隨機算法

隨機算法

by boook

Hash Credit by qazwsxedcrfvtg14

大綱

• When

• 為甚麼、何時要用隨機

• How

• 如何產生隨機的數字

• Hash

• 隨機選擇

• Algorithm

• 最近點對

為甚麼、何時要用隨機

• 模板很難寫

• 大家都喜歡唬爛

• AC 的效率 vs 出題者的良心

• 在題目限制很寬的時候

• 當出題者的題目出壞掉的時候

用隨機的後果

• 影響正確率

• 可能程式不總是正確

• -> 讓程式錯誤的機率特別低

• 影響執行時間

• 執行時間不固定

• -> 讓程式期望執行的時間不長

如何產生隨機的數字

• 大家都會??

• rand()

• srand(time(0))

• 這樣足夠安全嗎？

哪裡不安全

• 大家都會??

• rand()

• srand(time(0))

• 這樣足夠安全嗎？

哪裡不安全

不要直接使用 rand()

• rand() 在 windows 上預設的回傳範圍為 [0, 65535]

• 解決方法：

• rand() 很多次後將結果拼接成比較大的數字

• 用其他亂數產生器，如 mt19937

• 追求更快效率 -> 自己寫亂數

使用 mt19937

自己設計 random function

自己設計 random function

暖身-計算隨機正確率

Hash

Hash

• 目的：

• 將一個物品的很多資訊壓縮起來，當要判斷兩個物品是否相同時 就判斷兩個物品分別壓縮後的結果是否相同。

• 壓縮過程中會失去一些資訊，因此可能會有兩個不同的物品被 壓縮後產生一樣的結果。

• 如果有兩個物品 A, B ，以及壓縮函數 f

• 錯誤的機率：

• f(A) != f(B)，但 A = B。 => 不可能

• f(A) = f(B)，但 A != B。 => 錯誤的機率

Hash

• 譬如：

• f(x) = x % 2

• 所以我們會認為：

• 1 != 2, 因為 1 = f(1) != f(2) = 0

• 2 = 2, 因為 0 = f(2) = f(2) = 0

• 但是我們會認為：

• 4 = 2, 因為 0 = f(4) = f(2) = 0

f(A) = f(B)，但 A != B

• 好的 hash function 要滿足「碰撞」

的機率足夠小，也就是

f(A) = f(B)，但 A != B 的機率。

• P(f(A) = f(B)，但 A != B) < 1e-9

• 當錯誤的機率「足夠小」，那麼就可以

「假裝」hash function 不會碰撞

• 有時候 1e-9 仍然不夠，需視情況調整

• 生活上的例子 (checksum)

Hash table

• 可以構造讓 hash table 變得非常慢

，但在隨機的 使用下，

insert、

delete 都是 O(1)。

Hash 的安全性

• 對於一個 hash function x -> f(x) 有三種等級的安全性：

• Preimage attack：

• 知道 f(x) 還原出 x

• Second preimage resistance：

• 在知道 f(x) 的情況下，找到另一組 y -> f(y) = f(x)

• collision resistance：

• 找到一對 a, b 使得 f(a) = f(b)

Hash 的安全性 - 生日悖論

• 一個房間要多少人，則兩個人的生日相同的機率大於 50%?

• 23人

• 有 n 個人，每人都隨機地從 N 個特定的數中選擇出來一個數。

• p（n） = 有兩個人選擇了同樣的數字。

• 這個機率有多大?

Rolling hash

• 又稱 RK 算法(Robin-Karp Algorithm)

• 核心

• 也可以用來當作亂數產生器

Rolling hash - 如果 C = 10

• S = 21334531

• M = 10000000000000000000000000000000000000000000

• H(1) = 2

• H(2) = 21

• H(3) = 213

• H(4) = 2133

• H(5) = 21334

• H(6) = 213345

• H(7) = 2133453

• H(8) = 21334531

Rolling hash

• 假設你有一個字串，且你已經知道其hash值

• 下列哪些操作可以O(1)執行?

• 加一個字元在前面

• 加一個字元在後面

• 從前面刪除一個字元

• 從後面刪除一個字元

Rolling hash

• 可以把Rolling hash想像成一個前高後低三角形

• H(1) = 2

• H(2) = 21

• H(3) = 213

• H(4) = 2133

• H(5) = 21334

Rolling hash

• 兩個hash接起來

• 一個字元也可以 算是一個hash

*𝐶

• S = 213

• P = 123

• H(S) = 213

• H(P) = 123

• H(S+P)

= 213 * 1000 + 123

Rolling hash

• 刪除前面的字元

*𝐶

• S = 12345

• H(S) = 12345

• 12345 – 12000

= 345

Rolling hash

• 刪除後面的字元

*𝐶

模逆元

• S = 12345

• H(S) = 12345

• (12345 – 45) / 100

= 123

• 8 / 2 != 2 / 2 (mod 6)

Rolling hash

• 因為這些性質

• 我們經常會預處理好字串每個前綴的Rolling hash

Rolling hash

• 這樣之後就能直接算出任意一段的hash值

• S = 21334

• H(1) = 2

• H(2) = 21

• H(3) = 213

• H(4) = 2133

• H(5) = 21334

• H(3~4)

= H(4) – H(2) * 100 = 33

例題 - 怎麼訂 hash 值

• 給一個矩陣大小為 N * N

• Q 次詢問兩個大小相同的子矩陣是否相同。

• N <= 5000

• Q <= 500000

• hash 可不可以推廣到二維？

二維 hash

例題 – 怎麼訂 hash 值

• 假設兩個字串相似的定義如下

• 如果存在一個字元的置換方式，使得兩個字串相等，則這兩個字串相似

• 例:

• AAA=BBB

• XYX=ABA

• ABA!=AAA

• 問1:給你字串集 A 和字串 B ，A 中有多少字串和 B 相似?

• 問2:給你一個字串 C，Q 次問兩段區間是否相似?

• Sum(|Ai|), |A|, |B| < 10^6, C, Q <= 10^6

例題 – 矩陣相成的結果

• 給定三個大小為 N 的 N × N 矩陣 A、B、C，請問 A × B = C 是否成立？

• N <= 1000

• 直接做是 O(N^3)

• 能不能更快一點?

例題 – 矩陣相成的結果

• 讓 R 是一個 N × 1 的矩陣，那麼只需要檢查

• ((A×B))=(C)

• ((A×B)×R)=(C×R)=C′

• (A×(B×R))=(C×R)=C′

• 乘法個過程中與字串 hash 做的 事情相同

例題 – 成雙成對

• 給出一個 N 個數字的序列 a_1, a_2, …, a_n。現在 有 Q 個詢問，每次詢問會給出 l, r，請問如果考慮 a_l, …, a_r 是否每種數字都出現偶數次？

• N <= 1,000,000

• Q <= 1,000,000

例題 – 成雙成對

• XOR 好性質：

• X ⊕ Y ⊕ Z ⊕ Y ⊕ X ⊕ Z = 0

• XOR 不夠好性質：

• 1 ⊕ 2 ⊕ 3 = 0

• One time pad：一次性密碼本

• N 個 ∈ [0, 2^k) 的隨機數字 XOR 起來的結果是隨機的

• 隨機將 a_i 映射成一個隨機的大數字

• 每次錯誤率 1 / (2^k)，讓 k = 60

例題 – 成堆成堆

• 給出一個 N 個數字的序列 a_1, a_2, …, a_n。現在 有 Q 個詢問，每次詢問會給出 l, r，請問如果考慮 a_l, …, a_r 是否每種數字都出現 K 的倍數次？

• N <= 1,000,000

• Q <= 1,000,000

例題 – 成堆成堆

• 設計一個 hash function

• XOR 可以 加法也可以

• 只要滿足：

• 答案是 YES 的時候一定判斷得出來

• 答案是 NO 的時候有很低的機率會錯

例題 – 成堆成堆

• 設計一個 hash function：加法

• 改成在模 p 底下做事情避免溢位

• 單筆詢問答對機率： 1 / p

1 1 1 1 1 1 1

x x -2x x x -2x x

1 1 2 1 3 1 2 2 2 3

x x y -2x z x y -2y y z

例題 – 長度為 8 的簡單路

• 給 N 點 M 邊的有向圖，並給出兩點 S 和 T

• 請找一條 S 到 T 且含頭尾恰經過 8 個點的簡單路徑

• 簡單路徑：路徑中不存在兩個相同的點

• 1 <= N <= 100, 1 <= M <= 2000

例題 – 長度為 8 的簡單路

• 也就是說不含頭尾一共 6 個點 => O(n^6)

• 問題在簡單路徑上，不然就可以？

• 為什麼不是簡單路徑就可以做

例題 – 長度為 8 的簡單路

• 也就是說不含頭尾一共 6 個點 => O(n^6)

• 問題在簡單路徑上，不然就可以？

• 為什麼不是簡單路徑就可以做

• Dp[point][step] = True or false

例題 – 長度為 8 的簡單路

• 那如果現在點上面有顏色呢

• 給 N 點 M 邊的有向圖，並給出兩點 S 和 T。

圖上除了 S 和 T 之外每個點 i 都被塗上了顏色 C_i。

請找一條 S 到 T 且含頭尾恰經過 8 個點的簡單路徑，

並在路上蒐集滿 6 種不同的顏色

• 1 <= N <= 100, 1 <= M <= 2000, 0 <= C_i <= 5

例題 – 長度為 8 的簡單路

• 給 N 點 M 邊的有向圖，並給出兩點 S 和 T。

圖上除了 S 和 T 之外每個點 i 都被塗上了顏色 C_i。

請找一條 S 到 T 且含頭尾恰經過 8 個點的簡單路徑，

並在路上蒐集滿 6 種不同的顏色

• 1 <= N <= 100, 1 <= M <= 2000, 0 <= C_i <= 5

• Dp[point][bit_mask] = True or False

• O(point × bit_mask) × O(轉移) = O(2^6 M)

例題 – 長度為 8 的簡單路

• 如果點有顏色多好 => 自己上色

• 隨機把每個點塗上 C_i = 𝑥 ∈ 0, 5

• 至少多少機率會答對：

• 如果只有一條符合條件的路徑

• 中間六個點的顏色都要不一樣： 6!

• 總方法數量： 6⁶

• 隨機一次會答錯的機率： 1 − ^6!

6⁶

例題 – 長度為 8 的簡單路

隨機選擇

• How：

• 字面上的意思

• 隨機選擇一條路 => 估計答對的機率

隨機選擇 - 例題

• 給定 N 個二為平面上面的點，請問有沒有一條通過至少 k % 的直線？

• 2 <= N <= 2 × 10⁶

• k >= 20

直觀的想法

• 直觀的想法

• 1. 隨機兩個點 𝑎, 𝑏

• 2. 檢查有多少個點在 𝑎, 𝑏 兩點構成的直線上面

• 3. 做很多次

• 重複隨機選擇 𝑎, 𝑏 兩點 50 次，錯誤率

1 − 20% × 20% ⁵⁰ ≈ 12.98%

隨機少一點「維度」

• 1. 隨機一個點 𝑎

• 2. 以 𝑎 點作為圓心的極角進行排序

• 3. 做很多次

• 重複隨機選擇 𝑎 點 40 次，錯誤率

1 − 20% ⁴⁰ ≈ 0.013%

錯排數 (Derangement)

• 錯排數 D_N ：滿足對於所有的1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑁 ，𝐴_𝑖 ≠ 𝑖 這樣的 permutation

• D_N/ N! ≈ 1/𝑒 ≈ 0.367879

• 也就是說有大概 1/3 的機率隨機一個 permutation 可以隨機 到一個 Derangement。

隨機選擇 - 例題 CF330E

• 給出一張 𝑁 個點 M 條邊的無向圖，並且圖上保證每個點最多 只接了兩條邊，請構造出一張新圖滿足以下條件，若無解則輸出

− 1 ：

• 新圖上與原圖有相同數量的點和相同數量的邊。

• 圖上保證每個點最多只接了兩條邊。

• 對於圖上兩個點 𝑢, 𝑣 ，若在原圖上這兩點之間存在一條邊，則在新圖上 這兩點之間必定沒有邊。

1 ≤ 𝑀 ≤ 𝑁 ≤ 10⁵

隨便做?

• 把圖的編號隨機打亂 => 做完了！

• 估計錯誤率 => 想想看什麼樣的測資容易錯

• 題意裡面的圖為很多環和很多鍊

• 加一條邊 = 加上一個限制 (很多環)

• 很多連通塊會導致條件被獨立分開

• 圖是一個很大的環

• 拓展錯排數：滿足對任意的相鄰的兩數字差不是 1 或 N – 1 條件的排列 p_1, p_2, ..., p_n

性質

• 滿足條件的排列 / N! = 𝑒⁻²

• (1−𝑒⁻²)⁹⁰ ≈ 2.07×10⁻⁶

• 可以寫個簡單的程式估計一下：滿足條件的排列 / N!

最近點對

最近點對

• 給定 N 個二維平面上面的點，請找出距離最近的兩個點。

• 1 <= N <= 10^5

• 傳說做法？旋轉排序

• 1. 把 N 個點平移到第一象限

• 2. 把 N 個點的順序隨機打亂，d = dis(𝑎₁, 𝑎₂)

• 3. 以 𝑟 = 𝑑/2 的大小將二維平面切成網格狀，並將這些網格也 以座標表示：點 (𝑥, 𝑦) 會落入座標為 (^𝑥

𝑟 , ^𝑦

𝑟)

• 不會有兩個點在同一個格子內

最近點對

• 4. 一直把點加進網格中

• 如果產生新的最近點對一定會出現在以某個點為中心的 5 × 5 宮格內

d/2~d d/2~d d/2~d d/2~d d/2~d d/2~d 0~d/2 0~d/2 0~d/2 d/2~d d/2~d 0~d/2

某個點

最近點對

• 5.找到更近的最近點對：

• 更新 r = 新的最近點對 / 2

• 回到步驟三重來 O(i+1)

最近點對

• 期望複雜度

• 令 𝑑_𝑖 為考慮 𝑎₁, 𝑎₂, … , 𝑎_𝑖 這些點的最近點對距離。

• 當加入點 𝑎_𝑖+1 時，出現一個 𝑎_𝑗 使得 (𝑎_𝑗, 𝑎_𝑖+1) 是新的最近點對的機 率為：

• 𝑃 𝑑𝑖𝑠 𝑎_𝑗, 𝑎_𝑖+1 < 𝑑_𝑖 = ^𝑖

𝐶₂^𝑖+1 = ^𝑖×2

𝑖×(𝑖+1) = ²

𝑖+1

• 出現一個 𝑎_𝑗 要付出的時間代價： O 𝑖 + 1

• 每加入一個點考慮期望複雜度為 機率 × O(代價) = 2

𝑖 + 1 × 𝑖 + 1 = 2 = 𝑂(1)

• 總共要加 N 個點 => O(N)

最近點對

• End