迷宮中的螞蟻:展透圖裏的擴散和量子傳播 - 政大學術集成

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(1)國立政治大學理學院應用物理研究所碩士論文 Graduate Institute of Applied Physics, College of Science. National Chengchi University Master Thesis. 政治迷宮中的螞蟻：展透圖裏的擴散和量子傳播. 大. 立. ‧ 國. 學. The ant in the labyrinth: classical diffusion and quantum propagation on percolation clusters. ‧. n. 蘇柏銘. Ch. e n g cSu hi Bo-Ming. er. io. sit. y. Nat. al. i Un. v. 指導教授：林瑜琤博士 Advisor: Yu-Cheng Lin, Dr. rer. nat.. 中華民國一零二年十一月 November, 2013.

(2) 謝誌能夠順利完成這篇論文，最要感謝的是我的指導教授林瑜琤老師。老師無論在課業上或是生活上，總是很有耐心的指導、鼓勵我並給我很大的支持。在我的研究和論文的指導上，更鼓勵我到國外發表學術論文。老師投入了大量的時間與精神，指導我論文的撰寫及完成碩士學業，真得非常感謝老師。我也要感謝我的論文口試委員蔡尚岳老師及台師大的陳鴻宜老師，在論文口試時給予我很多論文上的指導及建議。也感謝蔡老師在學生求學期間給予的助教工讀。陳老師也是國家理論中心 Numerical Methods for Strongly Correlated Physics 的主持人，定期的 Group Meeting 及大型演講和會議，也讓我更加了解凝態物理. 政治大. 與計算物理的領域。也感謝凱鈞學長在程式撰寫上給予一些想法及哲仁在伺服器. 立. 的使用及架設上幫助了很多。. ‧ 國. 學. 在修讀研究所課程時，最讓我受益良多的也是我的指導教授林瑜琤老師。老師的量子力學及統計力學，使我具備了論文研究的重要知識。郭光宇老師的計算. ‧. 物理課程也奠定了我在程式撰寫基礎。除了老師不辭辛勞的教導之外，也感謝兩年來陪伴我的同學及學弟妹們，大家在課業上互相勉勵。還有感謝所辦的敏霞、. sit. y. Nat. 宜家在行政上的協助。. io. er. 同時家人的支持，更是我完成碩士學位的原動力。感謝父母親的包容和支持。雖然我們常有意見相左的時候，但仍不斷地在經濟上供應和情感上的相挺。. n. al. Ch. engchi. i. i Un. v.

(3) 中文摘要複雜的系統可以由大量相互作用的單元所構成；有關複雜系統的資料往往可建構成圖（graphs）或網絡系統的型式。複雜網路系統上經過連結及節點的傳播行為可描述例如資訊或能量的傳遞，此方向的研究已成跨各科學領域重要且熱門的課題。在凝態物理中，電子或準粒子在晶格與非晶格裡的傳播可描述許多性質，如導電性和導熱性等；在生物系統中細胞間的運輸亦可視為上述的網路傳播行為。本論文探討在幾種典型的離散晶格及展透模型中的古典馬可夫擴散和量子傳播。藉此我們示範：（一）量子傳播可遠比古典傳播更快地，甚至達指數倍快地散佈至網路各節點;（二）在無序環境中，雜質對量子傳播的干擾影響較對古典. 政治大. 擴散更顯著。在論文最後，我們討論能譜結構和傳播性質的關係。. 立. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. ii. i Un. v.

(4) Abstract Complex systems can be distilled into a large number of interacting components; data about complex systems often are schematized as graphs or networks. The study of the dynamics across the links and nodes in networks, which can describe e.g. information or energy flows, has become a popular and important topic in many scientific disciplines. For example, in condensed matter physics, many properties, such as electrical conductivity and thermal conductivity, can be understood in terms of dynamics of electrons and elementary excitations in crystals or in some non-crystalline structures. Another example is intracellular transport in biological systems.. 治政大demonstrate that (i) quantum eral types of discrete lattices and percolation clusters. We 立 spreading can transverse a network exponentially faster than its classical counterpart; (ii) In this thesis we study classical Markovian-diffusion and quantum transport on sev-. ‧ 國. 學. slowdown by static disorder is more pronounced for quantum transport than for classical diffusion. Finally, connections between spectral properties and dynamical properties are. ‧. io. sit. y. Nat. n. al. er. discussed.. Ch. engchi. iii. i Un. v.

(5) 目錄謝誌. i. 中文摘要. ii. 英文摘要. iii. 政治大. 1. 導論. 2. 擴散與主方程式 2.1 馬可夫過程與主方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 主方程式求解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 一維隨機運動 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4 4 8 10. 3. 量子傳播. 14. 4. 展透模型裏的古典與量子傳播 4.1 晶格展透模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 展透模型中的傳播 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 立. 1. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. 5. 能量頻譜對於量子擴散的影響. 6. 總結. engchi. i Un. v. 22 22 26 34 38. iv.

(6) 1 導論政治大大自然界和人群社會隨處可見隨機過程 (stochastic process)；例如，液體中懸浮物立. ‧ 國. 學. 呈現的布朗運動 (Brownian motion)、核衰變、生理訊號及測量值、生物族群個數的消長，及匯率的波動等。諸如此類的隨機過程可視為一系列隨時間變化的隨機. ‧. 變量，它們常可由相似的數學模型描述。. 若隨機過程的變量為非連續，離散的 (discrete)，我們可將此過程用節點和連結. sit. y. Nat. 構成的圖 (graph) 或網路系統 (network) 來描述；一個節點 (node, vertex) 代表一個. er. io. 可能的微觀狀態 (microstate)，節點和節點間的連結 (link, edge) 及其比重 (weight) 則用來表示單位時間內從一微觀狀態到另一微觀狀態的可能性及躍遷機率。一簡. n. al. Ch. i Un. v. 單的例子：考慮一個粒子有兩個可能的能階， E1 和 E2 ; 從低能階 E1 激發到高能. engchi. 階 E2 的躍遷率為 0.6, 由 E2 至 E1 的躍遷率為 0.7；我們可將此隨機過程建構成圖1.1。一旦我們瞭解隨機問題可能的微觀狀態間的轉移機率，許多相關觀察量可由各微觀狀態隨時間變化出現的機率分佈推導出，問題所對映的圖像裏之傳播行為則成為中心問題。對一複雜的系統，對映的圖像常是大規模且呈現錯綜複雜的結構，瞭解此類複雜網路上的傳播行為可見是一棘手且具挑戰性的課題，亦是另一支跨多領域的研究題材。圖1.2 顯示人腦各區域神經間關連性所對映出的複雜網路結構。許多原子尺度的隨機過程具有量子性質，例如固態裏電子的運動，此類的傳播問題將由薛丁格方程式 (Schrödinger equation) 描述。量子特有的態疊加原理 (superposition principle) 及相干性(quantum coherence) 造成量子傳播與古典（非量. 1.

(7) 0.3 E2 0.6 0.7 E1 0.4 圖 1.1: 二能階 E1 和 E2 間躍遷的示意圖。圓圈型的節點代表隨機變量（即能階），紅色連結旁的數值代表單位時間內能階間的躍遷機率。指向原節點的連結示意停留於原能階的機率。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i Un. v. 圖 1.2: 腦結構與功能神經的對映網路圖，及其建構方式。圖資料截取於 [1]. 子）傳播截然不同的現象。這些差異將在本論文探討。我們主要探討各類晶格模型與隨機網路上古典與量子傳播行為；兩者的傳播方程式看似相仿，描述古典傳播的主方程式 (master equation) 中的劉維爾 (Liouville) 算符（或稱轉移率矩陣）相當於描述量子傳播的漢米爾頓算符 (Hamiltonian) 。大致而言，量子傳播可遠必. 2.

(8) 古典傳播快，甚至指數倍地快。這個特性被量子資訊學家用來設計一些高效率的演算法，如搜尋演算法 (search algorithms) 等 [2]。值得一提的是，近年科學家實驗觀察發現光合作用過程中的能量傳遞是具量子性質的，可被視為量子傳播的型式，量子效應說明了光合作用複合物中極高效率能量傳遞的表現 [3, 4]。若能掌握這個量子機制，或許有助於發展高轉換效能的太陽能電池。量子傳播的效率在無序環境中卻會大大被降低，而且無序效應對量子傳播的影響往往遠大於對古典傳播的影響，簡單來說，量子的波動性受到無序環境中雜質的多重散射而產生破壞性干涉，這可導致量子傳播現象終止，即所謂的局域現象(localization)。事實上漢米爾頓算符的能譜結構對量子傳播的行為有決定性的影響。本論文中我們將以二維展透 (percolation) 模型為例，來探討無序環境對古典擴散及量子傳播的影響。. 政治大. 本論文的結構大致如下：第 2 章我們定義及闡述所探討的古典擴散及量子傳. 立. 播；第 3 章討論展透圖上的傳播行為；能譜結構和量子擴散的關係將於第 4 章討. ‧. ‧ 國. 學. io. sit. y. Nat. n. al. er. 論。. Ch. engchi. 3. i Un. v.

(9) 2 擴散與主方程式政治大在一個典型的確定性動力過程中，系統在不同時間點的狀態是根據某規則確定出立. ‧ 國. 學. 來的。但對於隨機過程，系統處於某個可能的狀態只能以機率給出。在許多隨機. 過程中，所謂馬可夫過程 (Markov process) 是指無記憶的過程，也就是說某個狀態. ‧. 出現的機率只與前一單位時間的狀態有關。本章節我們將討論描述馬可夫過程的主方程式 (master equation) 及其解法，這個方程式也將是我們用來描述古典擴散的. er. io. sit. y. Nat. 方程式。. n. a. l 方 2.1 馬可夫過程與主 C 程式. hengchi. i Un. v. 考慮一具有有限狀態空間 C = {c1 , c2 , · · · , cN } 的馬可夫鏈 (Markov chain)，於一. 單位時間間隔由 ci 轉移至 cj 的轉移機率為 ωi→j ≥ 0。每對微觀狀態間的轉移率. ωi→j ≥ 0 是固定的，與時間無關。如此我們雖然無法確定每個單位時間系統的確. 實狀態，但各微態出現機率 Pi (t) 隨時間的演化可由一所謂的主方程式決定。主方. 程式描述每一微觀狀態機率流入流出的情形，根據的正是機率守恆的原理，即任 P 意時間總機率是歸一的 i Pi (t) = 1。首先我們考慮時間參數為離散（相鄰時間間隔均為1）的情形，對應的主方程式即： Pi (t + 1) = Pi (t) +. X i6=j. |. ωj→i Pj (t) − {z. 流入. 4. }. X. ωi→j Pi (t) .. i6=j. |. {z. 流出. }. (2.1).

(10) 我們引入矩陣的寫法，並定義 . . P (t)  1     P2 (t)   |P(t)i =   ..  .  .    PN (t). (2.2). |P(t + 1)i = W|P(t)i ,. (2.3). 如此，方程式 (2.1)可簡化成. 其中 W 為一 N × N 的方矩陣，其元素 Wij  w w2→1  1→1   w1→2 w2→2 W=  .. ..  . .  w1→N w2→N. 政治大. 給定一初始機率分佈 |P (0)i，時間 t 的狀態機率分佈則為. (2.4). 學. ‧ 國. 立. 正是躍遷率 ωj→i ，  · · · wN →1   · · · wN →2   ..  . .. . .   · · · wN →N. ‧. |P(t)i = Wt |P(0)i .. Nat. y. (2.5). sit. 有別上述離散時間的演化，我們現在考慮時間參數為連續的情形。對此我們亦. n. al. er. io. 可藉機率守恒原理將狀態機率分佈的時間以一線性微分方程式描述：. i Un. v. X ∂ ωj→i Pj (t) − ωi→j Pi (t) Pi (t) = ∂t i6=j. Ch. engchi. (2.6). 或更簡潔地以矩陣型式寫成： ∂ |P(t)i = −M|P(t)i , ∂t. (2.7). 其中 |P(t)i 如同（2.2）式為一行向量，用以來描述狀態空間 C 之所有微態 ci 之機率；若將所有微觀狀態以一行向量 |ii (i = 1, 2, · · · N ) 表示：         0 1 0 0              ..   ..  0 1 . .         .   .   .   .   |1i = 0 , |2i = 0 , · · · |ii = 1 , · · · |N i = 0 ,          ..   ..   ..   ..  . . . .         0 0 1 0 5. (2.8).

(11) c1 c2. r c5. c3 c4. 圖 2.1: 一具有 5 個微觀狀態的馬可夫過程的對應圖。節點表示狀態，有互相轉移可能的節點以連. 政治大. 結表示，假設所有連結的比重（即對應的轉移率）均為 γ 。. 立. ‧ 國. 學. hi| 為對應的列向量，則. Pi (t) = hi|P(t)i .. (2.9). ‧. 式 (2.7) 中 M 為一方矩陣，我們稱之為劉維爾算符 (Liouville operator)，或稱轉移. io. i6=k. ωi→k. sit. X. (2.10). er. Nat. Mji = −ωi→j + δi,j. y. 率矩陣（transition rate matrix），矩陣各元素滿足. al. n. iv n C {c1 , c2 , c3 , c4 , c5 } 的馬可夫過程，其中有幾對微觀狀態之間有互相轉移的機率，且 hengchi U. 現在我們舉一個簡單的例子來表示矩陣 M ，考慮一共有五個微觀狀態. 轉移機率不具方向性。若將系統間各微態以節點表示，並將存有有限轉移機率的每對微態（節點）劃上連結，我們將此過程以圖 2.1表示；圖中無連結的節點對，表示其兩微觀狀態之間的轉移機率為 0。假設每個連結對應的單位時間轉移機率為 γ，我們可將此假設的過程對應的轉移率矩陣 M 表示為:   3 −1 −1 0 −1     −1 2 −1 0 0     M = γ −1 −1 4 −1 −1 .     0 0 −1 2 −1   −1 0 −1 −1 3. 6. (2.11).

(12) (b) 不滿足細緻平衡的非平衡穩態. (a) 細緻平衡. 政治大緻平衡，不存在淨機率流；圖 (b) 為不滿足細緻平衡的非平衡穩態，呈現一順時鐘的機率流。立. 圖 2.2: 具有定機率分佈的系統（三個微觀狀態各自有 1/3 的出現機率）之兩種情形。圖 (a) 滿足細. ‧ 國. 學. 微態數更大的馬可夫過程，對應的圖像勢必更複雜，但若所有有限轉移率均為. ‧. γ，且不具方向性，我們可將轉移率矩陣元素以以下通式得出：     γdj for i = j    Mij = −γ if wi→j = wj→i = γ and i 6= j      0 otherwise. n. al. er. io. sit. y. Nat. (2.12). i Un. v. 本論文所將探討的圖像上之擴散（或稱隨機漫步）均以式 (2.7) 為出發，此類. Ch. engchi. 具連續時間參數的隨機過程亦稱非同步動力 (asynchronous dynamics) 過程（非連續時間參數的情形稱為同步動力 (synchronous dynamics)）。我們感興趣的常是隨機過程的長時間演化情形。機率守恆原理保證存在一機率分佈 |P ∗ i 滿足 M|P ∗ i = 0 ,. (2.13). ∂ ∗ |P i = 0 . ∂t. (2.14). 此時對應. 表示不隨時間變化的定機率分佈 (stationary probablity distribution)。具定機率分佈情形，我們再區分平衡態 (equilibrium state) 與非平衡穩定態 (nonequilibrium steady state)。其中，平衡態 (P eq ) 滿足所謂細緻平衡 (detailed balance) 的條件：ωj→i Pjeq = ωi→j Pieq ，這表示任兩微態 ci 和 cj 間的機率流互相抵消 7.

(13) （圖2.2(a)），系統中不存在淨機率流。反之，非平衡穩定態違背細緻平衡（圖2.2(b)）。. 2.2. 主方程式求解. 給定一轉移率矩陣 M 及起始條件 |P (0)i，由主方程式 (2.7) 描述的任一時間的機率分佈 |P (t)i 具以下一般型式 |P (t)i = e−Mt |P (0)i .. (2.15). 但如此我們還未能得出 |P (t)i 的具體型式。此章節將敘述主方程式 (2.7) 的求解. 政治大若轉移率矩陣 M 為一對稱的矩陣（如上節例子 (2.11) ），則矩陣的轉置等同立. 法。. 學. 量 (left eigenvectors) 分量相同且互為轉置型式： M|φn i = En |φn i,. hφn |M = En hφn |,. ‧. ‧ 國. 原矩陣：MT = M，此時轉移率矩陣的右本徵向量 (right eigenvectors) 與左本徵向. (2.16). n. al. sit. hφn |φm i = δnm .. (2.17). er. io. 且具完備性:. y. Nat. T 這裡我們引入 hφn | = |φn i 。如此保證 M 的本徵向量互相正交. ni Ch X U I = e n|φgn ihφ c hn| i. v. (2.18). n. 其中，I 為單元矩陣。故矩陣 M 可被寫成以下譜分解型式 (spectral decomposition): X. En |φn ihφn | .. (2.19). e−Mt |φn i = e−En t |φn i ,. (2.20). M=. n. 利用. 式 (2.15) 可寫成 |P (t)i =. X n. e−En t |φn ihφn |P (0)i .. (2.21). 也就是說，一旦求得轉移率矩陣 M 的本徵值及本徵向量，我們即可具體得出任一時間的機率分佈。 8.

(14) 很多情形下轉移率矩陣 M 並非對稱矩陣 (Mij 6= Mji )，上述方法則不能使用。若考慮的隨機過程滿足細緻平衡 ωj→i Pjeq = ωi→j Pieq ,. (2.22). 我們可以以下描述的方式求出主方程式的解。我們以平衡態機率分佈 Pieq 及轉移率矩陣建構一新的矩陣 V： s Pjeq Mij . Vij = Pieq. (2.23). 由細緻平衡條件 (2.22)，或 s ωi→j. 立. Pjeq = ωj→i Pieq. s. Pieq Pjeq. 政治大. (2.24). ‧. ‧ 國. 學. 不難看出矩陣 V 為一對稱矩陣。代入轉移率矩陣的型式 (2.10) 於 Vij ： s X Pjeq ωj→k −ωj→i + δi,j Vij = Pieq j6=k s eq X Pj = − ω + δ ωj→k j→i i,j Pieq j6=k s eq X Pi ωj→k = − ωi→j − δi,j Pjeq j6=k s Pieq = Mji Pjeq. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i Un. v. = Vji 主方程 (2.7) 可以矩陣 V 表示為 X ∂ Pj (t) = − Vji ∂t i. s. Pjeq Pi (t) Pieq. (2.25). 或改寫成： X ∂ Pj (t) Pi (t) q =− Vji p eq ∂t P eq Pi i. (2.26). Pi P˜i = p eq , Pi. (2.27). j. 如果我們定義. 9.

(15) 則主方程可以表示為 ∂ ˜ |P (t)i = −V|P˜ (t)i . ∂t. (2.28). 由於 V 是一對稱矩陣，我們可以用先前的方法將此方程式的解求出 |P˜ (t)i =. X n. e−En t |φñ ihφñ |P˜ (0)i ,. (2.29). 其中，En 及 |φñ i 為對稱矩陣 V 的本徵值及本徵向量。由矩陣 V 和轉移率矩陣. M 的關係（式 (2.23)），不難看出兩矩陣的本徵值 En 相同。若考慮 P˜ 的分量 P˜j (t) = hj|P˜ (t)i X = hj| e−En t |φñ ihφñ |P˜ (0)i n. = hj|. 立 X n,k. =. X. n. 政治X |kihk| 大 P˜(0)i. e−En t |φñ ihφñ |. k. e−En t hj|φñ ihφñ |kihk|P˜ (0)i (j) e−En t φñ. X. n. ˜ φ˜(k) n Pk (0) ,. ‧. k. (2.30). 學. ‧ 國. =. X. er. io. sit. y. Nat. (j) 式中，φñ 表示 |φñ i 的第 j 個分量。. 2.3 一維隨機運動a. n. iv l C n hengchi U 在這節我們考慮一維隨機運動。藉此簡單的例子我們將示範傳播在均質媒介與非均質媒介的差異。我們考慮一沿一維晶格運動的粒子。L 個晶格點 v1 , v2 , v3 , · · · , vL 依序由左向. 右排列 (圖2.3)。這些有限的晶格點可視為對映圖像的節點，也是該粒子可能被找到的位置。每單位時間該粒子只能向右或向左跳躍至最鄰近的晶格點，假設往兩方向的跳躍機率相同。另外，我們放置一界點 v0 於 v1 的左方，另一邊界點 vL+1 於 vL 的右方。如此，我們可將轉移率表示成以下的型式 ωi→i±1 = γ,. ∀i ∈ {1, 2, · · · , L} (2.31). ω0→1 = γ ωL+1→L = γ. 10.

(16) ωi→i−1 ωi→i+1. v0. vi−2. v1. vi−1. vi+1. vi. vi+2. vL. vL+1. ωi−1→i ωi+1→i. 圖 2.3: 一粒子在一維有限晶格運動。. 10. 4. 10. 3. 政治大. 立. 2. ~t. 學. ‧ 國. 2. <x >. 10. 1. 10. ‧. 0. 1. 2. 10. t. 3. 10. 4. 10. er. io. sit. Nat. 10. y. 10 0 10. 圖 2.4: 均位移平方 hx2 i 與時間對數的關係。晶格長度為 L = 128, 外加兩反射端點。如預期，呈. n. al. Ch. i Un. v. hx2 i ∝ t 關係，具此關係的擴散稱為常態擴散。另外，古典傳播為一馬可夫過程，最終將達一不. engchi. 隨時間改變的定機率分佈，故位移平方趨向一定值。. 如同式 (2.10) 所示，我們可由轉移率建立轉移率矩陣，此問題對應之轉移率矩陣為. . 1. . −1.     −1 2 −1        −1 2 −1 . M=γ   .. .. .. . . .        −1 2 −1   −1 1. (2.32). 有了轉移率矩陣 M ，我們即可探討在此一維晶格的傳播行為。首先我們注意. 11.

(17) 到式 (2.32) 的矩陣具對稱型式，我們可將其對角化找出對應的本徵值及本徵向量，在給定一初始條件下，我們即可由式 (2.21) 求出任一時間的擴散機率分佈，進而求出許多其它物理量。這裡我們探討位移與時間的關係。在不失廣義性下，式 (2.31) 或式 (2.32) 中的參數 γ 可設為 γ = 1。圖 2.4 所示的為離出發點距離平方的期望值 hx2 i 與時間的. 關係，為數值計算的結果。在短時間範圍，擴散呈 hx2 i ∝ t。長時間後，在我們. 考慮的有限晶格系統，傳播終將達一不隨時間改變的定態，此時 hx2 i 呈一定值。. 接著我們考慮一較特殊的一維隨機運動。考慮同上的一組節點 {v1 , v2 , · · · , vL }，. 及兩個位於左右兩端的邊界點 v0 和 vL+1 。除了邊界機率定為 ω0→1 = 1 與 ωL+1→L = 1 外，其它向右的跳躍率 ωi→i+1 , (i = 1, 2, · · · , L) 為均勻分佈於 (0, 1). 政治大. 間的亂數，而在 ωi→i+1 給定下，向右的跳躍率則為 ωi→i−1 = 1 − ωi→i+1 。這型的. 轉移率描述的是粒子在一非均質或無序環境中擴散，或說傳播介質具有呈現高低. 立. 無序的位能。因為非均質的傳播環境貼切許多真實的情況，這方向的研究顯得十. ‧ 國. 學. 分重要，尤其對於複雜系統 (如玻璃，訊息傳遞等) 而言。. ‧. 針對上面定義的無序轉移率，我們可以寫出對應的轉換率矩陣：   1 −ω1→0      −1 1 −ω2→1       −ω1→2 1 −ω3→2   M=  .. .. .. . . .        −ωL−1→L 1 −1   −ωL→L+1 1. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i Un. (2.33). v. 由章節 2.2 我們知道對於如此一非對稱矩陣 M，我們不一定可將其對角化。但在系統滿足細緻平衡條件下，我們可建構一由 M 矩陣元素及平衡機率 P eq 組合成 r 的對稱的矩陣 Vij =. eq. Pj. eq. Pi. Mij = Vji 。然後解出以矩陣 V 為轉移率的主方程式，. 之後再轉換得出原主方程式的機率分佈。數值計算程序開始時，我們得先找出平衡機率 P eq ，其對應的是 M 矩陣零本徵值的本徵向量。一般來說，無序環境對傳播的影響是緩慢傳播速度，其影響對低維度的系統常更顯著。其中所謂西奈漫步 (Sinai’s walk) [5] 為有名的一維無序系統的傳播行為，此模型的轉移機率滿足 ωi→i+1 ln = 0. 1 − ωi→i+1 av 12. (2.34).

(18) 上式中的符號 [ · ]av 代表對許多隨機環境的樣本做平均。在長時間範圍 t 1，. 西奈漫步呈現很特殊的均平方位移與時間的關係 . hx2 (t)i av ∝ ln4 (t) ,. (2.35). 式中的符號 h . i 代表對一隨機環境樣本求平方位移的期望值，也就是說考慮無序. 系統時我們應區別組態平均 (configuration average) h . i 及無序樣本的平均 (disorder average) [ · ]av 。式 (2.35) 的關係代表極度緩慢的擴散，不同於常態擴散的關係 [hx2 (t)i]av ∝ t。我們對晶格長度 L = 64 和 1000 組隨機環境的樣本求得的數值結果（圖 2.5）亦可看到 hx2 (t)i av ∝ ln4 (t) 的關係。. 4. 立 2. 0. 10. al. n. 0. sit. io 10. y. Nat. 1. 10. er. 10. ‧. 2. 3. 學. 10. [<x >]av. 政治大. ‧ 國. 10. Ch. e nlngt c h i. i Un. v. 1. 10. 圖 2.5: 此 log − log 圖為無序系統擴散的均平方位移與時間對數之關係，考慮的系統為長度 L = 64 兩端各外加一反射節點，共對1000 組隨機環境樣本做平均。在長時間範圍（達穩態前），我們可觀察到[hx2 i]av 以 ln4 (t) 的方式做成長。紅色線的斜率為 4。. 13.

(19) 3 量子傳播政治大隨機性是一量子力學的固有性質。一量子狀態是由希爾伯特空間 (Hilbert space) 的立 ı~. ∂ |ψ(t)i = H|ψ(t)i , ∂t. ‧. ‧ 國. 丁格方程式描述. 學. 一單位向量 |ψi 表示，代表的是機率振幅的概念。量子狀態雖時間的演化可由薛 (3.1). sit. y. Nat. 其中，H 是漢米爾頓能量算符 (Hamiltonian)。這裏我們以符號 ı 來表示虛數單位 √ −1，以免與指標 i 混淆。. er. io. 考慮一粒子在由一組節點與無方向性連結組合的圖像（網路）上”游走”。連. al. n. iv n C 2.1 節討論了描述此隨機過程的主方程式，P t 出現在節點 i 的 h e n g ci(t)h表示粒子於時間 i U. 結代表該粒子可於所連接的節點間轉移，連接比重給定單位時間的轉移機率。. 機率。隨機漫步是許多領域的重要模型，人們也期待具量子性質的漫步（量子漫步）也同樣能找到廣泛應用。事實上，近年科學家實驗觀察發現光合作用過程中的能量傳遞是一種量子漫步的表象 [3, 4]。我們如何將上述的圖像隨機漫步 (random walk) 問題加入量子性質呢？在許多建議模型中，由量子資訊學家 Farhi. 與 Gutmann 的連續時間量子漫步模型 [2] 應屬最直觀的。此模型建立在一觀察上：描述古典隨機漫步的主方程式 ∂ |P (t)i = −M|P (t)i ∂t. (3.2). 和薛丁格方程式 (3.1) 極度相似。在一描述圖像上量子傳播的模型中，我們自然地. 14.

(20) 將節點視為粒子可能位置；考慮圖像的結構，我們要求 hi|H|ji = 6 0,. 若節點 i 與節點 j 間有連結. hi|H|ji = 0,. 若節點 i 與節點 j 間沒有連結 .. (3.3). 此處 |ii 或 |ji 同式 (2.8) 表示，構成希爾伯特空間上一組完備的基。 Farhi 與 Gutmann 的模型進一步地將薛丁格方程式的漢米爾頓算符以轉移率矩陣 M 取代 hi|H|ji = Mij ,. (3.4). 其中 Mij 的型式定義於式 (2.10)；如此我們由薛丁格方程式得出描述圖像裏量子傳播的方程式（設 ~ = 1）： 1∂ |ψ(t)i = −M|ψ(t)i . ı ∂t. (3.5) 政治大我們注意到描述古典傳播的方程式 (3.2) 與描述量子傳播的方程式 (3.5) 只差了一立. ‧ 國. 不同。此外，量子粒子在某節點 i 上的機率由. 學. 個虛數 ı，但我們之後將會看到這個看似微小的差別確會造成兩類傳播行為截然. ‧.

(21)

(22) 2 Piqm (t) =

(23) hi|ψ(t)i

(24). (3.6). y. Nat. 給出。一旦求出能量本徵值 {En } 及本徵向量 {φn }，從初始 (t = 0) 節點 i 經時間. sit. n. al. er. io. t 轉移到節點 j 的機率即為

(25)

(26) 2

(27)

(28) 2

(29)

(30)

(31) X −ıE t

(32) qm −ıHt n

(33)

(34)

(35) |ii

(36) =

(37) Pi→j (t) ≡

(38) hj|e e hj|φn ihφn |ii

(39)

(40) .. Ch. n. engchi U. v ni. (3.7). 同樣的初始條件，上節討論的古典擴散對應的機率為 cl Pi→j (t) ≡ hj|e−Mt |ii =. X n. e−En t hj|φn ihφn |ii .. (3.8). 若考慮電子在晶格模型運動，連結僅存在鄰近晶格點（節點），亦即電子只能於鄰近晶格間轉移，式 (3.5) 描述的量子傳播正是固態物理中所謂的緊束縛模型 (the tight-binding model)。我們首先考慮一維晶格運動。藉此簡單的例子我們將示範古典與量子傳播的差別。這裡我們考慮 2.5 節討論的一維有序晶格的量子傳播，圖 3.1 展示均位移平方的數值結果並與古典擴散的比較。隨時間演進，量子傳播呈現彈道式的 (ballistic) hx2 i ∝ t2 ，達位移最大值後持續隨時間震盪；這顯示量子的高傳播效益，且其機率分佈不收斂至一極限分佈。 15.

(41) 10. 4. 10. t. <x >. 2. 3. 10. 2. 2. quantum classical. t 1. 10. 0. 10 0 10. 10. 立. 1. 2. 10. 3. 4. 10. 10. 政 t治大. 圖 3.1: 一維晶格模型中古典及量子擴散離出發點距離平方的期望值 hx2 i 與時間對數的關係。晶格. ‧ 國. 學. 長度為 L = 128, 外加兩反射端點。如預期，古典擴散呈 hx2 i ∝ t，而量子傳播則是呈彈道式的. ‧. (ballistic) hx2 i ∝ t2 。另外，古典傳播最終將達一不隨時間改變的定機率分佈，故位移平方趨向一定值；但長時間後量子擴散不會達到一定態，hx2 i 呈隨時間震盪的型式。. y. Nat. sit. 接下來我們討論二維週期晶格的傳播行為。考慮一方正晶格，為保存晶格平. er. io. 移不變的特性，我們與 x 方向和 y 方向各引入週期性邊界條件 (periodic boundary. al. n. iv n C ˜ = 2L + 1 系統的漢 hengchi U 僅侷限於每對相鄰的節點，我們可以以下列型式表示邊長為 L. conditions)，如此，傳播的空間似一甜甜圈之表面（環面）。若非為零的轉移機率米爾頓算符：. L L X X

(42)

(43)

(44)

(45)

(46)

(47). H= 2

(48) ix , iy ix , iy

(49) −

(50) ix − 1, iy ix , iy

(51) −

(52) ix + 1, iy ix , iy

(53) ix =−L iy =−L. (3.9)

(54)

(55)

(56)

(57)

(58)

(59). + 2

(60) ix , iy ix , iy

(61) −

(62) ix , iy − 1 ix , iy

(63) −

(64) ix , iy + 1 ix , iy

(65) ,.

(66). ˜ 2 節點構這裡我們以 {

(67) ix , iy } (ix , iy = −L, −L + 1, · · · , L − 1, L) 來代表由 N = L. 成的一組完備正交的基。配合週期性邊界條件，我們要求

(68)

(69)

(70).

(71).

(72) L + 1, iy ≡

(73) −L, iy ,

(74) −L − 1, iy ≡

(75) L, iy

(76)

(77)

(78).

(79).

(80) ix , L + 1 ≡

(81) ix , −L ,

(82) ix , −L − 1 ≡

(83) ix , L .. (3.10). 很容易地我們可看出此二維系統的漢米爾頓算符可分解成單獨的兩項，分別是代 16.

(84) 表 x 方向和 y 方向的一維漢米爾頓算符： H = H x + Hy .. (3.11). 而 x 與 y 兩個方向部份之算符也可以表示為 Hx |ix i = 2 |ix i − |ix − 1i − |ix + 1i. (3.12). Hy |iy i = 2 |iy i − |iy − 1i − |iy + 1i . 我們可數值解出本徵值問題，不過此系統的本徵值問題的精確解亦已知。算符 Hx 及 Hy 對應的本徵向量為 ix =L 1 X |φkx i = p e−ıkx ix |ix i ˜ ix =−L L. 政治大 1 X. |φ i = p 立 ˜ ky. (3.13). iy =L. L iy =−L. e−ıky iy |iy i. ‧ 國. 學. ˜ ， ky = 2πly /L ˜ ， lx , ly = 1, ...L ˜，週期性邊界條件導致波向量滿足 kx = 2πlx /L. ‧. 其所對應的本徵值為. (3.14). y. Nat. Ekx(y) = 2 − 2 cos kx(y). n. al. Ch. er. io. 算符 H 對應之本徵值 Ek 與本徵向量 |φk i ，即. sit. 由上述 x 與 y 兩分量對應之本徵向量與本徵值我們就可以得到整個漢米爾頓能量. i Un. v. Ek = Eky + Eky = 4 − 2 cos kx − 2 cos ky. (3.15). 1 X −ı(kx ix +ky iy |φk i = √ e |ii N ix ,iy. (3.16). engchi. 與. 這裡我們將基向量 |ix , iy i 以較簡潔的型式 |ii 表示；ix 和 iy 各表示晶格點 i 的 x. 和 y 座標。藉由解出的漢米爾頓算符 H 本徵值問題，我們可得出在時間 t 從 |ii. 狀態至 |ji 之機率振幅（式 (3.7)）： hj|e−ıHt |ii =. 1 X −ı(4−2 cos kx −2 cos ky )t −ıkx (jx −ix )−ıky (jy −iy ) e e N k ,k x. (3.17). y. 以及其所對應的機率

(85)

(86) 2 qm Pi→j (t) =

(87) hj|e−ıHt |ii

(88) 17. (3.18).

(89) 若考慮在同樣晶格以式 (3.9) 為轉移率矩陣的古典擴散，我們同樣可由式 (3.8) 求 cl (t)。得機率 Pi→j. 以下我們比較量子傳播與古典擴散的均平方位移。由於此二維問體的漢米爾頓算符可分解成兩個獨立 x 方向及 y 方向的一維算符 (3.11)，基本上我們可將此二維傳播問題視為兩個獨立的一維傳播問題。由前一章的討論我們不難看出，量子傳播亦呈彈道式的：hr2 i ∝ t2 ，而古典傳播當然是常態的 hr2 i ∝ t，圖 3.2 為兩者. 的比較。. 立. 2. 政治大 quantum classical. ‧. ‧ 國. 2. 10. 3. 學. [<r >]av. 10. 1. Nat. 2. io. n. al. er. t. 10. sit. 0. 10. y. 10. i Un. v. 圖 3.2: 此 log − log 圖為在 65 × 65 週期晶格傳播的均平方位移距離 hr2 i 的時間 t 演進。我們可以. Ch. engchi. 由斜率看出均平方位移與時間呈冪次方式 (power law) 成長。量子傳播為彈道式的： hr2 i ∼ t2 ，而古典的隨機漫步為常態擴散 hr2 i ∼ t。由此可見，量子傳播的方式較古典傳播的方式來的快很多。. 另一種比較傳播效率的觀測值為所謂的平均返回機率 Pr (t) ≡. 1 X Pi→i (t) , N i. (3.19). 即為經時間 t 後又返回原出發點的機率。若隨時間演進返回機率遞減地快，表示傳播效率快。由圖3.3 我們可看出量子傳播的返回機率因為 (3.17) 的型式而隨時間震盪，但整體以時間平方反比的方式遞減，相較古典的 Prcl (t) ∼ 1/t，由此亦可看出量子傳播的高效率。 18.

(90) 10. 0. quantum classical. -1. Pr(t). 10. 10. 1/t. -2. 1/t. -3. 10. 10. 2. -4. 10. -1. 0. 10. 立. 1. 10. 2. 3. 10. 10. 政t 治大. 圖 3.3: 我們考慮尺度為 65 × 65 的方週期晶格。古典擴散返回機率呈 Prcl (t) ∼ 1/t 遞減至一定值，. ‧ 國. 學. 而量子擴散的返回機率 Pr (t) 不會趨近一定值，它是隨時間做震盪，但整體呈 Pr (t) ∼ 1/t2 的遞減。. ‧. 本章最後我們展示量子傳播與古典傳播的機率分佈隨時間的關係。由圖我們可. y. Nat. sit. 清楚看出 (i) 量子傳播之所以效率高主要在於量子的疊加原理，即粒子似可同時. er. io. 於許多不同晶格點出現; (ii) 二維週期晶格的量子擴散可視為兩個不同方向獨立的. al. n. iv n C 這章我們介紹了量子傳播，並討論其與古典隨機漫步的差別。我們將在下一 hengchi U. 一維傳播之合成。. 章討論無序環境的傳播情形。. 19.

(91) (a). (b). 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學 sit. y. Nat. (d). io. n. al. er. (c). Ch. engchi. (e). i Un. v. (f). 圖 3.4: 量子傳播隨時間的機率分佈。模型為一邊長 65 且具週期性邊界條件之二維方晶格。時間 t = 0 時，晶格中心點 |ix = 0, jy = 0i 為出發點。. 20.

(92) (a). (b). 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學 sit. y. Nat. (d). io. n. al. er. (c). Ch. engchi. (e). i Un. v. (f). 圖 3.5: 古典傳播隨時間的機率分佈。模型為一邊長 65 且具週期性邊界條件之二維方晶格。時間 t = 0 時，晶格中心點 |ix = 0, jy = 0i 為出發點。. 21.

(93) 4 展透模型裏的古典與量子傳播政治大上一章我們示範了在有序具週期性的媒介中量子傳播遠比古典傳播來得有效率，立 ‧ 國. 學. 第二章我們也闡述了無序媒介遲緩擴散的效應。在這章節我們將比較無序對量子傳播及對古典傳播之影響。缺陷或雜質常是自然存在且無法避免的，實驗上也常. ‧. 蓄意添加雜質來改變系統的性質，非晶形固體如玻璃等更是工業與日常生活不可或缺的材料。為探討這些具雜質或非晶形材料的複雜性質，許多模型已被提出，. Nat. sit. y. 其中一類數學模型稱為展透模型 (percolation model)。我們將以展透模型來探討量. n. al. er. io. 子傳播與古典擴散行為。. 4.1. 晶格展透模型. Ch. engchi. i Un. v. 展透 (percolation) 意由系統的一端滲透或延展至另一端的現象，例如咖啡從濾紙頂滲透至濾紙底，或森林大火的蔓延，或大規模疫情的擴散等。許多材質也具複雜網路結構且呈現展透現象，例如一些高溫超導體的內在結構 [6, 7]。一個描述展透現象的模型定義如下：考慮一鄰近兩節點互相連接的方晶格系統（如第3章所討論的方晶格），我們隨機決定是否移除兩晶格點間的連結鍵，假設移除的機率為 p，則連接的機率為 1 − p，當移除機率不大於某臨界值時，我們總可找到一從晶格一展透至另一邊的晶格群集 (cluster)，群集在這裡是指藉連結鍵連接在. 一起的晶格（圖4.1），此類模型稱為連結鍵展透模型 (bond percolation model)，由 Broadbent 和 Hammersley 於1957年所提出 [8]。另一種隨機展透模型稱為節點. 22.

(94) (b) 節點展透圖 (site percolation). (a) 連結鍵展透圖 (bond percolation). 政治大代表不同的群集。其中藍色群集為一展透群集，因為它連通相對的兩邊界。立. 圖 4.1: 隨機移除連結鍵 (a) 及節點 (b) 的具開放性邊界條件的二維方正晶格模型示意圖。不同顏色. ‧ 國. 學. 展透 (site percolation)，在此隨機移除的是晶格點，且與被移除晶格點連結的鍵也一併被移除；同樣地，當晶格點被移除的機率 p 不大於一臨界值時，系統中總存. ‧. 在展透集團。當然除方晶格外，我們亦可將展透集團建立在其它幾何型式的晶格系統，如蜂窩形晶格，三角形晶格等，當然也可建立在任何維度的系統。. y. Nat. n. al. er. io. sit. 展透模型除了可用來描述上述及其它許多現象及結構外，也常是用來研究相. Ch. engchi. i Un. v. (b) 三角晶格. (a) 方正晶格. 圖 4.2: 本章節考慮建立於方正晶格 (a) 及三角晶格 (b) 的連結鍵展透圖。方正晶格的連結鍵展透臨界閥值為 pc = 1/2，而三角晶格的連結鍵展透臨界閥值為 pc = 1 − 2 sin(π/18) = 0.652703644666 · · · 。. 23.

(95) (a) p = 0.49. (b) p = pc = 0.5. 政治大. 學. ‧ 國. 立. (c) p = 0.51. (e) p = pc ≈ 0.652703645. (d) p = 0.64. (f) p = 0.66. ‧. 圖 4.3: 考慮大小為512 × 512 且具有週期性邊界條件二維方正晶格 (a)-(c) 及二維三角晶格 (d)-(f)上. n. al. er. io. 點的群集）。當 p > pc 時，最大群集也無法展透至兩相對之邊界。. sit. y. Nat. 的連結鍵展透圖。顯示的是當稀釋機率 p 為臨界值 pc 及其附近時系統中最大的群集（包含最多節. i Un. v. 變及臨界現象的模型。展透現象即為幾何的相變行為。上述的稀釋機率 p 為相. Ch. engchi. 變控制參數，它的值決定模型裏是否存在一連通相對邊界的展透群集 (percolating cluster)。當 p 值很小，系統中僅有零星被移除的連結或節點，故大部份的晶格將鍵結成一展透群集；當 p 值增大，隨機被移除的晶格及連結鍵增多，系統將僅剩存稀疏且小區域的群集，而無法構成一展透群集。系統從有展透群集至無，即是相變的產生。嚴格來說，相變只發生於系統無窮大時，此時系統的展透群集亦無窮大。我們定義界定系統存在無窮群集及不存在無窮群集的稀釋機率為臨界閥值 (percolation threshold) pc 。一般而言，臨界閥值與系統維度及晶格幾何有關。晶格展透模型定義雖看似簡單，但僅有少數模型存在可解析精確得知的臨界閥值 [9]，例如一維配位數 (coordination number) 為 q = 2 的晶格之臨界閥值為 pc = 1，因為任何一個缺少的鍵結或節點將阻止群集從晶格一端展透至另一端；二維配位數為 q = 4 的方晶格 pc 值小於 1，連結鍵展透的臨界閥值為精確值 pc = 1/2，但. 24.

(96) 1.0. 1.0. L=128 L=256 L=512. 0.6. M/L. 2. 0.6. 0.4. 0.4. 0.2 0.0. L=128 L=256 L=512. 0.8. M/L. 2. 0.8. 0.2. 0.2. 0.4. p. 0.6. 0.8. 0.0. 1.0. 0.2. (a) 二維方正晶格. 0.4. p. 0.6. 0.8. 1.0. (b) 二維三角晶格. 圖 4.4: (a) 、(b) 分別為建立於二維方正晶格與二維三角晶格上的展透模型中最大群集所含的晶. 政治大. 格數目與總晶格數之比例 (M/L2 ) 隨稀釋機率 (p) 的變化。由圖我們可以發現當 p = 0.5 (a) 及. 立. p = 1 − 2 sin(π/18) = 0.652703644... (b) 時，曲線有一明顯的變化，此處（虛線表示）對應的正是. ‧ 國. 學. 臨界閥值 pc 。. ‧. 節點展透圖的臨界閥值只存有數值近似解 pc ≈ 0.592746。. 在諸多展透模型中我們將聚焦於其中兩晶格模型：建立於二維方晶格的連結鍵. sit. y. Nat. 展透模型，及建立於二維三角晶格的連結鍵展透模型。所謂二維三角晶格為配位. er. io. 數為 q = 6 的晶格（如圖4.2(b) 所示），其臨界閥值（對連結鍵展透而言）為精確解 pc = 1 − 2 sin(π/18) [9]。我們於圖4.3 展示在這兩類模型臨界閥值附近最大群. n. al. Ch. i Un. v. 集（即包含最多節點的群集）的範例，考慮的是 x 及 y 方向均加週期性邊界條件. engchi. 的情形。當連結鍵移除（稀釋）機率略大於 pc 時，系統中的最大群集即無法展透整個且觸及兩相對之邊界。數值計算上，我們採用 Hoshen-Kopelman 演算法 [10] 來區別不同的群集及找出最大的群集。其它相當的演算法包含單一群集成長演算法 [11, 12]，及 Newman-Ziff 演算法 [13]。之前提及，相變確實僅發生於無限大的系統，此時許多觀察量，如最大群集的含節點數，將於臨界點發散。數值模擬一般僅能處理有限大的系統。根據相變理論，於臨界點發散的觀察量與系統線性長度常呈冪次方的關係 (power law)，對應的冪指數稱為臨界指數 (critical exponents)；一般來說，這些臨界指數與晶格詳細結構無關，但取決與維度大小。圖4.4 顯示隨稀釋機率 p 變化的最大群集節點數 M 與總節點數的比值，當 p 值由零增加時，最大群集節點數比例將由 1 降至 0，. 25.

(97) 且臨界點恰處於曲線驟降之處；當系統長 L 增大時，曲線將於臨界點愈明顯地垂直驟降。. 4.2. 展透模型中的傳播. 展透群集是複雜的碎形體 (fractal object)。所謂碎形是指幾何結構雖看似零碎但具自相似性質 (self-similarity property)，亦即該幾何體的每一尺度範圍看起來均相似。自相似性質在數學上呈現的是與長度呈冪次方的關係。以臨界點的展透群集節點數（或稱展透群集的質量） M (pc ) 為例，其與晶格線性長度關係為 (4.1) 政治大雖具有類似維度的意義，但這裡它是一非整數值，稱為碎形維立 M (pc ) ∼ Ldf .. 有趣的是，指數 df. ‧ 國. 學. 度（fractal dimension），描述的正是碎形體的幾何複雜度。由圖 4.3 我們可清楚看到展透群集並非緊密體，其內部存在許多孔洞，故碎形維度小於幾何維度。與. ‧. 許多臨界指數一樣，展透圖的碎形維度 df 具普遍性，僅與系統維度有關。以二維方晶格及二維三角晶格展透圖為例，我們於圖4.5 驗證了二維展透的碎形維度. sit. y. Nat. df = 91/48。. er. io. 展透群集複雜的碎形結構對傳播問題提供了類似迷宮的效果。法籍諾貝爾物理獎得主 de Gennes 就曾將隨機漫步於展透模型的問題比喻為「迷宮中的螞蟻」. n. al. Ch. i Un. v. (”the ant in the labyrinth”) [14]。在此我們比較量子擴散與古典擴散於具週期性界條. engchi. 件的二維展透圖，並將傳播區間侷限於系統中的最大群集。因為展透群集在此可視為一隨機的傳播媒介，對一給定條件（晶格線性長度 L、稀釋機率 p 等）我們需考慮許多組隨機產生的展透群集，並將欲求的觀察量對這些隨機環境的樣本做平均。如同第 2 章，我們先為每組展透群集建立轉移率矩陣（同時也是第 3 章介紹的量子傳播的漢米爾頓算符），並分別解出其本徵值問題。我們定義每個連結對應的轉移率相等且不具方向性 wi→j = wj→i ≡ γ，在不失普遍性下，我們設 γ = 1。如此，轉移率矩陣（漢米爾頓矩陣）為一對稱的矩陣，其本徵向量具正. 交完備性 (cf. 式 (2.17) 和式 (2.18))。給定起始條件，藉由式 (3.7) 及式 (3.8) 我們即可求得隨時間變化的機率分佈 P (t) 和其它相關觀察量。圖 4.6，以方正晶格展透群集為例，比較均位移平方 [hr2 i]av 與返回機率 Pr (t). 在量子及古典傳播的情形。從此數值結果我們可清楚看出： (i) 隨機展透的無序 26.

(98) 效應遲緩傳播行為。古典擴散的位移平方偏離常態擴散行為，呈現一異常擴散行為 [hr2 i]av ∝ tα ,. α < 1； (ii) 無序效應對量子傳播的阻礙較對古典擴散更顯著。. 量子傳播位移平方隨時間的成長甚至呈現比冪次方還慢的關係，與其在有序晶格的隨時間線性成長差別甚劇；(iii) 由返回機率與時間的關係來看，量子傳播在稀釋機率大的展透群集中呈現遲滯的行為。接著我們討論臨界展透 (p = pc ) 的情形，我們尤其聚焦於古典擴散數值結果與一些理論值的比較。如前所提及，古典擴散的均位移平方受無序展透群集的影響而偏離常態擴散行為，一般來說屬次擴散 (sub-diffusion) 行為： [hr2 i]av ∝ t2/dw ,. (4.2). 政治大. 這裡 dw > 2 稱為反常擴散指數 (anomalous-diffusion exponent)。擴散指數 dw 與碎形維度 df 具有以下關係 [15]:. 立. df = 2df /ds ,. (4.3). ‧ 國. 學. 其中 ds 稱為分數維度 (fracton dimensionality) [15] 或稱譜維度 (spectral dimensionality) [16]，它可用來將傳播媒介的態密度 (density of states) 表示為. al. Ch. 5. 10. engchi M (pc). M (pc). 4. 10. 3. i Un. v. 4. 10. 3. 10. 10. 2. 10 10. y. sit 6. 10. n. 5. 10. (4.4). er. io. 6. 10. ‧. Nat. ρ(E) ∼ E ds /2−1 .. 2. 100. L. 10 10. 1000. (a) 二維方正晶格. 100. L. 1000. (b) 二維三角晶格. 圖 4.5: 二維臨界展透模型中最大群集所含的節點數目 M 於晶格線性長度 L 的關係圖，二者冪次方的關係（式 (4.1)）在 log − log 圖呈現一直線，斜率即為碎形維度 df 。紅虛線給定精確 df = 91/48 所對應的關係。展透碎形維度僅與晶格維度有關，故方晶格與三角晶格對應同一 df 值。. 27.

(99) 3. 0. 10. 10. quantum classical. -1. 2. Pr(t). 10. 2. [<r >]av. 10. quantum classical. 10. -2. 10. 1. 10. -3. p = 0.1 2. 4. p = 0.1 10. 6. -4 -1. 3. 0. 10. ln(t). 1. 10. 2. 10. 10. t. 10. 3. 0. 10. 10. quantum classical. -1. quantum classical. 4. -3. -1. 0. 10. 10. 1. 2. 10. 10. t. 0. -1. 10. 3. quantum classical. quantum classical. 10. -2. 10. -3. p = 0.3 4. p = 0.3 10. 6. -4 -1. n. 3. 1. 10. 10. t. 2. 10. 10. 3. er. io. al. 0. 10. ln(t). 10. y. Pr(t). 10. sit. 2. 10. 10. Nat. 1. 10. 6. p = 0.2. -4. ‧. 2. 政治大. 學. 2. 10. 立. ‧ 國. ln(t). 3. -2. p = 0.2 2. 10. 10. 10. 1. 10. [<r >]av. Pr(t). 2. [<r >]av. 10 2. 10. Ch. 0. 10. engchi. i Un. v. quantum classical. -1. 2. Pr(t). 10. 2. [<r >]av. 10. quantum classical. 10. -2. 10. 1. 10. -3. p = 0.4 2. 4. p = 0.4 10. 6. ln(t). -4 -1. 10. 0. 10. 1. 10. t. 2. 10. 10. 3. 圖 4.6: 系統大小為 65 × 65 具有週期性邊界條件二維方正晶格鍵展透模型的傳播行為。右側為不同稀釋機率 p < pc 時的均位移平方（粗實線），黑（紅）虛線分別代表有序週期晶格（對應 p = 0）的冪次方關係。展透群集的無序效應降低傳播效率，此效應尤對量子傳播來得顯著，隨 p 增大，量子的位移平方甚至比冪次方成長得慢。左側為返回機率對時間的關係，同樣可以看出無序效應緩慢其遞減率，尤其是量子傳播的返回機率似隨時間變化不大。. 28.

(100) 這裡 ρ(E) 是指轉移率矩陣的本徵值密度 N 1 X ρ(E) = δ(E − En ) . N n=1. (4.5). 式 (4.3) 的關係可大致由平均返回機率 Pr (式(3.19))推得。對一個界點數為 M = Ldf 的區域，古典傳播的返回機率 Pr 為 Pr (t) ∼. 1 ∼ t−df /dw , Ldf. (4.6). 式中第二個關係是根據式 (4.2) 來的。又古典傳播的返回機率可寫成 Pr (t) =. X 1 1 X −En t 1 X −En t hi|e−Mt |ii = e hi|φn ihφn |ii = e , N N N n n i. (4.7). 政治大. 其中 En 和 |φn i 是 M 的本徵值和本徵函數。取連續化極限，我們得出返回機率為. 立. ‧ 國. 學. 態密度的拉普拉斯變換 (Laplace transform)： Z Pr (t) = dEρ(E)e−Et ∝ t−ds /2 .. ‧. 綜合以上式 (4.4)、(4.6) 及 (4.8) 即得出關係式 (4.3) 。. (4.8). y. Nat. 著名的 Alexander-Orbach conjecture [15] 稱：任何維度大於 1 的臨界展透群集. n. al. er. io. sit. 之譜維度為 ds = 4/3。如此我們可由式 (4.3) 及 df = 91/48 得出 dw = 273/96，進. 0. 10. -2. 10. ~E. 0. 10. engchi. 2/3. P(ln E). P(ln E). L=17 L=33 L=65 L=129. Ch. -4. v. L=33 L=65 L=129. -2. 10. ~E. 2/3. -4. 10. 10. p = pc -15. i L=17 Un. -10. -5. 0. p = pc -15. -10. -5. ln E. ln E. (a) 方正晶格. (b) 三角晶格. 0. 圖 4.7: 在二維方正晶格 (a) 與三角晶格 (b) 臨界展透群集對應的轉移率矩陣之能譜分佈。虛線表示關係式 P (ln E) ∼ E 2/3 ，亦即 ρ(E) ∼ E ds /2−1 ∼ E −1/3 或 ds = 4/3，與 Alexander-Orbach 理論相當吻合。. 29.

(101) 3. 3. 10. 10. 2. 2. 0.703. 10. t. 0.703. 2. t. [<r >]av. 10. quantum classical. 2. [<r >]av. quantum classical. 1. 1. 10. 10. p = pc 10. p = pc. 0. 0. 2. 4. 6. 8. 10. 10. 2. 4. ln(t). 6. 8. 10. ln(t). (b) 三角晶格. (a) 方正晶格. 圖 4.8: 在二維 65 × 65 方正晶格 (a) 與三角晶格 (b) 臨界展透群集的量子（灰線）與古典（紅線）. 政治大. 傳播的均位移平方。無序效應對量子傳播影響顯著，其位移平方與時間的關係不再呈現冪次方型. 立. 式；古典傳播則呈現反常次擴散狀態，虛線表示對應反常擴散指數理論值 dw = 273/96 的關係. ‧ 國. 學. 式，與我們數值解相當吻合。. 而得到在臨界展透群集中古典傳播均位移平方與時間的關係 (4.9). y. ‧. Nat. [hr2 i]av ∝ t192/273 ≈ t0.703 .. sit. 數值上我們首先驗證二維臨界展透群集的態密度是否符合 Alexander-Orbach. er. io. conjecture。圖 4.7 為對應方晶格與三角晶格上臨界展透群集的轉移率矩陣之能譜. al. iv n C −1/3 應的正是態密度的理論型式，即 ρ(E) h e∼nEg c h或i dU s = 4/3。另外，我們計算均位 n. 分佈，我們可清楚看到當系統增大時，ln E 的分佈漸趨於 P (ln E) ∼ E 2/3 ，此對. 移平方，圖 4.8 的數值結果除了展示（如於圖 4.6 所看到的）量子傳播受到無序效應嚴重遲緩的現象，我們亦看到古典傳播的數值解與上述討論的理論解吻合。值得注意的是，上述關於古典擴散的理論值適用於臨界展透群集上的擴散問題，當傳播不僅侷限於展透群集上而是整個臨界展透圖時，平移平方與時間的關係呈 [hr2 i]av ∝ t0.67 [9, 17]。. 我們亦計算展透臨界點時的均返回機率。由Alexander-Orbach conjecture [15]，. 我們期待古典傳播返回機率隨時間遞減的理論關係式為 Pr (t) ∼ t−ds /2 ∼ t−2/3 .. (4.10). 我們將此結果比較我們所得數值解（圖 4.9），亦可發現理無論是方正晶格（圖 4.9(a) ）或三角晶格（圖 4.9(b) ），理論值與數值結果是相當吻合的。 30.

(102) 10. 0. 0. 10. quantum classical. quantum classical. -1. -1. t. Pr(t). 10. Pr(t). 10. -2/3. -2. t. 10. 10. p = pc 10. -2/3. -2. p = pc. -3. -3. -1. 10. 0. 10. 1. 2. 10. 10. t. 10. 3. 10. -1. 10. 0. 1. 10. 10. t. 2. 10. 3. 10. (b) 三角晶格. (a) 方正晶格. 圖 4.9: 經過時間 t 返回原出發點的平均機率 Pr (t)。對於古典傳播（紅線），曲線呈冪次方下降且. 政治大. 吻合理論值 t−2/3 （虛線表示）。量子情形則隨時間演進變化不大，顯示傳播困在原出發點附. 立. 近。. ‧ 國. 學. 如同第 2 章，我們亦做了模型上隨時間變化的機率分佈。考慮的傳播媒介為邊長大小為 65 且具週期性邊界條件之二維方正晶格臨界滲透模型。同樣以. ‧. |ix = 0, iy = 0i 做為出發點。圖 4.10 為量子擴散隨時間的機率分佈；圖 4.11 為古. sit. y. Nat. 典擴散的情形。比較圖 3.4 及圖 3.5，我們可以清楚地發現量子傳播的機率分佈有. io. 晶格 (圖 3.5) 在同一時間時比較也明顯慢了許多。. n. al. Ch. er. 如困住一般，隨時間演進無法向四處擴散；而古典擴散在二維滲透模型上與週期. i Un. v. 量子漫步不像古典隨機漫步為一擴散過程，量子傳播靠著是量子相干的性質，. engchi. 這個性質使得量子傳播原則上可極具效率地到達每一節點，但在如展透圖的無序環境中，量子的波動性受到多重散射而產生破壞性干涉，而導致擴散的侷限，這也正是著名的安得森局域化 (Anderson localization) 現象。在固態物理這觀念也用來描述由無序引起的導體至非導體的轉變。. 31.

(103) (a). (b). 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學 y. Nat. (d). n. al. er. io. sit. (c). Ch. engchi. (e). i Un. v. (f). 圖 4.10: 此為量子傳播在一邊長大小為 65 且具週期性邊界條件之二維方正晶格臨界 (p = pc ) 展透模型上隨時間的機率分佈。 t = 0 時以晶格中心 |ix = 0, iy = 0i 為出發點。隨時間增加機率分佈仍大致集中於出發點附近. 32.

(104) (a). (b). 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學 sit. y. Nat. (d). io. n. al. er. (c). Ch. engchi. (e). i Un. v. (f). 圖 4.11: 此為古典傳播在一邊長大小為 65 且具週期性邊界條件之二維方正晶格臨界 (p = pc ) 展透模型上隨時間的機率分佈。t = 0 時以晶格中心 |ix = 0, iy = 0i 為出發點。. 33.

(105) 5 能量頻譜對於量子擴散的影響政治大在這章節我們討論量子傳播與能譜結構的關係，主要根據 [18, 19, 20] 著重與能量立 ‧ 國. 學. 間隙 ∆E 的關係。. 根據泛函分析，漢米爾頓算符的能量譜（如同其它自伴算符的譜）可區. ‧. 分為絕對連續的 (absolutely continuous spectrum)，純點（純離散）的 (pure point spectrum)，及奇點的 (singular spectrum)。所謂純點能譜對應的是量子系統的束縛. sit. y. Nat. 態；絕對連續譜對應的為非束縛態；奇點譜則具有所謂多重碎形的結構。由於米. io. al. er. 爾頓算符決定了量子系統的時間演進，能譜的性質也自然地影響量子動力學。. n. 若考慮有限大小的量子系統，我們可如下以較定量的分析來瞭解上述能譜分類. Ch. i Un. v. 與量子傳播的關係 [21, 22]。在量子力學裏，能量間隙 ∆E 與時間 t 具反比關係. engchi. ∆E ∝ 1/t .. (5.1). 假設 τ 為粒子（波包）需要傳遍整個晶格所需要的時間，則 L ∼ τα ,. (5.2). 式中 α 為擴散指數。若能量間隙與長度關係為 ∆E ∼ L−1 ，亦即動力指數 (the. dynamical exponent) z = 1，則. x2 (τ ) = L2 ∼ τ 2 ,. (5.3). 對應的正是如彈道般的傳播， x2 (t) ∼ t2 ，其擴散指數為 1；這類型的能譜出現. 在如第二章所討論的完美週期晶格中。若能量間隙 ∆E 與系統長度 L 的關係為 34.

(106) 0. 0. 10. L=17 L=33 L=65 L=129. -2. P(ln ∆ Ε). P(ln ∆ Ε). -2. 10. 10. L=17 L=33 L=65 L=129. -4. 10. 10. -4. 10. p = 0.1. p = 0.2. -6. -6. 10 -20. -15. -10. 10 -20. 0. -5. ln ∆ Ε. -10. -15. ln ∆ Ε. (a) 0. 0. L=17 L=33 L=65 L=129. 政治大 -2. 立. -4. 10. p = 0.3. 10. -4. 10. p = 0.4 -6. -15. -10. 0. -5. ln ∆ Ε. 10 -20. -15. -10. ln ∆ Ε. (d). Nat. y. ‧. (c). 學. ‧ 國. -6. 10 -20. -5. 0. 10. L=17 L=33 L=65 L=129. P(ln ∆ Ε). P(ln ∆ Ε). -2. 0. (b). 10. 10. -5. sit. 圖 5.1: 方正晶格鍵展透模型中最大群集的漢米爾頓算符能隙分佈，鍵稀釋機率 0.1 至 0.4 。隨機機. n. al. er. io. 率的增加，能量間隙 ln(∆E) 的結構也將隨著系統尺寸的增大而變寬。 −Lσ. ∆E ∝ e. Ch. ，如此可得極度緩慢的擴散. engchi. x ∼ ln(t). 1/σ. ,. i Un. v. (5.4). 對應的擴散指數為 0，而動力指數無窮大 z = ∞。介於連續能譜與純點能譜間的奇點譜則存在冪次方的能量與線性長度關係 ∆E ∼ L−z ，由此得反常擴散關係 x ∼ tz ,. z>1. (5.5). 以下我們就方正晶格鍵展透模型上對應最大群集的漢米爾頓算符作能譜的結構分析。圖 5.1 為稀釋機率為 p = 0.1 至 p = 0.4 的展透模型的能隙分佈，我們可以發現當移除機率愈大，能量間隙 ln(∆E) 的分佈也將隨著系統尺寸的增大而變寬，亦即對應的動力指數 z 隨 p 增大。這樣的能譜結構正可說明量子傳播效益隨 p 遞減的情形 (圖 4.6)。以 p = 0.1 為例（圖 5.1 (a)），對應不同尺度的能隙 35.

(107) 10. 0. L=17 L=33 L=65 L=129. -2. 2. P(ln ( L ∆ Ε)). 10. 10. 10. -4. p = 0.1. -6. -10. -8. -6. -4. -2. 0. 2. 4. 6. 2. ln ( L ∆ Ε ). 立. 政治大. 圖 5.2: 圖 5.1(a) 的有限尺度分析。此圖顯示稀釋機率為 p = 0.1 時，能隙與系統大小的關係為. ‧ 國. 學. ∆E ∼ L−2 ，亦即動力指數為 z = 2。. ‧. (ln ∆E) 分佈僅呈現平移的改變，這顯示 ∆E 和尺度 L 呈冪次方的關係；圖 5.2 為其有限尺度的分析圖，顯示 ∆E ∼ L−2 的關係可讓對應不同尺度的資料落在同一. sit. y. Nat. 曲線。 p = 0.1 時對應的 z = 2 較週期晶格 (p = 0) 對應的 z = 1 大兩倍，這差異. er. io. 反應於兩者的量子傳播情形之明顯不同（參考圖 4.6 (a)）。. 圖 5.3 顯示在臨界點 p = pc 時展透群集的能隙分佈明顯地隨系統線性長度 (L). n. al. Ch. i Un. v. 增加而變寬，故其能隙與 L 的關係應為 ∆E ∝ e−L 。圖 5.4 將圖 5.3中的資料作 σ. engchi. 有限尺度的分析，當 σ = 1/3 時對應不同系統大小的數據均大約落在同一曲線上，驗證了能隙與長度的關係，進而說明為何量子擴散出現局域化的現象。. 36.

(108) 0. 0. 10. 10. L=17 L=33 L=65 L=129. -2. P(ln ∆ Ε). P(ln ∆ Ε). -2. 10. L17 L33 L65 L129. -4. 10. 10. -4. 10. p = pc. p = pc. -6. -6. 10 -20. -10. -15. 10 -20. 0. -5. ln ∆ Ε. -10. -15. 0. -5. ln ∆ Ε. 政治大 (b) 三角晶格. (a) 方正晶格. 立. 圖 5.3: 方正晶格 (a) 及三角晶格 (b) 臨界 (p = pc ) 展透群集對應的能隙分佈。. ‧. ‧ 國. 學. n. al. er. io. sit. y. Nat. 0. Ch. 0. 10. engchi σ. P(log (∆ E/L )). L=17 L=33 L=65 L=129. σ. P(log (∆ E)/L ). 10. -2. 10. -4. 10. v. -2. 10. -4. 10. p = pc -6. i Un. L=17 L=33 L=65 L=129. -5. -4. -3. log(∆ Ε)/L. σ. -2. -1. 0. p = pc -6. -5. -4. -3. σ. -2. log (∆E)/L. (b) 三角晶格. (a) 方正晶格. 圖 5.4: 圖 5.3 資料的有限尺度分析。(a) 與 (b) 中的指數均採用 σ = 1/3. 37. -1. 0.

(109) 6 總結政治大在這篇論文中，我們探討古典擴散與量子傳播於離散空間（圖形）的差異比較，立. ‧ 國. 學. 並解釋兩種傳播方式的特性。. 量子傳播是強調量子干涉與疊加性質的一種量子演算方法，在系統處於一有序. ‧. 的環境時，量子傳播的高效率性是相應的古典擴散所望塵莫及的。以量子傳播作為基礎，量子資訊科學已建立一些極具效能的演算法。. Nat. sit. y. 在無序的結構中，古典或量子傳播的速度均將變緩慢。然而我們發現以量子傳. al. er. io. 播受無序環境影響變緩的程度更劇，這種現象有如我們熟知的安得森局域化，其. n. 表示波在隨機介質中會因為系統的無序而產生多重散射與破壞性干涉，造成傳播似被困住了。. Ch. engchi. i Un. v. 在本篇論文中我們試著從二維展透模型系統的能量譜結構來說明古典與量子傳播的性質。關於古典擴散部份，我們的數值解得以驗證一些已知的理論值；關於量子傳播部份，我們亦能從能量譜的分析得出展透圖量子傳播性質的定量解釋，雖然至今我們還未於文獻中找到針對展透圖相同分析的資料。. 38.

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