zimmermann (1743-1815)。
Zimmermann還兼 Brunswick 公國參事, 跟公爵交誼很深。 Barters介紹 Gauss 給 Zimmermann。 後者便與 Br¨unswick 公爵 討論 Gauss 這個小孩。 終於在 1791 年公爵 引見 Gauss, 並決定當年6月起給 Gauss 10 個 thaler(德國舊銀幣) 的年金外加一些其他 用費。 他還獲得一些書本做獎賞, 其中有一本 是 Schulze 的 「對數表」。 Gauss 常常使用 它, 還簽上 「Gauss, 1791」。
當時有習俗, 貴族或是有錢的商人會資 助家境貧困人家的資優子弟讀書, 以備將來 他們用材之需。
Carl 既然得到 Brunswick 公爵的年金 唸書, 做父親的 Gobhard 再也沒有理由反對 他升學了。
1792 年 2 月 18 日至 1795 年間 Gauss 在 Caroline 高等學校學習。 這所學校在當 時是德國最佳學府之一。 學校的學科新穎, 教 授優秀, 圖書典藏豐富。 它的教學構想除了因 應生活的實際需要外還教育學生們成為新文 化的舵手, 並著力培育學生們成為有自由思 想與高貴情操的人。 從德國的這一類學校, 十 八、 九世紀人材輩出。
跟 Gauss 一樣是窮人家的孩子而得到 資助進入這所學校的人當時有 Bartels, K.
Ide (與 Gauss 同行, 早逝), Meyerhoff (訂 正 Gauss 在 「Disquisitiones Arithmeti- cae」 中的拉丁文) 等人。
Gauss在 Caroline 高等學校期間讀 了許多古典文學名著, 因此他的文學素養很 好。 他唸的數學名著有 Euler, Lagrange 與 Newton 等人的著書。 終其一生 Gauss 對 Newton 非常尊崇。 在著述方面他也學習 Newton 的作風。[1]
這時候法國大革命 (1789年) 已然發生, 但是在拿破崙揮兵攻打鄰國以前德國的一切 情況還沈睡在十七世紀以來的半封建制度裡。
[2]
很小 Gauss 就喜愛做數字遊戲。 他算得 又快又好。 在 1792-1793年間 Gauss 做質數 分佈的研究。 他把整數以千為等級找出其間 所含的質數個數。 按照 Alexandria 時代的 Eratosthenes (276-194 B.C.), 整數 p 所 含質數不大於 √p, 並由篩選法可求得質數個 數。 而 Gauss 則由觀察得出質數個數的增加 率 D(n) = π(n) − π(n − 1000) (π(n) : 2 至 n 間質數個數, n ≥ 1000) 與
log 1
e
n
成 正比。 因此由幾何圖形來看, π(x) ∼R 2 e dn
ln n
, x ∈ N。 Gauss也想過 π(x) ∼log x
e
x
的情 形, 但認為後者的表達方式雖然比較簡單, 誤 差卻比較大。 Gauss 在那時候又得到另一本 對數表, 是瑞士 Johann Lambert 寫的。 再 加上他自己的運算 (他對對數熟棯得很)。 這 樣才獲得上述的結果來。 往後他還常說 「對數 中有詩情」 呢! 但他並沒有發表質數分佈的 結果。1798 年法國大數學家 Adrien-Marie Legendre (1752-1833) 發表了較準確的質 數分佈公式: π(x) ∼
log x
e
x−1.08366
, x ∈ N。命運的作弄使得往後 Gauss 與 Legendre 所 發現的數學內容常出現交錯在一起的情形。
三 . 大學時代
Gauss 並沒有順從 Brunswick 公爵 的意思選讀公爵領地內的 Helmstedt 大 學, 而打算赴 Brunswick 約 65 哩南方的 G¨ottingen 大學就讀, 公爵還是答應了。
G¨ottingen 大學在 1737 年由英王兼 Hanover 大公 George II 創辦, 故這所大 學又以英王的名字 George Augusta 稱呼。
它的模式仿照 Oxford 與 Cambridge, 比 其他德國大學有較好的環境與條件, 也比較 不受政府與教會的干預。 Gauss喜歡那裡的 學術自由的風氣與豐富的館藏, 所以選擇去 那兒唸大學。
Gauss在 1795 年 10 月 5 日註冊, 成為 G¨ottingen 大學數學系學生, 這時候他擁有 年金 158 thaler 與與伙食費。 他對將來的出 路感到彷徨。 語文與數學都是他喜愛的, 而學 語文以後出路較好。
在大學第一年他借的書有 25 本。 其中 20 本是文科的書, 只有 5 本是數學書。
1796 年 3 月 30 日是 Gauss 生涯中決定 性的一天。 這一天起開始寫他那出名的科學 日記。 他把他的發現依次記載到 1814 年 7 月 9 日 (日記在 1898 年從 Gauss 在德國唯一 (也是唯一他見過) 的孫子 Carl August 在 Hamlin 家中找出)。 3 月 30 日的日記用拉丁 文寫著 「等分圓周的原理以及用幾何方法十 七等分圓分等等。 3月 30日, Br¨unswick」 據 說從這一天開始他決定從事數學的研究而語 文成為他終生喜愛學習的一個嗜好。
Gauss 對發現正十七邊形的幾何作法 的記載是: 「在 Br¨unswick 家裡的一個假日,
我思考
x
p−1
x−1
= 0 的諸根之間的算術關係。隔日早上還沒有起床, 我已經很清晰地看到 我需要的關係式。 我就立刻把它應用在正 17 邊形上。 計算的結果證實這個方法是對的。」
1796 年 6 月 1 日的 「一般學藝新聞」 中 有 Gauss 的告示: 「一般的幾何初學者都知 道怎樣作出正多邊形, 如等邊三角形, 正五邊 形, 正十五邊形或是把它們雙倍的正多邊形。
在 Euclid 的時代大家就已經可以做到這些 了。 而從那時候起大家認為初等幾何學終止 在這個地步。 至少我不知道有人成功地邁出 那個界線。
因此我的新發現有特別的意義。 我發現 不只是上述那些正多邊形, 還有更多的正多 邊形可用幾何法 (只使用直尺與圓規) 作出。
作正十七邊形的方法只是一個包括更多內容 的定理的特例而已。 我還沒有完全證出這個 發現, 等到完成後我會公開它。 —G¨ottingen 大學數學研究學生 C. F. Gauss。」
這是 Gauss 一生中僅有的一次預告他 的發現。 後來 「等分圓周」 出現在 Gauss 巨 著 「整數論研考」 第七章, 正十七邊形的頂 點求法成為這一章的一個例子。 這本書因經 費與出版商的問題遲延到 1801 年 9 月 29 日 才出版, 一出版就被搶購一空, 造成一時的轟 動。
1891 年 1 月 6 日 Gauss 從 G¨ottingen 給他的學生兼朋友 Gerling 信, 說研究 「整 數論研究」 所帶給他的喜悅是他研究數學當 中至高無上的。 即使多美的天文學上的發現 所帶給他的喜樂都無法與它相比。 信中他給 Gerling 簡述正十七邊形的求法:
令 17ϕ = 2π, 設 cos ϕ + cos 4ϕ = a cos 2ϕ + cos 8ϕ = b cos 3ϕ + cos 5ϕ = c cos 6ϕ + cos 7ϕ = d
(1)
a+ b = e c+ d = f
(2) 因
2(sinϕ
2)(e + f ) = sin17ϕ
2 − sinϕ 2
= − sinϕ
2 (3)
而得
e+ f = −1
2 (4)
又由簡單的運算
2ab = e + f = −
1 2
2ac = 2a + b + d 2ad = b + c + 2d
(5)
2bc = a + 2c + d 2bd = a + 2b + c 2cd = e + f = −
1 2
(6)
故
2(ac+ad+bc+bd) = 4(a+b+c+d) (7) 即
(a + b)(c + d) = 2(e + f ) (8) 由 (2), (4) 和 (8) 得
ef = −1 (9) 由 (4), (9), e, f 成為二次方程式
x
2
+x2 − 1 = 0 (10)
的兩根, 而從 (1) 式易見 e > 0 > f 。 故 e= −1 +√
17
4 , f = −1 −√ 17 4 (11) 由 (2), (5), a, b (a > 0 > b) 為二次方程式
x
2
− ex − 14 = 0 (12) 的兩根, 即
a=
e+ √ 2 1+e
2=
1 8
(−1 +√ 17 +q
34 − 2√ 17) b=
1 8
(−1 +√17 −
q
34 − 2√ 17)
(13) 而 c, d (c > 0 > d) 則由 (2
2
), (63
), 為x
2
− f x − 14 = 0 (14) 的兩根, 故
c=
f+
√
1+f
22
= −
1 8
(1 +√ 17 −q
34 + 2√ 17) d= −
1 8
(1 +√17 +
q
34 + 2√ 17)
(15) 因
2 cos ϕ cos 4ϕ = cos 3ϕ + cos 5ϕ = c, (16) 由 (1
1
), (16), cos ϕ, cos 4ϕ (cos ϕ >cos 4ϕ > 0) 為二次方程式 x
2
− ax + c2 = 0 (17) 的兩根, 故
cos ϕ =
1 2
(a +√a
2
− 2c) cos 4ϕ =1 2
(a −√a
2
− 2c)
(18)
因
2a
2
= 2(cos ϕ + cos 4ϕ)2
= (1+cos 2ϕ)+2(cos 3ϕ+cos 5ϕ) +(1+cos 8ϕ)
= 2 + b + 2c (19) 由 (18), (19) 得
cos 2π
17 = cos ϕ
= 1 16
− 1 +√ 17 +q
34 − 2√ 17
+2
q
17+3 √ 17−
√34−2 √ 17−2
√34+2 √ 17
(20) [3]
Gauss 的解法告訴我們由 4 個二次方 程式可求出 cos
2π 17
的數值。因此, 若令二次方程式的一般式為 x
2
− αx + β = 0, (21) 則 (21) 式的兩根為圓 ¯C:x
2
− αx + y2
− (1 + β)y + β = 0 (22) 與 x 軸相交的兩個座標。 而 ¯C 有兩端點為 (0, 1), (α, β) 的直徑。由這些資料, 我們可以作正十七邊形如 下:
考慮以 A = (0, 1), B = (−
1 2
, −1) 為 直徑的圓 C1
:x
2
+ x2 + y
2
− 1 = 0。 (23)則 C
1
與 x 軸相交成第 (10) 式。 令 C1
與 正 x 軸、 負 x 軸分別相交於 C, D 點。 則 OC= e, OD = f 。以 A = (0, 1), E = (e, −
1 4
) 為直徑作 圓 C2
:x
2
− ex + y2
− 3 4y − 14 = 0, (24) 則 C
2
與 x 軸相交成第 (12) 式。 令 C2
與 正 x 軸的交點為 F , 則 OF = a。再以 A = (0, 1), G(f, −
1 4
) 為直徑作 圓 C3
:x
2
− f x + y2
− 3 4y − 14 = 0。 (25) 則 C
3
與 x 軸相交成第 (14) 式, 令 C3
與 正 x 軸的交點為 H, 則 OH = c。今以 A = (0, 1), I(a,
c 2
) 為直徑作圓 C4
:x
2
− ax + y2
− (1 + c 2)y + c2 = 0, (26) 則 C
4
與 x 軸相交成第 (17) 式, 令 C4
與 x 軸的大值交點為 J, 則 OJ = cos2π 17
。最後, 以0點為圓心作單位圓 C
5
: x2
+ y2
= 1 而與正 x 軸相交於 K, 過 J 作 x 軸 的垂線交 C5
於 L 點, 則∠
JOL=2π 17
。在 C
5
圓周上取 Lm
點, 以逆時針方 向取z
Lm
Lm+1 {
=z
LL1 {
=z
KL, m ={
1, 2, . . . , 15, 則多邊形 KLL1
· · · L15
K 即 為所求正十七邊形。... ...
x
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
y
A(0, 1)
B(− 12, −1)
•
•
•
•
C1
C (e, 0) D(f, 0)
....
..
..
....
..
..
..
....
..
..
..
..
..
..
..
....
..
..
..
..
..
..
..
..
... ....
..
....
..
..
....
..
..
....
..
....
....
..
....
..
....
..
....
....
..
....
....
....
....
....
....
..
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
E(e, − 1
•
4)•
F(a, 0)C2 ..
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
G(f, − 1
•
4)•
H(c, 0)C3
...
...
..
....
....
....
....
....
..
....
..
....
....
..
....
....
....
....
....
....
....
..
....
..
....
..
....
..
..
....
..
..
..
..
....
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
. ..
..
..
....
....
..
..
..
..
..
....
..
....
..
....
..
....
..
....
....
..
....
....
....
....
..
....
...
....
...
..
...
..
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
•
I(a, c2)•
J C4...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
....
....
....
....
..
....
....
....
....
..
....
....
....
..
....
....
....
....
..
....
....
....
..
....
....
....
..
....
....
....
..
....
....
....
..
....
....
....
....
..
....
....
....
....
..
....
....
....
..
....
....
.
L ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
....
....
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
... 2π 17 ...
•
KC5
..
..
..
..
....
....
....
..
....
..
..
..
....
..
..
..
....
..
....
..
....
....
..
....
..
....
....
....
....
....
..
...
..
...
..
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
....
..
....
....
..
....
..
....
....
....
..
....
....
....
....
....
....
....
...
..
....
..
....
..
....
..
....
..
....
..
....
..
....
..
....
..
....
..
....
..
...
..
..
....
..
....
....
..
....
..
....
....
..
....
....
..
....
..
....
....
..
....
...
....
..
....
....
....
....
....
....
..
....
....
....
....
....
....
..
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
•
...•
•
•
• •
•
•
•
•
•
•
• •
•
•
•
L1 L2
L4 L3
L5 L6
L7
L8
L9
L10
L11 L12
L13 L14
L15
Guass好得意作出正十七邊形來。 他對 大學時代的好友 Wolfgang von Bolyai (1775-1856) [註 5]說, 以後他的墓碑上就 刻上正十七邊形好了。(模仿 Archimedes。
Archimedes 很中意他所求得的球體與其外 切圓柱的體積與表面積與表面積及它們的比 例 2:3。 結果他的墓碑上就刻著一球及其外切 圓柱。 多年後羅馬雄辯家 Cicero 做 Sicily 長官時在荒蕪中憑這個墓碑找出 Archime- des 的墳墓, 修復了它。)[5]。
Bolyai是匈牙利 Transylvania 地方的 貴族, 晚 Gauss 一年進 Gottingen 大學 哲學部門。 他與 Guass 初次在天文學教授 Seyffer 家碰面。 Bolyai對基礎數學有興趣, 便毫無忌憚地談論數學, 就這樣引起 Gauss 對他的興趣。 再下一次巧遇時他們便結為好 朋友了。 Gauss 工作累了, 就去 Bolyai 居 處休憩而往往不先發言, 甚至於不講話。 只有 一次他顯得很開心, 那是他作出正十七邊形 的時候。 他給 Bolyai 他算出正十七邊形的筆 記當做紀念。 他們也交換煙斗, 每天在一定時
間抽煙斗來想念對方 (這些東西在 Gauss 去 世後 Bolyai 寄去 G¨ottingen 大學留存)[6]。
Gauss 也帶 Bolyai, 徒步到 Brun- swick 拜訪 Gauss 的雙親。 當 Gauss 離 席時母親 Dorotea 問 Bolyai 她兒子能否成 器? 當 Bolyai 告訴她 「他是歐洲第一等的數 學家呢!」 時 Dorotea 聽得熱淚盈眶。
1798 年 9 月 28 日 Guass 學成 (沒有 等到拿博士學位), 回 Brunswick。 行前他跟 Bolyai 相約一年後由 Bolyar 定出時間及 地點再見一次面。 他們約在 1799年 5月 25日 星期六在 G¨ottingen 與 Brunswick 中途 的 Claustal 村見面。 兩人徒步同時到達那 兒, 一起攀登一座小山。 在山麓上的小酒店兩 人含淚握手道別。 他們通信到 Gauss 去世前 兩年, 但一直沒有機會再見到對方。 Bolyai是 Gauss 大學時代沈思、 歡樂與共的朋友。 此 後 Gauss 再也沒有向其他朋友那麼坦誠告白 他的心思了。
1840 年 Bolyai 在他的回憶錄中記 述: 「· · · 我認識了 Gauss, 他那時候是
G¨ottingen 大學的學生。 我們一直都有友善 的接觸。 我從來不跟他相比。 他很謙虛, 也不 誇示。 我們幾年在一起, 我都沒有看出他的偉 大。 很可惜, 我不懂得打開這一本無言、 無題 的書本來翻閱。 我不知道他懂得多少, 他倒看 清楚我, 但高估了我, 不認為我有多渺小。 我 們分享對數學的熱愛與對道德的信念。 我們 時常在一起散步, 各自浸淫在自己的思考中, 幾個小時不交談一言」。
Guass在 G¨ottingen 大學雖然唸數學, 可與天文學教授 Seyffer 熟悉, 過後也一直有 書信往來。 他也喜歡物理學家 Lichtenberg, 語言學家 Heyne(非詩人 Heyne), 但不喜歡 數學教授 W. K¨astner。
四 . 「整數論研考」 的問世
1998 年 9 月底回到 Brunswick 後 Gauss 的前途未卜。 但他不再回父母親家而 租屋在 Wenden 街。 他寫信給 Bolyai 期盼 公爵能夠在經濟上繼續支持他到找到工作為 止。 他也找過工作, 但都失去機會。
當年 10 月他到 Helmstedt 大學, 使 用那裡的圖書。 館長善待他, 數學教授 J.
F. Pfaff(1765-1825) 也對他很友好。 他在 忙著完成 「Disguisitiones Arithmeticae」
這本書。 11 月時他已訂正第五章四次, 第七 章基本上完成了, 第八章還得花好多時間。
12 月中旬公爵答應繼續給 Gauss 年金 158 thaler。 在這以前年金遲遲未發下, Guass 以 借貸渡日。 公爵沒有立即允諾繼續給 Gauss 年金有他個人的理由: 他的父親揮霍過度使
國庫乾枯, 幾近破產。 公爵想了法子, 才挽救 了這個局面。
公爵要求 Gauss 拿博士學位。 Gauss 本來打算交給 Helmstedt 大學 「Disqusi- tiones Arithmeticae」 做為博士論文, 但是 印刷情況緩慢, Gauss 寫的份量又越來越多, 印刷費可觀, 超出預算。 因此, Gauss 打住出 版第八章的念頭。 在 1977 年 4 月 Guass 打 算另交博士論文, 選題為 「代數學的基本定 理」。 5 月他完成它交給 Helmstedt 大學當 局。 這是 Gauss 做的有關 「代數學的基本定 理」 第一次證明。 此後他又用另一些方式給了 它三次證明。
這時候他開始展現大學時代天文學教授 Seyffer 給他培養出來的興趣: 天文學。
4 月間他做出計算視差的公式來。 他也研究 算術幾何平均數 (arithmetico-geometric mean), 雙紐線 (lemniscate) 與三角函數間 的關係。
1799 年 7 月 16 日 Gauss 在 Helmst- edt 大學無口試獲得博士學位。 公爵替他支 付一切所需費用。
1799 年 12 月 Gauss 住在 Pfaff 家繼 續作他的研究。 Pfaff家人一天之間只能見到 Gauss 兩三個小時。 Pfaff 為 Gauss 的健康 著想, 會帶他出去走走 , 談談天。
當年 12月23日 Gauss 發現算術幾何平 均數 M(a, b) 與第一階橢圓函數有如下的關 係:
1 M(1,√
1 − µ
2
)=2 πZ
π2
0
dϕ
q
1 − µ
2
sin2
ϕ。
12 月 16 日 Gauss 給好朋友 Bolyai 信 告訴他近況, 還要他切記除夕 (到那一天信應 該已經到達) 子夜那 18 世紀最後一剎那。 對 Gauss 來說它將是一個特別神聖的時刻: 在 那一瞬時, 塵世會從他眼前消失不見, 他的人 會昇華成純淨的靈魂, 體會出莫大的生之喜 悅。
1800 年 Gauss 的 時 間 就 花 在“Disquisitiones Arithmeticaes” 的完 成, 印刷與橢圓函數上。 他住在 Helstedt 到 1800 年的復活節。 他終於決定不在 「Diqui- sitiones Arithmeticae」 加第八章以節省印 刷費。 即使這樣公爵還追加費用才付得清一 切開支。
他又繼續作橢圓函數的研究, 也發表計 算復活節日期的公式。 據說 Gauss 的母親不 記得 Gauss 的生日, 只曉得他在耶蘇昇天節 前八天的星期三出生。 Gauss作出算式才推 算出他的生日來。
1801 年 9 月 29 日 「Disquistitiones Arithmeticae」 終於出版了, 費用全由公爵 支付。 書一下子被買光, 行家激賞。
在書的序文中 Gauss 把這本書呈獻給 Brunswick 公爵, 文辭中充滿謝意。 他寫:
「倘若沒有公爵您的支持, 我無法毫無牽掛地 從事生就心儀的數學研究達數年之久。 沒有 您的雅量與支撐, 我就無法除去遲緩出版這 本書所遭遇到的所有障礙。· · ·」 公爵的名字 因這篇序文而永存。
「Disquistitiones Arithmeticae」 以拉 丁文寫成, 而 Gauss 為求文筆的流暢還請 他的朋友, 拉丁文專家 Meyerhoff 改正。 這
本書被稱為 「有七個封印的書」, 意即由七 章所成的艱深、 難讀的書, 連專家都不容易 看懂。 書中那簡潔的綜合性證明所蘊涵的寶 藏經由他的後進 P. G. Lejeune Dirichlet (1805-1859) 及後來的 Felix Klein (1849- 1925)[4]等人的解說, 眾人才能得以分享。
這本書的前三章處理二項同餘式理論。
第四章展開同餘式平方剩餘的理論。 第五章 討論二元二次形式並發展成三元二次形式的 理論。 第六章討論第五章的特殊情形, 第七章 被視為書中的精華。 Gauss使用二項同餘式 理論來解代數方程式 x
n
= 1, n ∈ N。 從 而應用在 n 等分圓周及正 n 多邊形的作圖 上。[7]Gauss 晚年說: 「“Disquistitiones Arithmeticae”已經成為歷史性的著作了」, 他的話是對的。
此後 Gauss 投入天文學, 物理學等的研 究, 一直到晚年才全神回到數學的研究上來。
五 . 投入天文學的研究
1800 年代在天文學上是進展迅速的一 個時期。 觀測天文學在技術與儀器上都有長 足進步。 而天象圖是由有系統的觀測資料編 纂而成的。 在理論天文學方面天王星在 1781 年被發現 (海天星在 1846 年, 冥王星遲 至 1930 年才被發現)。 這對計算星座的擾動 (Perturbation) 的準確性很有幫助。
1801 年是 Gauss 劃時代的一年。 過後 他回想起來, 覺得有那麼多科學真理湧現在 他腦海中, 使他無法抵擋。
1801 年元旦意大利天文學家 G. Pi- azzi (1746-1826) 在 Palermo 發現一顆小 彗星 Cales, 它不帶尾巴, 也沒有外被 (enve- lope)。 一直到2月11日他才觀測到 Ceres 的 軌道 9
◦
, 過後它就在太陽陰影下不見了。 依 據 「Bode 法則」, 這個星座應該存在, 並在 1801年底或1802年初再出現。 於是歐洲的天 文學家們忙著算出 Ceres 再出現的軌道。 而 他們所能根據的是 Piazzi 發表在德國的 「天 文月刊」9月號上的所有觀測資料。Gauss在當年的 9 月 29 日才出版 「Dis- quisitiones Arithmeticaes」, 但是這個訊息 立刻引起他的興趣。 Piazzi 雖然前後觀測了 41 天。 可也只有三天的觀測數值。 在 Gauss 的日記第 119、 第 120 項 (1801 年 9 月與 10 月) 裡 Gauss 記下他開始算 Ceres 的軌道。
Gauss想, 必定有一個橢圓軌道適合 Piazzi 給的數據。 這問題便是: 天空上有兩個星座 地球與 Ceres 在各以太陽為一焦點的 C
1
與 C2
二橢圓上運行 (Kepler 第一定律)。 而地 球的軌道 C1
已知, 並有三空間直線 (觀測 線) 發自 C1
至 C2
。 兩直線間的 C2
弧已知 要求出 C2
曲線。[8]1801 年 11 月 Gauss 完全解決了這個 問題, 就跟眾多天文學家們一樣, 他把結果 發表在 「天文月刊」 上。 德國 Seeberg 觀 測台長兼 「天文月刊」 編輯 F. X. G. von Zach (17754-1832) 根據 Gauss 發表的軌 道在 1801 年 12 月 31 日至 1802 年 1 月 1日看 到 Ceres。 1802 年 1 月 1 日 Bremen 的 H.
W. M. Olbers (1758-1840) 也在 Gauss 預測的軌道上看到 Ceres。 由此天文學家們
為 Ceres 的再現狂喜不已。 同時 Gauss 的 名聲傳遍了全世界。 大家認為他是第一流的 理論天文學家。 早先 Gauss 在天文學界沒沒 無名。 他沒有天文學家該具備的儀器, 甚至於 連望遠鏡也沒有。 但是這位數學天才單憑三 次數據就正確地算出消失不見的星座的軌道 出來。
Gauss在 1802 年 1 月 18 日寫信給 Ol- bers 問他觀測 Ceres 的結果。 這是他們間友 誼的開始。 Olbers 是一位成功的開業醫生兼 傑出的業餘天文學家。 他看病人到晚上十點, 過後在家裡屋頂上的觀測站看天象。 據說他 每天的睡眠時間不超過四小時。 當時德國的 天文學家們很喜歡圍繞在 Olbers 的身邊。 他 是他們的原動力, 而且從他的觀測站可能可 以獲得一些新的觀測資料, 如果他們憑那些 資料有新發現, 則可以名垂不朽呢。
1802 年 Olbers 在 Ceres 近旁發現一 新星叫 Pallas。 1804年 Ludwig Harding發 現一星叫 Juno。 這些星座的軌道當然全權委 託 Gauss 來計算了。 Gauss一個小時可以算 出一個彗星的軌道來, 而 Euler 用古老法則 須花上整整三天時間。
1801 年夏聖彼得保大學想聘請 Zie- mann。 Brunswick 公爵為了留住他, 升任他 為樞密顧問官, 並讓他辭卸 Catharine 高等 學校的教職。 這個缺本來 Gauss 有望, 但是 後來由 Gauss 先前的老師博物學家 Hellwig 繼任。 公爵可也要留任 Gauss, 就把他的年 金升為 400 thaler, 酬庸他寫出 「Disquisi- tiones Arithmeticae」。 Gauss 聽到這個消 息後不禁叫出: 「可是我都還沒有為這個國家
做任何事啊!」 他便自費買了一個六分儀, 提 供 Brunswick 的人們使用。
Gauss被全世界公認為名人的事實是, 給他的贈與紛至沓來。 1802 年 1 月 31 日他 被聘任為聖彼得堡科學院外國通訊會員。 同 年 9 月 5 日又有邀約請 Gauss 當聖彼得保 天文台長。 Gauss在猶疑中。 Olbers 聽到 消息後為了要留住 Gauss 在德國境內, 他 動用他的關係, 想讓 Gauss 當將建立的 G¨ottingen 天文台的台長。 而公爵的反應是, 又增加 Gauss 的年金。 Gauss 覺得這樣很 好。 他沒有固定官職, 但能正式為公爵工作。
這樣的地位適合他的嗜好與需要。
1803 年 6 月 2 日 Gauss 給 Bolyai 信, 信中說天文學與純粹數學是他心中的羅盤指 針經常指向的兩極。
六 . 結婚
Gauss 的母親結婚前在鞣皮工場主 Ritter 家幫傭。 Gauss出生後 Ritter 家兩 個男主人當他的教父。 因此 Gauss 小時候 常常去 Ritter 家玩。 耶誕節時那裡一定有 一份 Gauss 的禮物。 從 G¨ottingen 回來後 Gauss 有機會就往 Ritter 家走動。 他享受 那裡的 Brunswick 中產階級家庭中和諧的 氣氛。 在那裡, Gauss 與 Johanna Osthoff (1780.5.8-1809.10.11) 認識了。 她是另一名 鞣皮工場主 Osthoff 家唯一的孩子。 她長得 柔美, 性情明朗、 可親又明事理, 也受了一些 教育。
1804年6月28日 Gauss 給 Bolyai 信, 說他認識了一位他渴望成為終身伴侶的美好
女子近一年。 她美麗的面容猶如聖母般, 顯現 出身心的平和。 她還有浪漫的眼神、 完美的身 材, 明快的理解力與有教養的談吐。 她個性活 潑, 快活而且謙和。 尤其重要的是, 她有天使 般的愛心。 1804 年 7 月 12 日 Gauss 給 Jo- hanna 求婚信。 信中他說他的將來姑且不談, 目前他擁有的足夠兩個年輕人不操勞地快樂 過日子, 他所能夠提供給她的是他那一顆溫 暖, 充滿著愛的心。
對 Gauss 的信 Johanna 拖了三個月 沒有回答。 Gauss的名氣太大, 態度高不可攀 等使她著實猶疑了一陣子。 Gauss 不解 Jo- hanna 的沈默。 不過當時的政局開始讓他分 心, 而且不安起來。 那時候拿破崙已攻破德國 南方諸邦, 開始以他的方式分割德國境內一 些小國。 Gauss雖然依附 Brunswick 公爵, 拿年金過日子, 但是將來的變數蠻多。
Johanna 終於答應了 Gauss 的求婚, 他們在 1804年 11月 22日訂婚了。
訂婚後三天, Gauss 滿懷喜悅地給 Bolyai 寫信, 說他三天前訂婚了。 如今人 生在他眼前彷彿是永恆的春天般充滿著光彩。
他並勸 Bolyai 也做做實地天文學, 它僅次於 在這人世間他所能嚐到的甜美, 又充滿喜悅 的純數學真理的研究。
1805 年 10 月 9 日 Gauss 與 Johanna 在 St. Catarina 教堂結婚, 住在 Ritter 家 所擁有的房子 Steinweg 22號。 Gauss 單身 時也住在那兒。
在 Olbers 那裡 Gauss 認識了 Fried- rich Willhelm Bessel (1784-1864)。 當時 Bessel 年方 20, 在 Bremen 一家商業機構
做事。 由於他喜歡天文學, 也就結識了 Ol- bers。 後來 Bessll 成為實驗與理論雙方面 都是第一流的天文學家。 Gauss 雖然跟 Ol- bers 有深交, 但是往後對 Olbers 下的冷峻 評語是: 「Olbers 在天文學方面著實做了很 大的貢獻。 但是他最大的貢獻在於適時發現 了 Bessel 在天文學上的才能, 而為科學栽培 了他。」
Olbers介紹 Bessel 給 Gauss 為的是 要 Bessel 替 Gauss 分析觀測資料。 他們初 次見面較晚, 但 Gauss 給 Bessel 深刻印象, Gauss給 Bessel 的 「Disquisitiones Arith- meticae」 這本書, Bessel 愛不捨手, 磨損後 又重新裝訂。 Bessel 終其一生認 Gauss 為 師。 而 Gauss 也給 Bessel 最好的評價。 兩 人之間從此有 42 年 (中間間斷過一陣) 的書 信往來。這些內容是研究 Gauss 上最有科學 價值的資料。
1806 年 8 月 21 日 Gauss 喜獲一子。
Gauss 為紀念 Ceres 發現者 Piazzi, 以 Pi- azzi 的名字 Joseph 命名長子。
Gauss 與家人在 Brunswick 平靜地過 日子, 但當時政局越來越不妙了。 拿破崙在鞏 固他的地盤, 而普魯士與奧地利沒有防衛法 國的一致性看法, 形勢看來很險惡。 於是普魯 士注意到同盟國的俄羅斯, 便在 1806 年 1 月 30 日派 Brunswick 公爵為特使往聖彼得堡 商討聯合攻防法國事宜, 但沒有獲得結果。 倒 是聖彼得堡許多人士問公爵有關 Gauss 的 事, 並請他放人, 讓 Gauss 接受他們的邀請。
當 3 月 23 日公爵一回國, 為了要留住 Gauss 便決定再升 Gauss 的年金為 600
theler, Gauss在他生日當天聽到這個消息。
在 5 月 Gauss 找一天拜訪公爵, 表達謝 意。 這是他們最後一次的見面。 前後十四年 的交往中公爵給 Gauss 很大的學術研究機 會, 接著的數月政治風波使公爵再也無暇顧 及 Gauss 了。
普魯士為了要阻擋法國勢力向中歐伸 張, 在 1806 年 10 月發動戰爭, 而以年邁七十 的 Brunswick 公爵 (他是 Fredrick 大帝在 七年戰爭中的名將) 為統帥。 戰場由 Jena 戰 到 Auerstaedt. 在 10 月 14 日晨, 公爵在發 號指令時被敵方的毛瑟槍傷到。 彈丸由公爵 的右眼上方射進, 打碎鼻樑; 從左眼窩挖出左 眼來。 受傷的公爵退出戰場。 有一小隊代表團 派往拿破崙軍營陳情: 希望拿破崙以軍人的 寬宏大量讓 Brunswick 公爵能在家人圍繞 中嚥氣。 但是他們受到情緒低落的拿破崙的 嘲弄與侮辱。 為了避免成為階下囚, 瀕死的公 爵只有逃亡一途。
那時候 Gauss 住家在公爵邱邸的正對 面。 10 月 25 日清晨 Gauss 被憂鬱的馬車聲 驚醒。 從窗口他看到長形的雙頭馬車載著垂 危的公爵像柩車般慢慢地駛往 Hamburg 門。
公爵終於在 Altona (Hamburg 附近的一都 市) 地方的小旅舍去世。 從此, Gauss 恨透了 讓他的恩人遭受到如此下場的拿破崙與法國 這個國家。
早先 Brunswick 公爵有意在 Brun- swick 為 Gauss 建造一座天文台, 先慷慨解 囊讓 Gauss 購買一座十英呎長望遠鏡。 它遲 遲才安置好, 反射鏡經過修正研磨後效果好 極。 但是要建立天文台, 談何容易!
經過 Olbers 的週旋, 在1805年 Gauss 將是建造中的 G¨ottingen天文台台長已成定 局了。 但是 1806 年 10 月的戰爭使本來隸屬 Harnover 王國的 G¨ottingen變成為法國勢 力下的 Westphalia 王國, 國王是拿破崙小 弟 Jerˆome (他統治不到 10年)。
1807 年 7 月 25 日 Guass 正式收到 G¨ottingen 大學的聘請。 結果 Collegi- um Carolium 當局因教授指使, 來索求 Gauss 使用的望遠鏡。 Gauss認為望遠鏡要 歸 Helmstaedt 大學的 Pfaff 教授保有才能 發揮那一座望遠鏡的功能。 但是他的意見沒 有被採納, 使他怏怏不樂。 他就在不快中離開 Brunswick。 太太 Johnnna 對 Brunswick 百般不捨。 因為她的親朋全在那兒。
七 . G¨ottingen 時代的開始
他們一家人在 1807 年 11 月 21 日到達 G¨ottingen。 住進舊天文台邊的一座老舊房 舍。 那時候 Hanover 舊政體已經瓦解, Westphalia 新政府尚未組成, 所以 Gauss 避免了正式向政府作就任宣誓的尷尬場面。
Gauss當 G¨ottingen 天文台長兼 G¨ot- tingen 大學教授都還沒有領到薪水, 法國就 已經向新政府發令徵收戰爭稅金, 而 Gauss 的份是 2000 法郎。 它在當時是一大筆錢。 有 一天 Olbers 寄來 2000 法郎給他。 不久 Laplace 來信, 告訴 Gauss 他已經在巴黎 替 Gauss 付清了這一筆錢。 Gauss 退還了 Olbers 的錢, 至於 Leplace, Gauss 後來加 上利息還清了這筆錢。 Gauss還收到了一筆 從 Frankfurt am Main 寄來的 1000 frolin
(德國境內的一種舊幣) 匿名捐款, 這回他收 下了。 過後他獲悉那是 Frankfurt 大公為敬 佩 Gauss 的功績, 從公款挪出的錢。
科學家兼探險家 Alexander von Hu- mbolt (1769-1859) 在 1804 年從南美航海 之旅回到巴黎時聽到法國科學界對 Gauss 的 一片讚賞聲, 使他對 Gauss 的印象深刻。 後 來他在1807年與 Gauss 認識, 並多年致力於 羅致 Gauss 到柏林大學而沒有成功。 他與政 治家哥哥 Wilhelm (1767-1835) 比 Gauss 更早在 G¨ottingen 大學學過。 三個人後來成 為終生莫逆之交。
1808 年 2 月 29 日 Gauss 通知他的雙 親當天 Johanna 生了一個女娃, 並以發 現 Pallas 的 Olbers 的名字命名為 Wil- helmine。 大家嫟稱她 Minma。 Gauss惋惜 Minma 要在四年中才有一個生日。 同年 4 月 14 日 Gauss 的父親去世。
1808∼1809 年間 H. C. Schumacher (1780-1850) 來 G¨ottingen 跟 Gauss 學 天文學。 他記下他與 Gauss 的對話成書, 叫做“Gaussiana”。 這本書對後世研究他們 兩人很有幫助。 他們的交往持續到 Schu- macher 去世。 兩人的書簡集共六冊。
1809 年 9 月 10 日 Gauss 的次子 Louis 誕生。 他的名字是為紀念 Juno 的發現者 C. L. Harding, 而以 Harding 的名字命 名的。 Harding從 1807 年起成為 Gauss 在 G¨ottingen 天文台的副手。
生 Minna 時 Johanna 夫人已經是 難產, 這回生完 Louis 三十一天, 在 10 月 11 日她便去世了。 Gauss悲慟已極, 寫信給
Olbers 說: 「昨夜八點我蓋上了我的天使 的雙眼, 在那裡, 五年來我尋覓到我的天國
· · ·」。 的確他們的婚姻生活非常美滿。 Gauss 給 Bolyai 的信中就有過描述: 「我快樂地過 著家居生活。 當小女兒長出一顆牙齒或是小 兒子學到一個新詞兒, 這在家裡就像發現了 一顆新星或是新的真理那般重要。」
Johanna的葬禮後 Gauss 出發到 Ble- men 找 Olbers, 回程去 Altona 找 Schu- macher, 又去 Brunswick 找故舊尋求慰藉。
1927 年 Gauss 的孫子 Carl 在祖父的書堆 中找出 Gauss 哀悼亡妻淚痕斑斑的信, 信有 兩部份, 第二部份是在 Blemen 寫的, 日期是 10 月 25 日。 第一部份他訴說, 本來以為亡妻 是他永遠的伴侶, 沒想到她一下子就走了。 她 一直只以他的快樂為念, 並原諒他的錯失。 但 望她的靈魂能永久伴隨他, 給他力量, 讓他不 消沈, 好好照料三個小孩子。 第二部份的信中 Gauss 說他很寂寞。 圍繞他的人們讓他暫時 忘卻痛若。 但過後悲哀卻變成雙倍來襲擊他。
她最後的叮嚀是教他不要被悲傷打垮。 但望 她的愛與善良能活生生地永留他的心中, 能 助他有勇氣奮鬥下去。
Gauss口中 「可愛的小 Louis」 卻在 1810 年 3 月 1 日猝死, 追隨媽媽, 走了。
Gauss的第二部巨著 「在太陽周圍回轉 成圓錐曲線的天體之運動論」 (Theoria mo- tus corporum coelestium in sectionibus onicis Solem ambientium) 在1809年成書, 由當時最著名的出版商 F. C. Pertes 印刷。
本來他用德文寫, 後來聽從 Pertes 的意見, 為普及起見寫成拉丁文。 內容是 Gauss 依據
Kepler 的法則, 作出圓錐曲線 (橢圓與雙曲 線; 拋物線不適用) 運動之下的天體軌道計算 方法的完全體系。 並從觀測天體的三個點決 定恆星或彗星軌道的一般方法。 書的內容終 於最小二乘法的解說。 這本書以形式上簡潔, 文筆優雅、 有完美性及獨創性著稱。 當時常有 新星出現, 天文學家們不得不借它來計算星 座的軌道, 因此出版後有四十年之久它成為 天文學家們必須精通的教科書。 所以學者們 對 「運動論」 的評價很高, 世界各地的學會也 就爭聘 Gauss 為他們的會員了。 法國科學院 更在 1810 年贈送他 Lalande 獎 (為紀念法 國數學家及天文學家 J. J. Le Fran¸cais de Lalande (1732-1807) 所設立的獎), Gauss 拒受。 後來科學院祕書與 Sophie Germain (1776-1831) 動用獎金的一部分買一座天文 擺鐘送他, 他這才接受, 還終生擺設那一座鐘 在他的房間裡。
Sophie Germain 是法國女數學家, 她 生在巴黎富裕人家, 自修數學。 她為免受岐 視, 以 Le Blanc 的男性化名寄出論文, 受 到 Lagrange (1736-1813) 賞識而出名。 她 也以 Le Blanc 為名在 1804 年底與 Gauss 通信討論 「Disquisitiones Arithmeticae」, 給 Gauss 深刻的印象。 當 1807 年 3 月法軍 入侵 Brunswick 時她怕 Gauss 受到傷害, 請法國軍官去問候 Gauss。 到此, 她才掀開 她的女子身份。 她的主要貢獻在於整數論。 她 也因彈性表面的數學理論獲得法國科學院的 大獎 (Grand Prix)。 1837年 G¨ottingen 大 學百年慶時 Gauss 惋惜她已去世, 否則她的 成就足夠 G¨ottingen 大學贈與她榮譽博士學 位。
Gauss 並不重視最小二乘法 (Least squares), 他認為許多從事數值計算的人自 然會使用到它。 他在 1794 年就知道它。 1798 年在機率計算中用上它, 1802 年天文學的運 算中也用到它。 但是 Legendre 在 1806年正 式發表了最小二乘法的理論 (名稱是 Legen- dre 命名的)。 Legendre 抗議 Gauss 在1809 年的 「運動論」 中提及最小二乘法 Gauss 年 早在 1795(應該是 1794 年) 就發明了。 後來 Laplace 當他們兩人的仲裁人, 裁定 Legen- dre 在發表上有優先權, 但兩人都分別發明了 最小二乘法。 Legendre註定在其他他辛苦鑽 研出來的成果上又跟 Gauss 的發明重複, 如 數論中平方剩餘的相互法則, 超越函數以及 幾何學的基礎理論等。
Gauss的研究情緒也有低落的時候。 在 1807-1810 年間他寫的有關橢圓函數的筆記 中突然出現一句用細鉛筆寫的字: 「過這樣的 日子不如死掉的好。」
八 . 再婚
為了要獲得心靈上的寧靜以從事研究工 作, 並讓孩子們能得到妥善的照顧, Gauss 很快就想到再婚。 他選擇的對象是 Johanna 夫人在 G¨ottingen 的好朋友 Minna Wal- deck (1788.4.15-1831.9.12)。 她是 Gauss 在 G¨ottingen 大學的同事, 法學教授 Jo- hann Peter Waldeck 的小女兒。 她當時 剛剛解除與別人的婚約, 正意氣消沈的時候。
Gauss 先得 Minna 雙親的首肯後寫信給 Minna。 他坦陳在太太去世不到半年就向她 求婚一定不會給人好印象。 的確, 亡妻的影子
一直無法從他心中消失, 如今他也只能獻出 半顆心來。 不過向來亡妻很敬愛 Minna, 深 信 Minna 很樂意替代亡妻照料 Gauss 和 孩子們。 但望 Minna 能為她自己熟慮後再做 決定。 Minna 答應了婚事。 他們在 1810 年 8 月 10日結婚。 Gauss 這麼快便再婚著實讓親 朋好友大吃一驚。 這回 Gauss 邀請他母親從 Brunswick 過來同住。 但是 Minna 是貴族 出身, 他的母親猶疑到 1817年才答應下來。
Minna 料理家庭, 也很愛護前人留下 來的兩個孩子。 這使 Gauss 對 Minna 滿懷感激與謝意。 這一次的婚姻也算美滿。
Minna並給 Gauss 生了兩男一女: Eugene (1811 年 7 月 11 日生 三男), Wilmhelm (1813 年 10 月 23 日生, 四男) 與 Therese (1816 年 6 月 9 日生, 次女)。
G¨ottingen 天文台的建築一直拖延下 來。 直到 1810年 Westphalia 政府為天文台 的建造工作做了五年計劃, 打算投入 20 萬法 郎來完成它。
Westphalia政府並給 Gauss 貴族封號 Ritter von Gauss, 來酬勞他學術上的貢獻。
這一年柏林大學邀約 Gauss 去教學, 但他與 Minna 結婚已加深了與 G¨ottingen 大學的 關係, 並沒有答應這個邀請。
1811年8月天空上突然出現一顆閃亮的 大彗星。 Gauss 在8月22日黃昏時分看到它。
幾天後他開始觀測, 這時 von Zach 八月初 旬的觀測結果已經到手了。 由這些 Gauss 算 出這顆大彗星的拋物線軌道。 它再現時果然 在 Gauss 算出的軌道上, 並印證他的預言, 亮度增強了。 而歐洲的人們則視這顆大彗星 為一代霸主拿破崙開始落敗的預兆。
1812 年 1 月 30 日 Gauss 在 G¨ottin- gen 皇家科學學會上發表超幾何級數 1 +
P ∞
r=0
a (a+1)···(a+r)b(b+1)···(b+r)x
r+1c (c+1)···(c+r)(r+1)!
的論文。這個級數因 a, b, c 取特別的數值而可成為二 項級數、 對數、 三角函數等解析學上很重要的 級數。 Gauss是首位對無限級數的收斂性做 出研究的數學家。
1812 年 6 月底拿破崙率領近 45 萬大軍 攻打俄羅斯而取道德國。 之前 Laplace 向拿 破崙進言請他對 G¨ottingen 大學特別關照。
因為那兒住著當代最頂尖的數學家 Gauss。
這回的戰爭拿破崙吃了癟。 俄羅斯軍既 不迎戰, 也不講和卻一直退卻, 並使用堅壁清 野戰術。 而俄羅斯冰冷的冬天也到了。 法國軍 又冷又餓。 終於在 10 月 19 日開始撤退。 但一 路上俄羅斯軍與德國等同盟軍聯合起來追擊。
法國軍落敗得很慘, 回到法國的殘兵只剩下 9 萬餘人。
由拿破崙撐腰的 Westplalia 王國隨著 拿破崙的退位 (1814 年 4 月 6 日) 在 1814 年 瓦解。 G¨ottingen 又歸屬於 Hanover 王國。
此後十年是 Gauss 成果豐碩的時期。 他 出了二十數篇範圍廣泛的論文, 其中有理論 及觀測天文學、 曲面論、 整數論及對數的問題 等, 還給代數基本定理另兩種證明。
1816 年 9 月 17 日 G¨ottingen 新天文台 完成了。 Gauss 一家人搬進天文台邊西翼的 宿舍。
九 . 從事地形測量的工作
早在 1816 年 6 月 8 日 Schumacher 給 Gauss 一信, 說丹麥王出資讓他測量丹麥境
內 (當年的丹麥國土包括一部份現今德國領 土) 的經緯線。 他問 Gauss 有沒有興趣?
Gauss 在 7 月 5 日的信中回答, 如果是在 Hanover 境內他很樂意參加測量工作, 也願 意協助三角座 (主要的三個地點) 的計算問 題。 於是 Schumancher 運用他的關係, 終 於在 1818 年 9 月由 Hanover 首相正式委任 Gauss 做 Luneburg 地方 (過後又擴大範 圍) 的測量工作。 (Hanover地區靠近荷蘭邊 緣的在拿破崙時代已測量過)。
測量工作如要測得相隔較遠的 A、B 兩 處, 則從 A 點取一近點 C。 由 A、C 觀望 同一高處測量點 D。 量出 AC,
∠
DAC 與∠
ACD。 則 AD、CD 與∠
ADC 可得。 再 以 D, C 觀測 B 點。AB 長則由 DB、 AD 長及∠
ADB 而可求得。 如果 B 點離 A 點 很遠, 則得借用有限多個三角形來測出 AB 長。 這種作業叫做測量的三角化。...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
A C
D
B
Gauss不但是名義上的測量隊 (也有軍 隊參與) 主持人, 他還實地參加測量工作。 這 是費時又費精力的工作。 Gaus 起先沒有想到 一投入這個工作竟持續了十年之久。 這期間 夏天他幾乎是在外地過的。 他怕熱, 天氣燠熱 的時候他很難受。 1822 年他那當砲兵預備軍
官的長子 Joseph 也參與測量工作, 而且做 得很好。
1826 年後 Gauss 雖然不參加實地測量 工作。 但是測量資料的整理耗費好多時間: 得 到野外的測量數據後 Gauss 獨自投入與測 量有關的計算到1848年。 這才作成 Hanover 王國全域三角化測量 3000 個據點的座標。 這 些成為描繪 Hanover 王國地圖的基本資料。
1823 年 Bessel 看不慣 Gauss 為測量 工作用掉他的精力和時間, 寫信給他說: 「這 些工作次等的數學家就可以完成, 用不著您 去做。」 Gauss回他的信說, 的確集世界上所 有測量成果也不值一個學問前進的定律。 但 是有時候我們得以相對性來判斷價值。 他也 不能夠從這實際上有用的工程抽身。 一則他 可以做得比別人好, 二則他不做, 這個測量工 作便流產了。還有一件事請 Bessel 保密: 自 從 1810年 Westphalia Jˆerome 王給他訂薪 後他的薪水一直沒有調整過。 為了維持他那 一大家子的生活, 他樂意得到這一份工作所 帶給他的報酬。
1824年10月底回到家 Gauss 才發現整 個夏天家裡亂七八糟。 三個孩子得了麻疹, 後 來又傳給已經病了兩年的 Minna 夫人, 使得 她一時徘徊在生死之間。
Alexander von Humbolt 在當時德國 的精密科學發展上扮演了很重要的角色。 他 在普魯士宮廷上很有影響力, 他又很識才。
他想把魯普士所屬柏林大學 (1810 年設立) 變成像巴黎的工技學院 (´Ecole Polytech- nique) 那般出色的學校。 因此他一而再再而 三地慫恿 Gauss 去那兒當校長, 不用教書, 只管研究機構就得。 Hanover政府聽到這個 消息後趕緊通知在倫敦的英王。 不久國王批 示 Gauss 的年薪調升為 2400 thaler。 這也 跟政府賞識他的測量業蹟有關。 Gauss 於是 打消了去柏林大學的意願。
1821 年在野外工作中 Gauss 發明了回 光儀 (helitope)。 它是配有一個能旋轉的鏡 子的光學儀器, 鏡子可使光線朝向一個固定 方向反射而不受遠方的玻璃或光亮物等反射 的干擾。 在三角化工作時回光儀可以當發光 的目標物, 也可以做為光的通訊。 因為從四、
五英哩外看它有一二級星的亮度。
在三角化地面的實際工作中對曲面有了 了解, Gauss於是在 1827 年發表了有關曲面 的論文。 他把曲面以參數式表示, 並討論曲面 本身具有的性質 (intrinsic property)。 如, 高斯曲率 K 在保長變換下不變, 等性質。
後來 Gauss 的學生 Berhard Rie- mann (1826-2866)。 把 Gauss 的曲面理 論發揚光大, 成為 Riemann 幾何學。 Ein- stein就使用 Riemann 幾何學才發明了一般 相對論。
—本文作者任教於輔仁大學數學系—
