如何解 「數獨」
吳明瑄 · 葉茂淳 · 王思懿
背景
「數獨」(SU DOKU) 一詞市由日本 Nikoli 出版社的董事長鍛治真起所創, 意指 「獨立的 數位」。
「數獨」 遊戲是由瑞士數學家歐拉的 「拉丁方塊」 改良而來, 1970 年代發表在美國的遊戲 雜誌, 當時名為 Number Place。 1984 年在日本推出後一砲而紅, 連 「朝日新聞」 亦定期連載, 2004年11月 「數獨」 登陸英國, 在 「泰晤士報」 亮相後就迅速流行起來。 2005年5月台灣的 「中 國時報」 首度引進, 且每日連載, 亦造成很大的迴響, 「數獨」 已逐漸成為全球化的益智遊戲。
「數獨」 的規則很簡單, 就是以 1∼9 九個數字把 9×9 方格裡的空格填滿, 1∼9 的數字在每 個直行、 橫列及每個小九宮格裡都只能出現一次。 想解開 「數獨」 不需任何的計算, 而是利用邏 輯推解出答案。 此種遊戲規則簡單趣味性又高, 還能開發大腦機能, 適合各年齡的人, 是一項值 得推廣的益智遊戲。
基 本語言
9×9的方格為大九宮格, 共有81個小方格, 大九宮格由左上到右下依序分為9個小九宮格。
1 2 3 4 5 6 7 8 9
內文之小九宮格以編號表示, 9 個橫列分別以 A、B、C、· · ·、I 代表, 9個直行分別以1、2、3、
· · ·、9 代表, 每個小方格以其橫列與直行的坐標表示, 如 (A, 2)、(C, 5) 等 (見圖一)
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常見問題與解決之道
小淳: 我先將數字出現較多的行、 列或小九宮格依規則填滿, 起初還很順利, 但到了最後的 1、2 個小九宮格就發現, 空格中無論填入何數都與規則矛盾。 為什麼?
小明: 因為每題都只有一個正確的答案, 只要初期填入錯誤的數字, 最後必發生此現象。 在解答 的過程中, 必須經過嚴謹的推理, 填入正確的數字, 才能一步步邁向正確之路。
開始解題
1. 著手點
小思: 解題時最困難之處乃在於不知應從哪一個數字? 哪一個小方格? 開始著手, 如同在茫茫 的大海中航行, 完全沒有方向感。
小明: 航海需要靠羅盤指引方向。 解 「數獨」 則可借助於一個簡單的統計表, 即每個數字出現的 次數, 由出現次數最多的數字開始依序解題通常是較佳的策略。 至於從哪一個小方格開 始則需藉由敏銳的觀察力, 利用每個數字在每行、 每列、 每個小九宮格均只能出現一次的 特性, 以消去法找出唯一可填的空格。
2. 基本技巧 直接消去法:
(1) 消去某數字
a. 小九宮格消去法
在某個小九宮格裡, 由相關的行、 列曾出現過的數字消去不可能為該數字的小方格, 最 後若只剩下一個小方格可能為該數字, 則該數字必是填在此小方格。
b. 行列消去法
在某個直行或橫列裡, 由相關的行、 列、 小九宮格曾出現過的數字消去不可能為該數字 的小方格, 最後若只剩下一個小方格可能為該數字, 則該數字必是填在此小方格。
(2) 消去非某數字
在某個小方格裡, 由同一直行、 橫列及同一小九宮格裡, 將出現過的數字一一消去, 最後若 只剩下一個數字, 則此小方格裡必是此數字。 例如用此法推得 (B, a) 中必為數字 x, 則我 們在本文中用 (B, a) : x 表示。
註. 下文中, 用 A → B 表示先作完 A 之後可以得到 B 之結果。
例1.
出現次數 數字
4 1
3 2, 3, 5, 6, 8, 9
2 4, 7
檢視小九宮格: (小九宮格消去法)
在 3 號小九宮格中, 因 (C, 3) 和 (B, 5) 已有數字 1, 故同列的 (C, 7) (C, 8) 及 (B, 7) (B, 9) 不能再填 1, 又 (D, 9) 已有 1, 故同行的 (A, 9) 不能填 1, 所以 3 號小九宮格中, 1 只能 填在 (A, 8), 此即小九宮格消去法。 同理在 4 號小九宮格中, 1 只能填在 (F, 2)。
以 1: (A, 8), (F, 2) 表示, 3: (E, 3)
5: (G, 5)
2: (H, 4)→(G, 3)→(E, 1)→(F, 8)→(C, 7)→(A, 5) 9: (B, 4)→(A, 3)→(H, 1)→(G, 8)→(D, 7)→(F, 5) 3: (D, 8) (文中之→表示用消去法即可推得之結果) 檢視直行: (行列消去法)
在第 8 行, 因 (A, 7) 已有數字 8, 故 (C, 8) 不能再填 8, 所以第 8 行中, 8 只能填在 (I, 8)
8: (I, 8)→(G, 2) 7: (C, 8)
檢視橫列: (行列消去法)
在 F 列中, 因 (I, 3) 和 (C, 6) 已有 5, 故 (F, 3) 及 (F, 6) 不能再填 5, 所以 F 列中, 5 只能填在 (F, 9)
5: (F, 9)→(B, 7)→(A, 2)→(D, 1)→(E, 4) 檢視小九宮格:
(3 號) 3: (B, 9)→(I, 7)→(G, 6)→(C, 5) (6 號) 8: (E, 9)→(F, 6)→(C, 4)→(B, 1)
4: (E, 7)→(D, 5)→(H, 6)→(G, 9) (4 號) 4: (F, 3)
7: (D, 2)→(B, 3)
→(A, 6)(I, 1)(H, 9)(E, 5) (2 號) 6: (B, 6)→(D, 4)→(I, 5)
→(H, 3)(A, 9)(C, 2) 4: (C, 1)(I, 2)
1: (E, 6)(I, 4)(H, 7) 例2.
出現次數 數字
4 2, 3 3 1, 5, 7 2 4, 8, 9
1 6
檢視小九宮格: (小九宮格消去法) 9 號小九宮格: 1: (G, 9)
3: (I, 7)→(G, 2)
檢視橫列: (行列消去法) E列: 2: (E, 7)→(A, 8)
8: (E, 3) D列: 3: (D, 3) 檢視直行:
第 5 行: 5: (C, 5)→(B, 1)→(A, 7) 8: (G, 5)
檢視小九宮格:
(1 號): 8: (A, 2)→(H, 1)→(I, 8)
→(F, 9)→(B, 6) (2 號): 3: (C, 6)→(B, 9) (7 號): 2: (G, 1)→(F, 2)(H, 4) (9 號): 5: (H, 9)→(D, 8)(I, 4) (3 號): 7: (C, 8)
(8 號): 7: (H, 6) (7 號): 9: (I, 3) (3 號): 9: (C, 9)
6: (B, 7)→(G, 8)→(I, 6)→(H, 3) (6 號): 6: (D, 9)→(F, 1)→(C, 2)(E, 4) (9 號): 4: (H, 7)→(F, 8)→(D, 5)(I, 2) (1 號): 4: (B, 3)→(C, 4)→(G, 6) (8 號): 9: (G, 4)→(A, 6)
(4 號): 9: (D, 1)→(F, 7)→(E, 5)
(6 號): 1: (D, 7)→(F, 3)→(C, 1)(E, 6)(A, 4) 7: (A, 3)(B, 4)(D, 2)(F, 5)
在例 1及例2中, 將直接消去法中的小九宮格消去法及行列消去法巧妙的交互運用, 即可找 出正確的解答。 但在較難的題目裡尚需運用較高階的技巧才能找到正確的解答。
間接消去法 :
(1) 消去某數字
在 1 號小九宮格裡, 1 只能填在甲中任一格, 在 2 號小九宮格, 由小九宮格消去法知 1 只能 填在乙。 此例由行列消去法檢視 C 列亦可解出。
(2) 隱藏消去法
在 1 號小九宮格裡, 2 和 3 只能填在丙中, 再用小九宮格消去法即知 1 只能填在丁。
例3.
出現次數 數字
5 6
4 1, 8 3 4, 5, 7 2 2, 3, 9
檢視小九宮格:
(6 號) 6: (F, 8) (4 號) 8: (E, 2)
(5 號) 5: (E, 6), 2: (E, 4), 3: (D, 5), 4: (F, 5), 7: (E, 5) (6 號) 9: (E, 8), 7: (D, 8)
(4 號) 4: (D, 2)
檢視橫列: (行列消去法)
(G列) 6: (G, 2), 4: (G, 8), 1: (G, 3) (I列) 8: (I, 6)
(C列) 4: (C, 9) 檢視小九宮格:
(4 號) 5: (F, 2)→(D, 9) (6 號) 2: (F, 9)→(D, 1) (4 號) 7: (F, 1)
消去非某數字:
(C, 3): 在第 3 行中已有 1, 3, 4, 6, 9, 在 C 列中已有 2, 5, 7, 所以在 (C, 3) 不能再填入 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 故 (C, 3) 只能填 8。
8: (C, 3)→(B, 8)(H, 1)
(B, 5) 及 (H, 5) 只能填入 6 和 9 (B, 9) 及 (H, 9) 只能填入 1 和 9
所以 9只能填在 (B, 5) 及 (H, 9) 或 (H, 5) 及 (B, 9), 故 B 列中 9只能填在 (B, 5) 或 (B, 9)。
間接消去法:
(1) 消去非某數字
(B, 1): 3→(G, 1): 9→(G, 7): 3
(C, 7): 9→(H, 9)→(I, 4)→(B, 5)→(A, 2) (C, 2): 1, (B, 9): 1→(A, 6)(H, 8)
(C, 8): 3 檢視小九宮格:
(2 號): 3: (A, 4)→(H, 6)→(I, 2), 6: (B, 4), 4: (B, 6) (8 號): 4: (H, 4), 6: (H, 5)
(9 號): 5: (H, 7)→(A, 8)→(B, 3), 7: (I, 7), 2: (I, 8) (3 號): 2: (B, 7)→(A, 3)→(H, 2), 7: (B, 2), (H, 3)
例4.
出現次數 數字
4 2, 5 3 3, 6, 7 2 1, 4, 8
1 9
檢視小九宮格:
(6 號) 2: (E, 7)
(5 號) 5: (D, 5), 7: (F, 5)
(3 號) 3: (A, 9) 消去非某數字:
(G, 9): 6→(F, 7)→(D, 2) 檢視直行:
第 7 行 1: (C, 7), 8: (I, 7) 檢視橫列:
C列 7: (C, 2)→(I ,3)→(H, 7)→(B, 9)→(A, 6) 檢視直行:
第 2 行 4: (B, 2) 第 7 行 4: (A, 7) 消去非某數字:
(I, 9): 4→(D, 8)→(E, 3) 檢視橫列:
D列 8: (D, 3)→(A, 1)→(B, 5)(G, 2) 檢視小九宮格:
(6 號) 8: (F, 8)→(E, 4)
(1 號) 2: (C, 1)→(B, 8)→(A, 5)→(G, 6) (2 號) 1: (B, 6)
(1 號) 5: (A, 3), 9: (B, 3) (3 號) 9: (C, 8)→(A, 4) 檢視橫列:
D列 1: (D, 9) 檢視小九宮格:
(6 號) 9: (E, 9)→(D, 6) 檢視橫列:
G列 5: (G, 8), 3: (G, 5)→(E, 6) 1: (G, 3)
檢視小九宮格:
(9 號) 3: (H, 8)→(I, 1)→(F, 2)
(7 號) 5: (H, 1)→(I, 4) 9: (H, 2)→(I, 5) (4 號) 9: (F, 1) 1: (E, 1)→(F, 4)→(H, 5) (5 號) 6: (E, 5)→(C, 4)→(I, 6)
4: (C, 5)(H, 4) 例5.
出現次數 數字
4 2, 4, 7 3 5, 9 2 1, 6, 8
1 3
檢視小九宮格:
(5 號) 5: (F, 4) 消去非某數字:
(E, 3): 6 (E, 7): 9→(D, 6) 檢視橫列:
(A列) 6: (A, 1) 8: (A, 2)→(D, 1)
在 4 號小九宮格裡, 1 只能填在 (D, 2) 或 (F, 2), 利用間接消去法知 (I, 2) 不能填 1, (I列) 1: (I, 1)
在第 1 行裡, 4 只能填在 (B, 1) 或 (C, 1), 由間接消去法, (A, 3) 不能填 4, (A列) 4: (A, 7)
小思: 解題至此, 我試遍學過的方法, 都無法再找到新的線索。 可否利用嘗試錯誤法, 將有 2 種 可能的小方格任選一個可能代入, 不知是否可行?
小明: 此法或許可行, 但歧路之後往往另有歧路, 故此法常成效不彰。 在較難的題目裡, 可將空 格裡可能填入的數字用鉛筆以較小的字體加以註記, 再以間接消去法找出隱藏的線索。 利 用此法本題解法如下:
(C, 3) 已有1, 在2號小九宮格裡1只能填在 B 列, 再以間接消去法及消去非某數字知 (B, 9) 可能填 (3, 5, 9), (C, 9) 可能填 (2, 3, 9)。
(H, 3) 已有 8, 在 8 號小九宮格裡 8 只能填在 G 列, 再以間接消去法及消去非某數字知 (G, 9) 可能填 (2, 3, 5, 9)。
(G, 2) 已有 6, 在 8 號小九宮格裡 6 只能填在 H 列, 再以間接消去法及消去非某數字知 (H, 9) 可能填 (2, 3, 5, 9)。
由上述可知 2, 3, 5, 9恰在 (B, 9)(C, 9)(G, 9)(H, 9) 中, 利用間接消去法及消去非某數 字
(A, 9): 1
檢視橫列: A列: 3: (A, 3), 5: (A, 8) 檢視小九宮格: (6號) 5: (D, 7) 檢視橫列: D 列 6:(D, 5) 消去非某數字: (D, 8): 1 檢視小九宮格:
(4 號) 1: (F, 2), 3: (D, 2) 7: (F, 3), 4: (D, 3) (5 號) 3: (F, 5)
消去非某數字:
(I, 3): 2 (I, 8): 8→(F, 9) 檢視小九宮格:
(6 號) 6: (F, 7), 2: (F, 8) (7 號) 4: (I, 2)
檢視橫列:
I列 6: (I, 9), 3: (I, 7)
(B, 3)(G, 3) 只能填 5 和 9, (B, 8)(G, 8) 只能填 7 和 9, 所以 9 只能填在 (B, 3) 和 (G, 8) 或 (G, 3) 和 (B, 8), 故 B 列中 9 只能填在 (B, 3) 或 (B, 8), 利用間接消去法及消去非某數字
(B, 9): 3→(C, 4) 檢視小九宮格:
(2 號) 8: (C, 5)→(G, 6)→(E, 4)
(5 號) 1: (E, 6)
(8 號) 3: (H, 6)→(G, 1), 6: (H, 4)→(B, 6), 1: (H, 5), 2: (G, 5) (2 號) 4: (B, 5)→(C, 1), 1: (B, 4)
檢視橫列: G 列 7: (G, 8)→(C, 7)→(B, 1)→(H, 2) 檢視小九宮格:
(7 號) 9: (G, 3)→(C, 2)→(B, 8)(H, 9), (3號) 2: (C, 9)→(H, 7) 5: (H, 1)(B, 3)(G, 9)
以上解答的順序, 有部份會依個人解題偏好的不同而有所異動, 只要是經由推理找到的解 答, 都是殊途同歸的結果。
本文所列的解答順序希望以較有系統的方式, 並能適用於大多數的題目, 能讓初學者有所 依循。
參考文獻
1. “第 8 題”, 數獨 For Expert, Vol. 4, 株式會社 −(日本)。
2. “第 15 題”, 數獨 For Expert, Vol. 1, 株式會社 −(日本)。
3. “第 96 題”, 數獨, 第 1 冊, 格林文化。
4. “第 92 題”, 數獨 For Expert, Vol. 3, 株式會社 −(日本)。
5. “第 101 題”, 數獨 For Expert, Vol. 3, 株式會社 −(日本)。
—本文作者吳明瑄為業餘數學愛好者;葉茂淳就讀台北市萬芳國小五年級;王思懿就讀台北縣 石碇高中三年級—
