此時我們 有 T (vi)∈ Im(T◦m−1

接下來我們說明若 dim(V ) = n 且 T : V → V 為 nilpotent operator of index m, 如何將其 化為 triangular form. 首先選取 Im(T^◦m−1) 的 ordered basis (v₁, . . . , v_k1), 注意此時我們有 T (vi)∈ Im(T^◦m) ={OV}, 故

T (v_i) = O_V,∀i = 1,...,k1.

接著加入{vk1+1, . . . , v_k2} 使得 (v1, . . . , v_k1, . . . , v_k2) 為 Im(T^◦m−2) 的 ordered basis. 此時我們 有

T (v_i)∈ Im(T^◦m−1) = Span({v1, . . . , v_k1}), ∀i = k1+ 1, . . . , k₂,

而且利用 ordered basis (v₁, . . . , v_k1, . . . , v_k2) 所得 T|Im(T^◦m−2) 的 representative matrix 為 ( O_k1,k1 ∗

O_k2−k1,k1 O_{k2−k1,k2−k1} )

,

其中 O_{i, j} 表示為 i× j 階的零矩陣, 而右上角的 ∗ 為一個 k1× k2− k1 階的非零矩陣. 接下來 加入{vk2+1, . . . , v_k3} 使得 (v1, . . . , v_k1, . . . , v_k2, . . . , v_k3) 為 Im(T^◦m−3) 的 ordered basis. 此時我 們有

T (vi)∈ Im(T^◦m−2) = Span({v1, . . . , vk1, . . . , vk2}), ∀i = k2+ 1, . . . , k3,

而且利用 ordered basis (v₁, . . . , vk1, . . . , vk2, . . . , vk3) 所得 T|_Im(T◦m−3) 的 representative matrix

為 

 O_k1,k1 ∗ ∗

O_k2−k1,k1 O_{k2−k1,k2−k1} ∗ O_k3−k2,k1 O_{k3−k2,k2−k1} O_{k3−k2,k3−k2}



.

這樣一直下去我們可得到 Im(T ) 的 ordered basis (v1, . . . , v_km−1), 其中對於 j = 1, . . . , m− 1, 皆有 (v₁, . . . , v_kj) 為 Im(T^{◦m− j}) 的 ordered basis 且

T (v_i)∈ Im(T^{◦m−( j−1)}) = Span({v1, . . . , v_kj−1}), ∀i = kj−1+ 1, . . . , k_j. 最後加入 {vkm−1+1, . . . , vn} 使得 (v1, . . . , vkm−1, . . . , vn) 為 V 的 ordered basis, 此時

T (v_i)∈ Im(T) = Span({v1, . . . , v_km−1}), ∀i = km−1+ 1, . . . , k_n, 而且利用 ordered basis (v₁, . . . , vkm−1, . . . , vn)所得 T 的 representative matrix 為





O ∗ ∗ ... . .. ∗

O O O



.

這一個矩陣是對角線皆為 0 的 upper triangular matrix (上三角矩陣), 所以我們有以下的結 果.

Proposition 4.2.2. 假設 V 為 finite dimensional F-space 且 T : V→ V 為 linear operator.

則 T 為 nilpotent 若且唯若存在 V 的 ordered basis β 使得 [T]_β 為 upper triangular matrix 且 [T ]_β 的對角線皆為 0.

Proof. 由前面的討論我們知: 若 T 為 nilpotent, 則存在 V 的 ordered basisβ 使得 [T]_β 為 upper triangular matrix 且其對角線皆為 0. 反之, 若 [T ]_β 為 upper triangular matrix 且 其對角線皆為 0, 我們知 χT(x) =χ[T ]_β(x) = xⁿ (其中 n = dim(V )), 故知 T^◦n= O, 得證 T 為

nilpotent. 

Question 4.7. 若 V 為 finite dimensional F-space 且 T : V → V 為 nilpotent operator of index m, 則 χT(x) 為何? 又 µT(x) 為何?

回顧一下, 對於 linear operator T : V → V, 要找到 Im(T), 我們可以利用 V 的 ordered basis β, 先得到 representative matrix [T]_β. 再求 [T ]_β 的 column space C([T ]_β) (我們用 C(A) 表示矩陣 A 的 column space). 接著將 column space 的元素用 τ_β^◦−1 還原成 V 的元素, 就得到 Im(T ) 的元素了. 我們看以下化為 upper triangular matrix 的例子.

Example 4.2.3. 考慮 linear operator T : P₂(R) → P2(R), 定義為 T(ax²+ bx + c) = (c−a)x²+ cx + (c− a). 若考慮 P2(R) 的 ordered basisβ = (x², x, 1), 我們有 [T ]_β=



 −1 0 1 0 0 1

−1 0 1



, 得

χT(x) = x³. 又 [T ]²_β =



 0 0 0

−1 0 1 0 0 0



 知 µT(x) = x³, 即 T 為 nilpotent of index 3. 因 [T ]²_β 的 column space 為 Span({(0,1,0)^t}), 我們得 Im(T^◦2) = Span({x}). 同理由 [T]_β 的 column space, 可得 Im(T ) = Span({x,x²+ 1}). 最後因 x²̸∈ Im(T), 我們可以考慮 P2(R) 的 ordered basisβ^′= (x, x²+ 1, x²). 因

T (x) = 0, T (x²+ 1) = 1x + 0(x²+ 1) + 0x², T (x²) = 0x + (−1)(x²+ 1) + 0x² 得 [T ]_β′=



 0 1 0 0 0 −1 0 0 0



 這一個 diagonal 皆為 0 的 upper triangular matrix.

現在我們回到 T 的 minimal polynomial 為 µT(x) = (x−λ)^m 的情形, 此時 T−λ id 為 nilpotent 所以由 Proposition 4.2.2 知存在 ordered basis β 使得 [T − λ id]_β = U 為一個 diagonal 皆為 0 的 upper triangular matrix

U =





0 ∗ ∗ ... . .. ∗ 0 ··· 0



.

然而若 dim(V ) = n, 因 [T−λ id]β= [T ]_β−λIn, 故得 [T ]_β=λIn+U , 為一個 diagonal 皆為λ 的 upper triangular matrix

λIn+U =





λ ∗ ∗

. .. ∗

O



.

Theorem 4.2.4. 假設 V 為 finite dimensional F-space. 若 T : V→ V 為 linear operator 其 characteristic polynomial 為

χT(x) = (x−λ1)^c1···(x −λk)^ck,

其中λ1, . . . ,λk 為 F 中相異的元素, 則存在 V 的 ordered basisβ 使得

[T ]_β=



 A_{1 . ..}

O O



,

其中每個 A_i 為 c_i× ci 階的 upper triangular matrix







λi ∗ ∗ . .. ∗

O





.

Proof. 由 Theorem 3.3.9 知存在 mi≤ ci 使得µT(x) = (x−λ1)^m1···(x−λk)^mk, 故由 Primary Decomposition Theorem, 我們知 V = V₁⊕··· ⊕Vk, 其中 V_i= Ker((T−λiid)^◦mi)且 µT|_Vi(x) = (x−λi)^mi. 得 T|Vi−λiid|Vi 為 nilpotent, 故利用 Proposition 4.2.2, 我們知存在 βi 為 V_i 的 ordered basis, 使得 [T|Vi]_βi 為 A_i這樣的 c_i×ci階的 upper triangular matrix. 故將β1, . . . ,βk

依序排列形成 V 的 ordered basisβ, 可得 [T]_β 為所要的 triangular matrix.  Theorem 4.2.4 告訴我們當 T 的 characteristic polynomial 可完全分解成 F[x] 中的一次 多項式乘積, 雖然 T 可能不能化成 diagonal form 不過一定可以化成 triangular form.

接著我們來看 linear operator 相對應到 n× n matrix 的結論.

Theorem 4.2.5. 假設 A∈ Mn(F) 且其 characteristic polynomial 和 minimal polynomial 分 別為

χA(x) = (x−λ1)^c1···(x −λk)^ck,µA(x) = (x−λ1)^m1···(x −λk)^mk 其中λ1, . . . ,λk 為 F 中相異的元素. 則存在 invertible matrix P 使得

P⁻¹· A · P =



 A_{1 . ..}

O O



,

其中每個 A_i 為 c_i× ci 階的 upper triangular matrix





λi ∗ ∗ . .. ∗

O



.

假設 A∈ Mn(F) 且 χA(X ) = (x−λ1)^c1···(x −λk)^ck, µA(x) = (x−λ1)^m1···(x −λk)^mk. 我們 說明如何找到 invertible matrix M 使得 M⁻¹· A · M 為 upper triangular matrix. 首先我們 利用 Chapter 3 primary decomposition 的方法找到 invertible matrix P 使得 P⁻¹· A · P 為 block diagonal matrix 





A1

O

. ..

O





,

接著考慮每一個 c_i× ci matrix Ai. 因為 µAi(x) = (x−λi)^mi, Ai−λiIci 是 nilpotent of index m_i, 我們可以利用 Proposition 4.2.2 的方法首先找 (A_i−λiI_ci)^mi−1 的 column space 的一組 basis (此即相對於 Proposition 4.2.2 中 Im(T^◦m−1) 的 basis), 然後擴大成 (A_i−λiI_ci)^mi−2 的 column space 的一組 basis, 這樣一直下去直到擴大成 F^ci 的一組 basis. 若令這組 basis 以 column by column 依序組成的 c × c 的 matrix 為 Q, 則我們有 Q⁻¹· A · Q 為 upper

triangular matrix. 最後將這些 Q_i 在 diagonal 的位置依序放入, 組成 n× n 的 invertible

matrix 





Q1

O

. ..

O





,

就會使得

(P· Q)⁻¹· A · (P · Q) = Q⁻¹· (P⁻¹· A · P) · Q =







Q⁻¹₁ · A1· Q1

O

. ..

O





,

為 upper triangular matrix 了. 我們看以下的例子.

Example 4.2.6. 在 Example 3.5.10 中我們考慮 5× 5 matrix

A =









2 1 1 1 0

1 4 2 2 1

−1 −2 0 −1 −1

0 0 0 1 1

0 −1 −1 −1 0









因為 χA(x) =µA(x) = (x− 1)³(x− 2)² 在 Q[x] 中完全分解成一次多項式的乘積, 我們可找到 invertible matrix M∈ M5(Q) 使得 M⁻¹· A · M 為 upper triangular matrix.

在 Example 3.5.10 中我們已找到 P∈ M5(Q) 將 A 化為 block diagonal matrix.

P⁻¹· A · P =









0 −1 −1 0 0

1 1 0 0 0

0 1 2 0 0

0 0 0 1 −1

0 0 0 1 3







.

現在我們需將

B =



 0 −1 −1

1 1 0

0 1 2



, C =(

1 −1 1 3

)

化為 triangular forms. 因µB(x) = (x− 1)³, 考慮 B− I3 這一個 nilpotent matrix. 我們有

B− I3=



 −1 −1 −1

1 0 0

0 1 1



, (B −I3)²=



 0 0 0

−1 −1 −1

1 1 1



.

由 Proposition 4.2.2 的方法首先選 (B−I3)²的 column space 的 basis, 我們選 w₁= (0,−1,1)^t, 再加入 B−I3 的 column space 的元素 w₂使得{w1, w₂} 為 B−I3 的 column space 的 basis, 這裡我們選 w₂= (−1,1,0)^t. 最後再加入 w3∈ Q³ 使得 {w1, w2, w3} 成為 Q³ 的 basis, 此 處我們選 w₃= (0, 0, 1)^t. 此時有 Bw₁ = w₁, Bw₂= w₁+ w₂, Bw₃= w₁+ w₂+ w₃, 故若令 Q₁=



 0 −1 0

−1 1 0

1 0 1



, 則 Q⁻¹₁ · B · Q1=



 1 1 1 0 1 1 0 0 1



 為 upper triangular matrix.

另一方面因 µC(x) = (x− 2)², 我們考慮 C− 2I2 這一個 nilpotent matrix. 因 C− 2I2= ( −1 −1

1 1 )

, 我們選 u₁= ( −1

1 )

為 C− 2I2 的 basis, 再加上 u₂= ( 1

0 )

使得 {u1, u₂} 為 Q² 的 basis. 此時 Cu₁= 2u1, Cu2= u1+ 2u2, 故若令 Q2=

( −1 1 1 0

)

, 則 Q⁻¹₂ ·C · Q2= ( 2 1

0 2 )

為 upper triangular matrix. 最後將 Q₁, Q2 合併為 5× 5 的 invertible matrix

Q =









0 −1 0 0 0

−1 1 0 0 0

1 0 1 0 0 0 0 0 −1 1 0 0 0 1 0









可得 upper triagular matrix

(P· Q)⁻¹· A · (P · Q) = Q⁻¹· (P⁻¹· A · P) · Q =









1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 2







.

若 T 是 diagonalizable, 我們可以利用對角化幫助我們求得 T^◦i. 即利用 V 的 eigenvectors 所形成的 ordered basisβ 得 [T]_β =





γ1 O

. ..

O γn



, 故可得 [T^◦i]_β =





γ1ⁱ O . ..

O γnⁱ



. 當

T 不能化為 diagonal form 時, 我們可利用 trianbular form 來幫助計算 T^◦i.

首先將 V 寫成 T -invariant subspaces 的 direct sum V = V₁⊕ ··· ⊕Vk. 由於任意 v∈ V, 都可以唯一寫成 v = v₁+··· + vk, 其中 vi∈ Vi (Proposition 3.4.6). 對於所有的 i = 1, . . . , k, 我們可定義一個 linear operator πi : V → V, 其定義為 πi(v) = vi. 此 linear operator 稱 為 the projection to V_i with respect to the direct sum V = V₁⊕ ··· ⊕Vk. 依此定義我們知 道對於所有 v∈ Vi, 皆有 πi(v) = v. 另一方面由於 Vi 為 T -invariant, 對於 v∈ Vi, 我們有 T (v)∈ Vi. 因此對於任意 v∈ V, 將之寫成 v = v1+··· + vk, 其中 v_i∈ Vi, 則 T (πi(v)) = T (v_i), 而 πi(T (v)) =πi(T (v₁) +··· + T(vk)) = T (v_i). 得證

T◦πi=πi◦ T, ∀i = 1,...,k. (4.1) Theorem 4.2.7. 假設 V 為 finite dimensional F-space. 若 T : V→ V 為 linear operator 其 minimal polynomial 為

µT(x) = (x−λ1)^m1···(x −λk)^mk

其中λ1, . . . ,λk 為 F 中相異的元素, 則 T = T_D+ TN 其中 T_D為 diagonalizable, T_N 為 nilpotent of index m = max{m1, . . . , m_k}, 而且 TD◦ TN= T_N◦ TD.

Proof. 考慮 Primary Decomposition V = V₁⊕ ··· ⊕Vk, 其中 V_i= Ker((T−λiid)^◦mi), 且令 πi: V→ V 為 the projection to Vi with respect to the direct sum V = V1⊕ ··· ⊕Vk. 考慮 V 的 linear operator T =λ π +··· +λ π . 因對任意 v ∈ V, 皆有 T (v) =λv, 所以每一組

V_i 的 basis, 皆由 T_D 的 eigenvectors 所組成. 故由 V 為 V₁, . . . ,V_k 的 direct sum, 這些 V_i 的 basis 可組成 V 的 basis. 也就是說 V 有一組 basis 皆由 TD 的 eigenvectors 所組成, 故 T_D 為 diagonalizable.

現令 T_N = T− TD 為 V 的 linear operator. 因對任意 v_i∈ Vi, TN(vi) = T (vi)− TD(vi) = T (v_i)−λiv_i ∈ Vi, 知 V_i 皆 為 T_N-invariant. 又 已 知 µT|_Vi(x) = (x−λi)^mi, 即 m_i 是 最 小 的 正整數使得 (T−λiid)^◦mi(vi) = OV, ∀vi ∈ Vi, 故知 µTN|_Vi(x) = x^mi. 利用 Lemma 3.5.6 知 µTN(x) = lcm(x^m1, . . . , x^mk) = x^m, 其中 m = max{m1, . . . , m_k}, 得證 TN 為 nilpotent of index m.

最後因為

TD◦ T = (λ1π1+··· +λkπk)◦ T =λ1(π1◦ T) + ··· +λk(πk◦ T), 由等式 (4.1) 得

T◦ TD=λ1(T◦π1) +··· +λk(T◦πk) = T_D◦ T.

因此得證

TD◦ TN= TD◦ (T − TD) = TD◦ T − TD◦ TD= T◦ TD− TD◦ TD= (T− TD)◦ TD= TN◦ TD.

 Question 4.8. 考慮 Theorem 4.2.4 中的 ordered basis β, 若 [T]β 為 upper triangular matrix, 則 Theorem 4.2.7 中的 TD, T_N 其對β 的 representative matrix [TD]_β, [T_N]_β 應為何?

Question 4.9. 你能利用 Theorem 4.2.7, 證明若 T 的 minimal polynomial µT(x) 可以完全 分解成 F[x] 中相異的 monic 一次多項式之乘積, 則 T 為 diagonalizable?

由 Theorem 4.2.7, 我們便能利用 triangular form 來計算 T^◦i 了. 由 T_D◦TN= T_N◦TD, 得 T^◦2= (T_D+ T_N)◦ (TD+ T_N) = T_D^◦2+ T_D◦ TN+ T_N◦ TD+ T_N^◦2= T_D^◦2+ 2T_D◦ TN+ T_N^◦2. 故利用數學歸納法可得以下的二項式展開

T^◦i=

∑

(i j

)

TD◦i− j◦ TN◦ j.

由於 T_D為 diagonalizable 我們很容易計算 T_D^{◦ j}, 而 T_N 為 nilpotent of index m, 我們知道當 j≥ m, TN◦ j= O. 所以這是一個幫助我們計算 T^◦i 的方法.

最後我們來看 Theorem 4.2.7 相對應的矩陣的形式.

Corollary 4.2.8. 假設 A∈ Mn(F) 且其 characteristic polynomial 和 minimal polynomial 分別為

χA(x) = (x−λ1)^c1···(x −λk)^ck,µA(x) = (x−λ1)^m1···(x −λk)^mk

其中 λ1, . . . ,λk 為 F 中相異的元素. 則存在 invertible matrix P 使得 P⁻¹· A · P = D + N, 其中 D 為 diagonal matrix, N 為 nilpotent matrix 滿足 D· N = N · D 且 N^m= O, m = max{m1, . . . , m_k}.

和 linear operator 的情況相同. 當 A 化成 triangular form P⁻¹· A · P = D + N, 由於 D· N = N · D, 我們有

P⁻¹· Aⁱ· P =

∑

j=0

(i j

)

D^{i− j}· N^j. 因此得到一個幫助我們計算 Aⁱ 的方法.

Exercise 4.6. Suppose that A is a 2×2 nilpotent matrix. Prove that A is similar to [0 1

0 0 ]

. Exercise 4.7. Suppose that A, B are n× n matrix such that A · B = B · A and A is nilpotent matrix of index m.

(1) Suppose that B is invertible. Prove that A·B is also a nilpotent matrix of index m.

(2) Suppose that B is nilpotent of index m^′. Prove that A· B is a nilpotent matrix of index k with k≤ min{m,m^′}.

(3) Suppose that B is nilpotent of index m^′. Prove that A + B is a nilpotent matrix of index k^′ with k^′≤ m + m^′− 1.

(4) Suppose that B is not nilpotent. Show that A + B is not nilpotent.

Exercise 4.8. Let F be a field and A be a n×n matrix over F. Suppose that A is nilpotent of index m and λ ̸= 0 in F. Let M = A + λIn.

(1) Find χM(x),µM(x) and det(M).

(2) Show that M is invertible and M⁻¹=λ⁻¹In−λ⁻²A +λ⁻³A²+···+(−1)^m−1λ^−mA^m−1. (3) Show that M⁻¹ = B +λ⁻¹In with B being a nilpotent matrix of index m. Find

χM⁻¹(x) and µM⁻¹(x).

Exercise 4.9. Let F be a field and A be a n× n matrix over F. Suppose that χA(x) = (x−λ1)^c1···(x −λr)^cr, µA(x) = (x−λ1)^m1···(x −λr)^mr withλi̸= 0 and λi̸=λj for i̸= j. Show that A is invertible and

χA⁻¹(x) = (x−λ₁⁻¹)^c1···(x −λr⁻¹)^cr, µA⁻¹(x) = (x−λ₁⁻¹)^m1···(x −λr⁻¹)^mr.

———————————– 08 December, 2017