 13 m  t 1  OAOB

高雄市明誠中學  高二數學平時測驗        日期：105.11.10  範 

圍  2‐1.3 直線與圓  班級  二年____班 姓 名

  座號   

一、填充題(每題 10 分)

1. 若一圓方程式:x²y²6x2y  ,試求此圓的圓心坐標為________，半徑為_______. 6 0 答案： (3, 1), 2

解析： x²y²6x2y  6 0 (x3)²(y1)² 2²

圓心為(3, 1) ，半徑為2

2. 過點A(3, 4), (2,5), (0,1)B C 的圓方程式為________.

答案： x²y²2x6y  5 0

解析： 設此圓為x²y²dxey  f 0

9 16 3 4 0 3 4 25

4 25 2 5 0 2 5 29

1 0 1

d e f d e f

d e f d e f

e f e f

        

 

 

          

       

 











 :d e 4

  

 

: 2d 4e 28 d 2e 14 3e 18

          

 

6, 2, 5

e d f

     

∴x²y²2x6y  5 0

3. 圓：2x²2y² 8x6y  之圓心為______，半徑 ______. 1 0 答案： (2, ^{3 3 3}),

2 2



解析： 圓： ^{2 2} 4 3 ¹ 0

x y  x y 2 ² 3 ² 1 ² 3 ² ( 2) ( ) 2 ( )

2 2 2

x y

      

2 3 2 27

( 2) ( ) 2 4

x y

     ，∴圓心(2, ³)

2 ，半徑 ^{3 3}

 2

4. 已知 A(1,3),B(–3,7)，若一圓以AB直徑，則此圓的方程式為______________.

答案： (x1)²(y5)²  8

解析： AB中點 (^{1 ( 3) 3 7}, ) ( 1,5)

2 2

  

   為此圓之圓心

半徑 ¹ (1 ( 3))² (3 7)^{2 1} 32 2 2

2 2

       

2 2

(x 1) (y 5) 8

    

5. 設一圓之圓心在直線2x y 0上，且通過點A(1,0)及B(3, 2)，則此圓方程式為_________.

答案： (x1)²(y2)²  4

解析： 圓心在2x y 0上，設圓心O t( , 2 )t 又 A, B 在圓上OAOB

2 2 2 2

( 1)t (2 )t (t 3) (2t 2)

       t 1

  ，圓心O(1, 2)，半徑= 2

 圓方程式為(x1)²(y2)²  4

6. 設方程式x²y² 2(m1)x2my3m²  之圖形為一圓，則 m 之範圍___________. 2 0 答案： 1   m 3

解析： x²y²2(m1)x2my3m²  之圖形為一圓， 2 0

2 2 2

[2(m1)]  [ 2 ]m 4(3m 2) 0

2 2 2

[4m 8m 4] [4m ] 12m 8 0

      

4m2 8m 12 0

    

2 2 3 0

m m

   

(m 3)(m 1) 0

        1 m 3

7. 設A(0, 0), B(3, 0)，坐標平面上所有滿足PA PB: 1: 2的點所成的圖形方程式為________.

答案： (x1)²y²  4

解析： 設動點P x y( , )，則依題意列式得

2 2

2 2

1 ( 3) 2

x y

x y

 

 

2 2 2 2

4x 4y (x 3) y

    

2 2

3x 3y 6x 9 0

    

2 2 2 3 0

x y x

      (x 1)²y²  4

8. 過點P( 4,3) 且與圓C x: ² y²2x2y23 0 相切之直線方程式為______.

答案： 3x4y24 0

解析： 圓C: (x1)²(y1)² 25，圓心C( 1, 1)  ，半徑 5 ，且點P( 4,3) 在圓上

∵ 1 3 4

1 4 3 mCP  

   

  切線斜率³

4，∴切線 3

3= ( 4)

y 4 x ，即3x4y24 0 9. 已知圓C x: ²y²6x4y  ，則斜率為5 0 1的切線方程式_____________.

答案： x y 1 或x y 9

解析： 設切線y  x k，代入C x: ²y²6x4y  5 0

2 2

2x (2k 2)x (k 4k 5) 0

      

相切，  D 0 (2k2)²  4 2 (k²4k  5) 0

2 10 9 0

k k

   

(k 1)(k 9) 0 k 1 k 9

      或 

 切線方程式為x y 1 或x y 9

10. 圓x²y²6x4y  與 x 軸交於 A, B 二點，則3 0 AB________.

答案： 4 3

解析： (x3)²(y2)² 16，圓心C(3, 2) ，半徑 4 ，且 AB 弦心距 2，

2 16 4 2 12 4 3

AB    

11. 通過Q(4, 2) 且與圓C x: ²y²2x4y20 0 相切的直線的方程式為_____________.

答案： 3x4y20

解析： Q(4, 2) 在圓上，過 Q 之切線為 4 2

4 2 2( ) 4( ) 20 0

2 2

x y

x y   

    

整理得3x4y20 12. 若點 P 從( , 0)¹

2 出發沿著圓 ^{2 2 1}

x y  4按逆時針方向運動120 到達 Q 點，

則 Q 點的坐標為_____.

答案： ( ¹, ³)

4 4 解析：

∵圓心O(0,0)，半徑¹

2，∴ ¹

OP r OQ2

即 1 1 1 1 3

[ ,120 ] ( cos120 , sin120 ) ( , )

2 2 2 4 4

Q 

    

13. 若圓x²y²2x4y  之圓心在11 0 ymx3上，則 m ______.

答案： 1

解析： (x1)²(y2)²    11 4 1 16 圓心(1, –2) 代入ymx3， 2     m 3 m 1 14. 坐標平面上，圓(x5)²(y6)²  上有________點與原點之距離恰好為整數. 4

答案： 8

解析： OP 5 6² ² 61 7. 

圓上各點與原點之距離介於 61+2=9.與 61 2 5.  之間 整數6、7、8、9 皆可找到二點對應   4 2 8

15. 過二點(2, –1), (6, 1)且圓心在 y 軸上之圓方程式為________.

答案： x²(y8)² 85

解析： 圓心(0, )y  (0 2)²(y1)²  (0 6)²(y1)² 4 y2

  2y136 y² 2y14y32 y 8 圓心(0,8) ，半徑 (0 2) ² (8 1) = 85²

∴x²(y8)² 85

16. 若 k 為實數，且k x^{2 2}(2k3)y²2ky   表一圓，則 k ________. k 1 0 答案： 1

解析： 表一圓k² 2k 3 k²2k  3 0 (k3)(k     1) 0 k 3, 1

 3 : 9 ² 9 ² 6 4 0 ^{2 2 6 4} 0

9 9

k x  y  y  x y  y 

2 2 6 1 4 1

( )

9 9 9 9

x y y

      

2 1 2 1

( )

3 3

x y

     ，沒有圖形

k 1:x²y²2y 0 x²(y1)²  ，表一圓 1

17. 坐標平面上，圓x²y²2x4y  被直線4 0 x y 3所截出之線段長為________.

答案： 2 7

解析： (x1)²(y2)²   圓心(–1, –2),9 r 3 弦心距 1 2 3

1 1 2 d   

 

 ,所求 2 9 2 2 7  

18. 已知一圓x²y²2x4y ，則直線0 2x y 1與此圓有________個交點.

答案： 1 解析：

2 2 2 4 0

2 1

x y x y

x y

    

  

 解聯立方程，將y 1 2x代入圓

2 2 2

(1 2 ) 2 4(1 2 ) 0 2 1 0

x x x x x x

          

代入判別式D ( 2)²  ，故此直線與圓相切，只有一個交點 4 0 19. 自(4, 4)對圓x²y² 2x4y  作切線，則切線之方程式 = ________. 4 0 答案： 3x4y 4或x 4

解析： 4²4²    ，在圓外，8 16 4 0 (x1)² (y2)²  ，圓心 (1, 2)9 C  ，半徑 3 Sol 一

設切線L y:  4 m x( 4)mx y 4m  4 0 ( , )

d C L 

2

2 4 4 1 3

m m

m

  

 

2 2 2

6 3 m 3 m  1 (6 3 ) m 9(m 1) 36 36m 9m2

    9m² 9 36 27 3

m m 4

    ， ∴3x4y 4或x 4 Sol 二

設切線：y 2 m x(  1) 3 m² ，過(4, 4)代入 1

2 2

6 3m 9m 9 6 3m 9m 9

       

36 36m 9m2

    9m²  9 36 27 3

m m 4

    ， ∴3x4y 4或x 4

20. 已知平面上兩點A( 2,1), (4,3) B ，則AB的垂直平分線方程式為_____.

答案： 3x y 5

解析： 取AB的中點M(1, 2)， 3 1 1 4 ( 2) 3 mAB   

 

L 3 L AB，m  

 ，即L y:   2 3(x 1) 3x y 5

21. 設A(2,1), (8,5), (7, 7)B C .若直線x2yk和ABC相交，求 k 之最大值 M 及最小值 m，則 ( , )M m __________.

答案： (0, 7)

解析： 三點代入   k 0, 2, 7，M 0,m 7， ( , ) (0, 7)M m  

22. 梯形 ABCD 中，AB CD ，// A(1, 4) 、B(3,3) 、C(4, 2) ，D 在直線L: 3x2y 4 0上，則 D 點 座標為________.

答案： ( 1, )¹

 2

解析： ^{4 3 1} 1 3 2 mAB   

  ,

2 1( 4) 2 4 4 2 0

CD   y 2 x  y     x x y

2 0 1

: 1,

3 2 4 2

x y

D x y

x y

 

    

   

 ， ( 1, )¹

D 2

  23. 設二相異直線 ¹

2

: 3 1

: (2 1) 12 2 L x ay a

L a x y a

  

    

 ，且L L ，則₁// ₂ a________.

答案： 4 或 ⁹

2

解析： ³ 36 2 ² 2 ² 36 0 4 ⁹

2 1 12 2

a a a a a a

a           

 或

(1)若 3 4 5

4 9 12 6 x y

a x y

 

    

(2)若

7

9 7

2 3

9 3 2 2 3

5 5

2 8 12 2 3

2 8

x y

x y

a

x y x y



 

     

  

       

4 ⁹ a 2

  或

24. 設直線 L 與: 2x3y 2 0平行，且 L 被兩軸所截之線段長為 13，則 L 之方程式為________.

答案： 2x3y 6

解析： L// ，設

0, 2 : 2 3

0, 3 y x k L x y k

x y k

  

   

  



2 2 2 2 2

13 2

13 13 =13 36 6

2 3 4 9 36

k k k k k

k k

   

                 ，L: 2x3y 6 25. P(0, 4)關於L: 2x y 1的投影點座標 M 為________，對稱點P座標為________.

答案： (2, 3) , (4, 2) 解析：

設P a b( , )，取PP之中點 ( , ⁴) 2 2 M a b L



2 4 1 2 ( 4) 2

2 2

a b

a b

         2a b  6

又L y: 2x 1 m_L  ，2 ^{4 1} 2 8 2 8

0 2

PP

m b b a a b

 a

          



2 6

4, 2 (4, 2) (2,3) 2 8

a b a b P M

a b

        

  



26. 平面上二直線L₁:y   ，x 4 ₂: ^{1 1} 2 2

L y x ，L₃:ymx不可圍成一個三角形，則 m ________

答案： 1,1 12 3,



解析： L L₁// ₃   m 1

 _{2 3} 1

/ 2

/

L L  m

L L 與₁, ₂ L 交於一點 ₃ 1 1

2 4

2 y x y x

  



 



9 0 2 2

, 3

3 1 x

x y

  

   (3,1)代入 ₃:1 ¹

3 3

L  m m 1,1 1

3 2, m 

 

27. 直線(3 2 ) k x (2 k y) (13 3 ) 0 k  ，不論 k 為任何實數，恆過一定點，則此定點為________.

答案：( 1, 5) 

解析： (3 2 ) k x (2 k y) (13 3 ) 0 k  (3x2y13)k(2x  y 3) 0 3 2 13 0

2 3 0

x y x y

  

     ( , ) ( 1, 5)x y   