幾種古典的結不變量

幾種古典的結不變量

郎一全

1. 序論

扭結理論 (knot theory) 是一個非常特 別的理論, 一方面扭結理論所研究的主題-結, 對大多數人而言是那麼熟悉, 每個人都有打 結的經驗 (包括童子軍所教的各種繩結)。 另 一方面, 扭結理論在低維度拓樸這個領域中 佔有重要的地位, 而在研究結的方法中, 也包 含了拓樸、 代數、 組合各種觀點, 使得扭結理 論變成一個豐富而深刻的理論且與許多其他 數學分支有密切關連, 特別是近來物理數學 蓬勃發展, 扭結理論與物理數學的關係被廣 泛研究, 更增加扭結理論未來的發展。

扭結理論, 是要處理數學中的放置問 題 (placement problem), 廣義的放置問 題如下, 給定一空間 X, 及其兩個子空間 Y1, Y2, 是否存在 X 的自同胚 (auto- homeomorphism) f 使得 f (Y1) = Y2? 而 扭結理論主要是要討論 R³ 中的 S¹, 更精確 的說, 若 f : S¹ → R³ 是嵌射 (embed- ding), 則稱 f (S¹) 是一個結 (knot), 若二 個結是環繞合痕 (ambient isotopic), 則稱 二個結是同型 (same type), 簡單的說, 在不

破壞打結的狀態下, 允許做一些變形 (defor- mation), 而扭結理論中的核心問題就是判斷 二個結是否同型, 為了簡化問題, 我們通常假 設結是 R³ 中的簡單封閉多角曲線 (simple closed polygonal curve), 這樣可以選取適 當的投影至平面上, 使得 (1) 沒有三重點 (2) 頂點不在交叉點上, 例如三葉結 (trefoil) 可 以畫成下圖 (圖 1), 當然也可以畫得平滑些 (圖 2)。

圖1 圖 2

2. 結群 (knot group)

判斷二個結是否同型並不是一件簡單 的事, 最好的方法是先找出一些結不變量 (knot invariant), 也就是對於同型的結給一 個廣義的代數數值 (可能是數值、 多項式、 甚

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至是群、 環. . . ), 這樣只要二個結所對應的代 數數值不同, 就可以判斷二個結是不同型。

在眾多結不變量中, 一個非常古老且重 要的是結群 (knot group), 結的餘集的基本 群 (fundamental group), 若 K 是一個結, 則 K 的結群 G 定義為 G = π₁(R³\K)。

要如何描述 G 點呢? 將結投影至平 面上, 並為結選一個方向 (orientation)。 假 設結的投影圖有 n 個二重點, 以 「下穿越 點」(undercrossing point) 為準, 將結分成 n 個弧 (arc), 弧的端點是從一個二重點的下 穿越點出發, 到下一個二重點時若是從上穿 越 (overcrossing) 則繼續向前, 若是從下穿 越 (undercrossing) 則停止, 以三葉結為例, 可以分成三個弧 (圖 3)

x₁

x₃ x₂

x₃

圖3 圖 4

選定 R³\K 中一點 P 為基點 (base point), 令 xi 表通過 P 繞過第 i 個弧的閉 路 (loop) (弧和閉路都以 xi 表示), 閉路的 方向是根據結的方向以右手規則定之 (圖 4), 則 xi ∈ π1(R³\ K), 而在每個交叉點上可 以得到如圖 5、6 的關係式 (圖 7 畫得更清楚),

xk

xk

xi xi+1

xi xi+1

xk

xkxi = x_i+1xk

圖5

xk

xi xi+1

xi xi+1

xk

xk

xixk = xkx_i+1 圖6

xi+1

xk

xi+1

xi xk

xi xk

圖7

這樣總共得到 r₁, . . .,rn 共 n 個關係, 我 們有如下的重要定理 (Wirtinger presenta- tion)

G 由 x1, . . ., xn 生成且任意 xi 之間 的關係式都可由 {r₁, . . . , rn} 生成, 也就是

說

G = hx₁, . . . , xn|r₁, . . . , rni

以三葉結為例 (圖 8), 在交叉點 A, x₁x₂ = x₂x₃, x₂x₃x⁻¹₂ x⁻¹₁ = 1; 在交叉 點 B, x2x3 = x3x1, x3x1x⁻¹₃ x⁻¹₂ = 1; 在 交叉點 C, x3x1 = x1x2, x1x2x⁻₁¹x⁻₃¹ = 1;

因為在 C 的關係式可由前二者得到, 所以三 葉結的結群

G = hx1, x2, x3| x1x2= x2x3= x3x1i

= hx1, x2| x1x2 = x2x1x2x⁻₁¹i

= hx1, x2| x1x2x1x⁻₂¹x⁻₁¹x⁻₂¹ = 1i

= ha, b | a³b²= 1i

其中 a = x1x2, b = x⁻₂¹x⁻₁¹x⁻₂¹ x1

x3

C A x₁

x2 x2 x4

x3 B

圖8 圖 9

再以 8 字結 (figure eight knot) 為例 (圖 9) G = hx1, x2, x3, x4| x3x4 = x1x3, x1x2

= x3x1, x1x4 = x4x2, x3x2 = x2x4i

= hx1, x3| x⁻₃¹x1x3x⁻₁¹x⁻₃¹x1x⁻₃¹x⁻₁¹x3x1

= 1i

= ha, b| b⁻¹aba⁻¹b⁻¹a⁻¹ba = 1i 其中 a = x₁, b = x⁻¹₁ x₃

考慮平方結 (square knot)(圖 10)

G = hx1, x2, x3, x4, x5, x6|x6x2 = x2x1, x2x1 = x1x3, x1x6 = x6x2,

x5x3 = x4x5, x4x5 = x6x4, x6x4 = x5x6i

= hx₁, x₃, x₅|x₁x₃x₁x⁻¹₃ x⁻¹₁ x⁻¹₃ = 1, x5x3x5x⁻₃¹x⁻₅¹x⁻₃¹ = 1i

若考慮祖母結 (granny knot)(圖 11), 可以得到祖母結的結群和平方結一樣。 (這裡 我們看到一個例子, 平方結和祖母結是不同 型的結, 但卻有相同的結群)。

x1 x5

x3

x6

x4

x2

圖10 圖 11

就如我們上述的計算, 結的結群都是利 用生成元和關係所寫成的, 這樣的寫法固然 很方便, 但想要深入瞭解這個群的結構可不 是那麼容易, 以三葉結的結群為例, 我們有下 列的群表現

ρ : G = ha, b|a³b² = 1i → SL2(Z) a → 0 1

−1 1

!

.

b → 0 1

−1 0

!

. 由

0 1

−1 1

!

−1 0

!

6= 0 1

−1 0

!

−1 1

!

可得 G 不是交換群, 由此也可以證明三 葉結是不能解開的 (non-trivial knot), 因為 S¹ 的結群是 Z 。

特別值得一提的是, 結不變量常考慮結 在三度空間中的餘集, C. McA. Gordon 和 J. Luecke 在 1989 年證明, 若二個結有等價 的餘集, 則這二個結是同型。

3. Alexander 多項式

除了結群之外, 還有一個重要的結不變 量是 Alexander 多項式 (Alexander poly- nomail), 我們先介紹一個代數的方法來瞭解 Alexander 多項式, 所需要的工具是 Fox 的 微分法 (Fox differential calculus)。

令 F 是由 X₁, X2, . . . , Xn 所生成的 自由群 (free group), 對於 F 中的任意字元 W = X_j^e₁¹X_j^e₂²· · · X_j^e_k^k 其中 ei ∈ {1, −1}。

定義自由微分 (free derivative) _∂X^∂W₁,

∂W

∂X2, . . ., _∂X^∂W_n 如下:

∂W

∂Xj

=e1δjj1X

1 2(e1−1)

j1 +e2δjj2X_j^e₁¹X

1 2(e1−1) j2

+ . . . 舉例如下

W = X1X2X₁⁻¹X2X2X2X1

∂W

∂X1

= 1 − X1X2X₁⁻¹+ X1X2X₁⁻¹X₂³

∂W

∂X2

= X1+ X1X2X₁⁻¹+ X1X2X₁⁻¹X2

+X₁X₂X₁⁻¹X₂²

為了使微分式中右邊的算式有意義, 可 以將其視為群環 (group ring) Z[F ] 中的元 素, 也就是 _∂X^∂_i : F → Z[F ]。

要注意的是, 自由微分的乘法規則不同 於一般微分

∂(uv)

∂X = ∂u

∂X + u∂v

∂X

若 G 是結 K 的結群, 令 ϕ : F → G 是典型同態 (canonical homomorphism), 當然 ϕ 也可以看做 ϕ : Z[F ] → Z[G] 則下 列矩陣稱為 G 的 Jacobian

ϕ ∂(r1, . . . , rm)

∂(X1, . . . , Xn)

!

= ϕ











∂r1

∂X1 . . . _∂X^∂r1_n ... . . . ...

∂rm

∂X1 . . . ^∂r_∂x^m_n











令 [G, G] 表 G 的換位子群 (commu- tator subgroup), H = G/[G, G], Ψ : G → H 是典型同態 (canonical homo- morphism), (同理, Ψ 也可以看做 Ψ : Z[G] → Z[H]) 根據 Hurwitz 定理, H = G/[G, G] ∼= H1(R³\ K) ∼= Z, 則下列矩陣 叫做 K 的 Alexander 矩陣

A = ψϕ ∂(r1, . . . , rm)

∂(X1, . . . , Xn)

!

定義 Ed(A) ⊂ Z[H] 是由 A 中 n − d 階子 行列式所生成的理想 (ideal), 顯然 E0(A) ⊂ E1(A) ⊂ · · · ⊂ En−1(A)。

當 G 是結群時, E1(A) 是一個主理 想 (principal ideal), 令 t 表示 H 的生 成元, 則 E₁(A) 的生成元 ∆(t) 就叫做 K

的 Alexander 多項式, 這樣得到的多項式

∆(t) ∈ Z[t, t⁻¹], 因為 t 是 H 的生成元, 所以可以乘上任意 ±t^λ 並沒有影響。

我們計算三葉結的 Alexander 多項式 G = hx1, x2|x1x2x1x⁻₂¹x⁻₁¹x⁻₂¹ = 1i 令 r = x1x2x1x⁻₂¹x⁻₁¹x⁻₂¹

∂r

∂x1

=1 + x1x2− x1x2x1x⁻₂¹x⁻₁¹

∂r

∂x2

=x₁−x₁x₂x₁x⁻₂¹−x₁x₂x₁x⁻₂¹x⁻₁¹x⁻₂¹ Jacobian矩陣為 [A, B]

A = 1 + x1x2− x1x2x1x⁻₂¹x⁻₁¹

B = x1− x1x2x1x⁻₂¹− x1x2x1x⁻₂¹x⁻₁¹x⁻₂¹ 將其中的變數都用 t 代入即得 Alexander 矩 陣為 [1 − t + t² − 1 + t − t²], 所以

∆(t) = 1 − t + t²。

8 字結的 Alexander 多項式如下:

G = hx1, x3 | x⁻₃¹x1x3x⁻₁¹x⁻₃¹x1x⁻₃¹x⁻₁¹x3x1

= 1i

令 r = x⁻₃¹x1x3x⁻₁¹x⁻₃¹x1x⁻₃¹x⁻₁¹x3x1

∂r

∂x1

= x⁻₃¹−x⁻₃¹x1x3x⁻₁¹+x⁻₃¹x1x3x⁻₁¹x⁻₃¹

−x⁻₃¹x1x3x⁻₁¹x⁻₃¹x1x⁻₃¹x⁻₁¹ +x⁻₃¹x1x3x⁻₁¹x⁻₃¹x1x⁻₃¹x⁻₁¹x3

∂r

∂x3

= −x⁻₃¹+ x⁻₃¹x1−x⁻₃¹x1x3x⁻₁¹x⁻₃¹

−x⁻₃¹x1x3x⁻₁¹x⁻₃¹x1x⁻₃¹ +x⁻₃¹x1x3x⁻₁¹x⁻₃¹x1x3x⁻₁¹ Alexander矩陣為

[−1 + 3t⁻¹− t⁻² 1 − 3t⁻¹+ t⁻²]

乘以 t² 之後得 ∆(t) = 1 − 3t + t²。 平方結及祖母結的 Alexander 多項式 如下:

G = < x1, x3, x5| x1x3x1x⁻₃¹x⁻₁¹x⁻₃¹ = 1, x5x3x5x⁻₃¹x⁻₅¹x⁻₃¹ = 1 >

令 r₁ = x1x3x1x⁻₃¹x⁻₁¹x⁻₃¹, r2 = x5x3x5x⁻₃¹x⁻₅¹x⁻₃¹

∂r₁

∂x1

= 1 + x1x3 − x1x3x1x⁻₃¹x⁻₁¹

∂r1

∂x3

= x1−x1x3x1x⁻₃¹−x1x3x1x⁻₃¹x⁻₁¹x⁻₃¹

∂r1

∂x5

= 0

∂r2

∂x1

= 0

∂r2

∂x3

= x5−x5x3x5x⁻₃¹−x5x3x5x⁻₃¹x⁻₅¹x⁻₃¹

∂r2

∂x5

= 1 + x₅x₃ − x₅x₃x₅x⁻¹₃ x⁻¹₅ Alexander矩陣為





1 − t + t² − 1 + t − t² 0 0 − 1 + t − t² 1 − t + t²





考慮所有的 2 × 2 階子行列式, 適當調 整符號可得

∆(t) = (1 − t + t²)²

Alexander多項式到底有多有效呢?

在交點 (crossing) 數小於等於 9 的 84 個質結 (prime knot) 中, 只有 3 對有相同的 Alexander 多項式。

4. Seifert 矩陣與 Alexander

多項式

我們現在再介紹一個拓樸的方法來瞭解 Alexander 多項式。

考慮 R³ 中的曲面 M 如圖 12, M 其 實是將圓盤 (disk) 黏上 (attached) 二個扭 曲的帶子 (twist band), 讀者能夠想像 M 的邊界 (boundary) 是什麼曲線呢? 答案是 三葉結。

圖12

事實上, 我們有如下定理:

每個結都是一個可定向曲面 (orient- able surface) 的邊界, 這個曲面叫做 Seifert 曲面 (Seifert surface)。

至於 Seifert 矩陣, 我們先規定在每個 交叉點的符號如下 (右手系規則):

ε = +1 ε = −1

二條封閉曲線 α, β 的環繞數 (linking num- ber) 定義如下:

lk(α, β) = 1 2

X

p∈C

ε(p),

其中 C 是 α, β 的交叉點所成集合 例如:

ε = +1 α

β lk(α, β) =¹₂(1+1) = 1

ε = +1 ε = −1 α

β lk(α, β) =¹₂(1−1) = 0

ε = +1

令結 K 的 Seifert 曲面是 M, 若 M 的虧格 (genus) 是g, 則存在典型曲線 a1, a2, , . . . , a2g, 定義 Seifert 矩陣 V = (vij) 是一個 2g × 2g的矩陣, vij = lk(ai, a^∗_j), 其中 a^∗_j ∈ R³ \ M 表示將 aj

沿著 M 的正法向 (positive normal direc- tion) 推一點所得到曲線。

以三葉結為例, 如下圖 (圖 13), 可得 Seifert 矩陣。

V =





−1 1 0 −1





a1

a2

圖 13

而 Seifert 矩陣和 Alexander 多項式則有下 列關係:

∆(t) = |V^T − tV |

所以, 用拓樸的方法一樣可以求得三葉結的 Alexander 多項式為

∆(t) = 1 − t + t²

5. Conway 多項式

由第 3 節的討論得知, Alexander 多項 式 ∆(t) 是允許乘上 ±t^λ, 如果乘以適當的

±t^λ, 我們可以要求 Alexander 多項式滿足 下列二個性質:

(1) ∆(1) = 1 (2) ∆(t) = ∆(t⁻¹)

這樣的 Alexender 多項式可以改寫成另一種 形式

∇K(z) ∈ Z[z], 其中 z = t¹² − t⁻¹² 這個新的多項式就是 Conway 多項式。

事實上, Conway 多項式是可以定義在 有向結或環上 (oriented knot or link), 它 有如下的性質 (也可以當作 Conway 多項式 的公設)

1. 對任意有向結或環都對應一個 Conway 多項式∇K(z) ∈ Z[z], 同型的結或環對 應相同的多項式。

2. 若 K 是不打結 (unknot), 則 ∇K(z) = 1。

3. 若 K⁺、K⁻、L 在某個交叉點如下圖 (圖 14)。

K⁺ K⁻ L

圖14

則 ∇_K⁺ − ∇K⁻ = z∇L

從以上性質還可以導出若環 L 可以分成二 部分 (split link), 則 ∇L(z) = 0。 我們 利用以上這些性質來計算三葉結的 Conway 多項式, 因為 K⁺ 是不打結, ∇_K⁺ = 1, 1 − ∇K⁻ = z∇L⁻, 又 L⁺ 可分成二部 分, M 是不打結, ∇L⁺ = 0, ∇M = 1, 0 − ∇L⁻ = z∇M = z, 可得三葉結的 Con- way 多項式

∇K⁻ = 1 + z²

K⁺ K⁻

L⁻ L⁺

L⁻ M

結的多項式不變量還有很多, 特別值得 一提的是, 1985年 Jones 利用辮子群 (braid

group) 上的表現得到一個新的結不變量, 也 就是所謂的 Jones 多項式 (Jones polyno- mial), 比 Alexander 多項式更具威力的結 不變量, 也使得 Jones 在 1990 年得到數學 界的大獎—費爾茲獎 (Fields Medal)。

參考文獻

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K. Fort, Jr. ed), Prentice-Hall, Engle- wood, Cliffs, N. J. 1962.

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