D9 1基本概念

推广

第九章

一元函数微分学

多元函数微分学

注意 : 善于类比 , 区别异同

多元函数微分法

及其应用

第一节

一、区域

二、多元函数的概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性

多元函数的基本概念





) ( ₀

o P P

U  0  PP₀  δ

一、 区域

1. 邻域

点集^{U ( P}₀^{,δ ) }





例如 , 在平面上 .

,^{U ( P}₀ ^{,δ ) }





在空间中 ,





) ,

( P₀ x y z

U



( 球邻域 )

说明：若不需要强调邻域半径 , 也可写成U ( P₀). 点 P₀ 的去心邻域记为

0  δ PP

δ )

( )

(x  x₀ ²  y  y₀ ² 

δ )

( )

( )

(x  x₀ ²  y  y₀ ²  z  z₀ ² 

在讨论实际问题中也常使用方邻域 ,

平面上的方邻域为





) δ ,

U(P₀  x y

。

P

因为方邻域与圆 邻域可以互相包含 .

,

0 δ

 x

x ^{y  y}₀ ^δ

2. 区域

(1) 内点、外点、边界点 设有点集 E 及一点 P

 :若存在点 P 的某邻域 U(P)

E ,

 若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E =

 ,

 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E 中的点也含 不属于 E 的点

E

则称 P 为 E 的内点；

则称 P 为 E 的外点

;

则称 P 为 E 的边界点

显然 , E 的内点必属于 E , . E 的外点必不属于 E , E 的 边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .

(2) 聚点

若对任意给定的 , 点 P 的去心 )

δ , (P U^

E

邻域 内总有 E 中的点 , 则 称 P 是 E 的聚点 .

聚点可以属于 E , 也可以不属于 E ( 因为聚点可以为 E 的边界点 )

D (3) 开区域及闭区域

 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开 集；

 若点集 E E , 则称 E 为闭集

； 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相 连 ,

 开区域连同它的边界一起称为闭区域 . 则称 D 是连通的

 ;连通的开集称为开区域 , 简称区域

; 。

。

 E 的边界点的全体称为 E 的边界 , 记作 E ;

例如，在平面上

 ⁽

^,

⁾

 y  ⁰ 

 ⁽

^,

^{) 1} 



 ⁴ 

 ⁽

^,

⁾

^{ y  0} 

 ⁽

^,

^{) 1 }

^

^{ 4} 

开区域

闭区域







 x

y

o 1 2 x y

o

x y

o x

y

o 1 2

 整个平 面

 点集

 ⁽

^,

⁾

^{ 1} 

，

是最大的开域 ,

但非区域 .

1 o 1 x

y

 对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 PD 与定 点 O 的距离  OP K ,则称 D 为有界域

界域 . ,

否则称为无

3. n 维空间

n 元有序数组( x₁, x₂,, x_n )

) ,

, ,

( x₁ x₂  x_n

的全体称为 n 维空间 , ,

Rⁿ

n 维空间中的每一个元素 称为空间中的

xk

数 称为该点的第 k 个坐标 .

记作 即

R R

R

Rⁿ   







一个点 ,

当所有坐标 x_k  0时，_{称该元素为} Rⁿ_{中的零元 ,记作} O .

的距离记作

2 2 2

2 2 1

1 ) ( ) ( )

( )

,

(x y  x  y  x  y  x_n  y_n



中点 a 的  _邻域 为

) ,

, ,

( y₁ y₂ y_n

y  

与与





) δ ,

(a  x x  x a 

U ⁿ



) ,

, ,

(

Rⁿ 与与与 x  x₁ x₂  x_n , )

,

(x y 与 x  y



) ,

, ,

(

Rⁿ 与与与 x  x₁ x₂  x_n 与零元 O 的距离为

2 22

12 x xn

x

x    .

, 3

, 2 ,

1 x x

n 与 与 与 与 与

与 

0

Rⁿ 与 与 与 与 x 与 与 与 a 与 与 x  a  与 与 x  a. Rn

二、多元函数的概念

引例 :

 圆柱体的体积

 定量理想气体的压强

 三角形面积的海伦公式

2h , r V 



, ( R与 与 与 与 V

T p  R

2 )

( a b c

p   

c

b a













) )(

)(

( p a p b p c p

S    

h r

定义 1. 设非空点集D  Rⁿ,

D P

P f

u  ( ),  或

点集 D 称为函数的定义域 数集;





称为函数的值域 .

特别地 , 当 n = 2 时 , 有二元函 数 z  f (x, y), (x, y) D  R² 当 n = 3 时 , 有三元函数

R3

) , , ( ),

, ,

(  

 f x y z x y z D u

映射 f : D  R 称为定义 在 D 上的 n 元函数 , 记

作 u  f (x₁, x₂,, x_n)

x z

y

例如 , 二元函数z  1 x²  y² 定义域为_圆域





说明 : 二元函数 z = f (x, y), (x, y)  D 图形为中心在原点的上半球面 .

, ) sin(

, z  xy 又如

的图形一般为空间曲面  .

1

R2

) ,

(x y 

三元函数 u  arcsin(x²  y²  z²) 定义域为





图形为 R⁴_{空间中的超曲面 .} 单位闭球

x y

z

o

三、多元函数的极限

定义 2. 设 n 元函

数 f (P), P D  Rⁿ, 点 ,

, ) δ , (P₀ U

D

P   ^ f (P) - A ε ,_{则称 A 为函} 数

( 也称为 n 重极 当 n =2 时 , 限 )

记

0 2 0 2

0 (x x ) ( y y )

PP    

 

二元函数的极限可写作

：

f x y  A



( , ) lim



A P

P f

P 

 ( )

lim

0

P₀ 是 D 的

若存在常数 A , 聚 对一

，记作 时的极限

当 ₀

)

(P P P

f 

A y

x f

y y x

x







( , ) lim

0 0

都有

对任意正数  , 总存在正数

切 ,

例 1.

设 1 ( 0)

sin )

( )

,

( ^{2 2} _{2 2} ²  ² 

 

 x y

y y x

x y

x f 求证：

. 0 )

, ( lim

00 

 f x y

xy

证 : 1 0

sin )

( ^{2 2} _{2 2} 

 

y y x

 x

故 lim ( , ) 0

00 

 f x y

xy

, 0 ε 





0 )

,

(x y  f

, δ

0 ^{2 2} 时

当 



2 2 y x 

 δ ²

2 2 y x 

 ,

ε δ 

 _总有

ε

ε

要证

例 2. 设









 

0 ,

0

0 ,

sin ) sin

,

( ^{1 1}

y x

y x y

y x x

f ^{y x}

求证：lim ( , ) 0.

00 

 f x y

xy

证：

0 )

,

(x y 

 f

故 lim ( , ) 0

00 

 f x y

xy

, 0 ε 





2

0 )

,

(x y x² y²

f   

y x 

  2 x²  y² ,

2 ε δ 

 当0 ρ  x²  y² δ 时，

x

y y

xsin ¹  sin ¹



总有

δ

 2 ε

ε

要证

 若当

点 P( yx, )

趋于不同值或有的极限不存在

，

解 : 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) ,

2

) 2

,

( x y

y y x

x

f  

2 2 2

2 0

0 ( , ) lim

lim x k x

x y k

x

f x

kx

xy  

 



在点 (0, 0) 的极限 .

) , ( yx 故 f

则可以断定函数极限

则有

1 k 2

k

  k 值不同极限不同

!

在 (0,0) 点极限不存在 .

以不同方式趋于 P₀(x₀, y₀) 时,

不存在 .

例 3. 讨论函数

函数

仅知其中一个存在 ,推不出其它二者存在 .

 二重极限 lim ( , )

0 0

y x f

y y x x

) , ( lim

lim

0 0

y x

x f

x y

y 

及 _{不同 .}

如果它们都存在 , 则三者相等 .

例如 , ( , ) _{2 2} , y x

y y x

x

f   _显然

) , ( lim

lim

0 0

y x

y f

y x

x 

与累次极限

) , ( lim

lim0 0 f x y

y

x  lim lim ( , )

0

0 f x y

x

y   0

,

 0

但由例 3 知它在 (0,0) 点二重极限不存 在 .

四、 多元函数的连续性 定义 3 . 设 n 元函

数

) (P

f _{定义在 D 上} ,

) (

) (

lim ₀

0

P f

P

P f

P 



) 0

(P P

f 在点

如果函数在 D 上各点处都连续 , 则称此函数在 D 上

0 D, P  聚点

如果存在

否则称为不连续 , P0

此时 称为间断点

.

则称 n 元函数

连续 .

连续 ,

例如 , 函 数













 



0 ,

0

0 ) ,

, (

2 2

2 2

2 2

y x

y y x

x

y x y

x f

在点 (0 , 0) 极限不存在 , 又如 , 函数

1 ) 1

,

( _{2 2}



 

y y x

x f

上间断 .

2 1

2  y  x

故 ( 0, 0 ) 为其间断 点 .

在圆周

结论 : 一切多元初等函数在定义区域内连续 .

定理：若 f (P) 在有界闭域 D 上连续 , 则 (1)  K  0,

) ( )

2

( f P

, ] ,

[m M



; ,

)

(P K P D

f  

使

在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;

(3) 对任意  Q  D，使 f (Q) 



( 有界性定理 )

( 最值定理 ) ( 介值定理 )

闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质 :

1. lim 1

00 xy y x

xy







解 : 原式

) 1 1

(

1 )

1 lim (

2

00  



 

 xy xy y x

xy 2

 1 例 4. 求

2

2

2 )

3 arcsin(

) ,

( x y

y y x

x

f 



  1 3 x²  y² 

4 2  x²  y² 

例 5. 求函数 的连续域 .

解 : x  y²  0

y2

x 

1 1

lim 1

00  



 xy

xy

o 2

y

x

2

内容小结

1. 区域

• 邻域 :U (P₀,δ ), U^ (P₀,δ )

• 区域 连通的开集

• Rⁿ 空间

2. 多元函数概念

n 元函数  f (x₁, x₂,, x_n)

常用 二元函数 ( 图形一般为空间曲面 ) 三元函数

D P 

) (P f

u 

Rn



A P

P f

P 

 ( )

lim

0

, 0 ε 

 δ  0, 当0  PP₀ δ 时，

有 f (P)  A ε 3. 多元函数的极限

4. 多元函数的连续性

1) 函数f (P)在P₀ 连续 lim ( ) ( ₀)

0

P f

P

P f

P 



2) 闭域上的多元连续函数的性质 :

有界定理 ; 最值定理 ; 介值定理 3) 一切多元初等函数在定义区域内连续

P61 题 2; 5 (3), (5) ( 画图 ) ; 8 P130 题 3; 4

思考与练习

解答提示 : P62 题 2 .

) , ( )

,

(tx ty t² f x y

f  称为二次齐次函数 .

P63 题 5(3) . 定义域









: 0

y

y D x

P63 题 5(5) . 定义域

2 2

2 2

: r2 x y z R

D    

x2

y 

D y

x o

R x y

D o

r

P63 题 8. 间断点集





P130 题 3.定义域













1 0

: ²₂ 4₂ y x

x D y

2 0 4

4 2

2

00 lim 1

lim k x

x k y

x

y x

y x

x  

 ^



) 0 2, ( 1 )

, ( lim

02

1 f x y f

y

x 



34 ln

 2

P130 题 4 .

令 y= k x

，  0

若令 y  x ₂ ² ₄

00

lim x y y x

xy 

 2

 1

2 2 0 2 lim x

x

x



D

x y²  4 y

x

1

, 则

可见极限 不存在

Ex: 1. 设 f (x y , ^y_x² )  x²  y² , 求 f ( ^y_x² , x y). 解 令

u y

x  x v

y ²

3 uv y 

3 uv x  u

 ) , ( vu

f 23

) (

2

v u

u ²₃

) ( vu

 ,

2

x

u  y v  x y

 ) ,

(

2

y x x

f y ( ^y_x² )² y2

y2

 ₂² y² xy 



3. 证明 f ( yx, ) 

) 0 , 0 ( )

, (

2

,

2





y x

y x

) 0 , 0 ( )

, ( ,

0 x y 

在全平面连续 .

证 : 在(x, y)  (0,0)处, f ( yx, ) 为初等函数 , 故连 又 续 .

2

0

y x

y x

 

y x y

x²  ²  2

2 2

2 2

2 1

y x

y x



  ^{2 2}

21 x





2 2

00

lim x y

y x

xy^_ 

 0

故函数在全平面连续 . 由夹逼准则得

内容小结

1. 区域

• 邻域 :U (P₀,δ ), U^ (P₀,δ )

• 区域 连通的开集

• Rⁿ 空间

2. 多元函数概念

n 元函数  f (x₁, x₂,, x_n)

常用 二元函数 ( 图形一般为空间曲面 ) 三元函数

D P 

) (P f

u 

Rn



A P

P f

P 

 ( )

lim

0

, 0 ε 

 δ  0, 当0  PP₀ δ 时，

有 f (P)  A ε 3. 多元函数的极限

4. 多元函数的连续性

1) 函数f (P)在P₀ 连续 lim ( ) ( ₀)

0

P f

P

P f

P 



2) 闭域上的多元连续函数的性质 :

有界定理 ; 最值定理 ; 介值定理 3) 一切多元初等函数在定义区域内连续