解不等式 4 x ＋6＜－2 x ＋7

(1)

0 2

什麼是一元一次不等式的解？

『凡是使得一元一次不等式成立的數，都是這個不等式的解。』

解一元一次不等式的方法：

【解不等式 ax＋b＞c】

【範例】 ：解下列不等式：(1) 3 x －2＞4 (2) －5 x ＋3

³

5 解法：

(1) 3 x －2＞4

Þ

3 x －2＋2＞4＋2

Þ

3 x ＞4＋2

Þ

^{3 x ＞6}

Þ

^{x ＞2}

所以，不等式的解為所有大於 2 的數，並可用集合{ x ｜ x ＞2}來表示。

(2) －5 x ＋3

³

5

Þ

－5 x

³

2

Þ

x

£

－

5 2

所以，不等式的解為所有小於或等於－

5

2 的數，並可用集合

{ x ｜ x

£

－ 5

2 }來表示。

【解不等式 ax＋b＞cx＋d】

如何解形如 a x ＋b＞c x ＋d 的不等式呢？（其中 a、b、c 和 d 為常數）

【範例】 ：解不等式 3 x －1

³

5 x －3。

解法：

3 x －1

³

5 x －3

Þ

3 x －5 x

³

－3＋1

Þ

－2 x

³

－2

Þ

x

£

1

【範例】 ：解不等式 4 x ＋6＜－2 x ＋7。

解法：

4 x ＋6＜－2 x ＋7

Þ

4 x ＋2 x ＜7－6

Þ

6 x ＜1

Þ

x ＜ 6 1

所以，不等式的解為所有小於或等於 1 的數，並可用集合{ x ｜ x

£

1}表示。

兩個不等式，2 x ＜3 x －5 和 3 x －5＜13 同時成立，我們可以用下列的合併不 等式表示： 2 x ＜3 x －5＜13。

2 0 5

0 1

0 1 6

(2)

【解不等式 a x＋b ＞ c x＋d ＞ e x＋f 】

【範例】 ：解一元一次不等式 2 x ＜3 x －5＜13。

解法：因為 2 x ＜3 x －5＜13 表示 2 x ＜3 x －5 和 3 x －5＜13 同時成立，

因此，先將這兩組不等式分別化簡成最簡不等式後，再找出解的共同部分。

且

又因為 x ＞5 和 x ＜6 須同時成立，因此，原不等式的解為所有大於 5 且小於 6 的數，並可用集合{ x ｜ x ＞5 且 x＜6}（或可用{ x ｜5＜ x ＜6}）來表示。

當然，我們也可在數線上圖示 2 x ＜3 x －5＜13 的解：將上面的結果分別標示 在數線上，重疊的部分即為答案：

圖中 C 線段即為{ x ｜ x ＜6}與{ x ｜ x ＞5}的共同部分

【範例】 ：解一元一次不等式 3 x －6＜2 x ＋4＜－2 x ＋2。

解法：

綜合○ ¹跟○ ²， x ＜－

2

1 (如下圖)

解有絕對值的不等式的方法：

我們來解含有絕對值的不等式。因為可用

| a b - |

來表示數線上 A(

a

)與 B(

b

)兩點 的距離，並且| x |＝3 可寫成| x －0|＝3，所以| x |＝3 可表示在數線上與原點的 距離為 3 的點 P( x )。因此， x 可以等於 3 或－3。同理，介於－3 與 3 之間的任 何一個數都能滿足不等式| x |＜3，也就是說，不等式| x |＜3 的解即為所有介於

3 x －5＜13

Þ

3 x ＜18

Þ

x ＜6 2 x ＜3 x －5

Þ

－ x ＜－5

Þ

x ＞5

2 x ＋4＜－2 x ＋2

Þ

2 x ＋2 x ＜2－4

Þ

^{4 x ＜－2}

Þ

x ＜－

2 1 ○ ² 3 x －6＜2 x ＋4

Þ

3 x －2 x ＜4＋6

Þ

x ＜10○ ¹

0 5 6

A B

C

0 10

-1 1 2

(3)

顯然的，對於任何一個正數 a，不等式| x |＜a 的解即為所有介於－a 與 a 之間的數，並 可用集合{ x ｜－a＜ x ＜a}來表示。

其實，含有絕對值符號的不等式都可改寫成不含絕對值符號的不等式。

(1) | x | ＜ a Û －a ＜ x ＜ a。

(2) | x | £ a Û －a £ x £ a。

(3) | x | ＞ a Û x ＞ a 或 x ＜－a。

(4) | x | ³ a Û x ³ a 或 x £ －a。

如果這個新不等式為一元一次式，我們就可用前面提到的方法來解原不等式。

【範例】：將下列含絕對值的不等式改為不含絕對值的不等式：

(1) | x | ＜ 2 (2) | x | £ 3 (3) | x | ＞ 2 (4) | x | ³ 3。

解：(1) | x | ＜ 2 Û －2 ＜ x ＜ 2。

(2) | x | £ 3 Û －3 £ x £ 3。

(3) | x | ＞ 2 Û x ＞ 2 或 x ＜－2。

(4) | x | ³ 3 Û x ³ 3 或 x £ －3。

【範例】 ：解下列各不等式：(1) | x | + 1＜ 2 (2) | x | － 2 ＞ 1 解： (1) | x | + 1 ＜ 2 先移項化簡成| x | ＜ 1，再去掉絕對值

即為－1＜ x ＜ 1。

(2) | x | － 2 ＞ 1 先移項化簡成| x | ＞ 3，再去掉絕對值 即為 x ＞ 3 或 x ＜－3。

【範例】 ：解不等式：| x － 2 | ＜ 1。

解：先去掉絕對值，－1＜ x － 2 ＜ 1，在移項化簡為

－1＋2＜ x ＜ 1＋2 Û 1 ＜ x ＜ 3 故此不等式解為 1 ＜ x ＜ 3。

【範例】 ：解不等式：| x ＋ 2 | ＞ 4。

解：先去掉絕對值， x ＋ 2 ＞ 4 或 x ＋ 2 ＜－4，在移項化簡為 x ＋ 2 ＞ 4 Û x ＞ 4－2 Û x ＞ 2

x ＋ 2 ＜－4 Û x ＜－2－4 Û x ＜－6 故此不等式解為 x ＞ 2 或 x ＜－6。

(4)

【範例】 ：解下列不等式：| 2 x －1 | ＜ 5，並在數線上標示其範圍。

解： |2 x －1|＜5 Û －5＜2 x －1＜5 Û －5＋1＜2 x ＜5＋1 Û －4＜2 x ＜6

Û －2＜ x ＜3

因此，不等式的解為所有介於－2 及 3 的數，並可用集合{ x ｜－2＜ x ＜3}來表示。

【範例】 ：解不等式：| －4 x ＋5 | ³ 3，並在數線上標示其範圍。

解： | －4 x ＋5 | ³ 3 Û －4 x ＋5 ³ 3 或－4 x ＋5

£

－3 (1)當－4 x ＋5 ³ 3 Û 2 ³ 4 x

Û x

£

2 1

(2)當－4 x ＋5

£

－3 Û 8

£

4 x Û 2

£

x 故其解為 x ³ 2 或 x

£

2 1 。

注意:我們知道－4 ＜ x ＜ 4 Û | x | ＜ 4 Û | x - 0 | ＜ 4 。 如果是不等式－4 ＜ x ＜ 2，我們將如何改為含絕對值的不等式？

我們先計算 2 與 – 4 的中點為－1 ，－1 與 2 及 4 都相差 3，因此 我們有| x － (－1) | ＜ 3 Û | x ＋1 | ＜ 3

【範例】 ：將－5 ＜ x ＜ 9 改為含絕對值的不等式？

解：－5 與 9 的距離為| 9 －(－5)|＝14，其一半的距離為 7，故其中點為 2。

因此我們有| x － 2 | ＜ 7

5 0 2 9

4 2 0 2 4

0 1 2 2 1

2 3

(5)

4

0 2 6

4 2

14 4 0 6

【範例】 ：將－7 ＜ x ＜－2 改為含絕對值的不等式？

解：－7 與－2 的距離為| －7 －(－2)|＝5，其一半的距離為 2 5 ，故其中點為－2－

2 5 ＝－

2 9 。 因此我們有 | x － (－

2

9 ) | ＜ 5 Û | x ＋ 2

9 | ＜ 5

注意:我們知道 x ＜－4 或 x ＞ 4 Û | x | ＞ 4 Û | x －0 | ＞ 4 。 如果是不等式 x ＜－4 或 x ＞ 6，我們將如何改為含絕對值的 不等式？

我們先計算 6 與－4 相距為 10，故其兩點的中點為 1 ，－4 與 1 及 6 與 1 都 相差 5，因此我們有| x －1 | ＞ 5

【範例】 ：將 x ＜－2 或 x ＞ 6 改為含絕對值的不等式？

解：－2 與 6 的距離為| 6 －(－2)| ＝ 8，其一半的距離為 4，故其中點為 2。

因此我們有 | x － 2 | ＞ 4。

解：－8 與 6 的距離為| 6 －(－8)|＝14，其一半的距離為 7，故其中點為－1。

因此我們有 | x － (－1) | ＞ 7 Û | x ＋1 | ＞ 7。

解：－14 與 6 的距離為| 6 －(－14)| ＝ 20，其一半的距離為 10，故其中點為－4。

因此我們有 | x － (－4) | ＞ 10。

4

4 0 6

8 6

7 2

0 4 6

4 1

(6)

解不等式應用問題的方法：

【範例】 ：想買每個售價 45 元的茶杯 x 個，和每個售價 80 元的桌墊 4 個，若總價要 在 500 元以下，則茶杯最多有幾個？

解：

茶杯 x 個共售 45 x 元

茶杯加桌墊的總售價為(45 x ＋80 × 4)元

總價要在 500 元以下也就是說要小於等於 500 元所以依題意可列式為：

45 x ＋80 × 4

£

500 Þ 45 x ＋320

£

500 Þ 45 x

£

500－320 Þ x

£

180 ÷ 45 Þ x

£

4

答：茶杯最多有 4 個

【範例】 ：已知山路長 x 公里，若上山每小時走 3 公里，沿原路下山每小時走 5 公里，

且上山與下山的來回時間不超過 6 小時，則山路長幾公里？

解：

上山的時間為 3

x 小時；下山的時間為 5

x 小時不到 6 小時也就是小於 6 小時。

所以依題意可列式為：

3 x ＋

5 x ＜ 6

Þ 15 5x ＋

15 3x ＜ 6

Þ 15 8x ＜ 6 Þ 8 x ＜ 6 × 15 Þ 8 x ＜ 90 Þ x ＜ 90 ÷ 8 Þ x ＜

4 45

答：山路長小於 4 45 公里

(7)

【範例】：水梨 1 公斤 70 元，蘋果 1 公斤 60 元，小誠家請客，至少需要買 6 公斤的水果，如果小誠的爸爸已經挑選 2 公斤的水梨，在總價不超過 500 元的條件下，爸爸最多可以買到多少公斤的蘋果？最少需要買多少公斤的蘋果？

解：設爸爸需要買 x 公斤的蓮霧。

依題意可列不等式如下：

x ＋2 ³ 6……(1) (至少需要買 6 公斤的水果) 70．2＋60． x £ 500……(2) (總價不超過 500 元) 由(1)可得： x ³ 4

由(2)可得：140＋60 x £ 500 Þ 60 x £ 360 Þ x £ 6

∵ x ³ 4 且 x £ 6 將兩不等式合併為：4 £ x £ 6

所以爸爸最多可以買 6 公斤的蘋果，最少需要買 4 公斤的蘋果。

【範例】 ：如果有一個長方體紙箱，他的三邊長為( x －30)公分、 x 公分、( x ＋30) 公分。如果要符合「最長邊不得超過 150 公分，且另外兩邊和的兩倍加上 最長邊不得超過 300 公分。」請問 x 的範圍是多少？

解：最長邊為 x ＋30，

依題意可列不等式如下：

x ＋30 £ 150……(1) (最長邊不得超過 150 公分) x ＋30＋2( x －30＋ x ) £ 300……(2)

(另外兩邊和的兩倍加上最長邊不得超過 300 公分) 又∵邊長一定為正數，∴最小邊 x －30＞0……(3) 由(1)可得： x £ 120

由(2)可得：5 x £ 330 Þ x £ 66 由(3)可得： x ＞30

將 x £ 120、 x £ 66、 x ＞30 合併可得：30＜ x £ 66 所以 x 的範圍是 30＜ x £ 66。

30 66 120

4 6

(8)

【例題 1】【例題 2】

解下列不等式：

(1) 2 x －4＜ x －28 (2) 5 x ＋20＞25 答：

(1) 3 x －2＞ x －2 (2) 7 x －28 £ 49 答：

【例題 3】【例題 4】

(1) ³

5 x －5 £ 55＋ ¹ 5 x (2) ¹

2 x －4 ³ 32 答：

(1) ¹

2 x ＋22 ³ 2 x －11 (2)15 x ＋20 £ 5 x －30 答：

【例題 5】【例題 6】

(1) x ＋1＜3 x －9＜ x －1 (2) 2 x ＜4 x ＋8＜20 解：

(1) 3 x ＜3 x ＋7＜6 x －2 (2) 2 x －3＜3 x ＋5＜13 解：

(9)

【例題 7】【例題 8】

(1) ¹

2 x ＋6＜2 x －33＜ ³

4 x ＋2 (2) 3 x ＋2＜ ¹

3 x ＋1＜ ³

4 x －2 解：

(1) ¹

2 x －10＜3 x ＜ ¹

5 x ＋28 (2) ¹

2 x －1＜2 ¹

2 x ＋1＜2 x 解：

【例題 9】【例題 10】

(1) 2| x ＋1| £ 8 (2) |4 x －1|＜31

解：

(1) －| 2 x －1 | £ －19 (2) －3| x ＋8 | ＞－102

解：

(10)

【例題 11】【例題 12】

(1) | ¹

2 x －4| ³ 5 (2) | ²

3 x ＋1| £ ³ 4 解：

(1) | ¹

2 x －4 | £ 5 (2) －| ²

5 x －3 | ³ － 1 ¹ 4 解：

【例題 13】

設 0＜ a ＜7，且 ax － x ＋9 ³ 3(2 x －1) 的解為 x £ 6，則 a ＝______。

解：

【例題 14】

設 a ＜1，解 x 的不等式

a

x ＋ a － x －1 ＞ 0，得 x 的範圍為__ __。

解：

【例題 15】【例題 16】

解不等式 3

3 2 - x

＜ 4 4 +

x －

4 27 解：

解不等式 5 1 x －

3 3 2 - x

＋1 £ 0 解：

(11)

【例題 17】【例題 18】

不等式 x －1＞－2(8－3 x )的正整數解共有 ______個。

解：

若 7 x ＋10 £ 9 x ＋4，則在 x 的範圍中，不

滿 7 的所有整數為。

解：

【例題 19】【例題 20】

阿達比小倩高，小倩比吉米高，偉恩比阿達高，所以四個人的身高（依序由高到低）是

_ 。

解：

若某次數學競賽中，明華的成績不比美英差，美英的成績也不比明華差，則兩人的成績誰比較好？

答：_ 。

解：

【例題 21】【例題 22】

有甲、乙兩容器，甲容器內裝有 60 的水，

乙容器內裝有 15 的水。請問最少要從甲容器中取多少的水到乙容器中，甲容器內的水才會是乙容器內水的 2 倍以下？

解：

想買每個售價 50 元的咖啡杯 x 個，和每個售 價 90 元的水壺 6 個，若總價要在 900 元以下，則咖啡杯最多可以買幾個？

解：

(12)

【例題 23】【例題 24】

3 2 5 - x

－( 4x + 3 ) ³ 5

7 - x 解：

0.8 ( x + 2 )－(2 x －1)＜0.1 ( 3 x + 5) 解：

【例題 25】【例題 26】

回答下列各題：

(1)解 ₄_{x -}₂ _<₇。

(2)若 _x_-_m _£_n的解為 2

£

x

£

6，求 m

、

n 的值。

(3)若 _{ax b}_- _<₄的解為 1＜x＜5，求 a

、

b 的值。

解：

回答下列各題：

(1)解 5 - x 4 ＜61。

(2)若 _x_-_m _£_n的解為 7

£

x

£

13，求 m

、

n 的值。

(3)若 ax + b ＜7 的解為 2＜x＜9，求 a

、

b 的值。

解：

解不等式 4 x ＋6＜－2 x ＋7

0 2

³

Þ

Þ

Þ

Þ

³

Þ

³

Þ

£

£

³

³

Þ

³

Þ

³

Þ

£

Þ

Þ

Þ

£

| a b - |

a

b

Þ

Þ

Þ

Þ

Þ

Þ

Þ

Þ

Þ

£

£

£

£

£

£

­7 ­2

£

£

£

£

£

a

£

£

、

、

£

£

、

、

7 2