『數學 ? 數 學 ! 』 演講系列 :
秋風夜雨一一
話蚯蚓 ¡A 談連分數
演講人
:沈昭亮
時 間
:民國九十一年十月十六日 地 點
:清華大學數學系
101教室
各位同學, 在我開始今天的演講之前, 請大家聽一段歌曲: (用台語唸)
“風雨聲音擾亂秋夜靜, 時常聽見蚯蚓哮悲情, 引阮思鄉不知雨水冷, 自嘆自恨幸福未完成, 啊. . . 前途茫茫宛然失去光明. . .”
這段歌曲是由周添旺作詞, 楊三郎作曲的 「秋風夜雨」 的第一段, 而剛才的演唱者是余天。
「秋風夜雨」 是周、 楊兩位先生最得意的作品之一。 悠雅寫意的詞, 伴隨著聲調悠揚的曲, 引發平 凡卻真摯的遊子思鄉之情。
「秋風夜雨」 歌詞中的 「蚯蚓」, 常常浮現在我對少年時代的回憶中。 在一段頗長的時間裡, 我家常養一些雞、 鴨。 當父親下課後, 或是母親處理家事之餘, 常帶我和弟弟們去挖蚯蚓。 有時 候是母親叫我帶弟、 妹們去挖, 而且交待要多挖一些, 給家中的雞、 鴨吃。 已經不記得那時我們 是否覺得那是一件殘忍的事, 卻仍記得那時當不小心把蚯蚓鋤成兩段時, 那兩段都在痛苦地亂 動著。 大人們說, 那兩段痊癒後, 會變成兩隻蚯蚓。
讓我們把一條 n 節的蚯蚓 (或環節動物 (annelid)) 想成一個 n 個變數 x1, . . . , xn 的函 數 fn(x1, . . . , xn), 其中 fn之足碼 n 表其節數。 將 ∂x∂
j 對 xj 的一次偏導數, 想成是對蚯蚓從 第 j 節切下去的動作, 則 “蚯蚓族” 的成員 f0≡1, f1(x1), f2(x1, x2), . . . , fn(x1, . . . , xn), . . . 等, 應服從下列方程式:
∂
∂xjfn(x1, . . . , xj, . . . , xn) = fj−1(x1, . . . , xj−1)fn−j(xj+1, . . . , xn). (1) 上列方程式被數學家 Reznick 稱作 “蚯蚓方程式” (annelidic differential equation)。 我們 來想一想, (1) 式的解究竟有那些。
17
首先, 令
fn(x1, . . . , xn) =
n
Y
k=1
(xk− t) (2)
顯然這一類函數滿足蚯蚓方程式。 (2) 式或許可以想作零根未定的 t 的 n 次多項式, 視其根為 變數, 則它們是蚯蚓方程式的一種解。 這一類解有點無聊 (trivial)。
讓我們再猜一猜, 蚯蚓方程式還有什麼樣有趣的解。 在古典的解析數論中, 連分數很類似 蚯蚓:
x1+ 1 x2 + 1
. ..+xn1
(3)
將 (3) 式通分, 化為有理式 QPn(x1,...,xn)
n(x1,...,xn)。 為了瞭解究竟連分數是否與蚯蚓方程式有關, 讓我們 先來研究, 如何求 Pn, Qn? 此問題可由以下方法解決: 令
Tj(z) = xj +1
z = x1z+ 1 z 則
x1 = lim
z→∞T1(z), x1 + 1
x2 = lim
z→∞T1◦ T2(z), x1 = lim
z→0T1 ◦ T2(z) ...
x1+ 1 x2+ 1
. ..+ 1 xn
= lim
z→∞T1◦T2◦· · ·◦Tn(z), x1+ 1 x2+ 1
... + 1 xn−1
= lim
z→0T1◦· · ·◦Tn(z).
(4)
因為 Tj(z) 都是 M¨obius 變換, Tj(z) 的矩陣表示為 Mj =
xj 1 1 0
。 又因為 M¨obius 變換的 合成, 與矩陣的乘積相當, 再由 (4), 我們發現:
T1◦ · · · ◦ Tn(z) = Pnz+ Pn−1 Qnz+ Qn−1
, Pn
Qn = limz→∞T1◦ · · · ◦ Tn(z). (5) 此處 Pn = Pn(x1, . . . , xn), Pn−1 = Pn−1(x1, . . . , xn−1), Qn = Qn(x1, . . . , xn), Qn−1 = Qn−1(x1, . . . , xn−1),
Pn Pn−1 Qn Qn−1
=
x1 1 1 0
x2 1 1 0
· · ·
xn 1 1 0
. (6)
將 (6) 式對 xj 作偏微分, 得
∂Pn(x1, . . . , xn)
∂xj
∂Pn−1(x1, . . . , xn−1)
∂xj
∂Qn(x1, . . . , xn)
∂xj
∂Qn−1(x1, . . . , xn−1)
∂xj
=
x1 1 1 0
· · ·
xj−1 1 1 0
1 0 0 0
xj+1 1 1 0
· · ·
xn 1 1 0
=
Pj−1(x1, . . . , xj−1) Pj−2(x1, . . . , xj−2) Qj−1(x1, . . . , xj−1) Qj−2(x1, . . . , xj−2)
1 0 0 0
Pn−j(xj+1, . . . , xn) Pn−j−1(xj+1, . . . , xn−1) Qn−j(xj+1, . . . , xn) Qn−j−1(xj+1, . . . , xn−1)
=
Pj−1(x1, . . . , xj−1)Pn−j(xj+1, . . . , xn) Pj−1(x1, . . . , xj−1)Pn−j−1(xj+1, . . . , xn−1)
∗ ∗
由上列計算, 我們發現: Pn(x1, . . . , xn), 即連分數 x1+ 1 x2 + 1
. ..+ 1
xn
通分後的分子, 也是一 種 “蚯蚓”。 我覺得蚯蚓方程式的連分數解特別有趣。 至於蚯蚓方程式是否還是其它形式的解, 已不再是我感興趣的事。
通常, 成層的分式, 不管有限, 或是無限多層, 都可以稱之為連分式 (數)。 像前述的連分 數, 當 xj 皆為整數, 且當 k ≥ 2 時 xk > 0, 特別被稱為簡單連分數 (simple continued fraction), 事實上它一點也不簡單, 只不過是 “看起來” 簡單而已。
連分數的研究與多項式的零根估計有關。 在牛頓 (1642-1727) 之前, 已有數學家研究連分 數, 例如 R. Bombelli (1526-1573) 說:
√13 = 3 + 4 6 + 46, 而 P. Cataldi (1548-1626) 說:
√a2+ b = a + b
2a +2ab . (7)
(7) 式是一個有趣的公式, 應解讀為無限連分數:
√a2+ b = a + b 2a +2a+ b b
2a+ b
...
. (8)
其中 b, 2a 重覆出現。 當然我們假定 a, b 皆為正數。 同學們不難發現, 若表 13 = 32+ 4, 則 由 Cataldi 公式可推出 Bombelli 的結果。 還有物理學家 Huygens (1629-1695), 他利用連 分數研究齒輪的理論, 因而發明 「游絲」, 並於 1657年與一位工匠合作, 製作第一具有鐘擺的時 鐘 (現存荷蘭 Leyden 博物館)。 Huygens 在鐘錶史上, 有很重要的地位。 Huygens 對於近代 數學, 也有很深遠的影響: 他於 1672 年鼓勵當時在法國從事外交工作的 Leibniz (Gottfried Withehn Leibniz, 1646-1716) 研究數學! 至於以嚴謹的分析方法, 去對連分數作有系統的研 究, 則是尤拉 (L. Euler 1707-1783) 重要的貢獻之一∗。
我們來想一想, 如何去證明 (8) 式所示的 Cataldi 公式。
首先, 令
x1 = a +√ a2+ b, 則有
x21− 2ax1− b = 0, 因此
x1 = 2ax1+ b
x1 = 2a + b
x1 = 2a + b 2a +2a+b b
...
,
所以 √
a2+ b = a + b 2a +2a+b b
...
.
在 (3) 式中, 如果
x1 ∈Z, x2, . . . , xn ∈N.
則稱之為 簡單連分數。當 n 有限, 稱為有限連分數, 當 n 無限, 則為無限連分數。 我們將簡單 連分數 a0 + 1
a1+ a 1
2+ 1
...
記作 [a0; a1, a2, . . .]。 任一實數, 皆可將它展開成簡單連分數。 反
之, 予一無窮數列 (an)n≥0, 其中 a0 ∈Z, 而當 n ≥ 1 時, an ∈N, 令
Pn Pn−1 Qn Qn−1
=
a0 1 1 0
· · ·
an 1 1 0
則可證明: limn→∞ Pn
Qn 存在。 令此極限為 α, 則此 α 之連分數展開亦為 [a0; a1, . . .]。
注意到, 一個有理數可能兩個簡單連分數的展開式。 例如: 23 = 1+11
2
, 23 = 1+11
1+ 11
。 即:
2
3 = [0; 1, 2], 23 也等於 [0, 1, 1, 1]。 同理, 若 α ∈Q, α = [a0; a1, . . . , an], 則
*參見26卷2期 「Euler−數學的沙士比亞」 一文。
(i) 當 an>1, 則 α 也可以寫成 [a0; a1, . . . , an−1,1]。
(ii) 當 an= 1, 則 α = [a0; a1, . . . , an−1+ 1]。
(iii) 當 n 之奇、 偶性固定時, 有理數有唯一的簡單連分數展開。
運用有理數之簡單連分數展開的上述特質, 我們可以研究幾個有趣的問題。
(I) 對稱有理數: 設 P > Q > 1, P, Q ∈ N, P, Q 互質。 若有理數 PQ 有一個連分 數展開式 [a0; a1, . . . , an] 滿足下列條件: a0 = an, a1 = an−1, . . . , an = an−n, 也就是說 (a0, a1, . . . , an) 是一個對稱數列, 則稱 PQ 為一對稱有理數。
問題一. 設 P > Q > 1, P, Q ∈ N, 且 P, Q 互質, 試問正有理數 PQ 為對稱有理數的 充要條件為何?
關於問題一, 我想用一點簡單的線性代數的方法來研究。 先假設 PQ = [a0, . . . , an], 其中 數列 (a0, . . . , an) 對稱。 令
Pn Pn−1 Qn Qn−1
=
a0 1 1 0
· · ·
an 1 1 0
. (9)
則 QPn
n = PQ, 而因我們假設 P, Q 互質, P, Q 均正, 所以 Pn= P, Qn = Q。 另外, 若對 (9) 式中之矩陣
Pn Pn−1 QnQn−1
取伴隨 (adjoint) 矩陣, 則得
Pn Qn Pn−1 Qn−1
=
an 1 1 0
· · ·
a0 1 1 0
. (10)
因為 (a0, . . . , an) 為對稱數列, 如果比較 (9), (10) 兩式, 便會發現:
Pn Pn−1 Qn Qn−1
為對稱方 陣。 因此
Pn−1 = Qn = Q. (11)
又因 (9) 式告訴我們:
P Qn−1− Q2 = (−1)n+1, (12) 因 (12), 我們發現以下 PQ 為對稱有理數的必要條件:
輔理1. 若 PQ 為對稱有理數, 則 Q2+ 1 或 Q2− 1 兩者之一必被 P 所整除。
我們當然有興趣知道, 上述輔理的必要條件是否也是 QP 為對稱有理數之充分條件。
設 P > Q > 1, P 整除 Q2+ 1, 則因
P Q≥ (Q + 1)Q = Q2+ Q > Q2+ 1,
所以, 若 P 能整除 Q2 + 1, 令
S = Q2+ 1
P , (13)
則有 S < Q, 而且有下列關係式:
P S− Q2 = 1. (14)
用 P, S, Q 造一個對稱方陣
P Q Q S
, 若能將此方陣分解為
a0 1 1 0
· · ·
an 1 1 0
的形式, 便容易回答前述問題。 為此目的, 我們研究:
(II) 整數方陣
P R Q S
的分解, 其中 P S − QR = 1 或 −1。
關於這個問題, 我只介紹下列定理。
定理2. 設 T =
P Q Q S
為一整數方陣, 其中 (i) Q > S > 0
(ii) P S − QR = δ, δ = 1 或 −1,
則必存在 a0 ∈Z, a1, . . . , an∈N, (−1)n+1 = δ, 使 T 可分解如下:
P R Q S
=
a0 1 1 0
a1 1 1 0
· · ·
an 1 1 0
.
證明: 設 PQ 之連分數展開式為 [a0, a1, . . . , an], 其中 n 滿足條件: (−1)n+1 = δ。 則 P = Pn, Q= Qn 且
P Qn−1− QPn−1 = P S − QR. (15) 由 (15) 式, 得
P(S − Qn−1) = Q(R − Pn−1), (16) 也因此, 得知
Q|S − Qn−1. (17)
由於 Q > S > 0, Q = Qn > Qn−1 >0 因此 Q > |S − Qn−1|。 故由 (17) 式得知 S− Qn−1 = 0,
所以 S = Qn−1。 再由
P S− QR = P S − QPn−1
得 R = Pn−1。
綜合以上討論, 我們發現:
P R Q S
=
a0 1 1 0
· · ·
an 1 1 0
. 定理證畢。
將定理 2 透過 (14) 式應用在問題一上, 若 P 能整除 Q2+ 1, 則有 Q > S > 0, 而對稱 方陣
P Q Q S
之行列式為 1, 依定理 2,
P Q Q S
有下列分解:
P Q Q S
=
α0 1 1 0
· · ·
αn 1 1 0
, (18)
其中 n 為奇數。 對 (18) 式之兩邊取伴隨矩陣, 我們發現 P
Q = [α0; α1, . . . , αn] = [αn; αn−1, . . . , α0].
由於 n 之奇偶性已定, 所以 α0 = αn, α1 = αn−1, . . . , αn= α0, 即 PQ 為對稱有理數。
當 P 能整除 Q2 − 1 時, 同上述討論, 在運用定理 2 之後, 亦可證明 PQ 為對稱有理數。
綜合以上的討論, 我們得到下列結論:
定理 3. 設 P > Q > 1, P, Q 為整數。 則 PQ 為對稱有理數之充要條件是: P 能整除 Q2− 1 或 Q2+ 1。
有幾個與定理 3 相關的有趣問題, 留給同學們想一想:
(III) V 型有理數: 設 P > Q > 1, P, Q 互質。 若 PQ 對稱, 而且其對稱連分數展開式 [a0; a1, . . . , an] 具下列性質: a0 = an ≥ a1 = an−1 ≥ · · · ≥ an = an−n ≥ · · ·, 則稱 PQ 為 V 型有理數。
問題二: 試找出 PQ 為 V 型有理數之充要條件。
當然啦, 我們也是可以定義 W 型, 或週期型有理數等等, 這些留待同學們去想像。
我們發現, 簡單連分數 (simple continued fraction) 其實並不簡單, 蚯蚓也是一樣; 它們 使大地肥沃, 使雞鴨壯碩, 也引發了我對連分數的興趣。 最後, 謹以 「秋風夜雨」 的演奏曲, 作為 我今天演講的結尾。 謝謝大家。
—本文作者演講人沈昭亮現任教於清華大學數學系—
