激波理論簡介
楊彤
偏微分方程根據其本身的特性可分為雙 曲型、 拋物型、 橢圓型及其混合型幾大類。 有 一類方程組被稱為守恆律方程組, 它們來自 於一些重要的物理模型, 如流體力學、 彈性 力學、 電磁動力學和天體物理學等。 這些方 程組的特性是雙曲型或雙曲與拋物的混合型。
其中最典型的例子是 Euler 方程組, 它包含 了質量守恆、 動量守恆和能量守恆。 在三維空 間中, 它是一個 5 × 5 的方程組, 即有5個方 程和5個未知函數。 由於各特徵方向的傳播速 度有界, 這個方程組是雙曲型的。 而與它對應 的關於帶粘性的流體的方程組就是 Navier- Stokes 方程組, 由於粘性和熱傳導, 這個方 程組是雙曲和拋物的混合型。 以下我們將主 要討論雙曲型守恆律組, 對於這類方程組的 一個最要特徵是關於時間的整體光滑解通常 不存在, 即方程組的解通常會包含間斷。 故 此, 解必須在弱意義下而非傳統的微分意義 下進行討論。 間斷解的引入導致了激波理論 的發展, 而這一方面的研究至今仍是數學的 一個十分活躍和富有挑戰性的分支。
本文將討論激波理論的幾個基本而本質 的問題, 即激波的引入, 熵的定義, Rie-
mann問題解的結構, 解的大時間性態, 解的 存在性和穩定性。
激波理論的研究可追溯到 1850年, 當時 Riemann 考慮以下一個氣體動力學的問題。
用一片薄膜分格開管道中兩部分的靜止氣體, 如下圖:
...
...
薄膜→ u
r
= 0 ←管道 Pr
u
ℓ
= 0 Pℓ
假設左邊的氣體的壓強比右邊的大, P
ℓ
>P
r
, 而氣體的變化符合一維的等熵氣體動力 學方程組, 即質量守恆和動量守恆,ρ
t
+ (ρu)x
= 0, (ρu)t
+ (ρu2
+ P (ρ))x
= 0.這裡 ρ, u 和 P (ρ) 分別代表氣體的密度, 速度和壓強。 其中 ρ 和 u 是 x 和 t 的 未知函數。 可以驗證當 P
′
(ρ) =dP dρ (ρ)
>0 時, 這個方程組是雙曲型的, 它的兩個特 微分別是 λ
±
= u ± c, c =q
P′(ρ) 為氣體的聲速。 由於方程組雙曲型的特性,33
信息是以有限速度傳播。 現在我們回到剛才 Riemann 考慮的問題, 當薄膜突然被抽去, 左邊的氣體由於壓強大的原因會壓迫右邊的 氣體, 從而產生一個具壓縮特性的間斷波。
而為了支持這樣一個間斷波向右傳播, 氣體 中會產生另外一個稀疏波向左傳播. 如下圖
... . ... ...
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O x
t
稀疏波→ ←間斷波 (即激波)
從這個簡單的問題中我們可以看到兩種 不同的非線性現象, 一種是壓縮型的激波, 而 另一種是擴散型的稀疏波。 前者的特徵是左 右的特徵線會進入激波, 而後者的特徵線則 是散開。
其實雙曲型守恆律組的解會出現間斷這 一現象, 可以從更簡單的方程看出, Rie- mann在這問題上的重要貢獻在於他首先考 慮初值本身就具有間斷的情形, 而且給出了 解的一個清楚的描述。 現在我們稱的 Rie- mann 問題是指初值為兩個常狀態的問題。
這個問題是雙曲型守恆律組的一個根本問題, 它的解給出了一個波不相互作用的結構, 而 這一結構是一般初值問題的解在時間趨於無 限大時的狀態, 它亦是以
x t
為自變量的自 相似解。 這個問題我們稍後再作討論。 現在我 們先對一個簡單的單個守恆律方程做些計算, 從而看出為什麼間斷通常會在解中出現。考慮一階擬線性方程的初值問題, u
t
+ f (u)x
= 0, u(x, 0) = u0
(x), (1) 假設 f (u) 是一個光滑函數並滿足d
2du f (u)
2 >0。 這個方程的特徵是 dx
dt = f
′
(u(x, t)) 其中′
=du d
。 沿著這一特徵有du
dt = u
t
+ ux
dx dt
= u
t
+ f (u)x
= 0.即沿著一條特徵解是常數。 故從空間的一點 (x, t), 我們可以沿特徵線
dx dt
= f′
(u(x, t)) 找到直線 t = 0 上的一點 (ξ, 0)。 由於特徵 線是直線, ξ 可容易求出,ξ = x − f
′
(u)t.故
u(x, t) = u(ξ, 0) = u
0
(x − f′(u)t), 對上面的方程關於x微分一次, 我們有u
x
(x, t) = u0x
1 + u0x
f′′
(u)t.從這個表達式和 f
′′
> 0 的假設, 我們可以 看出, 若 u0x
(x)>
0 對所有 x 成立, 則 ux
(x, t) 就會有上下界。 但若有一點 (x0
,0) 使 u′0
(x0
) < 0, 就會存在一個時間 T6
1
u
′0(x
0)f
′′(u
0(x
0))
滿足 limt→T
ux
(x, t) →−∞對某一個 x 成立, 亦即是解在 (x, T ) 出 現間斷。
由於解中會出現間斷, 即解的一階導數 包含 Dirac-delta 函數, 因此下面將討論的 解不再是光滑解而是弱解。 對一般的方程組 (1), 即 u 和 f (u) 是 n 維向量的時候,
u(x, t) 被稱為 (1) 的一個弱解如果對每個 C
0 ∞
(R
×R +
) 的函數 φ(x, t), 我們有Z
R
+Z
R
uφ
t
+ f (u)φx
dxdt +Z
R
u
0
(x)φ(x, 0)dx = 0 可以看出上述 Riemenn 考慮的解是一個弱 解。 從這個弱解的定義或從考慮方程組的兩 個 Dirac-delta 函數相消, 我們可以得到以 下關於激波傳播速度及左右狀態的關係, 即s[u] = [f ], (2) 這裡 s 是間斷波的傳播速度, [f ] 表示函數 f 左右狀態值之差。 方程組 (2) 就是通常被稱 為的 Rankine-Hugoniot 條件。
對於一般嚴格雙曲型守恆律組 Rie- mann 問題的解的存在性和唯一性, 在 1957 年 Peter Lax 給出了一個總結和證明。 證 明中主要用了嚴格雙曲型方程組中各特徵以 不同方向傳播的性質, 從而可以運用隱函數 定理證明了當兩個常狀態相當接近時 Rie- mann 問題解的存在性和唯一性。 當方程組 的每個特徵是真正非線性, 即 r
i
· ∇λi
6=0 或線性退化 r
i
· ∇λi
≡ 0 時, Rie- mann問題的解是由幾個激波、 或稀疏波或接 觸間斷分開 n + 1 個常狀態構成, 如下圖。... . ... ...
...
...
...
.. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. .. .
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O x
t
←激波 稀疏波→
接觸間斷→
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這裡 λ
i
表示矩陣 ∇f(u) 的第 i 個特徵根, 而 ri
是相對應的右特徵向量。 不失一般性, 我們假設 λi
關於 i 有單調遞增性。 在以下討 論中, 對應於第 i 個特徵的波被稱為第 i 族 波。如前指出, Riemann 問題解的重要 性是它給出了一個沒有波相互作用的解的結 構, 研究證明了這個結構等同於一般初值問 題 (即 Cauchy 問題) 解的大時間性態。 於 1965 年, James Glimm 在他的重要文章中 就是用 Riemann 問題的解作為構造方程組 Cauchy 問題近似解的 Building Block, 通 過一個隨機變化的序列和對兩個 Riemann 問題解中的波的相互作用的估計, Glimm 引 入了兩個隨時間不增加的非線性泛函, 而這 兩個非線性泛函分別對應於解的 L
∞
模和全 變差。 從而證明了弱解的存在性。 當 ri
· ∇λi
可能變號時, 解的結構就會變得十分複雜。 例 如在這情形下, 一個強激波可能會因為和稀 疏波相消而轉變成兩個不同傳播速度和較弱 的激波, 同時也產生一些弱的同類稀疏波和 其它族的波, 而這種情形不會在真正非線性 的假設下出現。 還有在一般的情形下, 波的 速度的大小已無一個單調關係。 這些現象都 對一般情形下的研究構成相當大的困難。 在 這一方面的研究中, 解的存在性和大時間性 態可參考 Tai-Ping Liu 的工作, 在這裡我 們並不作詳細討論。為了更清楚地說明雙曲型方程組的解的 結構, 我們考慮以下最簡單但具代表性的單 個守恆律, 即不帶粘性的 Burgers 方程,
u
t
+ (u2
2)
x
= 0. (3)同樣地, 我們首先考慮方程 (3) 的 Riemann 問題, 即初值為
u(x, 0) =
u
ℓ
, x <0,u
r
, x >0, (4) 的初值問題。 由於方程 (3) 和初值 (4) 在坐 標變換 (x, t) → (λx, λt) 下是不變的, 這 裡 λ 是任意常數, 故我們可以推斷方程的解 只是x t
的函數。 設定ξ= x
t, u(x, t) = u(ξ). (5) 將 (5) 代入 (3), 我們有
d
dξu(ξ)(u(ξ) − ξ) = 0. (6) 所以,
dξ d
u= 0, 即 u = 常數或 u = ξ =x t
. 因此方程的解可以分成以下兩個情形。情形一:u
ℓ
> ur
, 在這種情形下,u(x, t) =
u
ℓ
, x < st, ur
x > st, 如下圖... . ... ...
O x
t
u= u
ℓ
x= st u= u
r
可以看到解是兩個常數由激波分開, 激波的 傳播速度 s 滿足 Rankine-Hugoniot 條件, 即
s =
u
2ℓ2
−u 2
2ru
ℓ
− ur
= uℓ
+ ur
2 .
情形二:u
ℓ
< ur
. 在這種情形下, 我們 可以構造出無窮多個滿足 (6) 的解。 下面我 們列出其中兩個。u
1
(x, t) =
u
ℓ
, x < uℓ
t,x
t
, uℓ
t < x < ur
t, ur
, x > ur
t,... . ... ...
...
...
...
O x
t
u
ℓ
ur
u
2
(x, t) =
u
ℓ
, x < st, ur
, x > st.... . ... ...
O x
t
u
ℓ
ur
x= st
值得注意的是這兩個解都是問題 (3) 和 (4) 的弱解。 第一個解被稱為稀疏波, 而第二個解 被稱為稀疏激波。 故這個簡單的例子指出了 弱解並不是唯一的。 為了從眾多弱解中找到 一個有物理意義的解, 解除了要滿足弱解的 定義外, 還要滿足下面要討論的熵條件。 從下 面的討論可以看出稀疏激波並不滿足熵條件。
故問題 (3) 和 (4) 的解是激波或稀疏波。
我們知道雙曲型守恆律是從物理模型推 導出來, 而許多物理模型都具有粘性。 方程
(3) 在這種情形下可以改寫為 u
t
+ (u2
2)
x
= εuxx
, (7) 這裡 ε > 0 是粘性常數。(7) 被稱為帶粘性的 Burgers 方程。 由於多了 εuxx
這一項, 方 程不再是雙曲型而是拋物型。 故即使初值不 光滑, 解在 t > 0 後都會變得光滑。 設 η(u) 是 u 的一個光滑凸函數, 即du d
22η(u) > 0. 我 們對方程 (7) 兩邊乘上dη(u) du
, 令函數 q(u) 滿足d
du
q(u) = udη(u) du)
, 我們有η
t
+ qx
= εη′
uxx
. (8) 假設 u, η(u) 和 q(u) 在 x = ±∞ 處為零, 我們可以將方程 (8) 對 x 在 (−∞, ∞) 積 分, 通過一次分部積分後便可得到Z ∞
−∞
(ηt
+ qx
)dx = −εZ
η
′′
u2 x
dx≤ 0.由於在以上討論中 ε 是任意的正常數, 故讓 ε→ 0, 我們便得到方程 (3) 的熵條件, 即
η
t
+ qx
≤ 0, 對每個凸熵 η(u) 在弱意義下成立。對於前面考慮的 Riemann 問題的初 值, 激波的熵條件又可通過考慮行波解清楚 地得到。設
u(x, t) = ϕ(x − st).
代入方程 (7), 我們得到
−sϕ
′
+ ϕϕ′
= εϕ′′
. (9) 假設ϕ(−∞) = u
ℓ
, ϕ(∞) = ur
.積分方程 (9) 一次可得 εϕ
′
= ϕ2
2 −sϕ−(u
2 ℓ
2 −su
ℓ
).由於當 ξ = x − st 趨於 ∞ 時, ϕ
′
= 0 和 ϕ= ur
, 所以s= u
ℓ
+ ur
2 . 故 ϕ(ξ) 滿足方程
ϕ
′
= 12ε(ϕ − u
ℓ
)(ϕ − ur
).因為當 u
ℓ
6= ur
及 ϕ 在 uℓ
和 ur
之間時, ϕ′
(ξ) < 0, 所以連接 uℓ
和 ur
的解 ϕ(ξ) 存在當且僅當 uℓ
> ur
. 在這種情形下, ϕ(ξ) 是連接 uℓ
和 ur
的唯一激波 profile, 而且 ϕ(ξ) 是單調下降的。 若 ε → 0, ϕ(ξ) 將收斂 到方程 (3) 的激波解, 故 (3) 的激波熵條件 是 uℓ
> ur
或f
′
(uℓ
) > s > f′
(ur
). (10) 簡單的推廣可以知道條件 (10) 對所有凸流 函數 f (u) 對應的激波都適用。 將這個熵條 件推廣到方程組, 就是以下的 Lax 熵條件。假設 (u
ℓ
, ur
) 是一個 p 族激波, 其中 uℓ
和 ur
分別代表左、 右狀態, 對應的激波 速度記為 σ(uℓ
, ur
), 則 (uℓ
, ur
) 被稱為一個 admissible 激波, 如果有λ
p
(ur
) < σ(uℓ
, ur
) < λp+1
(ur
), 和λ
p−1
(ue
) < σ(uℓ
, ur
) < λp
(uℓ
).若我們考慮激波 (u
ℓ
, ur
) 附近的一個鄰 域, 可以看到共有 n + 1 條特徵進入激波及n− 1 條特徵離開。 換言之, 激波是一個壓縮 波。 從 Rankine-Hugoniot 條件我們也可看 到, 給定一個左狀態及激波速度這 n + 1 個 量, 右狀態可以在左狀態的一個小鄰域中唯 一確定。 對於其它的物理模型, 如燃燒理論、
電磁動力學等, 會出現 undercompressive 或 overcompressive 的激波, 在此我們不作 討論。
對於單個守恆律方程, Kruskov 提出了 以下的熵條件, 即 u(x, t) ∈ L
∞
是方程 (1) 的熵解, 如果|u −c|
t
+ (sign(u −c)(f(u)−f(c)))x
≤ 0, 在弱意義下成立, 這裡 c ∈R
是任意常數。並且若初值滿足對所有 k > 0, lim
t→0
Z
|x|≤k
|u(x, t) − u0
(x)|dx = 0, 問題 (1) 的熵解是唯一的。 對於其它的熵條 件以及它們之間的關係, 我們在這裡不作討 論, 有興趣的讀者可參考有關文獻。對於 Burgers 方程 (3), 值得再作討論 的是 Hopf-Cole 變換, 在這個變換下, 方程 (3) 可轉換成熱傳導方程, 從而方程 (3) 的解 可以顯式地表達出來。 Hopf-Cole 變換是設
u≡ −2εω
x
ω ,
ω
t
= εωxx
. (11) 而對應的熱傳導方程 (11) 的初值是ω(x, 0) = e
−
2ε1R
0xu(y,0)dy
. 所以 Burgers 方程的解可寫成u(x, t) =
R ∞
−∞ x−y
t
e−
U(x,t,y)2ε dyR ∞
−∞
e−
U(x,t,y)2ε dy ,其中
U(x, t, y) = (x − y)
2
2t +Z y
0
u(z, 0)dz.從這個 Burgers 方程解的表達式, 容易 得到 Burgers Kernel 即當初值為一個常數 C 乘以 Dirac-delta 函數時方程的解。 設
u(x, 0) = Cδ(x).
對應的解可寫成 u(x, t) =
r
ε t(e2εc − 1)e
−
4εtx2√π+ (e2εc − 1)
R
√∞
x4εte
−y
2dy
. 這個 Burgers Kernel 其實代表了當初值滿 足Z ∞
−∞
u(x, 0)dx = C,時 Burgers 方程解在大時間的性態。 可以看 到, 當 t → ∞ 時, 仍起作用的量是初值也 是解的總質量。 對於單個具有凸流函數 f (u) 的帶粘性守恆律方程
u
t
+ f (u)x
= εuxx
.由於解的光滑性, 在方程兩邊乘上 f
′′
後, 可 將方程寫成(f
′
)t
+ ((f′
)2
2 )
x
= ε(f′
)xx
− εf′′′
u2 x
. 所以除了高階項 −f′′′
u2 x
外, f′
滿足 Burg- ers 方程。 可以證明, 對應於 Burgers 方程 的解的大時間性態對具有凸流函數的單個守 恆律也成立。 而 Burgers 方程的解可以用顯 式表達這一性質也被應用於研究帶粘性方程 組的解的性質和邊界效應等。解的大時間性態是研究守恆律組的一個 重要問題。 關於這個問題, 對單個雙曲型守恆
律或雙曲型守恆律組當每條特徵是真正非線 性或線性退化的情形下, 至今的研究已給出 了這個問題的一個很好的理解, 即解當 t →
∞ 時會趨於 N-wave, 或 N-wave 和 trav- elling wave 的疊加。 但當特徵不是真正非線 性或線性退化, 即 r · ∇λ 會變號時, 這個問 題關於方程組仍未能解決。 下面我們用單個 方程對這問題作一解釋。 為簡單起見, 我們假 設
f(0) = f
′
(0) = 0,和初值 u
0
(x) 有緊支集 [S−
, S+
], |S±
| <∞, 及有界。 對於解的大時間性態, 以下兩個 量十分重要。 即
q = max
y
Z ∞
y
u0
(x)dx 和−p = min
y
Z y
−∞
u0
(x)dx.若 u(x, t) 是方程 (1) 具有以上初值的熵 解, 則通過考慮最左和最右兩條特徵線, 及充 分利用 f (u) 的凸性, 可以証明 u(x, t) 當 t → ∞ 時趨於 N-wave。 而 N-wave 的定 義主要依賴於 p 和 q, 其表達式為
n(x, t) =
x
kt
, 當 S−
−√2kpt12 < x
< S
+
+√ 2kqt12, 0, 當 x ≤ S−
−√2kpt12 或 x ≥ S
+
+√2kqt12, 其中 k = f
′′
(0). 對一個給定的時間 t > 0, n(x, t) 如下圖。... ...
...
...
...
...
...
...
...
...
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...
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...
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... ...
...
...
...
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. .. ...
...
... O x
u
S+ +
p
2kqt
S− −
p
2kptS++
p
2kqt kt
S− −
p
2kpt kt...
...
. ...
...
. ...
...
. ...
...
.
...
...
...
...
...
從上圖或 n(x, t) 的表達式可以看出, n(x, t) 是由兩個激波和它們之間的一個稀疏 波構成, 而激波 decay 的速度是 t−12 。 總的 來說, Lax 證明了以下的結果, 當 t → ∞ 時, 有
ku(x, t) − n(x, t)k
L
1( R )
= 0(t−12 ).值得注意的是當初值是周期函數時, 解會收 斂到周期解的平均值, 其收斂的速度是 t
−1
.對於方程組的大時間性態, 問題就變得 複雜好多, 在這裡不能作詳細論述。
如前所述, 弱解的存在性也是一個重要 的問題, 對此現有的方法是 Glimm 格式, Compensated Compactness 及其它的一 些差分格式。 其中 Compensated Com- pactness 只能應用於單個守恆律和 2 × 2 方程組, 並且由於對解的正則性所知不多, 故 用這方法只能得到較少解的性質。 而另一主 要的方法是 Glimm 格式和與它本質一致的 Wave front tracking 方法, 由於得到的是 BV 解, 即對解的全變差有一致估計, 故能 知道較多解的局部和大時間的性質。 下面我 們對單個守恆律用 Lax-Friedrichs 格式來 指出其熵解的存在性。 由於單個守恆律的特 性, 這樣構造的近似解序列有一致的全變差
的上界。 但即使對 2 × 2 方程組, 雖然 Lax- Friedrichs 格式的近似解能通過 Compen- sated Compactness 方法證明其收斂性, 如 何證明這一格式得到的近似序列有一致的全 變差仍是一個 open 的問題, 其主要的困難 關係到 Vanishing viscosity 這一大問題。
下面我們簡單表述一下 Oleinik 早期對 解存在性的一些工作。 對於單個守恆律 (1), Lax-Friedrichs 格式是
u
k+1 n
−u
kn+1+u 2
kn−1h +f(u
k n+1
)−f(uk n−1
) 2ℓ = 0,(12) 其中我們將 x − t 的上半平面分成許多小格, t = kh, x = nℓ, n = 0, ±1, ±2, . . ., k = 0, 1, 2, . . ., 而 h = ∆t > 0, ℓ = ∆x > 0 分別是時間和空間的 grid size 。 若令
A= max
|u|≤M
|f′
(u)|,其中 M = ku
0
kL∞
. 格式 (12) 必須滿足下 面的穩定性條件,Ah≤ ℓ.
Lax-Friedrichs 格式只與三點的值有關。 利 用中值定理,(12) 可寫成
u
k+1 n
= (1 2+ h2ℓf
′
(θn k
))uk n−1
+ (1 2−h
2ℓf
′
(θn k
))uk n+1
.所以 u 在格點 (n, k + 1) 的值是 u 在格點 (n − 1, k) 和 (n + 1, k) 的帶權平均。 由穩定 性條件, 我們知道每個權都是非負數。 故容易 從這個表達式直接導出單個守恆律的最大值 原理, 即 ku(x, t)k
L∞
≤ ku(x, 0)kL∞
. 若假設初值的全變差有界, 由於這個表達式對 各個量有簡單的關係, 用它構造出來的近似 解序列的全變差和熵條件也能直接得到。 故 我們能夠證明有一子序列收斂於方程的熵解。
最後我們討論一下弱熵解的穩定性這一 重要問題。 由於守恆律組有
R
R
u(x, t)dx 守 恆這一特性, 可推知 L1
模是這類方程組的本 質量度。 對於單個方程, L1
模的穩定性是熵 條件的一個直接推論。 具體地說, 對方程 (1) 的兩個不同初值的解 u(x, t) 和 v(x, t), 我 們有ku(x, t)−v(x, t)k
L1
≤ku0
(x)−v0
(x)kL1
, t >0.事實上, ku(x, t) − v(x, t)k
L1
是不變的, 除 非在時間 t 某個解如 u(x, t) 中有一個激波 (uℓ
, ur
) 位於 x 處, 而這一激波被另一個解 v(x, t) 穿過, 即 v(x, t) 在 uℓ
和 ur
之間。在這種情形下,
dt d
ku(x, t) − v(x, t)kL1
在 x 處的 decay 速度是|u
ℓ
−v(x, t)||σ(uℓ
, ur
)−σ(uℓ
, v(x, t))|=|u
r
−v(x, t)| |σ(uℓ
, ur
)−σ(ur
, v(x, t))|.所以對單個守恆律, L
1
模是 Contrative 的。對於方程組, 因為非線性和不同族的相 互 Coupling, L
1
模的穩定性問題就變得比 較複雜。 為方便起見, 我們可以首先看其中一 個解是常數的情形, 亦即常數解的 L1
模的穩 定性問題。 由於稀疏波線與激波線有兩階接 觸, 即從一點發出的同族激波與稀疏波線在 該點的一階和二階導數相同, 故激波與相對 應的同強度稀疏波的差別是激波強度的三次 冪。而對於單個守恆律, 若流函數是凸時, 傳統熵, 即 u 的任意一個凸函數 η(u) 都會給 出以下的估計
d dt
Z
R
η(u(x, t))dx = −cΣ
α
|α|3
, 這裡 c > 0 是一個只依賴於 f (u) 的常數, 上面方程的右邊是對 u(x, t) 中所有的激波 求和。 故同一族中的非線性的特徵可以用傳 統熵來刻劃, 而不同族的互相 Coupling 則 可通過另外一個用 L1
模和全變差組合成的 非線性泛函來刻劃。 因此常狀態的 L1
模的 穩定性可以利用以上兩個泛函通過構造一個 與 L1
模等價的非增泛函得出。但由於兩個解之間的 L
p
模 (p > 1) 不 具有 decay 的性質, 故當考慮兩個解之間的 L1
模的變化時, 傳統的熵將不再適合, 對此 我們引入了一個廣義熵, 其主要構成是兩個 解中波的強度和兩個解之間的 L1
距離, 這 個廣義熵充分地反應了同一特徵的非線性變 化的性質。 從而兩個解的 L1
距離的穩定性 可以利用這個廣義熵和以上提到的用來刻劃 不同族的 Coupling 的泛函, 通過構造一個 非增的非線性泛函得到。 在通過構造泛函來 證明 L1
模穩定性前, Alberto Bressan 等 引進了另外一個方法, 他們是通過估計兩個 非常接近的解的變化及利用一個 homotopic 的思想來證明 L1
模的穩定性。 事實上, 以上 的研究都是基於各特徵是真正非線線或線性 退化的假設下得到, 對於一般的情形, L1
模 穩定性至今仍是一個 open 的問題。 應該指 出, L1
模穩定性的研究加上對解空間一些結 構上的描述, 便得出方程組熵解的唯一性。以上我們簡單地討論了守恆律組的弱熵 解的定義、 存在性、 穩定性和大時間性態。
可以看到雖然這個領域的發展已是十分迅速, 但仍有許多富有挑戰性的 open 問題。 尤其 是多維方程組的問題更是重要, 而少有進展, 參看 Courant-Friedrichs。
希望以上的論述能給讀者對這個領域一 個初步的印象。 以下我們列出一些文獻供讀 者參考, 由於所列文獻不可能詳盡, 有興趣的 讀者請參考文獻中所引的文章和其它文獻。
