§1-5 §1-6 指數與對數基本的問題

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§1-5 §1-6 指數與對數

基本的問題

（i）函數，合成函數，反函數

（ii）指、對數圖形及其性質

（iii） p t

( )

= p02^rt , p₀ = 初始值

0

: 1

0 r

⎧ >

⎪⎪

⎨ −

⎪ <

⎪⎩

倍增率 = 1

倍增期倍減率 =

半衰期

（iv） e 如何來？

幾何：

( )

^0,1

y=ex

切線斜率=1

代數： lim 1 ¹

n

n e

→∞ n

⎛ + ⎞ =

⎜ ⎟

⎝ ⎠

深入的問題

（i）如何定義如下的指數 2 , ² π ²？

（ii）能否先定義對數，再定指數？

If so,how?

(2)

2

1-5 Exponential Functions Homework：2,8,9,13,18,25

指數函數

^{f x}

( )

⁼^a^x^{, 0}^a^>

1.

2. Applications 3. e

⎧⎪

⎨⎪

⎩

成長或衰退的非常快

Example 1：Moon-Earth 的距離約為 384.400km，我們假設為 400,000km，

又一張紙的厚度設為10⁻²cm，請問摺幾次後紙張厚度超過 M-E 的距離？

Solution：

7 5

:

2 10 4 10 2 12

log 2 42

k

k k

− −

⋅ > ×

⇒ > +

⇒ =

紙張摺的次數

Remark：當然紙張不可能摺 42 次，但這例子是告訴大家，指數的成長速度是驚人的。

Example 2：Half-life 25 years, p₀ =24 , p₆₀ = ？ Solution：

( ) ( )

25 0

12 5

2 60 24 2

t

p t p p

−

=

⇒ =

Example 3：Population is doubled every 100 years, p₀ =10⁵,問

150

( )

150 p = p = ？ Solution：

( )

0 2¹⁰⁰

( )

150 10 2⁵ ^1.5

t

p t = p ⇒ p = ⋅

(3)

3

Example 4：e 這個數？

Solution：幾何上：y=a^x , 0 a> ,恆過

( )

^{0,1 點.}

Facts：‧當a= , 過2

( )

^{0,1 和}^y⁼²^x相切的切線斜率約為 0.7。

‧ 當a= , 其相對的切線斜率約為 1.1。 3

⇒ 存在一實數a>0,使得其相對的切線斜率為 1.我們令此 實數為 e .

此 e 為無理數約為e≈2.71828.

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