長 期 記 短期記憶 憶

第參章、理論背景

前人的工作主要是藉由試題的設計，分析學生的表現或是經由訪談來了解學生的概 念，然而本研究主要從學生的概念心像去分析，雖然概念看不到也摸不著，是存在腦海 裡對於某些特定主題的處理模式，但是部分學者提出的理論卻實值得我們參考來徹底解 剖概念的內容。以下筆者將從概念心像出發，說明這些理論基礎。

一、概念心像與概念定義

Vinner(1983)對於抽象概念的認知結構，提出心智圖像（Mental pictures）的模型，

其主要由兩種元素組成，即概念心像（concept images）與概念定義（concept definition）

他假定每個概念的認知結構中存在兩種不同的組成元素；一個組成元素是概念定義，另 一個組成元素是概念心像，有可能一個組成元素是空的，也有可能兩個都是空的。雖然 他們是獨自形成，但是兩者之間可能會有交互作用。依照 Vinner(1983)的解釋，令 C 為 某個概念，而 P 表示一個人，則 P 對於 C 概念的心智圖像即是 P 心中所有關於 C 之圖像 的總集。其所謂圖像（picture）指的是任何可能的表徵，甚至是符號或其他表示法。對於 某些概念，如化學反應，座標系統與等邊三角形，我們有其定義，這些定義不是被教得 就是當我們被要求對某人解釋這個概念的時候被我們自己建構起來的。我們所建構起來 的定義是我們對於這個概念的經驗結果，這些定義描述了我們的概念心像而另一方面，

教育系統教給我們知道的定義，是一般系統的一部份（以科學或數學的概念為例）而我 們卻不一定熟悉這系統。一般初學者解題時所應用的是概念心像而非概念定義。Vinner 、 Dreyfus(1989)發現，雖然大學生經由抽象定義來介紹函數，但是他們不依賴抽象定義來決 定是否以圖解或利用公式來定義函數。Vinner(1981)使用圖（一）表示兩種不同的解決問 題認知歷程，左圖是一般施教者假設學生處理問題的歷程，，右圖是大部分學生解題的 歷程。教師通常認為學生解決問題時，一開始是想到相關的定義，然後藉由概念心像幫 助他們解決問題，其實多數的學生在一開始接觸問題時，最先進入思考工作區的是相關 的概念心像，而不常使用概念定義。由此可知概念心像對於學習的重要性了。

二、概念心像內容再分解

Vinner 和 Rina Hershkowitz(1983)發現學習者的概念心像通常會包含典範現象

（prototypes）。當要求個體說明某一概念時，通常會以他在心智中最為活化的認知結構 作為基本範例描述此概念。這種以基本範例說明某ㄧ概念的情形，就是一種對此概念所 產生的典範現象。例如，當要求學生畫一個三角形，通常會畫出一個底部水平約略為等 腰三角形的圖形，這個現象就是一種對三角形所形成的典範現象。他們的研究指出：典 範是第一個架構出來的概念例子，縱使教師一開始就以操作型的定義介紹概念，典範現 象還是會迅速地在孩子的心中浮現、產生。Schwarz 和 Hershkowitz(1999) 他們是以函 數概念為例子探討，發現典範現象影響概念的學習，但是典範現象對於概念的運作是一 股助力還是一股阻力？以他們研究的結果來看，還是需要了解這些現象是否具有排他 性，如果一個概念的典範現象具有排他性，代表這個概念有一個相當活躍的特殊例子，

而學習者以這個特殊例子來判斷所有的狀況，且此概念之認知結構中的概念定義元素並 不完整，另一方面，如果概念之典範現象沒有排他性，表示這個典範例的使用是一種習 慣，學習者將此典範例當成是一個參考點或者這個典範例只是眾多例子中最活躍的一

概念心像 概念定義

問題輸入 解決輸出

概念心像 概念定義

問題輸入 解決輸出

(圖一)

三、訊息處理模式

人類學習的內在歷程，是學習心理學中最重要的課題之一，我們雖然難以確實握真 正的學習方式，但是有不少學者認為可以將人類的學習模式視為一系列資訊的處理方式 與程序。Mayer(1981)提出下面的記憶系統訊息處理模式架構圖，他認為外來訊息必須透 過學習者加以注意，才能進入工作記憶運作，學習者在面對學習情境之前，已經在長期 記憶區累積了大量的知識或策略，這些知識與策略可以篩選或處理外來的訊息，學習者 將進入工作記憶的資料加以整理，使訊息保持在意識中的活躍，並與長期記憶區互動，

一部份產生外在聯結，一部份將訊息儲存在長期記憶區，學習者將外在的訊息與長期記 憶中的知識統整在一起，以自己的文字符號或語言將訊息表達出來。

Mayer(1981)

訊息

(刺激) 感覺記憶 短期記憶

長期記憶

行為 (反應) 工作記憶

（圖二）

之後 Gagne(1985) 將行為學派強調的外在學習條件與認知心理學強調之個體內在學 習條件兩者結合，以訊息處理模式解釋人類內在的學習歷程，外在的刺激經由感官接受 形成訊息，先登錄(registration)、儲存(storage)、再經由編碼(encoding)將資訊放在某個記 憶區，一旦需要時便能加以檢索(retrieval)或利用(utilization)。他認為教學是將學習者的外 在環境加以安排，用以協助學生內在的學習歷程，以便達到學習成果，圖（三）即是依 照這個理論架構出來的：

(information processing model)

訊息處理模式 Gagne(1985)

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執行控制 期望

感覺紀錄器 反應產生器

境 環

感受器 動作器

（圖三）

四、數學學習理論

Anna Sfard (1991)認為，抽象的數學概念通常經由兩種模式學得，一個是結構的方法 (structurally)，一個是操作的方法(operationally)，也就是說，數學學習基本上可以用兩種 方式進行，第一種方式從概念定義出發，再以解題練習精煉概念結構，由上而下的演繹 推理方式習得數學內容；另一種方式，從多文化的現象觀察，建構概念心像，再以性質 推理，形成概念定義系統，由下而上的歸納歷程。傳統的幾何教學偏重演繹、證明的方 式宣告幾何性質，忽略以觀察、測試、實驗等歸納方式以獲得幾何性質。其實許多的數 學結果類似自然科學，是先由觀察和歸納所發現，然後再加以證明其真確性。一些研究 者曾經討論過以操作活動為基礎的學習成效性，說明幾何學習活動中應注重幾何圖形結 構的觀察與操作（Bishop, 1983； Grande, 1990）。啟發式幾何學習活動包含觀察、操 作、實驗的歸納探索及邏輯推理的演繹過程。組成概念元素的觀察及元素之間相關性的 操作，可使演繹證明過程更行清楚與便利(HershKowitz, 1989)而 Anna Sfard (1991)也提 到，大部分學生對於一個嶄新概念學習的第一步都是從實際的情境出發，並經由內化

（一）Van Hiele 模式的特性(Crowley,1987) 1. 序列性(Sequential)

層次的發展是循序漸進的，任一個特定層次若要成功發展，他必須先具備前一層次 的概念和思維策略

2. 進展性(Advancement)

從一層次到另一層次的提升主要是仰賴更多的教學，並非因其年齡的增加而有所發 展，但也沒有任何一種教學法能讓學生跳過某一層次，而直接達到下一層次。

3. 內蘊與外顯(Intrinsic and Extrinsic)

某一層次的原有物件變成下一層次研究的對象。外顯是表面上的差異，內蘊是透過 分析歸納後的概念理解。

4. 語言專屬性(Linguistiscs)

每一層次都有自己獨特的語言符號和這些符號的關係系統，同樣的名詞所代表的概 念可能不同。

5. 不配合性(Mismatch)

教學必須配合學生的層次，否則所期望的學習歷程或教學效果就不會發生。

（二）各層次的特質

1. 第一層次︰視覺\辨識(Visualization\Recognition) (1) 能依據整體外貌辨識出某一形狀

(2) 未能分析圖形組成之元素，未能考慮某些性質當成是這類圖形之特徵 (3) 能手繪(draw)或複製(Copy)一個圖形

(4) 能依據圖形整體外貌，比較和分類形狀，並能用語言描述其形狀 2. 第二層次︰描述\分析(Descriptive\Analytic)

(1) 能確認並檢驗圖形組成元素之間的關係

(2) 能說出組成元素的名稱，並使用適當的語彙描述之間的關係 (3) 能依據組成元素之間的關係，比較兩圖之異同

(4) 能經由實驗發現特殊圖形之性質，並能歸納之

(5) 能利用圖形的已知性質或洞察隱含的性質去解決幾何問題

3. 第三層次︰抽象化\非形式演繹(Abstract\Informal deduction) (1) 能辨認某類圖形的各組性質，並檢驗這些性質充分性 (2) 形成並使用某類圖形之定義

(3) 能提出非形式化的論證

(4) 能非形式地辨識敘述及逆敘述之間的不同 (5) 不了解定義及基本假設的需要

(6) 尚未建立定理網路間的內在關係 4. 第四層次︰演繹(Deduction)

(1) 能辨識出正式定義的特性和等價的定義 (2) 在公設系統下，證明在層次二所說明的定理

(3) 學生在一公設系統下，建立定理和定理間的關係，了解公設、公理、定義、定 理、未定義名詞及證明的相互關係和角色，了解定理與逆定理的區別和證明的必要 與充分條件，可寫出邏輯證明。

5. 第五層次︰嚴密系統（Rigor）

(1) 學生能嚴格地在不同的公設系統下建立定理，並分析比較這些系統 (2) 找出解決一組問題的一般性方法

(3) 比較公設系統，並自動地探討公設的變動對結果的影響

（三）階段學習理論

依據 Van Hiele 的主張，學生幾何思維層次的遷移，主要仰賴於學生在教學與學習 上的吸收，而不是年齡的增長與生物個體的成熟，因此，教學的方法、教材的組織與內 容的選擇是非常重要的(Crowley，1987)，基於以上的理念，Van Hiele 提出五個學習層 面，並認為根據這個次序所發展的教學可促使學生提升層次︰

教師應透過教材，使學生探究所要研究的領域，並了解研究的進一步方向，因此 教材的呈現是有特殊的結構關係，學生在有次序性的教材和活動中，對於主題所包含的 概念和結構逐漸變得熟悉，此階段，大部分的教材內容是一些簡短的課題，學生可以一 個步驟便完成的簡短作業。

層面三︰解說，表達(Explicitation)

學生依據之前的經驗，在教師的引導下，討論學習之內容，學生對其所觀察到的 關係與結構，表達和交換看法，此時教師的任務是注意學生的習慣用語，並幫助學生精 練正確合適的語彙。

層面四︰探索(Free Orientation)

本層面所探索的領域大部分都是已知的，但是教材較為複雜且步驟較多，作業上 也可能需要不同的方法，學生從探索解決方法的過程中累積經驗，並對教材的內容作明 確的關連。

層面五︰統整(Integration)

Crowley(1987)指出，學生回顧和總結所學，將對物件與新關係網路形成一個概觀 的了解。因此教師應協助學生在這方面的綜合，學生在此層面討論自己的方法，形成整 體概念，教師適時提供整體知識之評述，以促使學生將所習教材內化為統整的基模。

（四）層次之評量與界定

在 Van Hiele 模式的研究中，幾何思維層次的評量與界定方式，扮演著非常重要的 角色，且大多數研究者是以紙筆測驗上答對的題數作為評量的標準，決定學生之思維層 次(Gutierrez & Jaime，1987；Usiskin ，1982)，或者依據訪談期間評定學生在每個活動 中所展現的思維特質來加以決定(Burger & Shaughnessy ，1986)，傳統上，對學生思維 層次之評定多屬於單一層次，然而很多研究都發現，學生在回答開放性問題時，多數展 現出一個主要的層次，但很多學生也在其答案中清楚的反映出其他層次的存在，且有學 生的答案呈現出兩個連續的層次。所以 Gutierrez & Fortuny (1991)提出下面兩個論點︰

1. 為了對於目前學生的幾何推理有更完整的看法，我們必須考慮學生在 Van Hiele 每一 層次上的能力，而不是只做單一層次的認定。

2. Van Hiele 層次的連續性意味著層次的獲得不是立即發生，而是需要一段時間的學習

累積。Gutierrez & Fortuny (1991) 同時也提出一種「向量式」（vector）的分析方法，

允許我們同時考慮學生之思考層次及在各層次獲得的程度，而不使用題數作為標準 的劃分。如此將每個 Van Hiele 層次切割成幾個區間（獲得程度）並不代表 Van Hiele 層次之進步是不連續的，指派一個獲得程度的數據對研究者來說是相當有用的，無 論如何，為了教學設計的需要，我們必須要有質性的測量，如此才能區分出學生間 的差異，以便指派適合的學習活動。下表即是 Gutierrez & Fortuny (1991)所提出的獲 得程度設定參考表︰

最初，學生並未意識到對應新層次之特定思考方式之存在或需要性，他們並未在 此推理層次上有所獲得。一旦學生開始覺醒到給定層次之思考方式以及其重要性，他們 便試著使用這樣的方式，然而，他們缺少經驗，他們只是有在此層次工作的意圖，隨著 解題活動之一點點的成功或甚至失敗，他們回到較低層次的推理方式，他們對此層次有 較低層次的獲得。當這些學生的經驗漸漸豐富，他們進入新層次之中等獲得程度，他們 已經能較常且較連續亦精確的使用此層次之方法，然而他們缺乏能力來整合這些方法，

以致於碰到活動中的難處時，雖然，之後他們試著回到較高的層次，卻仍退而使用較低 層次的方法，因此這個期間的特徵是兩個層次間的頻繁跳躍。伴隨著更多的經驗，學生 之推理能力日益鞏固，他們的推理通常符合某個層次的特性，但是他們有時會出錯，或 甚至退回較低的層次，因此這樣我們認定學生到達一個層次之高獲得度，但是並未完整。

85

0 15 40 60 100

Van Hiele

（表一） 層次獲得度參考表

無獲得 低程度獲得 中程度獲得 高程度獲得 完全獲得

但少於 2.4 題者稱之為低程度獲得，答對 2.4 題至 3.6 題者稱之為中等程度之獲得，平 均答對 3.6 題以上，低於 5.1 題者，稱之為高程度之獲得，平均答對 5.1 題以上者，稱 之為完全獲得，獲得度之參考表如下：

（表二）本研究獲得度之定義（以 6 題之平均答對題數來區分）

答對題數 0~0.9 0.9~2.4 2.4~3.6 3.6~5.1 5.1~6 獲得度 無獲得 低獲得 中獲得 高獲得 完全獲得

六、幾何認知理解模式

Duval(1995)發現，雖然幾何圖形可以提供學生認知上的直觀，但卻常常無法幫助學 生對一個問題的解答獲得一些關鍵性的啟發與洞察，因此他認為幾何認知理解方式因人 而異，並提出四種認知理解方式︰

（一）知覺性理解（perceptural apprehension）

知覺性的理解是個體認知到圖形的組織法則與繪圖線索，並將這些訊息組織成一個 整體性的辨識，以知覺性理解方式所產生的心像與視網模圖像不同，知覺性理解後的心 像保留了被整合過的法則與線索，但也可能伴隨著某些錯誤。另外，知覺性的理解也包 含了構成幾何圖形之子圖辨識及其命名。

（二）構圖性理解(sequential apprehension)

構圖性理解是個體構造一個圖形或是描述其結構的一種認知歷程。個體對於圖形 的基本組織之理解並不是依賴視覺的法則與線索，而是構圖工具限制與數學性質之理 解，因此，個體若不了解相關的數學性質與作圖工具之限制，將無法完成目標圖形，可 見，數學知識與經驗是構圖性理解的關鍵。

（三）論述性理解(discursive apprehension)

論述性理解是個體透過語言或文字來描述一個圖形所具有的性質，或是利用文字 語言的陳述來進行推理的認知歷程，對於同一個圖形而言，每個人所見的脈絡與性質 都不盡相同，對於圖形的說明能顯示出個體對圖形的理解程度。

（四）操作性理解(operative apprehension)

操作性理解是個體轉換心像或實體圖像的一種認知歷程，個體將圖像轉換後，知 覺的辨識與完形不同者，稱之為操作性的理解，這些變換在心智中或實體世界中操作，

生活經驗，團體情境 視覺辨識，描述分析

操作活動，行動反思 非形式推理

分析推理，歸納整合 形式演繹

諮詢 導向 解說 探索 統整

諮詢 導向 解說 探索 統整

數學學習設計模式

提供個體對於圖形之啟思，在幾何問題中，一種或數種操作能使圖形呈現出解決之道，

這也是一種對問題的洞察方式。

要注意的是，這四種認知理解方式，並沒有優劣之分，都能提供學習者對於圖形的 思考方式，因此本研究之實驗教學活動設計單儘可能佈置各方面的活動，有些傾向於知 覺性，有些則讓學生試著構圖，有些讓學生論述，有些則要學生從操作中觀察，目的是 希望學生能接觸多樣化的理解方式，從不同的觀點去探索線對稱之概念。

七、教學活動單之設計：

綜合 Vinner(1983)概念心像的重要性、Van Hiele(1984)之幾何認知五層次與學習層面 ---諮詢、導向、解說、探索、統整；Gagne(1985)所提出的訊息處理模式；Anna Sfard (1991) 強調由下而上，從實驗、操作中歸納出結論之重要性，Duval(1995)幾何理解的四個模式，

師大左台益博士（民 90）提出數學學習設計模式，將教材設計的理念圖像化︰

（圖四）

強調教師在教學過程中，應提供學生各種幾何經驗，並使學生在動手做數學的情境下，

進行反思及非形式推理，經過一段時間，整合成一個較為完整的概念基模，另外在每個