第一節 結論
壹、 學生對於教師所作幾何推理證明之習得情形
（一）學生在主要成分的抓取情形
1. 學生在抓取主要成分時，下列兩種類的成分學生常不寫出來：（1）「從 已知條件推論出圖形中物件間關係」、（2）「利用性質『弦心距會垂直平 分弦』推出的成分」。學生在作證明時，雖然常常不明確地寫出上述兩 種成分，但是常將其隱含在其他主要成分的推理過程中。
2. 研究者發現學生在憶取主要成分時，有兩種常見的特別情形，分別是「外 型相近，但未抓取推理精神」、「有抓取但紀錄格式不嚴謹」。
3. 研究者發現學生在憶取教師證明的主要成分時，憶取到的幾乎都是連續 的成分，較少出現零星抓取或是跳躍抓取的情形。不過，有時會出現跳 躍抓取的情形，並且有「固定必抓取成分組合」的出現。也就是說，學 生會自行將某步驟或成分作緊密地串連。
（二）學生在局部推理的抓取情形
1. 學生最常出現的狀況是「僅寫出結論的斷言形式」，也就是說，學生可 以抓取到某些主要成分，但不見得抓取到推出該主要成分的局部推理。
2. 除了最常見的斷言現象之外，學生也蠻常出現「只寫出推理時應用的性 質與結論，而沒有寫出推理的前提」的現象，有時是僅寫出性質，前提 和結論都沒有寫出來。研究者發現，局部推理的前提若是圖形中的物 件、或物件間關係，並且再應用幾何性質就能推出結論的局部推理，學 生容易出現未寫前提，只有性質和結論，甚至是僅寫出性質的現象。
3. 學生在憶取教師的推理證明時，有時會在證明中嵌入學生自己的局部推 理，不全是教師所作的局部推理。
（三）學生在主要成分的邏輯序列之抓取情形
絕大多數的學生在抓取主要成分時，都有掌握到主要成分之間的邏輯序 列。只有極少數學生出現從求證倒推的現象；絕大多數的學生仍是從已知條 件或新增輔助線開始，也就是所謂的”從頭開始”作證明。
相較於以解釋說理方式的幾何證明，學生較易於看出形式化的證明的 整體結構，較易抓取到全部的主要成分。
學生在憶取主要成分時，幾乎有注意到成分間的邏輯序列，雖然不盡 然會跟教師完全相同，但都是邏輯正確的序列。
有時，學生能抓取到成分，但不見得抓取到教師所作用來推出成分的 局部推理，較常見的是直接寫出成分（結論），而沒有推理過程；少數學 生在部分成分會利用自己的局部推理來推得，不全是教師所作的局部推 理。
雖然，學生在記錄格式上不甚嚴謹，沒有習得教師的紀錄形式，偶而 會出現一些紀錄格式上的不嚴謹或是自創的紀錄格式，但大多數都算是有 抓取到教師的推理精神，並且也還算是可接受的表達形式。
從學生在憶取教師的證明過程中，加入自己的局部推理，作出不同於 教師但是可接受的邏輯排序，並且使用自創的紀錄格式；雖然前述的這些 現象不見得會集中在一個學生的證明中，但即使是零星地出現，也可以某 種程度地反映出學生在憶取教師證明時是含有自己內化過後的推理證 明，而不全然只是模仿教師。
（五）學生在重要轉折之抓取情形
3. 轉折中所包含的思維切換越多，學生越不容易習得；但可經由教學手法 或教學內容安排，增加學生習得的機會。
4. 受到證明精神脈絡的影響，轉折間可能有相互關連，所以學生常出現同 時抓取兩個重要轉折、或是同時兩個轉折都沒有抓取的情形。
貳、 教師教學對學生習得教師所作推理證明之可能影響
1. 提供學生相同或相似推理歷程，可能有助於學生掌握教師推理證明的結構。
2. 教師在課堂中聚焦過多的教學主題，可能稀釋教師在推理證明教學中的教學 成效。
3. 學生的注意程度很可能影響到教師使用的教學手法的成效。
4. 教師在講解證明時，若僅是口頭解釋，使用圖形的頻率太低，學生缺乏視覺 上可供操作的物件，學生一方面要自行形成心像，一方面要隨時自行 keep 產生的新資訊，不易習得教師的推理證明。
5. 課堂中其他的推理證明內容、證明用圖之間可能互相干擾，影響學生習得。
6. 除了口語的強調說明外，教師若能再搭配詳盡板書紀錄，應該更有助於學生 習得較複雜的推理歷程。
7. 在證明中需要新增輔助線或輔助點時，除了直接畫在圖中，多利用板書紀 錄，有助於增加學生的感知。
8. 教師引導學生作局部推理時，適時拋出開放性較高的問題，引導學生自行去 連結推理中所需用到的性質條件；或僅是教師自行作推理，僅提出封閉性的 問題，使得學生只能作被動的確認。前者使得學生較容易習得該局部推理。
9. 教師在證明中的重要轉折處，藉由拋問或點學生起來回答問題的方式，有助 於讓學生注意到這個轉折，刺激學生思考，提高感知。
證明中的結構。
13. 教師在作推理時，搭配使用類似口訣的語句、或是利用生動的語句描述推理 的內涵，可能有助於學生掌握某些運算推理的內涵。
14. 補習某種程度會影響學生習得教師的推理證明，但在補習時聽過類似教師所 作的推理證明，不見得能增強學生的習得，也很可能是造成干擾。
（一）對教學的建議
1. 教師可藉由教學內容安排，讓學生在類似的證明題先經歷相同或相似的推理 歷程，讓學生對整個推理流程更加熟悉，掌握教師證明的結構。
2. 教師應衡量課堂中的教學主題密度，避免過多的教學內容，影響教學成效。
3. 教師除了口語講述之外，善加利用板書和圖形，幫助學生習得教師推理證明。
4. 教師可先分析欲教學之推理證明，在教學時可利用拋問等方式，引起學生注 意證明中的重要轉折，幫助學生抓取轉折。
5. 單純的重複不見得能提昇教學成效，教師應適時切換不同的教學手法。
6. 推導局部推理時，避免僅是教師在作推理，可利用拋問開放度較高的問題，
引導學生思考局部推理所需帶入的條件性質，有助於學生習得教師所作的局 部推理。
（二）對未來研究的建議
1. 由於教師教學可以討論的面向極廣，研究者無法一一探討，僅所選擇在 一般國中教學課堂中教師常使用的教學手法，探討對於學生習得教師所 作推理證明之可能影響。若能將探討的面向擴大，應能探尋到更深入的
3. 關於研究者對於幾何推理證明結構的分析，在主要成分、局部推理、重 要轉折等各面向並沒有作進一步的類型區分。至於不同類型之主要成 分、局部推理、重要轉折對學生的習得是否產生不同難度？如何影響學 生習得教師的推理證明，或許是未來可以發展的研究面向。
