數學巨擘高斯

數 學巨擘高斯 (Carl Fridrich Gauss)( 下 ₎

顏一清

十 . 與 Weber 合作

1828 年 Gauss 赴柏林參加學術會議住 Humbolt 家, 在那裡他認識了當時當 Halle 大學講師的 Wilhelm Weber(1804-1890)。

Humbolt鼓勵 Gauss 作地磁氣的研究。 這 一年 Gauss 升任 G¨ottingen 大學正教授。

1831 年因 Gauss 的推荐, Weber 被 聘為 G¨ottingen 大學物理學教授。 當年 Gauss 54 歲, Weber 27 歲。 此後除了 1843- 1849 年間待在 Leibzig 外 Weber 一直在 G¨ottingen。 Gauss 與 Weber 開始合作。 起 先 Weber 只是 Gauss 熟練的幫手, 後來 Weber 的獨立性與重要性日增, 他最高的成 就在於 1846年的電力學測定。

1932 年 Gauss 寫了有關磁氣測定絕對 單位的論文。 在這裡, 數學家 Gauss 又成為

「測定物理學」 的立法者了。

Gauss與 Weber 合作, 發明了電磁式 電信機。 他們在天文台與物理研究所之間裝 置接送機互通訊息。 1834 年他們在天文台附 近建造了一所磁氣觀測所。 他們在 1840 年共 著 「地磁氣地圖」(Leibzig 出版), 奠定了位 勢論的基礎。

到此 Gauss 在應用數學的研究到達了 他生涯中的頂點。 但是他成就的核心與基盤 還是在他投入了青春的純數學上。 他專注的 領域是算學、 代數與解析學。

十一 . 孩子們

Gauss 的大女兒 Wilhelmine (嫟稱 Minna) 長大後相貌神似她母親, 個性卻像 Gauss。 她是 Gauss 最鍾愛的孩子。 她照料 祖母, 生病的繼母和弟妹, 並與出外工作的父 親通信。

1830 年 9 月 15 日 Minna 與 G¨ottin- gen 大學神學與東方語言教授 Heinrich Au- gust von Ewald (1803-1875) 結婚。 Ewald 年輕時就已經是傑出的學者, 人品好, 但非 常心不在焉。 Gauss 對他這位女婿很滿意。

Minna 婚後不久羅患肺病, 沒生孩子。 不過 Minna 與 Ewald 過了很幸福的婚姻生活。

Gauss 的第三子 Eugene 在數學與語 文方面承繼了父親的能力, 但是他叛逆性強, 性格又暴燥。 本來 Eugene 上大學時想唸 語言學, 做父親的卻用他的權威硬壓制下來。

Eugene 「聽勸」 唸法律系。 但是他進校後猛

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賭牌、 酗酒, 所欠的債當然由老子償還。 在 Gauss 怒斥之下 Eugene 不帶一物, 不告 而別。 Gauss 託 Schumacher 在 Eugeine 可能去的 Hamburg 尋找。 終於在 Bremen 找到 Eugene。 Gauss 帶行李與錢趕到 Bre- men Olbers 家。 在那裡父子生別了。 1830 年 12月 Eugene 買棹赴紐約。 他的行徑傷透 了病中的 Minna 夫人的心。 她自從生完三 個孩子後常常生病, 還帶些憂鬱症, 又很在乎 Gauss 對她的觀感。 孩子們的事也讓她不順 遂。 Eugene難惹, 她的第二子 Willhelm 比 較溫順, 喜歡務農, 但去過幾處實習, 都不能 適應。 後來總算在 Potzdam 做了兩年生意。

長病的 Minna 夫人在1931年9月12日 去世了, 遺言 Eugene 的行為改好才能得到 他份內的遺產。 Minna夫人過世並沒有打垮 Gauss。 他羽毛已豐, 有學術與社會地位, 孩 子們也已長成。 家事改由小女兒 Therese 主 持。 母親 Dorothea 還健在, 使 Gauss 比 較內省, 會回想到他的已往, 也就常對訪客談 及他的兒時。 但是他的人變得弧僻。 他心中不 快活, 覺得沒有什麼好再奮鬥的了, 對待一些 年輕同行也就冷峻起來。 為了 Bessel 沒有 來信弔問 Minna 夫人的亡故, Gauss 生氣 與 Bessel 斷絕通信。 多年後他們又回復寫 信, 但是彼此間已經有一層隔閡了。

兩個兒子 Eugene 與 Wilhelm 的問 題使 Gauss 沒轍, 常常與他的學生兼朋友 Gerling(C. L, ) 商量。 總算在 1837 年 Wil- helm 娶了 Bessel 的姪女, 並在同年與新娘 子移民美國, 以實現他經營農場的夢。 小舅子 也同行。 這回 Wilhelm 夫婦得到了 Gauss

的祝福, 不過他們的行程也讓 Gauss 耽憂了 好幾個月。

十二 . 非歐幾何學

有關 Euclid 的平行公設 (parallel postulate) 早在紀元二世紀 Claudius Pto- lemy (ca85 - ca165) 就置疑了。 他想把它從 公設中挪開而沒有成功。 過後歷代有一些人 嚐試這個問題。 直到十九世紀這個問題的研 究成為一種時尚。 Gauss與他的朋友 Bolyai 就透過這個問題的討論加深了彼此間的友誼。

Gauss也一直斷斷續續地研究平行公設。 在 1799 年 9 月的日記中他寫: 「在幾何學的原 理上我得到了很好的進展」。 在 1846 年 10 月 2 日 Gauss 給 Gerling 的信中說: 「在沒有 平行公設的幾何學上多邊形的面積與其外角 和減去 360^◦ 成正比。 它應該是這個理論上 的第一個定理, 也是出發點。 我早在 1794 年 就得到這個理論。」

Wolfgang Bolyai 自 1799 年回去故 鄉 Transylvania 到 1804 年他當上 Maros- V´as´arhely 的數學與物理教授之前把數學擱 置了一陣子。 過後他又持續他當年做的平行 公設研究。 1804 年 9 月 16 日他把所得結果寄 給 Gauss。 11 月 25 日 Gauss 給他回信, 讚 賞 Bolyai 所下的工夫, Bolyai 得到的結果 有些與 Gauss 的相似, 但是它並沒有完全解 決了問題。 Gauss 又說, 他打算有生之年突 破這個問題的難關, 不過目前他忙其他事, 無 法貫注在它上面。 如果 Bolyai 能夠克服障礙 解決問題, Gauss很樂意讓給好朋友優先發 現者的榮譽, 並設法讓世人知曉。

Bolyai受到這封信的鼓勵, 1808 年 12 月 27日又寄補遺給 Gauss, 但是沒有收到回 音。 他們之間的通訊就間斷到 1816年。

1816年 Bolyai 又寫信給 Gauss 說: 想 把兒子 Janus 送到 G¨ottingen Gauss 那裡, 先當學徒後唸書。 但也沒有得到回函。 這期間 Bolyai 又在平行公設上投入了好多精力而無 結果。

Walfgang Bolyai 的兒子 Janus 小時 候從他父親受教育, 他學習迅速, 十三歲時父 親生病他都可以代課了。 他又繼承了他父親 對第五公設的狂熱, 他簡直被平行公設迷住 了! 1818 年 Janus 在唸維也納的陸軍技術 學院, 並在 1820 年寫信告訴他父親他在嚐試 平行公設的研究。 做父親的得悉後大吃一驚, 去信勸兒子: 「連一個時刻都不要用在這個問 題上, 它不能給任何你結果, 反而會毒害你整 個人生。 它會剝奪你的閒暇、 你的健康、 你的 休息、 你生命中的一切幸福。 這個暗黑的無底 深淵可能會吞噬千萬個 Newton 般的人物。

它不可能在這個地面上見到光。」

可是 Janus 沒有聽進父親的忠告, 反 而更加努力去研究。 1823 年 11 月 3 日他開 始感覺到勝利的滋味, 他告訴父親: 「從

『無』 中我創造出新世界來。」 他所得結果便 是 Gauss 在長期的疑惑與猶疑後在 1816 年達成的。 Gauss在1816年的書評中發表說, 證明平行公設是不可能的事。 他為這遭受到 嚴苛的批評。 因此他決定在他有生之年不再 發表有關平行公設的任何意見。

不久 Gauss 發現一名法律學家 F. C.

Schweicart (1780-1859) 在 1812-1816 年

間不借助於第五公設開發 「天界幾何學」, 他 給 Gauss 他的 「天界大小的理論」 的簡稿 徵 Gauss 的意見。 Gauss回答: 他寫的全部 彷彿是借 Gauss 的筆寫成的一樣。 Gauss又 說, 空間存在於我們的外部。 它的原則不能預 先記述。 它的性質該用實驗為基礎才能完全 確定。

Schweicart有外甥 F. A. Taurinus (1794-1874), 他也是一名法律學家, 因舅父 的書給他刺激, 他從年輕時就投入平行公設 的研究。 1824年10月 Taurinus 寄給 Gauss 他的實驗式的證明。 同年 11月8日 Gauss 給 他長信, 請他保密信的內容。 信中說: 「三角 形內角和小於 180^◦ 的假設會引導我們到特 別的幾何學, 它裡面不會有矛盾產生。 我開發 這種幾何學到很滿意的程度, 除了一例外我 全部可以解決有關它的問題。 這個例外便是 定數的決定, 而它是不能預見的。 這個定數 取得越大越接近於歐氏幾何學, 取無限大值 則兩者一致。· · ·」。 (註: 這個定數便定 √¹

|K|

K: 高斯曲率) Taurius 受到鼓舞, 1825 年 寫出 「平行線的理論」, 1826 年寫 「幾何學的 主要要件」 寄給 Gauss。 兩書序文中都提到 Gauss。 Gauss不再理睬他, 這些書也就沒沒 無聞了。

1825 年 Janus 開始寫他的論文。 他的 父親告訴他: 「如果你真的成功地解決了有關 平行公設的問題, 有兩個理由你得趕緊發表 它。 一則, 觀念很容易傳開, 別人可能也會發 表它。 二則, 如預言會同時在數處出現, 春天 裡紫羅蘭會到處開花一般, 許多事會同時發 生, 所以你要搶先公開它。」

Janus的 「絕對幾何學」 以附錄的形式 出現在他父親寫的教科書“Tentamen” 中 (“Appendix scientiam spatii absolute veram exhibens” 1831, 6月出版)。

1831 年 Walfgang Bolyai 把書與信分 別寄給 Gauss。 Gauss收到了信, 書因霍亂 的蔓延無法寄達而被折回。 Gauss在 1832 年 2 月從朋友處拿到了這本書。

1832 年 3 月 6 日 Gauss 給 Walfgang 信說: Janus 的結果與 Gauss 的結果非常 一致, 令他很驚訝。 不過他不便稱讚 Janus, 因為這麼做等於稱讚他自己。 他向年輕的幾 何學家 Janus 表示十分的敬佩之意, 並給他 一個問題: 如何求出非歐幾何學裡面一個四 面體的體積? (後來兩人都做出這個問題)。

Walfgang對於 Gauss 的回信內容相當 地滿意。 但是 Janus 卻非常失望並憤恨不平:

Gauss 不給他公開的認定, 還說在發明上他 有優先權!

其實俄國數學家 Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1793-1856) 早在1829-1830 年間在 Kasan 大學學報 Kasan Messen- ger 發表他的 「虛數幾何學」(非歐幾何學) 了。 Lobachevsky在 1815-1816 年間開始在 Kasan 大學教幾何學時還試圖證明平行公 設。 後來他逐漸習慣於不可能證出平行公設 的事實, 從而發展出無平行公設存在的幾何 學, 並把研究結果在 Kasan 科學學會 (1826 年 2 月 12 日) 上提出。 一直到 1830 年它才被 刊載出來。

但是 Lobachevsky 的論文並沒有起引 西歐人士注目, 他於是在 1837 年用法文把他

的「虛數幾何學」 的摘要發表在 Crelle Jour- nal XVII (pp.295-320) 上。 1835-1838 年 間他又寫出有關的研究論文。

Janus Bolyai 得知 Lobachevsky 也做 出非歐幾何學後以為這是 Gauss 搞出來的一 種花樣, 更加生氣, 又氣餒, 就不再研究他的

「美麗新世界」 了。 從此他跟父親 Walfgang 也疏遠起來, 還從軍職退下, 過他的荒唐生活 至死, 最後甚至於連他自己的肖像都用佩劍 刺破, 悉數毀掉 [9]。

Gauss一直到1840年才知道 Lobache- vsky 做出非歐幾何學來, 為了要好好唸原文, Gauss 還特地重學了俄文, 並在1842年選聘 Lobachevsky 為 G¨ottingen 皇家科學會通 訊員。

十三 . Fermat 最後定理

法國科學院曾經在 1816-1818年間懸賞 徵求 Fermat 定理 xⁿ+ yⁿ= zⁿ n ∈ N 的 證明或反證明。 Olbers 寫信給 Gauss, 慫恿 他做這個問題。 Gauss 回答說, 他感激 Ol- bers 告訴他件事, 不過他對它不感興趣。 事 實上他也很容易做出一連串這一類弧立而沒 有應用價值, 且使人難解的問題來。 但是他認 為這對往後數論的發展並沒有多大益處。

實際上 Gauss 證過 x³+ y³+ z³ = 0 無整數解, 即 Fermat 最後定理當 n = 3 的情形。 他在另一篇文章上也證過這個定理 當 n = 5 的情形, 但是沒有再做下去。

十四 . 橢圓函數

Gauss 在早年 (1791) 就玩算術幾何平 均數的遊戲, 即: 給定 a = a₀ > b = b₀ > 0 令 an = ^an−1+b₂ ⁿ⁻¹, bn =

√a_n−1b_n−1 則 {an} {bⁿ} 趨近於同一極限 值 M(a, b)。 而完全橢圓積分 (橢圓的周長 算法) ¹_π^R₀^π √ ^dφ

1−x²cos²φ = M (1−x,1+x)¹ , 且

1 M (1,√

1−x²) = _π^{2 R}₀^π/2 √ ^dφ

1−x²sin²φ。

Gauss 又導出隻紐線 (lemniscate) (x²+ y²)² = a²(x² − y²) 的弧長算式 y =

R_x

0 √dt

1−t⁴, 為橢圓積分。 它的逆函數 Gauss 以 y = sinlemn x 表示, 稱為 x 的雙紐線正 弦。 而 sinlemn x 有二週期 2ω, 2ωi,

ω= 2

Z ₁

0

√ dt

1 − t⁴ = π M(1,√

2) (1797 年 5 月)。

他又引進 coslemn x 等。

在 1797 年 3 月的日記中 Gauss 記載他 可以用直尺與圓規五等分, 甚至於 n 等分雙 紐線長。 1800年 Gauss 導出 ¹

M (1+x,1−x) = 1 + (¹₂)²x²+ (^1·3_2·4)²x⁴+ (^1·3·5_2·4·6)²x⁶+ · · ·, 它 並滿足一個二階微分方程式。

從這些看得出 Gauss 對橢函數是做過 深入研究的。 Gauss可能有意把橢圓函數的 全部理論完整地做出後再發表, 否則不公開 它。 Gauss所寫有關橢圓積分的內容只有在 他 1818 年發表的論文“Secular Perturba- tions” 中可以見到。

多年後 (1827) 挪威人 Niels Henrick Abel (1802-1829) 與德國人 C. G. J. Ia- cobi (1804-1851) 因 Gauss 的 「Disquisi- tiones Arithemetica」 第七章 335 節中的提

示而做出關於橢圓函數的友善的競爭性研究。

對這 Gauss 的態度是不聞不問的。

在 1824 年當年 22 歲的 Abel 解出一般 五次方程式的不可解性, 而在奧斯陸自印成 六頁的小論文。 他把論文寄給各國數學先進 們, 滿懷希望得到他們一些善意的回應。 他 也寄給 Gauss。 但是他所得到的可靠消息是, Gauss 尖叫: 「這裡又出現怪物了!」, 就把 Abel 的論文扔去一邊。

1825 年 8 月底 Abel 因他的一篇論文 (後來遺失) 得到挪威政府的獎金可往西歐遊 學一年。 Abel 的最大願望是拜訪他尊崇的 Gauss。 但是 Gauss 這個人既然遙不可及, Abel 便在 9 月月取道丹麥, 抱著痛苦的心情 繞過 Gauss 所在地 G¨ottingen, 到達柏林。

在那裡他僥倖地遇到 A. L. Crelle (1780- 1855)。 Crelle是第一位在德國境內舖設鐵路 而發財的土木工程師。 他愛好數學, 並有識 別天才的洞察力。 Abel, J. Steiner (1796- 1867)。 Karl Weierstrass (1815-1897) 都 因他識才替他們發表論文才得以出名。

Crelle 想辦一份數學雜誌, 就向 Abel 邀稿。 Abel就便在 1826 年 Crelle 出資 的數學季刊雜誌“Jaurnal f¨ur die reine und angewandte Mathematick” (又簡稱 Crelle Journal)(I) 上發表了五篇論文。 該雜 誌第二冊中有 Abel 的橢圓函數雙週期理論。

Abel到了巴黎, 那裡的數學家們對他冷 冷的, 只是有禮貌而已。 他寄給巴黎科學院 的有關超越函數的巨著也被審稿者 A. L.

Cauchy (1789-1857) 放置在家裡失蹤了。

這篇文章一直到 Abel 貧病交迫死亡後幾

年, 經挪威政府的抗議才尋找出來, 終於在 1841 年見到天日 (法國科學院論文集第 7 卷 pp.176-264)。

1827 年秋天 Abel 在 Crelle Journal 上發表橢圓函數的論文。 數月後 (1828 年 3 月 30 日)Gauss 給 Bessel 信, 說: 「我無法 完成自從 1798 年以來研究的橢圓函數, 因為 我有其他事得做。 最近我發現 Abel 已經完 成了我的工作, 他讓我省去三分之一的勞力。

他寫得既優雅又清楚。 寫的方式又跟我神似 到令我驚奇的地步。 不過他並沒有抄襲我的 研究, 因為我從來沒有跟任何人談到它。」

1829 年 4 月 6 日 Abel 去世了, 年方 27 歲。 同年 5 月 29 日 Gauss 給 Schumacher 信, 說: 「Abel 的死對科學界是一大損失。 我 在報紙上都沒有看到有關他的報導。 如果你 手中有這位特殊人物的生前資料, 請告訴我。

假使可能, 我也想擁有他的肖像。」

這樣看來, Gauss 對 Abel 的印象並沒 Abel 所想像的那麼差。

至於另一位橢圓函數發現者 Jacobi, 在 1849 年慶賀 Gauss 得博士學位五十週年紀 念宴會上他是 G¨ottingen 大學的貴賓, 被安 排坐在 Gauss 的傍邊。 Jaiobi 想跟 Gauss 談數學, 但 Gauss 避開話題不談。

十五 . 、 解聘七教授事件

英王兼 Hanover 王 William IV 在 1837年6月逝世。 他雖然不幹練, 倒也是一位 慈愛的國王。 由於他無子嗣, 英王由他的姪女 Victorica 繼承。 她是女子, 依照 Hanover 律法不能繼任 Hanover 王位, 改由她的叔父,

William IV 昏庸的五弟 Ernst August當 Hanover 王, 稱為 George V。

1837 年 9 月 12 日至 20 日 G¨ottingen 大學慶祝大學成立百年慶。 George V 與 Alexander Humbolt 都來參加。 慶典的場 面盛大, 熱鬧非常。 但是好景不長。

1837 年 11 月 George V 廢止了前 王 William IV 所訂的民主憲法。 於是 G¨ottingen 大學的七位教授 Dahlmann, G.

G. Gervinus, W. E. Albrecht, Ewald (Gauss 女婿), Weber 與 Grimm 兄弟 (Grimm 童話著者) 連署抗議書。 國王一怒, 12 月 12 日解聘這七名教授。 有一陣軍隊還開 進, 控制著整個 G¨ottingen。

有人批評 Gauss, 說如果他加入抗議行 列, 則分量足, 事情不致於如此。 可是 Gauss 寧願明哲保身, 安靜過他的研究生活。 他也怕 鬧事會影響到 G¨ottingen 大學的聲譽。 的確, G¨ottingen 大學因這事受損, 要恢復它的名 聲花了五十多年。

Gauss 事後不便為女婿 Ewald 說項, 倒是為 Weber 奔走過。 他託 Humbolt 給 George V 進言。 在一次宴會上 George V 跟 Humbolt 說: 「用我的錢, 我可以召來芭 蕾舞孃、 娼妓、 教授、 要多有多少!」 Hum- bolt一聽便知趣, 沒提起替 Weber 緩頰的 事。 而被解聘的七名教授們倒是被其他大學 爭相延聘。

1838 年 5 月 Ewald 受聘於 T¨ubingen 大學為東方語言教授, Gauss寵愛的大女兒 Minna 於是跟丈夫 Ewald 赴 T¨ubingen。

Ewald在那裡認真工作了十年。 而 Minna

因肺病在 1840 年 8 月 12 日在當地去世, 讓 Gauss 非常悲傷。

十六 . Gauss 的教學

晚年 Gauss 對教學比較賣力。 有一 些優秀的學生在他底下受教, 在數學方面有 F. G. M. Eisenstein (1844), Riemann (1846), Richard Dedekind (1850) 與數學 史家 Moriz Cantor (1850) 等。

1844 年放暑假時 Eisenstein (1823- 1852) 帶著 humbolt 的介紹信來見 Gauss。

Gauss 對待 Eisenstein 就如同 Eisenstein 是他鍾愛的兒子般, 並期許 Eisenstein 將來 的數學成就可與 Archimedes, Newton 並 列。 Eisenstein在他短促的一生中留下了五 十篇文章。 倒是 Gauss 認為 Eisenstein 該 有的地位被 Gauss 本身取代了。

Dedekind (1831-1916) 描繪過 Gauss 上課的情形: 「師生們圍著一張方桌坐著。

Gauss 不讓學生記筆記, 要他們專心聽講。

Gauss很自在, 清楚而平板地講課。 當他要強 調某件事時他會以他那清澈的藍眼睛盯著靠 近他坐著的學生講。 要寫數學公式時他會站 起來在他背後的黑板上用他那美麗的字體不 佔地方地寫下來。 如果得仔細推算的例子, 他 會帶來寫著相同數據的小字條來。」

十七 . 晚年

在 Gauss 最後十數年, 他看來好像完 全安頓在他那中產階級的生活中。 他的母親 在 1839年4月18日去世, 安享天年至97歲高 齡。 他在 1840 年出版 Atlas of Terrestrial

Magnetism。 1843 年 4 月 6 日出版“Memoir in Geodesy”(I) 1846年又出版“Mnmoir in Geodesy”(II)。 1849 年 6 月 26 日 Gauss 早 年的天文學家, 朋友 Bernhard August von Lindenau (1799-1854) 來拜訪他, 讓他好高 興。

1845 年初 G¨ottingen 大學的學術參議 會委託 Gauss 重新組合瀕臨破產的教授寡婦 基金會。 Gauss以他一貫的認真態度研究寡 婦基金, 解決了問題, 挽救了這個基金會, 使 一批孤兒寡婦們很感激他。

事實上 Gauss 本身很會理財, 他年薪有 一陣只有 1000 Thaler。 他的收入是薪水再 加上選課學生的學費 (他的學生一向很少)。

但是他的生活簡樸, 又因很會投資, 他去世後 遺產竟有十五萬三千 thaler, 而從桌子, 抽 屜、 衣櫥又找出一萬八千餘 thaler 的現款出 來 [10]。

1848 年 2 月 G¨ottingen 大學鬧學潮。

激進派的學生領袖是 Johann Miquel, 他 是 Karl Marx 的好朋友, 有社會主義傾 向。 多數的學生是溫和派, 他們僅主張校內 改革而已。 軍隊一度也開進 G¨ottingen 來。

而學生與警察間稍有衡突, 不過事情沒有鬧 大。 G¨ottingen 大學因這次學潮反而嬴得在 Hanover 王國次於 Hildesheim, 最前衛的 學校的名聲。

在這次學潮中學校當局請出體能好的教 授們佔崗, 維持學校境內的秩序。

Max Schneidewin 在 1927 年時回憶 說, 在 1848 年他 6 歲, 是 G¨ottingen 大學 古代語言教授的兒子。 2月事件時他看到他的

父親穿上黑外套, 配上寬厚皮帶, 荷長槍去 Geismar 門邊站崗。 站崗的教授們聽到住在 附近的 Gauss 要經過, 便排成列。 當 Gauss 經過時他們便向他行舉槍禮表示敬意。

可見在同事們心目中 Gauss 崇高的地 位。 Gauss 本人也意識到他君臨學術界的架 勢。

實際上 Gauss 也獲得各種榮譽, 各國 學術機構爭聘他為榮譽會員, 他又有許多封 號, 如早在 1810年 8月 19日 Westphalia 國 王 Jˆerome 就封他為爵士 (Knight) 1818 年 George III 賜封他參議 (Hofrat)。 1845 年 George V 封他為首席參議 (Geheimes Hofrat)。 不過 1848 年 4 月 20 日 Gauss 給 Wolfgarg Bolyai 的信中卻說這些榮譽對他 來講好比是過眼雲煙而已。

1848 年的 2 月事件後 Hanover 政府 為了要彌補 1837 年事件以來的遺憾, 想聘 回被放逐的七位教授, 但也只有 Weber 與 Ewald 回來 G¨ottingen 大學。 這可是晚年 的 Gauss 非常樂見的事哩。

1848 年 G¨ottingen 大學內設立了 「文 藝博物館」, 後來改稱為 「聯誼會」, Gauss也 是會員之一。 設立它的用意在於拉近師生之 間的距離, 以免發生學生改革運動。 「聯誼會」

的地點設在一位希臘已故教授的宿舍。 室內 放置著各種非反動性的報章、 雜誌。 在晚年 的 Gauss, 散步到那兒從早上十一點到下午 一點看報章雜誌是他唯一的消遣。 Gauss會 把他要看的有關政治、 經濟、 文學和科學的 報章雜誌以想看的順序疊成一堆放在椅子上, 再坐上去以免被別人拿走, 再一份一份抽出

來看, 必要時做做札記。 如果有學生拿走他 要看的報紙, 他會盯著學生看, 看得那個學 生慌慌張張站起來, 趕忙遞給他那份報紙。 這 麼一來學生們便奉送他一個綽號: 「報紙老 虎」(Zeitung-tiger) 了。

Gauss 從年輕時代一直對語文保持高 度興趣。 他對德國文學與哲學很在行, 而最喜 愛筆名 Jean Paul 的 Friedrich Richter (1763-1825) 的作品。 因為 Richter 的人 品像他的老友 Bolyai。 他讀遍與他同時代的 Goethe(1749-1832) 作品, 可是不喜歡, 也 不欣賞另一作家 Schiller(1759-1805)。 法國 文學他唸 Montaigne 與 Rousseau 等人的 作品。 俄文學則他偏愛 A. Pushkin (1799- 1837)。 對英國文學他不喜歡 William Sha- kespeare, 覺得 Shakespeare 寫的作品悲情 太多。 依 Gauss 的話, 「人世間悲劇已經夠 多了。」 他很喜愛 Sir Walter Scott (1771- 1832) 的作品。 不過 Gauss 會在雞蛋裡挑骨 頭。 他看到 Scott 寫 「滿月從西北方升起」 大 笑不已, 立即改正過來, 還跑遍各書店查看這 一句是不是印錯了?

Schumacher與 Lindenau 在 1850 年、

1854 年相繼過世, Gauss常通信的老朋友只 剩下 Gerling、Humbolt 與 Bolyai。

1854 年 Riemann 因 Gauss 推荐, 要 任職 G¨ottingen 大學的講師, Gauss 從 Riemann 提出的三個題目中挑選 Riemann 匆促中加上的第三個: “On the Hypothe- sis that Underlie the Foundation of Ge- ometry(英譯)”。 Riemann的演講 Gauss 聽 後讚嘆不已。 不過 Gauss 最後的科學活動是

跟 Gerling 討論 Foucault 鐘擺的修正問 題。 看來實際又具體的問題對他來說比 Rie- mann 的抽象複雜的概念問題要輕易多了。

1854 年 Gauss 做過全身檢查, 他的心 臟有肥大現象, 看來他的日子不多了。 但是 他的健康又一時恢復過來, 過後他還去聽6月 10 日 Riemann 的講師演講會, 也去參加 G¨ottingen 與 Hanover 市間的鐵路開幕典 禮。 8 月後他腳腫, 勉強只能在屋內走動。 12 月 7 日本來以為 Gauss 已經不行了, 但是他 又好轉過來。

同年 12 月 19 日 Gauss 的同事生理學 及動物學教授 Rudolf Wager (1805-1864) 拜訪 Gauss。 此君對宗教及靈魂等問題很 有研究興趣。 23 日與數日後 Wagner 又來 看 Gauss。 Gauss 的家人及朋友們很反對 Wagner 這個舉動。 Wagner 也就沒有公開 他所作的筆記。 一直到 Wagner 去世後才由 他的遺物中找出一些記載。 由其中可以看出 Gauss 相信生命的永恆。 他說: 「如果沒有永 恆, 人世是無稽的, 而整個創造是荒謬的。」

Gauss一直拖到 1855 年 2 月 23 日清晨 在睡眠中安祥去世, 享年 77 歲。 他帶的懷 錶在謝世幾秒後停下, 指針停在 1 點零 5 分。

Gauss的朋友們坐在鄰室陪伴他, 讓他走完 人生的這最後時刻。

1855 年 2 月 26 日晨在 G¨ottingen 大學 天文台觀測所前的廣場上舉行 Gauss 的葬 禮。 Gauss 的頭上戴看桂冠, 穿著紫色大學 禮袍, 躺在黑色靈柩內, 周遭環繞著早春的花 朵。 眾人瞻仰後靈柩由十二名專攻數學與科 學的學生 (其中包括 Dedekind) 抬到天文台

前的廣場。 面對著眾多參與者 Gauss 的女婿 Ewald 與 Gauss 的好朋友, G¨ottingen大 學的教授 Sartorius von Waltershausen (第一位寫 Gauss 傳記) 致弔辭, 推崇 Gauss 為無比而獨特的天才, 成就卓絕。 葬 禮後 Gauss 被葬在 G¨ottingen 的 St. Al- bans 墓園。

Gauss的腦被取下, 它淨重有410克, 比 拜倫 (63.8 ounces) 的輕, 而比但丁 (50.2 ounces) 的重。 Gauss 的腦有許多璇紋, 紋 路很深。

十八 . 後代

Gauss的小女兒 Therese 自從姊姊 Minna 在1838年搬離 G¨ottingen 後職掌家 事, 照顧老祖母 (1849 年去世) 與 Gauss。

她生性憂鬱, 又多病痛。 在 Gauss 去世 後一年的 1856 年 9 月 23 日, Therese 與 已通信十四年的演員兼劇院導演 Wilhelm Staufenau(1809-1886) 結婚, 1864 年 2 月 11 日去世。 Therese 沒有孩子。

Gauss在德國的子孫由 Jeseph 單傳。

子孫中男丁在二次大戰中或失蹤或戰死, 只 有一人生還。 1936 年後姓 Gauss 的人只有 三人, 其中一人有心理礙障。 Gauss三男 Eu- gene 對他父親一直有叛逆情結。 他幾乎燒毀 所有 Gauss 給他的信。 甚至於他分得的父親 遺物, 一面 George V 頒給 Gauss 的金章, 也熔化成金邊眼鏡框來使用。 Eugene與四男 Wilhelm 壯年後在美國做生意成功, 變成富 翁。 他們的後代興旺。

十九 . 結語

Gauss 遺留下來的文件及與他私人相 關的信函, 還有他出版過的書全由 G¨ottin- gen 大學收集, 並經 G¨ottingen 皇家科學院 聘請專家學者如 Felix Klein等十人從 1863 年至 1935年才整理妥當成十二卷書出版。

Gauss 的座右銘是 「稀少, 但成熟」

(Pauca sed matura, Few but ripe)。 他又 主張作品不應該留下鑽鑿過的痕跡, 就如同 一座蓋好的教堂毫不留下先前鷹架林立, 辛 勤勞作過的跡象般。 所以 Gauss 不多寫, 但 寫成的作品則以敘述簡潔、 內容豐實著稱。

[註 1]: 當時的德國尚未統一, 德國境內 由三十九個有主權的小王國、 小公國等所組 成。

[註 2]: 「Disquisitiones Arithmeti- cae」 這一本書的七章內容從來沒有被超越 過, 沒有被補充過, 也沒有被發現有任何的 錯誤。 Gauss去世後 「Disquisitiones Arith- meticae」 的第八章 (處理高次同餘式) 被找 出來。 它是 Gauss 早年因考量出版經費太龐 大而被割愛的。 在收錄 「Gauss 全集」 時它被 放在第一冊中, 成為 「Disquisitiones Arith- meticae」 的第八章, 等於成全了 Gauss 早 年的意願。

[註 3]: 英國在 1688-1689 年的光榮革 命時英王 James II 及他信奉天主教的兒 子被逐出國外。 1701 年英國國會決議王位繼 承人須為新教徒。 英倫三島 (英格蘭、 蘇格 蘭及愛爾蘭) 統一於 1707 年。 當時的國王 是 Anne 女王 (James II次女, 信奉新

教。 在位 1702-1714)。 她的獨子在 10 歲時夭 折。 她逝世後由 James I 外曾孫, 新教徒 Hanover 選侯 George I(在位 1714-1727) 繼承英國王位。 他是一位只會講德語的英王, 為英國 Hanover 王朝之始。 他的王位由長 子 George II(在位 1727-2760) 繼任。 再來 是 George II 的長孫 George III(在位1760- 1820) 繼位。 George III 有眾多兒女。 他的 王位由長子 George IV(在位1820-1830) 繼 承。 他的獨女早逝, 王位便由 George III 三 子 William IV(在位 1830-1837) 繼位。 這 些英國 Hanover 王朝諸王兼而是 Hanover 選侯或王 (Hanover 在1814年才成為王國)。

William IV 的獨女早逝, 英國王位便落在 George III 的第四子 Edward 的女兒 Vcc- toria(在位1837-1901) 身上。 但是 Hanover 王國不承認女繼承人, 故由 George III 第 五子繼位, 為 George V。 從此英王不再 兼 Hanover 王了。 又, Victoria 為英國 Hanover 王朝最後一人。

[註 4]: 英譯為“George V, The King of Hanover, to the Prince of Mathemati- cians”。 按“Prince”有小邦國之 「王」 的意 思, 當時的德國聯邦由三十九個邦國所組成。

[註 5]: 德語國家人名中有“von”與法國 人名中有“de”一般來說都是貴族姓氏。 這些 字皆有“from”, 或是“of”的意思, 接著的姓 往往是這個人的屬地名稱。

參考資料

1. Guy Waldo Dunnington, “Carl Friedrich Gauss, Titan of Science”, Hafner Publishing Co. N. Y. 1955.

2. W. K. B¨uhler, “Gauss, a Biographical Study” Springer-Verlag, N. Y. 1981.

3. 高木貞治, “近世數學史談”, 東京共立社, 昭 和 8 年 (1933)。

4. Felix Klein, “Famous Problems in El- ementary Geometry”, Translated into Enghish by Beman and Smith, Boston, 1897.

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6. Guy Waldo Dunnington, “Carl Friedrich Gauss”, Lousiana State Uni- versity Press, Baton Rougge, 1937.

7. E. T. Bell, “Men of Mathematics”, Si- mon and Schuster, N. Y. 1937.

8. Felix Klein, “Development of Mathe- matics in The 19th Century” Trans- lated into English by M. Ackerman, Math. Sci. Press, 1979.

9. 數學 Seminar, “100 人の數學者”, 日本評 論社, 東京, 1989。

10. Tord Hall “Carl Friedrich Gauss, a Bi- ography”, Transleted into English by Albert Froderberg, The MIT Press, Boston, 1970.

—本文作者任教於輔仁大學數學系_—