正參】056 科目：商用微積分

國立空中大學 110 學年度下學期期中考試題【 正參】056

科目：商用微積分 ^{一律橫式作答 頁}

1.試求下列各函數的一階和二階導函數。

(1) f x( )x⁶2x³2x²7。(10 分) (2) f x( )x⁵2x³x¹² 10。(10 分)

解：CH3

(1) f x( )6x⁵6x²4 ,x f( )x 30x⁴12x4 (略) (2) ( ) 5 ⁴ 6 ^{2 1 12}, ( ) 20 ³ 12 ^{1 32} ( )

2 4

f x  x  x  x^ f x  x  x x^ 略

2.試求解下列指對數微分問題。

(1)設e^x2lnye^y 8，試求y。(10 分)

(2)試求 ^{f x y( , )e x yln}





解：CH4

(1)e^{x 2} y e y^y 0

y  

   ₁

2 2

x x

y y

e e

y e y e

y



 

  

 

(2) ^{  ln( ) 1} , ^{  ln( ) 1} ( )

2 2

x y x y

x y

x y x y

f e f e

x y x y

x y 略

       

         

3.空大牌乳膠漆的批發價為每加侖200 1 x

x 元，其中 x 為加侖數且x 2。買愈多，每加侖的價格就愈低。

(1)試以第二章極限的概念，列式並說明當某人購買數量非常多時，每加侖價格將趨近多少？(15 分) (2)試求解(1)的答案。(5 分)

解：CH2

已知乳膠漆的價格為200 1 x

x ， 200 200

lim 200

1 1

x 1

x x

x

（元）

4.在棒球比賽中，自責分率(ERA)為投手每場比賽 9 局中失分的平均數（不含失誤導致的失分）。一場球 賽每局有三人出局，故一場球賽有27 個出局者。以函數定義自責分率 27

( ) r

E t t ，其中r 為失分 數，t 為出局人數，試回答下列問題。

(1)某投手在 6 局中失 6 分，試用上述函數，列式並求出該投手的自責分率。(5 分) (2)某投手在比賽第一局中已失 3 分但無人出局，試求該投手的自責分率。(10 分) (3)試求(2)的極限。(5 分)

解：CH2

(1)在 6 局，出局者為 18 人，故 ERA 為 27 6

( ) 9

E t 18 (2)若無人出局，則t 0 ，失分r 3，則

0 0

27 3 81 lim lim

t t t t

(3)

0

lim81

t t

5.空大冰店七月份每日之霜淇淋甜筒的總銷售量為s 0.01x² 0.48x 10，其中s 為甜筒銷售的數目 (以百計)， x 為本月的天數，試回答下列問題。

(1)在7月3日當天，空大冰店賣出多少甜筒？(5分) (2)在7月10日，銷售變化率為多少？(5分)

(3)在7月25日，銷售變化率為多少？(5分)

(4)試問哪一天，當日銷售的變化率等於10筒？(5分)

解：CH3

(1)s t( ) 0.01x² 0.48x 10，s(3) 0.01 3² 0.48 3 10 11.35，賣出1135 個 (2)s t^'( ) 0.02x 0.48

s^'(10) 0.02 10 0.48 0.28，增加28 個 (3)s^'(25) 0.02 25 0.48 0.02，少賣2 個

(4)100 s x^'( ) 10，s x^'( ) 0.1 0.02x 0.48 ，x 19 ， 7 月 19 日