如何求出

(1)

如何求出 1 + 2 + 3 + · · · + n

陳國裕

1、引言

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... ... ... ...

圖一

在上圖中是一個 5×5 的正方形, 如果問圖中總共有幾個正方形? 這個問題相信很多人都曾看過。邊長為 1 的正方形有 5

²

個, 邊長為 2的正方形有 4

²

個,· · ·, 邊長為5的正方形有 1

²

個; 總共有 5

²

+4

²

+3

²

+2

²

+1

²

個;

因為數字並不大, 一個一個算也不難算出。但是如果把題目改成n ×n 的正方形, 則總共有 n

²

+(n−1)

²

+· · ·+3

²

+2

²

+1

²

個, 當 n 是一個比較大的數, 雖然可以利用電腦把它算出, 不過更希望把它的結果用一個式子表示出來。

德國數學家高斯在上小學時, 他的老師曾經出一個問題, 求 1 + 2 + 3 + · · ·+ 100 的和, 叫每位同學計算。當其他同學還在一個一個慢慢加的時候, 高斯用一點技巧很快就算出答案。他的老師也很驚訝他能那麼快算出來。這個故事早已流傳久遠, 但是求 1

²

+2

²

+

3

²

+· · ·+n

²

就比較不容易。在目前高一的教科書中是利用 (k + 1)

³

− k

³

= 3k

²

+ 3k + 1 來做, 雖然它可以做出來, 而且也是相當簡潔的方法, 但是給人的感覺太突然, 為什麼會想到要利用完全立方公式? 在學習數學的過程中, 探索發現的過程也是很重要, 同一個問題經由不同的人來思考, 結果可能會相同, 但是過程卻不一定會相同。看別人處理問題的方法吸收到一些經驗, 這樣可以幫助自己以後面對問題時有思考的方向而不會束手無策。

2、思考過程

符號說明: 用 S

n

或 f (n) 表示級數前 n 項的和。

在學習的過程中, 常常看到別人的解題方法; 一種方法有時可以解決很多的問題, 就好像是一個原則, 也可以這樣來想, 一種方法就類似一種藥品, 甲生病時, 服用了某一種藥, 結果病好了, 現在乙也得了跟甲類似的病, 醫生很自然會建議乙服用甲用過的那一種藥。

求級數 1+2+3+· · · 100 的和時, 對於沒有學過等差級數的人, 他可能會一項一項的加; 雖然這個方法讓人覺得並不很好, 不過只要加以適當的修正, 可能這個方法也可以做出來, 對於一般人來說, 直覺的想法認為只

76

(2)

如何求出

₁ ² _{+ 2} ² _{+ 3} ² + · · · + n ² 77

要加 99次就可求出結果而沒有注意到要觀察在計算中所得到的數, 如果在做的過程中有把前 2 項的和、前 3 項的和、前 4 項的和、· · · 列出來, 再觀察所列出的數列, 有找到它的規

則, 那就不必真的做 99 次的加法。

方法一: 利用求出級數的前幾項和來猜測它的一般項。

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9

n

²

1 4 9 16 25 36 49 64 81

S

n

1 5 14 30 55 91 140 204 285

S

n

5 2 × 7 2 × 3 × 5 5 × 11 7 × 13 2

²

×5 × 7 2

²

×3 × 17 3 × 5 × 19

因數 5 7 11 13 17 19

S

n

2n+1 1

3

1 2

¹⁰ ₃

5 7

²⁸ ₃

12 15

S

n

2n+1 1 3

3 3

6 3

10 3

15 3

21 3

28 3

36 3

45 3

先求出 S

n

的前 9項, 再把每個 S

n

做質因數分解, 由表中的第五列可猜測 S

n

中會有因數 2n + 1, 再由表中的第七列可猜測

S

n

2n + 1=1

3(1 + 2 + 3 + · · · + n)

=1

3 × n(n + 1) 2 ,

S

n

=1

3 ×n(n + 1)

2 ×(2n + 1)

=n(n + 1)(2n + 1) 6

方法二: 利用分項對消分數約分的方法。

N 2 3 4 5 6 7 8 9

S

n

S

_n−1

5 1

14 5

30 14

55 30

91 55

140 91

204 140

285 204

5

^2×7 ₅ ^3×5 ₇ _2×3 ¹¹ ^7×13 _5×11 ²

²

₁₃ ^×5 ^3×17 _5×7 ₂ ^5×19

2

×17

3 ×

⁵ ₃

2 ×

⁷ ₅ ⁵ ₃

×

⁹ ₇ ³ ₂

×

¹¹ ₉ ⁷ ₅

×

¹³ ₁₁ ⁴ ₃

×

¹⁵ ₁₃ ⁹ ₇

×

¹⁷ ₁₅ ⁵ ₄

×

¹⁹ ₁₇

3

1

×

⁵ ₃ ⁴ ₂

×

⁷ ₅ ⁵ ₃

×

⁹ ₇ ⁶ ₄

×

¹¹ ₉ ⁷ ₅

×

¹³ ₁₁ ⁸ ₆

×

¹⁵ ₁₃ ⁹ ₇

×

¹⁷ ₁₅ ¹⁰ ₈

×

¹⁹ ₁₇

跟方法一類似, 先列出

_S ^S

ⁿ

n−1 的前 8 項, 由上表的第五列, 可以猜測

S

n

S

n−1

= n+ 1

n−1 ×2n + 1 2n − 1。 S

2

S

1

= 3 1× 5

3,S

3

S

2

= 4 2 ×7

5, S

4

S

3

= 5 3 ×9

7, . . . ,

S

n−2

S

n−3

=n−1

n−3× 2n − 3 2n − 5, S

n−1

S

n−2

= n

n−2× 2n − 1 2n − 3, S

n

S

n−1

=n+ 1

n−1× 2n + 1 2n − 1, S

2

S

1

× S

3

S

2

× S

4

S

3

× · · ·

×S

n−2

S

n−3

× S

n−1

S

n−2

× S

n

S

n−1

(3)

= (3 1 × 5

3) × (4 2 × 7

5) × (5 3× 9

7)

× · · · ×(n−1

n−3× 2n − 3 2n − 5)

×( n

n−2× 2n − 1 2n − 3)

×(n+ 1

n−1× 2n + 1 2n − 1) S

n

S

1

= (3 1 × 4

2× 5

3× · · · × n−1 n−3

× n

n−2× n+ 1 n−1) × (5

3 × 7 5× 9

7

× · · · ×2n − 3

2n − 5 × 2n − 1 2n − 3

×2n + 1

2n − 1), 又 S

1

= 1

∴

S

n

= (n(n + 1)

1 × 2 )(2n + 1 3 )

= n(n + 1)(2n + 1) 6

方法三: 利用分項對消的減法。

S

1

= 1

²

, S

2

− S

1

= 2

²

, S

3

− S

2

= 3

²

, S

4

− S

3

= 4

²

, . . . , S

n

− S

n−1

= n

²

全部式子相加 S

n

= 1

²

+ 2

²

+ 3

²

+ · · ·+ n

²

。

看一下式子 S

n

− S

n−1

= n

²

, S

n

是未知的, 所以由這個式子無法寫出 S

n

, 換一個角度來看,S

n

是跟 n 有關的數, S

n−1

是跟 n−1 有關的數, 兩個相減要產生 n

²

, 既然 S

ⁿ

是跟 n 有關的數, 最簡單的想法就是把 S

n

分別用 n, n

²

, n

³

, . . . 代換, n − (n − 1) = 1 不會產生 n

²

故不合, n

²

−(n−1)

²

= 2n−1 也不能產生 n

²

故不合, n

³

−(n − 1)

³

= 3n

²

−3n + 1 有 n

²

產生, 可以試試看, 令 n= 1, 2, 3, . . . , n 分別代入

1

³

−0

³

= 3 × 1

²

−3 × 1 + 1

2

³

−1

³

= 3 × 2

²

−3 × 2 + 1 3

³

−2

³

= 3 × 3

²

−3 × 3 + 1

...

n

³

−(n − 1)

³

= 3n

²

−3n + 1 全部式子相加

n

³

= 3 × (1

²

+ 2

²

+ 3

²

+ · · · + n

²

)

−3×(1+2+3+ · · · + n)+n × 1 n

³

= 3S

ⁿ

−3 ×n(n + 1)

2 + n n

³

= 3S

n

−3n

²

2 − 3n 2 + n n

³

+3n

²

2 +n

2 = 3S

ⁿ

3S

n

=2n

³

+3n

²

+n

2 =n(n+1)(2n+1) 2

S

n

=n(n + 1)(2n + 1) 6

因為 S

n

是跟 n 有關的數, 當 n 改變時, S

n

也會跟著改變, 所以把 S

n

當作 n 的函數, 令 f(n) = S

n

= 1

²

+ 2

²

+ 3

²

+ · · · + n

²

。從 f(n) 的形式來看, f (n) 應該是多項式函數而且它的次數至少是二次, 因此從二次函數做起。

假設f (n)是二次函數, 而二次函數只要有三個不同的函數值就可以決定。設f (n) = an

²

+ bn+ c, 且f (1) = 1,f (2) = 5,f (3) = 14分別代入



 

 

 

 

a+ b + c = 1 4a + 2b + c = 5 9a + 3b + c = 14

解出



 

 

 

 

a=

⁵ ₂

b= −

⁷ ₂

c= 2 f(n) = 5

2n

²

−7 2n+ 2

把 n = 4 代入驗算 f (4) =

⁵ ₂

×4

²

−

⁷ ₂

× 4 + 2 = 28 6= 30 = f (4) 故不合。

(4)

如何求出

₁ ² _{+ 2} ² _{+ 3} ² + · · · + n ² 79

假設f (n)是三次函數, 而三次函數只要有四個不同的函數值就可以決定。設f (n) = an

³

+ bn

²

+ cn + d, 且f (1) = 1,f (2) = 5,f (3) = 14,f (4) = 30 分別代入



 



 



a+ b + c + d = 1 8a + 4b + 2c + d = 5 27a + 9b + 3c + d = 14 64a + 16b + 4c + d = 30

解出



 



 



a =

¹ ₃

b =

¹ ₂

c=

¹ ₆

d= 0 f(n) = 1

3n

³

+ 1

2n

²

+1 6n

=n(n + 1)(2n + 1) 6

把 n = 5 代入驗算 f (5) =

^5×6×11 ₆

= 55 合; 把 n = 9 代入驗算 f (9) =

^9×10×19 ₆

= 285 合; 再代入其他的數驗算也合, 因此猜測 f(n) 是三次函數是合理的。

f(n) − f (n − 1)

=1

6n(n + 1)(2n + 1)

−1

6(n−1)((n−1)+1)(2(n−1)+1)

=1

6n(n+1)(2n+1)−1

6n(n−1)(2n−1)

=1

6n((2n

²

+ 3n + 1) − (2n

²

−3n + 1))

=1

6n×6n = n

²

再由分項對消的方法即可證明前面用函數的觀點做的結果是正確。

方法四: 利用倒過來寫相加。

1

²

+ (2n)

²

= 1

²

+ (n + n)

²

= 1

²

+ n

²

+ 2nn + n

²

2

²

+ (2n − 1)

²

= 2

²

+ (n + (n − 1))

²

= 2

²

+ n

²

+ 2n(n − 1) + (n − 1)

²

3

²

+ (2n − 2)

²

= 3

²

+ (n + (n − 2))

²

= 3

²

+ n

²

+ 2n(n − 2) + (n − 2)

²

...

n

²

+ (n + 1)

²

= n

²

+ (n + 1)

²

= n

²

+ n

²

+ 2n × 1 + 1

²

全部式子相加

S

2n

= S

n

+ n × n

²

+ 2n(1 + 2 + 3 +

· · ·+ n) + S

n

S

2n

= 2S

n

+ n

³

+ 2n × n(n + 1) 2

S

2n

= 2S

n

+ 2n

³

+ n

²

(1) 在這個式子中,S

2n

與 S

n

類似是兩個未知數, 既然有兩個未知數, 又要把它解出, 聯想到解聯立方程式。

S

2n

= 1

²

+ 3

²

+ 5

²

+ · · · + (2n − 1)

²

+2

²

+ 4

²

+ 6

²

+ · · · + (2n)

²

2

²

+ 4

²

+ 6

²

+ · · · + (2n)

²

= 4(1

²

+ 2

²

+ 3

²

+ · · · + n

²

) = 4S

ⁿ

1

²

= (2×1−1)

²

= 2

²

×1

²

−2×2×1+1

²

3

²

= (2×2−1)

²

= 2

²

×2

²

−2×2×2+1

²

(5)

5

²

= (2×3−1)

²

= 2

²

×3

²

−2×2×3+1

²

...

(2n − 1)

²

= (2 × n − 1)

²

= 2

²

× n

²

−2 × 2 × n + 1

²

全部式子相加

1

²

+ 3

²

+ 5

²

+ · · · + (2n − 1)

²

= 2

²

×(1

²

+ 2

²

+ 3

²

+ · · · + n

²

)

−2×2×(1+2+3+· · ·+n)+n × 1

²

= 4S

n

−4 × n(n + 1) 2 + n

= 4S

n

−2n

²

−2n + n

= 4S

n

−2n

²

− n

∴

S

2n

= (4S

ⁿ

−2n

²

− n) + 4S

ⁿ

= 8S

ⁿ

−2n

²

− n (2) 由 (1)(2) 兩式

8S n − 2n ² − n

= S 2n = 2S n + 2n ³ + n ²

6S n = 2n ³ + 3n ² + n = n(n + 1)(2n + 1) S _n = n (n + 1)(2n + 1)

6

方法五: 利用堆疊與體積的觀念。

... ..

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圖二

... .

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圖三

在求 1 + 2 + 3 + · · · + n 的過程中, 也可以用面積來做。把上圖二的 T

5

補成三角形 (如圖三), 再用三角形面積列式即可求出。

T

5

+1

2×(5 + 1) = 1

2×(5 + 1)×(5 + 1) T

5

= 5 × (5 + 1)

2

在求 T

5

過程中利用到三角形面積, 要求 S

5

時, 用角錐的體積來做做看。

角錐的體積 = 1

3 × 底面積 × 高角柱的體積 = 底面積 × 高

三角柱X(如圖四): 它是一個單位正方體的一半, 其體積是1

2。

四角錐Y (如圖五): 底面ABCD為正方形 AE⊥AB, AE⊥AD, AE = AB = 1, 它的體積為1

3。

(6)

如何求出

₁ ² _{+ 2} ² _{+ 3} ² + · · · + n ² 81

... .

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... ...

. ...

.. ...

. ...

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... .

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圖四

(7)

... ..

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.

...

.. . .. .. . .. .. . . . . . . . . . . . .

A B

C D

E

圖五

.. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .

... ... ... ... ...

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1 2 3 4 5 6

圖六

圖六是一個 6×6 的正方形, 要做 S

5

= 1

²

+ 2

²

+ 3

²

+ 4

²

+ 5

²

的堆疊, 5

²

就用一個 5 × 5 × 1 的長方體放在圖六上且 5 × 5 的一面朝下並且有一個角放在 (1,1) 的位置上, 其他四個也都用相同的方法放在圖六上, 則 (1,1) 的高度為5,(2,1),(2,2),(1,2) 的高度為 4,(3,1),(3,2),(3,3),(1,3),(2,3) 的高度為 3, . . .。在 (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6) 各放一個四角錐 Y, 使其正方形面向下, 等腰直角三角形的兩面分別向圖六的後方及左方, 除了對角線 6 格之外的其他 30 格各放一個三角柱 X, 在對角線下方的位置, 三角柱的兩個正方形面分別向下及向左, 在對角線上方的位置, 三角柱的兩個正方形面分別向下及

向後, 最後整個形狀類似四角錐 Y , 只不過尺寸加大而已。利用兩種方法計算它的體積而求出 S

5

。

S

5

+ (5 + 1) × 1

3+ ((5 + 1)

×(5 + 1) − (5 + 1)) ×1 2

= 1

3×(5 + 1)

²

×(5 + 1) 如果把 5 改成 n, 則

S

n

+ (n + 1) × 1

3+ ((n + 1)

×(n + 1) − (n + 1)) × 1 2

=1

3 ×(n + 1)

²

×(n + 1) S

n

+2

6(n + 1) + 3

6n(n + 1)

=2

6 ×(n + 1)

²

×(n + 1) S

n

=2

6 ×(n + 1)

²

×(n + 1)

−2

6(n + 1) − 3

6n(n + 1) S

n

=1

6×(n+1)×(2(n+1)

²

−2−3n) S

n

=1

6×(n+1)×(2n

²

+4n+2−2−3n) S

n

=1

6×(n+1)×(2n

²

+n) S

n

=n(n + 1)(2n + 1)

6

方法六: 在方法五中用到堆疊, 還是以圖六來看, 現在只看堆疊好但是尚未放上角錐及角柱的情形。目前是做 S

5

的堆疊, 由圖六中看, 高度為 5 只有 1 格, 高度為 4 有 3 格, 高度為 3有 5格, 高度為 2有 7格, 高度為 1有 9 格; 所以 S

5

= 1 × 5 + 3 × 4 + 5 × 3 +

(8)

如何求出

₁ ² _{+ 2} ² _{+ 3} ² + · · · + n ² 83

7 × 2 + 9 × 1, 如果把 5 改為 n, 則 S

n

=1 × n + 3 × (n − 1) + 5

×(n − 2) + · · · + (2n − 1) × 1

=(2 × 1 − 1) × ((n + 1) − 1) +(2 × 2 − 1) × ((n + 1) − 2) +(2 × 3 − 1) × ((n + 1) − 3) + · · · +(2n − 1) × ((n + 1) − n)

(2 × 1 − 1) × ((n + 1) − 1)

=2×1×(n+1)−2×1×1−(n+1)+1 (2×2−1)×((n+1)−2)

=2×2×(n+1)−2×2×2−(n+1)+2 (2×3−1)×((n+1)−3)

=2×3 ×(n+1)−2×3×3−(n+1)+3 ...

(2 × n − 1) × ((n + 1) − n)

=2×n×(n+1)−2×n×n−(n+1)+n 全部式子相加

S

n

= 2(n + 1)(1 + 2 + 3 + · · · + n)

−2(1

²

+ 2

²

+ 3

²

+ · · · + n

²

)

−n(n+1)+(1+2+3+· · ·+n) S

n

= 2(n + 1) × n(n + 1)

2

−2S

n

− n(n + 1) + n(n + 1) 2 3S

ⁿ

= n(n + 1)

²

− n(n + 1)

2 3S

ⁿ

= n(n + 1)

2 (2(n + 1) − 1) S

n

= n(n + 1)(2n + 1)

6

方法七:

(1 + 2 + 3 + · · · + n)

²

= 1

²

+ 2

²

+ 3

²

+ · · · + n

²

+ 2 × (1 × 2 +1 × 3 + 1 × 4 + · · · + 1 × n

+2 × 3 + 2 × 4 + · · · + 2 × n +3 × 4 + · · · + 3 × n

...

+(n − 1) × n)

= 1

²

+ 2

²

+ 3

²

+ · · · + n

²

+ 2 × (2 × 1 +3 × (1 + 2) + 4 × (1 + 2 + 3) + · · · +n × (1 + 2 + 3 + · · · + (n − 1))

= 1

²

+ 2

²

+ 3

²

+ · · · + n

²

+ 2 × (2 × 1 +3 × 2 × 3

2 + 4 × 3 × 4 2 + · · · +n × (n − 1) × n

2 )

= 1

²

+ 2

²

+ 3

²

+ · · · n

²

+ 2

²

×1

+3

²

×2 + 4

²

×3 + · · ·+n

²

×(n − 1)

= 1

²

+ 2

²

+ 3

²

+ · · · + n

²

+2

²

×(2 − 1) + 3

²

×(3 − 1) +4

²

×(4 − 1) + · · · + n

²

×(n − 1)

= 1

²

+ 2

²

+ 3

²

+ · · · + n

²

+ 2

³

−2

²

+3

³

−3

²

+ 4

³

−4

²

+ · · · + n

³

− n

²

= 1

²

+ 2

²

+ 3

²

+ · · · + n

²

+ 1

³

−1

²

+2

³

−2

²

+3

³

−3

²

+4

³

−4

²

+· · ·+n

³

−n

²

= 1

³

+ 2

³

+ 3

³

+ · · · + n

³

1

³

+ 2

³

+ 3

³

+ · · · + n

³

= (1 + 2 + 3 + · · · + n)

²

(跟前面相同部分省略)

(9)

= 1

²

+ 2

²

+ 3

²

+ · · · + n

²

+ 2

²

×1 +3

²

×2+4

²

×3+· · ·+n

²

×(n−1)

= S

ⁿ

+ 1 × (1 + 1)

²

+ 2 × (2 + 1)

²

+ 3

×(3+1)

²

+· · ·+(n−1)×((n−1)+1)

²

= S

n

+ 1 × (1

²

+ 2 × 1 + 1) + 2 × (2

²

+2×2+1)+3×(3

²

+2×3+1)+· · · +(n−1)×((n−1)

²

+2×(n−1)+1)

= S

n

+ 1

³

+ 2 × 1

²

+ 1 + 2

³

+2 × 2

²

+ 2 + 3

³

+ 2 × 3

²

+ 3 + · · · +(n−1)

³

+2×(n−1)

²

+(n−1)

= S

n

+ 1

³

+ 2 × 1

²

+ 1 + 2

³

+2 × 2

²

+ 2 + 3

³

+ 2 × 3

²

+ 3 + · · · +(n − 1)

³

+ 2 × (n − 1)

²

+ (n − 1) +n

³

+2×n

²

+n−n

³

−2×n

²

−n

= S

ⁿ

+ (1

³

+ 2

³

+ 3

³

+ · · · + n

³

) +2 × (1

²

+ 2

²

+ 3

²

+ · · · + n

²

) +(1+2+3+· · ·+n)−n

³

−2n

²

−n

= S

ⁿ

+ (1

³

+ 2

³

+ 3

³

+ · · · + n

³

) +2S

n

+n(n + 1)

2 − n

³

−2n

²

− n

= 3S

ⁿ

+ (1

³

+ 2

³

+ 3

³

+ · · · + n

³

) +n

²

2 + n

2 − n

³

−2n

²

− n

= 3S

n

+ (1

³

+ 2

³

+ 3

³

+ · · · + n

³

)

−n

³

− 3n

²

2 − n

2 0 = 3S

n

− n

³

− 3n

²

2 − n 2 3S

ⁿ

= n

³

+ 3n

²

2 + n 2 3S

ⁿ

= n

2(2n

²

+ 3n + 1) S

n

= n(n + 1)(2n + 1)

6

3、結語

有很多人研究求 1

²

+2

²

+3

²

+· · ·+n

²

的方法, 由於每個人的想法不一, 因而產生的解法也各自不同。在以前學習創造力的課程中, 聽過這樣一句話, 「無中生有」是比較難, 而「有中生新」是比較容易的。在現有的問題上加以改良, 以得到新的結果。方法一是從知道數列的前幾項看出它的一般項, 這種由特殊的例子推測到一般的現象, 在數學上是很常用的。方法二、三是用分項對消, 在很多題目都有用到, 只是為想到 (n + 1)

³

− n

³

= 3n

²

+ 3n+ 1 這個公式找到一個理由來解釋。

方法四是利用倒過來寫相加的技巧, 而這個方法讓我感覺較深刻, 也是一個「有中生新」

的例子。要找到一個新的方法有時並不容易, 但是可以利用現有的方法加以修正而得到一個改良的方法, 這樣也是一種創新。在這個方法中, 第一個方程式列出之後, 為了找另外一個方程式讓我困擾很久, 幾乎想要放棄, 後來終於找到另外一個方程式。所以只要能夠堅持不放棄, 最後終能成功。在科學上有很多的發現也是如此。方法五是用體積的觀念, 這種方法也很多人想過。方法七中, 我們的目標是平方, 卻是先得到立方的結果。如果以能夠推廣到求 1

^k

+ 2

^k

+ 3

^k

+ · · · + n

^k

, k 為正整數, 方法三, 用到 (n + 1)

^k

= n

^k

+ kn

^k−1

+

· · ·+ kn + 1 是好方法, 而用函數的觀點也很好。

— 本文作者任教於台北市和平高中國中部—

如何求出

如何求出 1 + 2 + 3 + · · · + n

陳國裕

1、 引言

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

3

2

2、 思考過程

n

76

1 2 + 2 2 + 3 2 + · · · + n 2 77

2

n

n

2

2

S

2n+1 1

3

10 3

28 3

S

2n+1 1 3

3 3

6 3

10 3

15 3

21 3

28 3

36 3

45 3

n

n

n

n

n

S

S

5 1

14 5

30 14

55 30

91 55

140 91

204 140

285 204

2×7 5 3×5 7 2×3 11 7×13 5×11 2

13 ×5 3×17 5×7 2 5×19

×17

5 3

7 5 5 3

9 7 3 2

11 9 7 5

13 11 4 3

15 13 9 7

17 15 5 4

19 17

3

1

5 3 4 2

7 5 5 3

9 7 6 4

11 9 7 5

1、引言

²

²

²

²

²

²

²

²

²

²

²

²

²

²

²

²

²

³

³

²

2、思考過程

₁ ² _{+ 2} ² _{+ 3} ² + · · · + n ² 77

²

²

²

¹⁰ ₃

²⁸ ₃

^2×7 ₅ ^3×5 ₇ _2×3 ¹¹ ^7×13 _5×11 ²

₁₃ ^×5 ^3×17 _5×7 ₂ ^5×19

⁵ ₃

⁷ ₅ ⁵ ₃

⁹ ₇ ³ ₂

¹¹ ₉ ⁷ ₅

¹³ ₁₁ ⁴ ₃

¹⁵ ₁₃ ⁹ ₇

¹⁷ ₁₅ ⁵ ₄

¹⁹ ₁₇

⁵ ₃ ⁴ ₂

⁷ ₅ ⁵ ₃

⁹ ₇ ⁶ ₄

¹¹ ₉ ⁷ ₅

¹³ ₁₁ ⁸ ₆

¹⁵ ₁₃ ⁹ ₇

¹⁷ ₁₅ ¹⁰ ₈

¹⁹ ₁₇

_S ^S

²

²

²

²

²

²

²

²

²

²

²

ⁿ

²

³

²

²

²