翻轉塗色—Thue-Morse 數列的同色 3-AP 個數

翻轉塗色—Thue-Morse 數列的同色 3-AP 個數

莊沅蓉

國立臺南女子高級中學

目錄

3 3

—AP₃(T_n) = 4ⁿ⁻²− 2ⁿ⁻² 4

( ) #{Tn I 3-AP} = #{Tn II 3-AP} = AP3(Tn−1) . . . 6

( ) #{Tn III 3-AP} = #{Tn IV 3-AP} . . . . 6

( ) #{Tn III 3-AP} = 4ⁿ⁻³ . . . 9

( ) AP3(Tn) = 2· AP3(Tn−1) + 2· 4ⁿ⁻³ . . . 13

—AP₃(T_n,p) 13 ( ) #{Tn iii 3-AP} = #{Tp+1 III 3-AP} . . . 15

( ) #{Tn iv 3-AP} . . . 15 17

一 問題

會考慮本問題是在我看完 [3] 之後所獲得的靈感。令 A = a₁a₂· · · an 為一長度為 n 的雙色字 串，也就是任一個 a₁, a₂, ..., a_n不是 0 就是 1。如果存在正整數 i 及 d 滿足 a_i = a_i+d= a_i+2d， 則我們稱 (i, i + d, i + 2d) 為 A 的一個同色 3-AP。本文的目的在決定長度為 2ⁿ的 Thue-Morse 雙色字串 1 0 01 0110 01101001| {z · · ·}

2ⁿbits

有幾個同色 3-AP。

參考文獻 [1]，[2]

二 定義列表

定義 一. 一個長度為 n 的雙色字串定義為一個二進位表示的 n 位數字。

定義 二. 令 A = a₁a₂· · · an, B = b₁b₂· · · bm 為兩個長度分別為 n, m 的雙色字串，定義 AB = a₁a₂· · · anb₁b₂· · · bm.

定義 三. 若 A = a1a2· · · an 為一個長度為 n 的雙色字串，則定義 A 的互補雙色字串為 A = (1− a1)(1− a2)· · · (1 − an).

定義 四. 令 A = a₁a₂· · · an 為一長度為 n 的雙色字串，定義 A 的一個同色 3-AP 為一數組 (i, i + d, i + 2d)，此數組滿足 ai = a_i+d = a_i+2d，其中 d 稱為此同色 3-AP 的公差。並將 A 的 所有同色 3-AP 的個數記為

AP₃(A) = #{(i, i + d, i + 2d) | ai = a_i+d = a_i+2d}.

例子 1. 假設 A = 1001011001101001，(1, 4, 7) 為 A 的一個同色 3-AP，(2, 8, 14) 為 A 的另一 個同色 3-AP，

A = 1

a1

a02

a03

a14

a05

a16

a17

a08

a09

a110

a111

a012

a113

a014

a015

a116

定義 五. 令 T0 = 1，並對於所有的非負整數 n，定義長度為 2ⁿ 且以 1 開頭的 Thue-Morse 雙色字串為 T_n= T_n−1T_n−1。

例子 2.

T₀ = 1,

T1 = 11 = 10, T₂ = 10 10 = 1001,

T₃ = 1001 1001 = 10010110,

T₄ = 10010110 10010110 = 1001011001101001, ...

定義 . 令 M 為一元素為二進位數字的矩陣，定義 N(M ) 表示矩陣 M 中，全部為 0 的行 數加上全部為 1 的行數。

例子 3. 例如 N(



0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1



) = 3.

三 主要的結果—AP

₃

(T

_n

) = 4

ⁿ⁻²

− 2

ⁿ⁻²

引理 七. T_n

不會有公差

d = 1

或

d = 2

或

d > 2ⁿ⁻¹− 1

的同色

3-AP

。

定義 . 給定一個固定的正整數 d，其中 3 ≤ d ≤ 2ⁿ⁻¹− 1，我們將 Tn 按下圖的方式排列，

稱為 T_n 的 d-中心排列。

d bits

z }| {

T_n−1

...

⁽²ⁿ⁻¹ mod d) bits

z }| {

a₂n−1−2d+1 · · · · · · · a2ⁿ⁻¹−2d+i · · · a₂n−1−d

← MIII(d) a₂ⁿ−1−d+1 · · · · a₂ⁿ−1−d+i · · · a₂ⁿ−1

T_n−1 a₂ⁿ−1+1 · · · · a₂ⁿ−1+i · · · a₂ⁿ−1+d

a₂n−1+d+1 · · · · · · · · · · · · · · a₂n−1+2d

↑

.. .

MIV(d)

例子 4. 例如 T₄ = 1001 0110| 0110 1001 的 d = 6-中心排列為

6 bits

z }| {

2 bits

z}|{

T₃ 1 0 ← MIII(6)

0 1 0 1 1 0

T₃ 0 1 1 0 1 0

0 1

↑ M_IV(6)

例如 T4 = 1001 0110| 0110 1001 的 d = 5-中心排列為

5 bits

z }| { T₃ z }| {^{3 bits}

1 0 0 ← MIII(5) 1 0 1 1 0

T₃ 0 1 1 0 1 0 0 1

↑ M_IV(5)

例如 T5 = 1001 0110 0110 1001| 0110 1001 1001 0110 的 d = 7-中心排列為

7 bits

z }| {

7 bits

z }| { M_III(7)

T₄ 1 0 ↙

0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1

T₄ 0 1 1 0 1 0 0

1 1 0 0 1 0 1

↗ 1 0

M_IV(7)

觀察. 注意到，上圖中若三個 0 或三個 1 出現在同一行，就對應到 T_n 的一個公差為 d 的同 色 3-AP。例如上圖中 M_III(d) 矩陣中的一個全 0 行或全 1 行就對應到 T_n 的一個公差為 d 的同色 3-AP。利用這個 d-中心排列，我們可以把求 T_n 的同色 3-AP 的個數問題，轉化成求 矩陣中全 0 行及全 1 行的個數問題。

定義 九. 在 Thue-Morse 雙色字串 T_n= T_n−1T_n−1 = a₁a₂· · · a2ⁿ⁻¹a₂n−1+1· · · a2ⁿ 中，令 (i, i + d, i + 2d) 為 Tn 的一個同色 3-AP，

• 若 i < i + d < i + 2d≤ 2ⁿ⁻¹，則稱 (i, i + d, i + 2d) 為 T_n 的第 I 類同色 3-AP。直覺來 看，表示這個 3-AP 是落在 d-中心排列的上半部。

• 若 2ⁿ⁻¹ < i < i + d < i + 2d，則稱 (i, i + d, i + 2d) 為 Tn 的第 II 類同色 3-AP。直覺來 看，表示這個 3-AP 是落在 d-中心排列的下半部。

• 若 i < i + d≤ 2ⁿ⁻¹ < i + 2d，則稱 (i, i + d, i + 2d) 為 T_n 的第 III 類同色 3-AP。直覺來 看，表示這個 3-AP 是落在 MIII(d)中的。

• 若 i≤ 2ⁿ⁻¹ < i + d < i + 2d，則稱 (i, i + d, i + 2d) 為 T_n 的第 IV 類同色 3-AP。直覺來 看，表示這個 3-AP 是落在 M_IV(d) 中的。

接下來我們分四個部份

• (一)：證明 #{Tn 的第 I 類同色3-AP} = #{Tn 的第 II 類同色3-AP} = AP3(T_n−1)，於 是我們可以得到

AP₃(T_n) = #{Tn 的第 I 類同色3-AP} + #{Tn 的第 III 類同色3-AP} + #{Tn 的第 II 類同色3-AP} + #{Tn 的第 IV 類同色3-AP}

= 2· AP3(T_n−1) + #{Tn 的第 III 類同色3-AP} + #{Tn 的第 IV 類同色3-AP}

• (二)：證明 #{Tn 的第 III 類同色3-AP} = #{Tn 的第 VI 類同色3-AP}，於是我們可以 得到

AP₃(T_n) = 2· AP3(T_n−1) + 2· #{Tn 的第 III 類同色3-AP}

• (三)：證明 #{Tn 的第 III 類同色3-AP} = 4ⁿ⁻³，於是我們可以得到 AP₃(T_n) = 2· AP3(T_n−1) + 2· 4ⁿ⁻³

• (四)：求解遞迴方程式 AP₃(T_n) = 2· AP3(T_n−1) + 2· 4ⁿ⁻³，於是我們可以得到最主要的 結果

AP₃(T_n) = 4ⁿ⁻²− 2ⁿ⁻².

(一) # {T

n

的第 I 類同色3-AP } = #{T

n

的第 II 類同色3-AP } = AP

3

(T

_n−1

)

引理 十.

假設雙色字串

A = a₁a₂· · · an

，則

AP₃(A) = AP₃(A)

。

Proof. 因為 a_i = a_i+d= a_i+2d ⇔ ai = a_i+d= a_i+2d，所以

AP₃(A) = #{(i, i + d, i + 2d) | ai = a_i+d = a_i+2d}

= #{(i, i + d, i + 2d) | ai = a_i+d = a_i+2d} = AP3(A).

引理 十一. #{Tn

的第

I

類同色

3-AP} = #{Tn

的第

II

類同色

3-AP} = AP3(T_n−1) Proof. 假設 Thue-Morse 雙色字串 T_n = T_n−1T_n−1 = a₁a₂· · · a2ⁿ⁻¹a₂n−1+1· · · a2ⁿ，

#{Tn 的第 I 類同色3-AP}

= #{(i, i + d, i + 2d) | ai = ai+d= ai+2d, i < i + d < i + 2d≤ 2ⁿ⁻¹}

= AP₃(T_n−1)

引理 十↓

= AP₃(T_n−1)

Tn=Tn−1Tn−1

=↓ #{(i, i + d, i + 2d) | ai = a_i+d= a_i+2d, 2ⁿ⁻¹ < i < i + d < i + 2d}

= #{Tn 的第 II 類同色3-AP}

(二) # {T

ⁿ

的第 III 類同色3-AP } = #{T

ⁿ

的第 IV 類同色3-AP }

由觀察 三，我們可以得到 引理 十二.

• #{Tn

的第

III

類同色

3-AP} =²

n∑−1−1 d=3

N(M_III(d))

，

• #{Tn

的第

IV

類同色

3-AP} =²

n−1∑−1 d=3

N(MIV(d))

。

觀察.

T₀ = 1 T₁ = 10 T₂ = 10| 01

T₃ = 1001| 0110 ...

更一般地，想像一下在 Tn 中，Tn−1 與 Tn−1 中間有一條中心分隔線，然後考慮與中心分 隔線等距的對應字元。

T_n= a₁a₂· · · a2ⁿ−j· · · a2ⁿ−1a₂ⁿ

| {z }

Tn−1

| a2ⁿ+1a₂ⁿ₊₂· · · a2ⁿ+(j+1)· · · a2ⁿ

| {z }

Tn−1

由這個觀察我們可以得到

引理 十三.

假設

T_n= T_n−1T_n−1 = a₁a₂· · · a2ⁿ⁻¹a₂ⁿ−1+1· · · a2ⁿ

，

•

如果

n

是偶數，則有

a₂n−1−j = a₂n−1+(j+1)

•

如果

n

是奇數，則有

a₂ⁿ−1−j = a₂ⁿ−1+(j+1)

。

觀察. 我們來看一下這些跨越 T_n 中心分隔線的對應字元在 d-中心排列中會如何展現。

• a₂ⁿ−1−2d+i = a₂ⁿ−1−(2d−i) 對應到 a₂ⁿ−1+((2d−i)+1)。

• a₂ⁿ−1−d+i = a₂ⁿ−1−(d−i) 對應到 a₂ⁿ−1+((d−i)+1)。

• a₂ⁿ−1+i = a₂ⁿ−1+((i−1)+1) 對應到 a₂ⁿ−1−(i−1)（右到左）。

d bits

z }| {

...

a₂ⁿ−1−2d+1 · · · · · · · · · · · · · a2ⁿ⁻¹−2d+i · · · a₂ⁿ−1−d

← MIII(d) a₂n−1−d+1 · · · a₂n−1−(i−1) · · · · a₂n−1−d+i · · · a₂n−1

a₂ⁿ−1+1 · · · a₂ⁿ−1+((d−i)+1) · · · · a₂ⁿ−1+i · · · a₂ⁿ−1+d

a₂n−1+d+1 · · · a2ⁿ⁻¹+((2d−i)+1) · · · · · · · · · · · · · a2ⁿ⁻¹+2d

↑

...

MIV(d)

注意到

a₂n−1−2d+i, a₂ⁿ−1−d+i,

a₂ⁿ−1+i

三個字元在同一行上，而其分別對應的

a₂n−1+((2d−i)+1), a₂ⁿ−1+((d−i)+1),

a₂ⁿ−1−(i−1)

三個字元也在 同一行上，因為他們的位置公差亦為 d。

引理 十四.

如果

a₂ⁿ−1−2d+i = a₂ⁿ−1−d+i = a₂ⁿ−1+i

，則

a₂ⁿ−1+((2d−i)+1) = a₂ⁿ−1+((d−i)+1) = a₂ⁿ−1−(i−1)

。也就是

a₂ⁿ−1−2d+i

||

a₂ⁿ−1−d+i

||

a₂ⁿ−1+i

⇒

a₂ⁿ−1+((2d−i)+1)

||

a₂ⁿ−1+((d−i)+1)

||

a₂ⁿ−1−(i−1)

.

Proof. 當 n 是偶數時，

a₂n−1−2d+i = a₂n−1−d+i= a₂n−1+i

⇒ a₂ⁿ−1−(2d−i)= a₂ⁿ−1−(d−i) = a₂ⁿ−1+((i−1)+1)

引理 十三

⇒↓ a₂ⁿ−1+((2d−i)+1) = a₂ⁿ−1+((d−i)+1) = a₂ⁿ−1−(i−1)

當 n 是奇數時，

a₂ⁿ−1−2d+i = a₂ⁿ−1−d+i= a₂ⁿ−1+i

⇒ a₂ⁿ−1−(2d−i)= a₂ⁿ−1−(d−i) = a₂ⁿ−1+((i−1)+1)

引理 十三

⇒↓ a₂ⁿ−1+((2d−i)+1) = a₂ⁿ−1+((d−i)+1) = a₂ⁿ−1−(i−1)

⇒ a₂ⁿ−1+((2d−i)+1) = a₂ⁿ−1+((d−i)+1) = a₂ⁿ−1−(i−1)

引理 十四表明了，M_III(d) 中全 0 行及全 1 行的個數與 M_IV(d) 中全 0 行及全 1 行的個 數會是相等的，也就是 N(M_III(d)) = N(M_IV(d))。於是再由引理 十二，可以得到

#{Tn 的第 III 類同色3-AP}

引理 十四

=↓

2ⁿ⁻¹∑−1 d=3

N(M_III(d))

引理 十二

=↓

2ⁿ∑⁻¹−1 d=3

N(M_IV(d))

引理 十四

=↓ #{Tn 的第 IV 類同色3-AP}

(三) # {T

n

的第 III 類同色3-AP } = 4

ⁿ⁻³

由引理 十二，我們有 #{Tn 的第 III 類同色3-AP} = ²

n∑−1−1 d=3

N(M_III(d))，所以我們來計算 N(M_III(d))。

1 觀察 MIII(d) 並分組

定義 十五. 令 T_m(a_i, a_j) 表示 Thue-Morse 雙色字串 T_m 中，第 i 個字元到第 j 個字元組成 的雙色字串。

我們觀察 M_III(d)，發現可將其按照 d 的值分成三類，

觀察.

M_III(d) =

































 Tn−1(a1, as) Tn−1(a₂n−1−s+1, a₂n−1) T_n−1(a₂n−1−2s+1, a₂n−1−s)



 當d∈ S1={2ⁿ⁻¹− s | s = 1, 2, ..., 2ⁿ⁻²};



T_n−2k(a2s+1, a_2n−2k) T_n−2k(a1, as) T_n−2k(as+1, a_2n−2k−s) T_n−2k(a_{2n−2k−s+1}, a_2n−2k)

Tn−2k(a1, a₂n−2k−2s) Tn−2k(a₂n−2k−2s+1, a₂n−2k−s)



 當d∈ S2=

{

2^n−2k− s | k=1,2,...,⌊ⁿ⁻²₂ ⌋ s=1,2,...,2^n−2k−1

}

;



Tn−2k+1(a2s+1, a₂n−2k+1) Tn−2k+1(a1, as)

Tn−2k+1(as+1, a₂n−2k+1−s) Tn−2k+1(a₂n−2k+1−s+1, a₂n−2k+1) Tn−2k+1(a1, a₂n−2k+1−2s) Tn−2k+1(a₂n−2k+1−2s+1, a₂n−2k+1−s)



 當d ∈ S3= {

2^n−2k+1− s | ^{k=2,...,⌊n−22 ⌋}

s=1,2,...,2^n−2k

} .

2 考如何計算 N(M_III(d))

定義 十 . 假設雙色字串 A = a₁a₂· · · an−1a_n，定義 A 的逆向雙色字串 ←−

A = a_na_n−1· · · a2a₁。 引理 十七.

假設

Thue-Morse

雙色字串

T_n= a₁a₂· · · a2ⁿ−1a₂ⁿ

，且假設

^←T⁻_n = b₁b₂· · · b2ⁿ−1b₂ⁿ = a₂ⁿa₂ⁿ₋₁· · · a2a₁

，則

b_i = a₂ⁿ_−i+1

，其中

i≤ 2ⁿ

。 別地，我們有

T_m(a_i, a_j) =←−

T_m(a₂^m_−j+1, a₂^m_−i+1)

。

Proof.

T_m(a_i, a_j) = ←−

T_m(a_j, a_i)

= ←−

Tm(bj, bi)

= ←−

T_m(b₂^m_−j+1, b₂^m_−i+1)

重新命名←−−

Tm 的字元

=↓ ←−

T_m(a₂^m_−j+1, a₂^m_−i+1)

觀察. 因為我們是考慮 N(MIII(d))，所以我們可以對 MIII(d) 做下面兩種動作而不影響 N(M_III(d)) 的值，

• 同時將 M_III(d)的每一列取逆向或互補，

• 做矩陣列互換的動作，

所以

當 d ∈ S1 時，

N(M_III(d)) = N(



 T_n−1(a₁, a_s) T_n−1(a₂ⁿ−1−s+1, a₂ⁿ−1) T_n−1(a₂n−1−2s+1, a₂n−1−s)



)^引理= N(^↓





←−−T_n−1(a₂ⁿ−1, a₂ⁿ−1−s+1)

←−−T_n−1(a_s, a₁)

←−−T_n−1(a_2s, a_s+1)



)

標號逆向而已

=↓ N(





←−−T_n−1(a₂ⁿ−1−s+1, a₂ⁿ−1)

←−−T_n−1(a₁, a_s)

←−−T_n−1(a_s+1, a_2s)



)

1, 3 列互換

=↓ N(





←−−Tn−1(as+1, a2s)

←−−T_n−1(a₁, a_s)

←−−T_n−1(a₂ⁿ−1−s+1, a₂ⁿ−1)



)

化簡↓

= N(



 T_n−1(a_s+1, a_2s) T_n−1(a₁, a_s) Tn−1(a₂ⁿ−1−s+1, a₂ⁿ−1)



)^我們定義=^↓ N(ABB(n− 1, s)).

當 d ∈ S2 時，

N(M_III(d)) = N(



 T_n−2k(a_2s+1, a_2s) T_n−2k(a₁, a_s) T_n−2k(a_s+1, a₂ⁿ−2k−s) T_n−2k(a₂ⁿ−2k−s+1, a₂ⁿ−2k)

Tn−2k(a1, a₂ⁿ−2k−s) Tn−2k(a₂ⁿ−2k−2s+1, a₂ⁿ−2k−s)



)

= N(



 Tn−2k(a2s+1, a2s) T_n−2k(a_s+1, a₂ⁿ−2k−s)

T_n−2k(a₁, a₂ⁿ−2k−s)



) + N(



 T_n−2k(a₁, a_s) T_n−2k(a₂ⁿ−2k−s+1, a₂ⁿ−2k) Tn−2k(a₂ⁿ−2k−2s+1, a₂ⁿ−2k−s)



)

我們定義↓

= N(γ(n− 2k, s)) + N(AAA(n − 2k, s)).

當 d ∈ S3 時，類似地，

N(M_III(d)) = N(



T_n−2k+1(a_2s+1, a₂n−2k+1) T_n−2k+1(a₁, a_s)

T_n−2k+1(a_s+1, a₂ⁿ−2k+1−s) T_n−2k+1(a₂ⁿ−2k+1−s+1, a₂ⁿ−2k+1) T_n−2k+1(a₁, a₂n−2k+1−2s) T_n−2k+1(a₂n−2k+1−2s+1, a₂n−2k+1−s)



)

我們定義↓

= N(ϕ(n− 2k + 1, s)) + N(ABB(n − 2k + 1, s)).

定義 十 . 定義

• ABB(m, s) =



 T_m(a_s+1, a_2s) T_m(a₁, a_s) T_m(a₂^m_−s+1, a₂^m)



 .

• AAA(m, s) =



 T_m(a_s+1, a_2s) T_m(a₁, a_s) T_m(a₂^m_−s+1, a₂^m)



 .

• γ(m, s) =



T_m(a_2s+1, a₂^m) T_m(a_s+1, a₂^m_−s)

T_m(a₁, a₂^m_−2s)



 .

• ϕ(m, s) =



T_m(a_2s+1, a₂^m) T_m(a_s+1, a₂^m_−s)

T_m(a₁, a₂^m_−2s)



 .

定義 十九.

• ABB(m) =²

m−1

∑

s=1

N(ABB(m, s)).

• AAA(m) =²

m−1

∑

s=1

N(AAA(m, s)).

• γ(m) = ²

m−1

∑

s=1

N(γ(m, s)).

• ϕ(m) = ²

m−1

∑

s=1

N(ϕ(m, s)).

注意到 γ(m, s) 是矩陣，γ(m) 是數值，其他符號也是類似地。

引理 二十.

#

{Tn 的第III 類同色

_{3-AP} =}

2ⁿ

∑

⁻¹−1 d=3

N(M_III

(d))

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 



∑

d∈S1

N(ABB(n, s))

∑ +

d∈S1

[N(γ(n

− 2k, s)) + N(AAA(n − 2k, s))]

∑ +

d∈S1

[N(ϕ(n

− 2k + 1, s)) + N(ABB(n − 2k + 1, s))]

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



ABB(n− 1)

+

⌊ⁿ

∑

⁻²₂ ⌋ k=1

[γ(n

− 2k) + AAA(n − 2k)]

+

⌊ⁿ⁻²

∑

2 ⌋ k=1

[ϕ(n

− 2k + 1) + ABB(n − 2k + 1)]

.

3 計算 ABB(m), AAA(m), γ(m), ϕ(m) 的公式（巧解 個遞迴式）

定義 二十一. 定義

• ABB(m, s) =



 T_m(a_s+1, a_2s) T_m(a₁, a_s) Tm(a2^m−s+1, a2^m)



 .

• AAB(m, s) =



 T_m(a_s+1, a_2s) T_m(a₁, a_s) T_m(a₂^m_−s+1, a₂^m)



 .

• AAA(m, s) =



 T_m(a_s+1, a_2s) Tm(a1, as) T_m(a₂^m_−s+1, a₂^m)



 .

• ABA(m, s) =



 T_m(a_s+1, a_2s) Tm(a1, as) T_m(a₂^m_−s+1, a₂^m)



 .

• γ(m, s) =



T_m(a_2s+1, a₂^m) T_m(a_s+1, a₂^m_−s)

Tm(a1, a2^m−2s)



 .

• θ(m, s) =



T_m(a_2s+1, a₂^m) T_m(a_s+1, a₂^m_−s)

T_m(a₁, a₂^m_−2s)



 .

• ϕ(m, s) =



T_m(a_2s+1, a₂^m) T_m(a_s+1, a₂^m_−s)

T_m(a₁, a₂^m_−2s)



 .

• δ(m, s) =



T_m(a_2s+1, a₂^m) Tm(as+1, a2^m−s)

T_m(a₁, a₂^m_−2s)



 .

定義 二十二.

• ABB(m) =²

m−1

∑

s=1

N(ABB(m, s)).

• AAB(m) =²

m−1

∑

s=1

N(AAB(m, s)).

• AAA(m) =²

m−1∑

s=1

N(AAA(m, s)).

• ABA(m) =²

m−1

∑

s=1

N(ABA(m, s)).

• γ(m) = ²

m−1

∑

s=1

N(γ(m, s)).

• θ(m) =²

m−1

∑

s=1

N(θ(m, s)).

• ϕ(m) = ²

m−1∑

s=1

N(ϕ(m, s)).

• δ(m) =²

m−1

∑

s=1

N(δ(m, s)).

注意到 γ(m, s) 是矩陣，γ(m) 是數值，其他符號也是類似地。

引理 二十三.















ABB(n) AAB(n) AAA(n) ABA(n)

γ(n) θ(n) ϕ(n) δ(n)















=















0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 2 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 2 2 2 0 0 0 0 2 2 0 0 2 0 0 2 1 0 1 0 0 2 0 2 1 0 1 0 0 0 2















·















ABB(n− 1) AAB(n− 1) AAA(n− 1) ABA(n− 1)

γ(n− 1) θ(n− 1) ϕ(n− 1) δ(n− 1)













 +













 2ⁿ⁻²

0 0 0 2ⁿ⁻²

0 0 0















Proof. 我們只證明第一個與第五個遞迴關係式，其餘的遞迴關係式證明方法皆類似。

ABB(m)

=

2∑^m−1

s=1

N(ABB(m, s))

=

2∑^m−1

s=1

N(



 T_m(a_s+1, a_2s) T_m(a₁, a_s) T_m(a₂^m_−s+1, a₂^m)



)

=





































∑

s<2^m−2

N(



 T_m−1(a_s+1, a_2s) T_m−1(a₁, a_s) T_m−1(a₂^m−1−s+1, a₂^m−1)



) +

∑

s=2^m−1

N(



T_m−1(a₂^m−2+1, a₂^m−1) T_m−1(a₁, a₂m−2) T_m−1(a₂^m−2+1, a₂^m−1)



) +

∑

s>2^m−2

N(



 [c|c]Tm−1(a_s+1, a₂^m+1) T_m−1(a₁, a_2s−2^m−1) T_m−1(a₁, a₂m−1−s) T_m−1(a₂m−1−s+1, a_s) T_m−1(a₂^m−1−s+1, a₂^m_−2s) T_m−1(a₂^m−1−2s+1, a₂^m−1)



)

=

















∑

s<2^m−2

[N(ABA(m− 1, s))]

+ 2^m−2

∑+

s>2^m−2

[N(ABA(m− 1, 2^m−2− s) + N(γ(m − 1, 2^m−2− s))]

= 2· ABA(m − 1) + γ(m − 1) + 2^m−2.