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國立空中大學 109 學年度下學期期末考試題【 正參】053
科目：商用微積分 一律橫式作答 頁
答案卷請標明題號，字體務必工整，並詳列計算過程，只寫最後結果不予計分。
答案請掃描後於110/07/02晚上24：00前寄至面授教師信箱。
1.商學上極值的應用(20%)
空大科技公司估計其每月產出的生產函數為：
2 1
3 3
60 Q L K 其中，L：勞動支出，單位為工時
K：資本支出，單位為萬元
(1)此生產函數為 Cobb–Douglas 函數，請說明此生產函數的意義。(5%) (2)試解釋何謂勞動邊際生產力與資本邊際生產力。(5%)
(3)試計算當 L=64，K=8 之勞動邊際生產力與資本邊際生產力。(5%) (4)若公司欲增加產出，應該增加資本額或勞動力？(5%)
參考課本P241-P243 答
(1)(2)略。
(3)由
2 1
3 3
60
Q L K ，
1 1
3 4
40 64,8 20
Q Q
L L K ， L（ ）
2 2
3 3
20 64,8 80
Q Q
K L K ， K（ ）
(4)增加資本額。
2.面積與定積分(20%)
(1)已知函數 f x( )4x22x5，試求其反導函數F x( )。(10%) (2)試求反導函數F x( )在區間 1,3 的平均值。(10%)
參考課本P279-P282 答
(1) ( ) (4 2 2 5) 4 3 2 5 f x dx x x dx 3x x xC
(2)
3 3
2 3 2 3 2
1 1
1 1 4 1 4 4 55
(4 2 5) ( 5 ) ( 3 3 15) ( 1 5)
3 1
x x dx 2 3x x x 2 3 3 32
3.兩函數圖形圍成區域之面積(20%)
(1)試畫出函數 f x( )x41之圖形。(5%) (2)試畫出函數g x( )2x2之圖形。(5%) (3)試求兩圖形交點之 x 值。(5%)
(4)試求解兩函數圖形圍成區域之面積。(5%) 參考課本P290-P295
答
(1)(2)
(3)交點：x4 1 2x2 x4 2x2 1 0
2 2
(x 1) 0 1, 1 x
(4)面積： 1 4 2
1(x 1 2x dx) 1 4 2
1(x 2x 1)dx 5 3 1
1
1 2 1 2 1 2
( ) ( 1) ( 1)
5x 3x x 5 3 5 3
8 8 16 15 15 15
3
4.代換積分法(20%)
(1)試說明代換積分法使用的時機。(5%) (2)已知不定積分式
2
1 3 2 3
x dx
x x
，試利用代換積分法改寫原式。(5%) (3)試求解上題不定積分。(5%)
(4)求解定積分
1 3 0 2
1 3 2 3
x dx
x x
。(5%) 參考課本P300-P310
答 (1)略
(2)令 u 2x 3x2，則du (2 6 )x dx 2(1 3 )x dx
(3) 2
2
1 3 1
2 3 2 3 2
x du
dx u c x x c
x x u
(4) 上限 1
u 3下限u 0，
1 3 0
0
1 1 1
2 3 3
du u
u
4
5.綜合題(20%)
空大公司有一連續所得，其營運第t年的連續所得函數為 f t( )te0.03t（萬元），並以利率8%連續複 利計息，若要求其永續所得的現值，請依序回答下列問題。
(1)請將算式列出（因為題目要求連續所得，故請注意期數的區間）。(5%)
(2)算式中需要用到瑕積分概念求解，請解釋原因，並說明其為課本中分類的何種類型？(5%) (3)請以分部積分法求解，並說明選擇 u v與 的原因。(5%)
(4)計算過程的最後需使用羅必達定理，請解釋其原因，並完成求解。(5%) 參考課本 P335-P340
答
(1) 0.03 0.08 0.05
0 0
. . lim lim
b b
t t t
b b
P V te ．e dt te dt 參考課本P335-P340
(2)因為是永續所得，上下限至少有一個是無窮大，故需運用瑕積分求解，此型為教材中的類型 1。
參考課本P322-P323 (3)令 ut，dve0.05tdt
則 du dt ，v
e0.05tdt 20e0.05t 參考課本P312-P319(4)原式 0.05 0.05 0.05 0.05
0 0 0
lim 20 tb b 20 t lim 20 b 0 400 t b
b te e dt b be e
0.05 0.05 20 400
lim 400
400
b b
b
b
e e
（利用羅必達定理）
（萬元）
參考課本 P247-P257
