+−=+− ()(1) ymxm m =

高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：96.12. 27 班級

範

圍 3-1 圓

座號

姓 名 一、選擇題 (每題 10 分)

1、( B ) 設二元二次方程式 為圓方程式，則下列何者非真？

(A) (B) (C)圓心(

2 2

0 ax +bxy−y +dx+ey+ =f 1

a= − d²+ −e² 4f > 0

2 d ,

2

e) (D)b=0 (E)此圓之半徑為

2 2

4 4

d e

f + + 解析：令a= −1，b= ⇒0 − −x² y²+dx ey+ + = ⇒f 0 x²+y²−dx ey− − = 0f

2 2

2 2

( ) ( )

2 2 4 4

d e d e

x y f

⇒ − + − = + + ⇒ 圓心(

2 d ,

2

e)；半徑

2 2

4 4

d e

f + + ；d²+ +e² 4f >0

2、( AC ) (複選)設一圓通過A(5, 1), B(3,−1)兩點且圓心在直線x−2y+ = 上，則此圓方程式為2 0

，則（複選）

(A) (B) (C)

2 2

0 x +y +dx+ey+ =f

4

d = − e=4 f = − (D)圓心坐標為(2,−2) (E)半徑為 10 2 解析：令圓心 O(2t−2, t)，∴OA=OB

∴(2t− −2 5)²+ −(t 1)² =(2t− −2 3)²+ +(t 1)²⇒t=2

∴圓心 O(2, 2)，半徑r=OA= 10，∴圓：(x−2)²+(y−2)² =10

⇒x²+y²−4x−4y− =2 0，∴d = −4,e= −4, f = − 。 2

3、( CD ) (複選)若方程式x²+y²+2(m−1)x−2my+3m²− =2 0之圖形表一圓，則m的範圍為 α < < 且當 mm β = 時，此圓有最大半徑為δ ，則（複選） γ

(A)α = −1 (B)β = 3 (C)γ = − (D)1 α β γ+ + = − (E)3 δ =4 解析：

[

]

其圖形為圓⇒ −m²−2m+ > 03 ，m²+2m− < ⇒ (3 0 m+3)(m− < ⇒1) 0 − < <3 m 1

∴α = −3,β = , 1

∴r² = −(m+1)²+ ≤4 4⇒r≤ ⇒2 當m=γ = − ,圓有最大半徑1 δ =2,

∴α β γ+ + = − + − = − 3 1 1 3 二、填充題 (每題 10 分)

1、 圓 C 上有三點 A(−1,1), B(3,5), C(5,−1)，則圓 C 的方程式為___________________。

答案：x²+y²−5x−3y− = 04

解析：令圓：x²+y²+dx+ey+ =f 0，將 A(−1,1), B(3,5), C(5,−1)代入

∴

1+1 d 0

9+25 3 5 0

25+1 5 0

e f d e f d e f

− + + =

⎧⎪ + + + =

⎨⎪ + + + =

⎩

⇒

5 3

4 d e f

⎧ = −

⎪ = −

⎨⎪ = −

⎩

， ∴圓方程式為x²+y²−5x−3y− = 4 0

2、 若二元二次方程式4x²+4y²+4x−8y+ + = 01 k 之圖形為一點，則k=______，又此點為 _________。

答案：4; ( 1

− ,1) 2

第 1 頁

解析： ^{2 2 2 2} 1+

4 4 4 8 1 0 2 ( )

4

x + y + x− y+ + = ⇒k x +y + −x y+ k = 0

2 2 1

1 ( 2) 4( ) 0 4 +k

+ − − = ⇒ k=4，此點為 1 2 ( , )

2 2

− −− = ( 1

− ,1) 2

3、 設方程式ax²+2y²+4x−6y+ = 0k 為圓方程式，則a=______，又 k 之條件為 ______。

答案：2; 13 k < 2

解析：a=2, 圓方程式 ^{2 2} 2 3 0 2² ( 3)² 4( )

2 2

k 0

x +y + x− y+ = ⇒ + − − k > − +2k 13>0

； ∴ 13

k< 2 4、 圓 C 切 y 軸於(0,−4)且與 x 軸交於 A, B 兩點，若AB=6，則圓 C 之圓方程式為__________

或_____________。

答案：(x−5)²+(y+4)² =25; (x+5)²+(y+4)² =25

解析：設圓心為(h,−4)，則半徑為h , h² =3²+ , 4² h= ±5

∴圓方程式為(x−5)²+(y+4)² =25或(x+5)²+(y+4)² =25

5、 圓 C 以 A(−1,2)與 B(3,5)之線段為直徑，則圓 C 之方程式為__________________________。

答案：x²+y²−2x−7y+ = 07

解析：(x+1,y− ⋅ −2) (x 3,y− = ⇒5) 0 (x+1)(x− +3) (y−2)(y− =5) 0，∴x²+y²−2x−7y+ = 07 6、 包含 A(1,4), B(4,1), C(−2,3)三點的圓區域有無限多個，其中半徑最小之圓方程式的圓心為

__________，半徑為___________。

答案：(1,2); 10

解析：△ABC 中 AB =3 2, BC= 2 10 , CA= 10

∴△ABC 為鈍角三角形(∵BC² > AB²+AC²)，BC邊最長，

包含三點之圓中半徑最小者是以BC為直徑的圓，∴圓心為(1,2)，半徑 10

7、 圓 C 以(−2,1)為圓心與圓 : 相切，則圓 C 之方程式為____________

或_________________。

C1 x²+y²−4x+4y+ = 04

9 9

答案：(x+2)²+(y−1)² = ; (x+2)²+(y−1)² =4 解析：圓C₁ :(x−2)²+(y+2)² =4，連心線長 5

若圓 C 與圓C₁外切，圓 C 半徑為5 2− =3，得(x+2)²+(y−1)² = 9 若圓 C 與圓C₁內切，圓 C 半徑為5 2+ =7，得(x+2)²+(y−1)² =49

8、 與二坐標軸均相切且過(−2, 4)之圓的方程式為_________________________________。

答案：(x+2)²+(y−2)² =4或(x+10)²+(y−10)² =100

解析：∵與兩坐標軸均相切，圓心必為(t, t)或(t,−t)，半徑| | t

¬當圓心(t, t)時，(t+2)²+ −(t 4)² =t² ⇒t²− +4t 20= （不合，0 δ <0）

−當圓心(t,−t)時，(t+2)²+ − −( t 4)² =t² ⇒t²+12t+20= ，∴0 t= −2或−10

第 2 頁

∴圓：(x+2)²+(y−2)² =4或(x+10)²+(y−10)² =100

9、 坐標平面上兩點 A(4,3), B(−2,−1)，若 AB 為圓 C 之一弦且弦心距為 13 ，則此圓之圓心為 _________或__________。

答案：(3,−2); (−1,4)

解析： AB 中點為(1,1), AB= − − = −( 6, 4) 2(3, 2)；圓心為(1,1)± 13×(2, 3) 13

− = (3,−2)或(−1,4)

10、圓 O 通過兩點 A(5,0), B(3,4)，圓 O 被 y 軸所截出之弦長為 2 6 ，則圓 C 之圓心為________

或____________。

答案：(2,1); (38,19)

解析： AB 之中垂線為 1 2 ( 4

y− = 2 x− ∴) x=2y，設圓心為(2t,t)，圓心到 y 軸之距離為 2t

∴(2 )t ²+( 6)² =(2t−5)²+t ∴² t²−20t+19= ；0 t=1或 19 ∴圓心為(2,1)或(38,19)

11、設方程式 之圖形為一圓，若 m = a 時，使圓之面積 b 為

最大，則數對(a, b) =______。

2 2 2

2 2( 2) 4 2

x +y − mx+ m− y+ m − = 0 答案：( 1, 8− π )

解析：此圓半徑1 ^{2 2 2} 1 ²

( 2 ) [2( 2)] 4(4 2) 8( 1) 32 2 − m + m− − m − = 2 − m+ + 當m= = −a 1時，半徑1

32 2 2

2 = 最大，圓之面積b= π(2 2)² = 8π 最大

12、設二圓x²+y²−2x−8y+ = 08 , x²−8x+y² = 的交點為 A, B，則 AB 的長度為______。 0 答案：24

5

第 3 頁

解析：

2 2 2

(x−1) +(y−4) =3 , (x−4)²+y² =4²

連心線長 5，兩圓半徑分別為 3,4，為一直角三角形且 AB 為斜邊上高的兩倍

∴ AB= 3 4 24

2 5 5

× × =

13、設點 A(2,3)為圓 O : 之內部一點，則過 A 點的所有弦中點所形成之點其圖形方程

式為一圓方程式 ，則d

2 2

16 x +y =

2 2

0

x +y +dx ey+ + =f =______, f = ______。

答案：−2; 0

解析：過 A 點的所有弦中點所形成之點圖形為圓，且(0,0)與(2,3)為此圓直徑之兩端點

∴圓方程式為(x−0)(x− +2) (y−0)(y− = ⇒3) 0 x²+y²−2x−3y=0 = − = − f =

5

，d 2, 3, e 0

14、坐標平面上，圓 C 過點 A(1, 4)與 B(0, 3)，圓心在 x 軸上，則圓 C 方程式為______。

答案：(x−4)²+y² =2

解析：設圓心 C(t,0)⇒CA=CB ，∴(t−1)²+ −(0 4)² = −(t 0)²+ −(0 3)²

∴t= ⇒4 圓心為(4,0)，半徑為CA= (4 1)− ²+ −(0 4)² = ⇒ 圓 C 方程式5 (x−4)²+y² = 52

0

15、設圓C₁ :x²+y²+4x+2y− =8 與直線x+ = 相交於 A, B 兩點，又圓 C 為通過 A, B 兩點，y 2 且與 x 軸相切之圓方程式，則圓 C 的方程式為_________________或___________________。

答案：x²+y²−2y=0; x²+y²−8x−10y+16= 0 解析：圓系x²+y²+4x+2y− +8 k x( + −y 2)=0

與 x 軸相切 恰有一解

圓 C 為

0 2 ( 4) (2 8) y= ⇒x + +k x− k+ = 0

0

2 2

(k 4) 4 1 (2k 8) 0 k 16k 48 0 (k 4)(k 12) 0 ;k 4, 12 δ = + + × × + = ⇒ + + = ⇒ + + = = − −

2 2 2 2

2 0, 8 10 16 0

x +y − y= x +y − x− y+ =

16、一圓通過 A(3, 2)與 B(−1,4)兩點並且圓心在直線 2x+ + = 上，則此圓的圓心為______，半y 3 徑為______。

答案：(−1,−1); 5

解析：設圓心 ( , 3 2 )C t − − t ⇒CA=CB ，∴(t−3)²+ − − −( 3 2t 2)² = +(t 1)²+ − − −( 3 2t 4)²

∴t= − ⇒1 圓心為(−1,−1)，半徑為CA= ( 1 3)− − ²+ − −( 1 2)² = 5

17、一動點 P(x,y)到點(−1,0)之距離與其到點(3,0)之距離比為 1：3，此動點之點集圖形為一圓，

此圓之圓心為___________，半徑為________。

答案：(−3

2,0); 3 2

解析：設A( 1, 0), (3, 3)− B ，題意 : 1: 3

AP BP= ⇒ (x+1)²+y² : (x−3)²+y² =1: 3⇒3 (x+1)²+y² = (x−3)²+ y²

2 2 2 2

9[(x 1) y ] (x 3) y

⇒ + + = − + ⇒8x²+8y²+24x= 0

∴x²+y²+3x=0, 3 ^{2 2} 3

( ) (

2 2

x+ +y = ) ，圓心為(−² 3

2,0) 半徑3 2

18、直線 3x+4y=0截圓(x+2)²+(y−1)² =9於 A, B 兩點，則線段AB 之長為______。

答案： 221 5 解析：弦心距

2 2

3 ( 2) 4 1 2 3 4 5

× − + ×

+ = ，又半徑 3， AB=2( 3² ( ) )^{2 2 221}

5 5

− =

19、有一圓的圓心為(−1, −2)並且通過點(−2, 2)，求其方程式_______________。

答案：(x+1)²+(y+2)² =17

解析：由兩點距離公式知，圓的半徑r= ( 2 1)− + ²+ +(2 2)² = 17 故圓的方程式為(x+1)²+(y+2)² =17

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