自然對數與一般指數函數的微分 單維彰‧

自然對數與一般指數函數的微分

單維彰‧2014 年 4 月 我們現在知道標準指數e^x有個超級簡單的微分公式：

[ e

]   e

但是那又怎樣？天下有那麼多指數函數，有 2^x、3^x、10^x、 (1.03)^x、 (0.98)^x、( )¹ 2

x…

這麼多、各式各樣的底數，又不一定會是標準指數，這個超級簡單的微分公式，怎樣 幫助它們做微分呢？

別擔心。對任意一個指數函數a ，其中 0^x   ，總有一個係數 k 使得a 1 a ，也e^k 就是e^x  有唯一解 k。所以 a

( )

x k x kx

a  e e

也就是說每一個指數函數a 都可以換成標準指數函數^x e 。用微分連鎖律就可以計算 ^kx [a^x] [e^kx]

[kx e] ^kx k e^kx

   k ax



這就是我們已經知道的：指數函數的微分，都是某個常數乘以它自己。

以前學過對任意正數a ，方程式101 ^x  有唯一解，如下圖，也就是指數函數a 10^x

y 和水平線 y 有唯一交點，交點的 x 坐標就是 a 的對數，記作 log a 。 a

現在的狀況非常類似，只是把10^x函數改成標準指數函數e 。任給一個正數 a，標準指^x 數函數y 和水平線 y ae^x  有唯一交點，如下圖，交點的 x 坐標對到誰？

就像以前一樣，正數 a 對到的那個 x，稱為 a 的對數。可是，從10^x對下來的數 叫做對數，從e 對下來的數也叫做對數，這樣會混淆。所以，以前學的對數，叫^x 做常用對數，記作 log a 。而從標準指數函數e 對下來的數，叫做自然對數，記^x 作ln a。

說文解字：自然對數符號 ln 讀作 long，它是縮寫，來自拉丁文 Logarithmus Naturalis，其中 Logarithmus 是對數（名詞）的意思，而 Naturalis 是自然的（形 容詞）。而自然對數的意思，就像以前 log a 的意思是10^loga  一樣，只是把 10a 的次方換成 e 的次方：

對任意正數 a，

a  e

就好像 2，log 2 一樣，ln 2 是一個代數記號。 2 是方程式x² 2的正數解，

log 2是方程式10^x 2的解，而現在ln 2就表示方程式e^x 2的解。符號的意思清 楚了，那它的數值怎麼估計呢？我們可以用電腦搭配「十分逼近法」來計算方程 式的解。

首先我們觀察以下圖形，發現ln 2 顯然在 0 與 1 之間。所以ln 2 0. 。

我們把 [0,1] 之間的十分位小數 0, 0.1, 0.2…,0.9, 1.0（共 11 個數）分別代入e 算^x 出 11 個點，畫出下圖，一看就很清楚：e^0.6還不到 2，但是e^0.7超過 2 了。所以

ln 20.6。

再把 [0.6, 0.7] 之間的百分位小數 0.60, 0.61, 0.62, …, 0.69, 0.70 分別代入$e^x$

算出 11 個點，畫圖如下，觀察e^0.69還不到 2，但是e^0.7超過 2，所以這次發現 ln 20.69。

再把 [0.69, 0.70] 之間的千分位小數 0.690, 0.691, 0.692, …, 0.699, 0.700 分別代 入e 算出 11 個點，畫圖如下，觀察^x e^0.693還不到 2，但是e^0.694超過 2，所以這次 發現ln 20.693。

再做一次吧，把 [0.693, 0.694] 之間的萬分位小數 0.6930, 0.6931, 0.6932, …, 0.6939, 0.6940 分別代入e 算出 11 個點，畫圖如下，觀察^x e^0.6931還不到 2，但是

0.6932

e 超過 2，所以這次發現ln 20.6931。

夠了，我們可以說ln 20.6931。

同學們還記得，以前從微分的定義，用電腦算出來[2^x]’是一個常數乘以 2^x，而 那個常數大約是 0.6931 嗎？也就是

[2 ]^x  0.6931 2 ^x

現在我們知道為什麼了。因為2e^{ln 2}，所以2^x e^{ln 2x}，現在我們知道那個係數 k 就是 ln 2 。那麼

[2 ]^x  ln 2 2 ^x 而ln 20.6931，所以得到以前的結果。

現在，我們正式得到了 一般指數函數的微分公式

[ a

]   ln a a 