晶體成長與形貌調控之粗粒化蒙地卡羅模擬

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國立臺灣大學理學院化學系碩士論文

Department of Chemistry College of Science

National Taiwan University Master Thesis

晶體成長與形貌調控之粗粒化蒙地卡羅模擬

Coarse-grained modeling of crystal growth and morphology control by Monte Carlo simulations

侯采怡 Tsai-Yi Hou

指導教授：陳振中、陸駿逸博士

Advisor : Jerry Chun Chung Chan, Ph.D.

Chun-Yi David Lu, Ph.D.

中華民國 104 年 7 月

July 2015

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謝誌

終於，也到了我要打謝誌的時候。半長不短的兩年時光中，要感謝許多人們參與我的碩士生活，讓我得以順利地學習如何做研究與待人處世的態度。首先，最要感謝的便是我的指導教授陳振中(Jerry)老師。感謝 Jerry 當初收留我，

使我能夠加入 JCC 這個實驗室，這裡更是一個大家庭。平時除了研究上的指導還有生活中的經驗分享，在幾個平日早晨、假日時分，謝謝 Jerry 還給予我研究與生活上的關心。當我研究不知道該如何進行時，Jerry 提供的建議與方法總能為我的研究找出方向。同時也要感謝我的另一位指導教授陸駿逸老師。當我研究遇到瓶頸、不知道該如何解釋或進一步時，謝謝陸老師提點我各種知識背景來貫串我的研究。感謝陸老師在我不知道該如何表達自己研究內容時，總是在旁耐心的聆聽後再給予我指導。對於理論公式的推導，也讓我深刻地體會到：

唯有透過明確的名詞定義與嚴謹的數學計算才能導出令人心服的結果。

本篇論文內容的修訂，除了要感謝指導教授外還有口試老師們。感謝金必耀老師提供了許多不同模擬的方法與想法，讓我對模擬這個領域大開眼界。感謝鄭原忠老師高物一與寒假的電腦模擬理論課程，讓我對電腦模擬中的統計熱力學有更完整的圖像。在口試時指出我研究的盲點，讓我能審慎地面對自己研究不足的地方。

此外，不得不感謝的還有朝夕相處的實驗室成員。與實驗室成員們相處的苦樂為碩班生活點綴出繽紛的色彩。大學同校的學長林蒼傑(Tom)是我初進 JCC 實驗室最熟悉的人，在我什麼都不知道的時候，總為我解答各種疑難雜症。外表冷靜的陳薇雅(Helen)能感受到她對研究的熱血。每當她從國外回來時，總會期待與她吃飯、聽聽國外生活與研究，讓我增廣見聞許多。喜歡分享的于瑤 (Evita)在每次見面時，都能感受到一股很歡樂的氛圍，讓我覺得很舒服也很安心。我想我真是非常幸運能接在吳宥儒(Roy)的實驗之後，當模擬不知道該如何下手時，Roy 總是悉心的解說。在我短暫接觸實驗有疑問時，遠在他地的 Roy 依然能快速又準確地指出實驗中該注意的事項，讓我深深佩服以及感謝。大姊姊黃雨潔(Jessica)在我碩零時就已經在球場相識，龐大的熱情讓我一開始有被震懾到。相當懷念去年暑假與 Jessica 成為短暫鄰居的時光，一起嘻笑打鬧外也教導我許多實驗室的事情。即使遠在德國還是時常更新我們的近況，讓我感受到滿滿的溫暖。個性很真的蔡佳怡(Anch)會主動關心大家的狀況，我的實驗問題、身體狀況常常都逃不過他的法眼。喜歡與人分享的個性從研究到生活無所不包，讓我與她聊天時相當自在。各種經驗、建議使我深感被照顧的幸福，也讓我在研究生活中多了一些憑藉。為人和善卻容易與我吵架的余婉琤(Joyce)在一開始的相處時總是心情三溫暖。具有行程規劃強迫症，完善的規劃還是令我佩服並且心生效法之意。在程式邏輯卡住時，謝謝她耐心傾聽與一起想方設法。畢業後更是義氣相挺的聽我預講、口試，很慶幸初當時沒有生氣到老死不相往來。冷眼旁觀又是補刀王的楊千儀(Jenny)雖然平常談話總是冷箭一根根的

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射，但在我各種研究、生活崩潰時就會瞬間變成楊老師諮商專線的各種開導．

實驗室中的各種事物也在你清晰的指引(lmgtfy)下很快就能上手。很幸運能在碩班兩年中當個跟屁蟲跟在你身後汲取養分。很會規劃與享受生活的羅世奇 (James)為實驗室帶來陣陣咖啡飄香。在跟著學做蛋白表達的日子中，感謝你很有耐心地帶我跟我解釋實驗內容，讓我重拾已經被遺忘的實驗技能。關於未來的討論也感謝你提供我各種經驗分享。在碩班的最後一個月能跟著你做實驗，

真的是太幸運了！熱心助人的于寶韜(Paul)樂意分享生活中的點滴，願意主動幫助實驗室的大家，謝謝他提供建議，對於實驗室為中的公眾事務貢獻許多心力。蔡念舫(Brook)條理分明的思緒能提出大家研究中忽略的地方，對於各種數學公式的推導相當在行。謝謝她擔任實驗室的安官，將環安衛中心的要求處理得相當漂亮。與葉純青(Vivien)一起修課的時光總令人懷念，一起對著滿滿的數學式子相看兩無言。當我研究有困難與心思枯竭時，謝謝你當我的軍師提供我各種創新想法。當初從沒碰過實驗到現在已經成為蛋白達人，除了感動更是佩服這結果與中間過程。而說話犀利更是在熟識之後會由衷感謝能結交如此中肯的朋友。想法很創新的吳衎(Ben)常讓我哭笑不得。每次與 Ben 聊完研究或生活問題後，總是能在茫茫思緒中找到新的啟發。對研究追根究底的態度，是我每每看到都會肅然起敬。而在平時生活中，各種無厘頭的言論也為實驗室帶來許多歡笑。同班 6 年的好同學楊昇祐(Fred)熱心助人樣子讓我印象深刻，每次遇到困難總會看到他的援手。對研究、生活總是很有自己想法，在有了小朋友以後似乎更加明確。明確的信念與高效率的研究生活讓我十分欽佩。研究與娛樂完美平衡的杜遠朋(Khalil)將生活規劃得相當完善。很有計劃的他，讓我感受到對研究按部就班的態度與方法。對大家研究中的問題癥結點能很快速地指出，用思緒清晰的言語論述，讓人佩服。前鄰居張薰卉(Sol)很有氣勢，一起修課的時候可以感受到他條理分明的思緒。雖然偶爾會很像小朋友的鬧脾氣，但多數時候可靠的樣子讓我可以一起分享生活中的瑣事、研究中的問題。常常幫我張羅大小事情，讓我相當信任與安心。NMR 的研究之路相當艱難，但我相信你一定能打敗大魔王的！想起鄭友勝(Ewan)第一次報告手足無措的樣子到現在可以稍稍自在對談，令人不禁莞爾。很認真地學習各種實驗技能，在未來有許多儀器管理與實驗室的粗活，就請你多多照顧大家。趙語柔(Queena)認真搜尋文獻的樣子，讓我十分佩服。對研究很認真、嚴謹，讓人能很放心的交付各種事情。

研究之餘會和我分享最近的連續劇，讓資訊落後的我能趕在時代的話題上。簡明柔(Ruby)厲害的做點心技能，總讓實驗室人們在忙著吃點心之餘能少欺負他一點。此外，熱心的帶著我做實驗，解答我實驗疑惑與提醒我實驗技巧還有與我聊天抬槓，為我的生活多了許多樂趣。希望你成為研究生之後，蛋白孩子們都能乖乖聽話！在與脖子比我長很多的張君宇(Joy)聊天時總是很歡樂，能明確感受到他的處事想法。對研究清晰的思緒與分析提問總讓我驚歎，希望在未來的碩班生涯中能運用這些技能加上新習得的實驗技巧成為各方全能的研究生。

傻乎乎的林彥伶(Lily)總讓人想多捉弄一下，每到週末就千方算計實驗室中每個

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人的行程，成為週末小小班底。從系上到實驗室內都擁有超高人氣的郭中弘 (Adward) 做實驗時很知道自己在做什麼，成為實驗室中操作合成儀的第一把交椅很令人放心。多方蒐集資訊的何政逸(Joey)對於實驗與生活很有安排。很樂意幫助大家、提供建議，謝謝他在實驗室出遊的照顧。

謝謝在碩班生活中常出現的其他好友們。十分感謝除了實驗室以外的人外，能認識你們。謝謝臺大化學系女排人們，讓我在研究煩躁的時候，還能有運動消遣的時間。謝謝陳亞拿常常與我聊天，心情不好時更能感到一點依靠，

謝謝你願意聽我這些無聊煩惱。感謝我的室友劉又瑄一起分享實驗室的心情，

生活中的照顧。感謝在大學時代認識的學姊林岱縈、莊靜宜、吳卉馨，在工作外還願意聽我學業、生活上的煩惱，給我建議也支持我。最後，感謝我的家人們在我的生活中，總是在背後支持我。在我疲憊的時候，給我最充分的照顧。

有你們在身後，讓我能更肆無忌憚地往前。

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中文摘要

氟基磷灰石(Fluorine-substituted hydroxyapatite, FHAp)為目前常見的生醫替代材料。因其結構與牙齒組成成分相似，且具備良好的生物相容性與穩定性高，故已廣泛被研究利用於硬骨組織之替代品中。在實驗中未添加任何添加物時，FHAp 晶體形貌為長柱狀；當溶液中存在有機添加物時，依據不同有機添加物會使 FHAp 產生相對應之晶體形貌。然而目前研究對於有機與無機物是如何作用、磷灰石的成長機制的了解仍相當有限。若能了解礦物之結晶成長過程，對生物材料發展將是一大突破，藉此提升硬骨組織替代品之應用性。本研究中，我們藉由建立一個二維粗粒化晶體成長之模擬系統，模擬晶體形貌變化情形，以便更進一步了解晶體成長、結晶機制。

本研究中將晶體單元設置為長方形，每次在模擬系統中加入一顆晶體單元以表示晶體成長過程。晶體單元加入系統之位置與旋轉角度由蒙地卡羅方法決定。由 Debye length 與排斥體積影響系統 Helmholtz 自由能。晶體單元間排列情形受模擬系統中有無添加物存在影響。無添加物之模擬系統中可得到長方形之晶體形貌，與實驗所觀察到之長柱狀晶體形貌相似。為了解有機物影響晶體結晶之過程：在模擬中加入較小方形之添加物影響晶體單元堆疊，以模型系統模擬觀察晶體形貌，可觀察到與實驗結果相似之晶體形貌。且當添加物吸附在晶體單元上，會使晶體單元堆疊時有組態競爭關係，進而影響晶體形貌。然而對於添加物如何吸附在晶體單元特定表面、調控晶體形貌之過程，仍需更進一步的觀察、分析與模擬證實。

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Abstract

Fluorine-substituted hydroxyapatite (FHAp) has been one of the most studied biomaterials due to its high stability and excellent biocompatibility. Crystallites of FHAp formed in ambient solution usually have rod-like shape, while various other morphologies would be observed in the presence of organic additives. To date, the growth mechanism of FHAp crystallites is still unclear. Therefore, we aim to build a two-dimensional crystal-growth model that can mimic the crystal morphology of FHAp in order to provide some insights into the crystallization mechanism.

In our model the basic structural unit is added one at a time to imitate the crystal growth process. For each addition, the orientation and position of the crystal unit is sampled by the Monte Carlo method. The interaction energy among the crystal units includes various terms accounting for the effects of Debye length, excluded volume, and crystal dislocation. As a validation of the simulation codes, we successfully obtained rod-like morphology for the resultant crystal. To mimic the effect of organic additive on the crystallization process of FHAp, we have also repeat the simulation in the presence of a set of blocks with smaller size, which would disturb the orientation of the neighboring crystal units. Starting from some judiciously prepared initial configurations, we are able to reproduce certain morphology observed experimentally.

We believe that the results are due to the configuration competition of different crystal- unit stackings. Additional morphology analyses are currently underway to narrow down the physical principles governing the morphology selection in the crystallization process.

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圖目錄

圖 1-1：(a)以掃描式電子顯微鏡觀察海膽刺；(b)巨觀下所觀察之方解石。 ... 3

圖 1-2：以掃描式電子顯微鏡觀察海膽刺中方解石形成過程。 ... 4

圖 1-3：骨頭結構中的六級分層結構示意圖。 ... 6

圖 1-4：礦物與膠原纖維的作用情形示意圖。 ... 6

圖 1-5：FHAp/gelatine 系統下，FHAp 生長情形。初始為六角柱狀形貌，慢慢轉變成啞鈴形，最後形成球形。... 7

圖 1-6： FHAp 因電場作用由六角柱狀形成啞鈴形示意圖。 ... 7

圖 1-7：熱力學與動力學結晶途徑差別示意圖。路徑 A 表示系統為熱力學控制；路徑 B 為動力學控制。 ... 9

圖 1-8：古典與非古典結晶理論示意圖。(a)古典結晶理論表示晶體是由離子一個一個吸附形成單晶。(b)非古典結晶理論表示單體透過位向附著機制與聚集形成單晶。(c)以非古典結晶理論表示系統中有添加物存在時晶體成長機制。 ... 11

圖 1-9：晶體成核時的能量障礙示意圖。當晶體成長到臨界晶核大小後，Gibbs 自由能便會下降，使得晶體穩定成長；否則晶體會傾向溶解在生成。... 11

圖 1-10：觀察 FHAp 中添加檸檬酸的晶體形貌。(a)沒有任何添加物，(b)添加檸檬酸呈現啞鈴狀形貌。... 13

圖 1-11：以掃描式電子顯微鏡觀察添加 Glu 掌性分子的 FHAp 形貌呈現(a)束狀形貌與(b)紡錘狀⁷⁸。 ... 13

圖 1-12：FHAp 球狀形成機制示意圖。 ... 14

圖 1-13：檸檬酸與 HAp 在(a){0001}、(b){1010}表面吸附情形。綠色為鈣原子、紅色為氧原子、紫色為磷原子、黃色為碳原子、白色為氫原子。... 15

圖 1-14：以不同 patchy particles 描述粒子聚集現象，建構不同對稱性的叢集。。(a)4-patch 系統中以 Ih與 D3d(b)6-patch 以 Oh最穩定。 ... 15

圖 2-1：HAp 單位晶格示意圖。 ... 22

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圖 2-2：兩相同粒子間作用力與距離關係簡化示意圖。 ... 28

圖 2-3：兩粒子在一維空間中(a)位置示意圖，(b)位置與分佈關係圖。紅色表示粒子之排斥體積、灰色表示粒子間可移動區域。... 29

圖 2-4：二維空間中之正方形晶體與其相鄰晶體示意圖。 ... 31

圖 2-5：正立方晶體表面各位置示意圖。 ... 31

圖 3-1 : 程式架構流程圖。 ... 36

圖 3-2： (a)晶體單元區域設計圖。(b)依據作用力不同，將各區域細分。(c) 新晶體中心選擇區 A 與選擇區 B 重疊時會生成選擇區 C。 ... 38

圖 3-3：使用 Matlab 內建指令 imshow 顯示晶體單元圖形。以 Matlab 顯示圖像數據時，以 0 到 1 的範圍顯示純黑到純白的圖像；若圖像數據大於 1 時，便會以白色表示。(a)原始顯示圖。(b)依晶體存在區歸一化，可觀察到晶體存在區與作用區的差別。(c)依新晶體中心選擇區歸一化，可觀察新晶體中心選擇區的差異。... 40

圖 3-4：晶體單元旋轉+ 15 在 Matlab 中得到的結果圖。 ... 41

圖 3-5：添加物各區域設定示意圖。 ... 41

圖 3-6：兩晶體單元在(a)長邊、(b)短邊堆疊最緊密，具有最穩定之晶體作用能量示意圖。... 43

圖 3-7：晶體單元中的最大距離示意圖。 ... 45

圖 3-8：兩晶體單元關係在(a)短邊與(b)長邊的最大距離示意圖。 ... 45

圖 3-9：晶體夾特定角度時(a)短邊與(b)長邊的最近距離。 ... 45 圖 3-10：計算新晶體單元與已存在晶體單元相對位置。5 號位置為新晶體單元座落位置，以藍色圓形表示；黑色圓形表示已存在晶體單元；綠色線表示新晶體單元可移動區域；紅叉表示不可移動之區域。(a)依晶體單元長邊與短邊距離差決定彼此相對位置；藍色線表示長邊間隔單位、紫色線表示短邊間隔單位。

(b)已存在晶體單元位在 4、6 位置時，新晶體單元可移動位置為短邊區域。(c) 已存在晶體單元位在 2、8 位置時，新晶體單元可移動位置為長邊區域。(d)已

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存在晶體單元位在 1、3、7、9 位置時，新晶體單元可移動位置為長邊與短邊區域。(e)已存在晶體單元位在 14 位置、47 位置、36 位置、69 位置僅可延短邊區域移動。(f)已存在晶體單元位在 12 位置、23 位置、78 位置、89 位置僅可延長邊區域移動。 ... 47 圖 3-11：新晶體單元與已存在晶體的相對位置。黑色矩形為已存在的晶體單元；深藍色矩形表示新晶體單元；紅點為晶體單元中心。 ... 50 圖 3-12：描述新晶體單元與其他已存在的晶體單元間向量關係(a, b)，以及各

已存在的晶體單元間之向量關係(c)。黑色矩形為已存在的晶體單元；深藍色

矩形為新晶體單元；紅點為晶體單元中心。 ... 50 圖 4-1：兩晶體單元(a)夾角 0 與(b)夾角 15 時，晶體單元距離與作用能量計算示意圖。... 61 圖 4-2：以參考晶體中心位置作為基準，兩晶體單元夾角(a) 0 與(b) 15 時中心距離與作用能量圖。黑色交叉區域為參考晶體存在位置。... 61 圖 4-3：兩晶體間夾角對E_asa影響。 ... 62 圖 4-4：系統中加入 1000 顆晶體單元且二級模擬退火次數為零時，初級模擬次數為(a)0 與(b)1500 對晶體形貌影響之模擬圖。 ... 63 圖 4-5：當二級模擬退火次數為零時，不同初級模擬退火次數在各步驟中之有效模擬退火比例關係圖。黑色、藍色、紅色、紫色線分別表示總初級模擬退火次數為 0, 1000, 1500, 2000 時之有效模擬退火比例。... 64 圖 4-6：系統中加入 1000 顆晶體單元且初級模擬退火次數為 1500 時，二級模擬退火次數為(a)500 與(b)1000 之晶體形貌模擬圖。 ... 65 圖 4-7：當初級模擬退火次數為 1500 時，不同二級模擬退火次數在各步驟中之有效模擬退火比例關係圖。紅色、粉紅色線分別表示二級模擬退火次數為 500 與 1000 時之有效模擬退火比例。... 65 圖 4-8：當(a)系統邊界為 3001 添加 1000 顆晶體單元與(b)系統邊界為 5001 添加

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2500 顆晶體單元之晶體形貌模擬圖。... 66 圖 4-9：依據添加物吸附在晶體單元不同相對位置所設定之模型系統，依序命名為 Sys 1 至 Sys 5。圖中黑色為晶體單元存在區、橘色表示為添加物。 ... 67 圖 4-10：當添加物為邊長 10 之正方形時，以 Sys 1 模擬晶體形貌之結果圖。模擬圖中白色為晶體單元存在區、灰色為晶體單元作用區、紅色為添加物。... 67 圖 4-11：當添加物為邊長 10 之正方形時，以 Sys 5 模擬晶體形貌之結果圖。模擬圖中白色為晶體單元存在區、灰色為晶體單元作用區、紅色為添加物。... 68 圖 4-12：在 FHAp 合成過程中添加(a)citrate acid 與(b)D-glutamic acid 對 FHAp 晶體形貌之影響。... 68 圖 4-13：當添加物吸附在晶體後，新晶體單元堆疊情形受添加物影響可分為(a) 收縮、 (b)垂直、 (c)分岔三種情形。圖中黑色為晶體單元存在區、橘色表示為添加物、藍色方塊表示新晶體單元。... 69 圖 4-14：當添加物邊長為(a)5、(b)10、(c)15 時，新晶體單元在各模型系統中堆疊之旋轉角度差異分布圖。晶體單元堆疊形貌呈收縮狀之旋轉角度設置為負值、分岔狀之旋轉較度設為正值，在此以± 5 作為收縮、垂直、分岔之判定條件。... 70 圖 4-15：以碎形幾何所繪製出的晶體形貌圖。 ... 71

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表目錄

表 1-1：在生物系統中主要的生物礦物 ... 2

表 1-2：碳酸鈣各晶相與溶解度 ... 5

表 2-1：相鄰原子數與鍵結數關係 ... 31

表 2-2：正立方晶體不同位置相鄰晶體數 ... 32

表 3-1：矩陣元素中晶體單元不同區域數值設定 ... 39

表 3-2：晶體單元各區域長寬設定 ... 40

表 3-3：不同重疊區域所提供的單位能量 ... 43

表 3-4：晶體單元短邊與長邊可移動的全區域與排斥體積計算式 ... 46

表 3-5：矩陣元素值範圍與其相對應的晶體單元區域 ... 58

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第一章緒論

1-1 生物礦化簡介

生物礦化係指礦物在生物體中成長的過程並產生具有生物相容性的材料

如：骨頭、牙齒、外骨骼等¹。由於這些礦物在生物體內，其礦化過程皆是由有

機與無機物交互作用所形成；有機分子如大分子蛋白質、小分子碳氫化物、磷

脂質等會有效調控無機物^2–6。根據礦物與不同有機物作用會形成不同的結構，

在生物體中的功能與性質也不盡相同，例如：機械強度、光學性質、磁性等^5–

7。以海膽牙齒為例，其礦物性質堅固與銳利來自於海膽牙齒晶相排列良好而成

8。然而由於生物體中礦物與有機物的作用力複雜，生物體如何調控晶體形貌與

組成仍在研究中。

目前在生物礦化在化學的研究中，可概分成三大領域⁹： 1. 礦物的特徵鑑定，包括：功能、結構、晶向、組成等鑑定。

2. 利用仿生系統模擬有機基質與晶體間的作用情形，調控生物對晶體的成核與成長影響與形貌控制。

3. 發展符合生物礦化系統的合成方法，建立有機無機混成的材料。

1-2 生物礦物

自然界中已知許多不同的生物礦物，如脊椎動物中的磷酸鈣、軟體動物殼

的碳酸鈣、海藻與植物的二氧化矽、細菌中的氧化鐵等¹。不同的生物礦物具有

不同的功能，

表 1-1 為生物體中主要常見的礦物種類。其中碳酸鈣與磷酸鈣為目前生物礦物中廣被研究的礦物類型，以下將介紹由碳酸鈣與磷酸鈣組成之不同晶相。

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表 1-1：在生物系統中主要的生物礦物¹

Mineral Formula Organism Function

Calcite CaCO3 algae exoskeleton

Aragonite CaCO3 mollusks exoskeleton Vaterite CaCO3 ascidians spicules Hydroxyapatite Ca10(PO4)6(OH)2 vertebrates endoskeletons Fluorapatite Ca10(PO4)6(F)2 sharks teeth

Octa-calcium phosphate Ca8H2(PO4)6 vertebrates precursor phase Weddellite CaC2O42H2O plants Ca store

Silica SiO2nH2O algae exoskeletons Magnetite Fe3O4 bacteria magnetotaxis Gypsum CaSO4 jellyfish larvae gravity device

Barite BaSO4 algae gravity device

Celestite SrSO4 acantharia cellular support

1-2-1 碳酸鈣

碳酸鈣為自然界中常見的礦物，軟體動物殼、海膽刺等皆是由碳酸鈣組成。常見的碳酸鈣晶相可分為六種：方解石(calcite)、文石(aragonite)、球霰石 (vaterite)、單水方解石(monohydrocalcite)、六水碳鈣石(ikaite)、非晶態碳酸鈣 (amorphous calcium carbonate, ACC)¹。其中方解石為碳酸鈣各晶相中最穩定的一晶相，ACC 為最不穩定的晶相。

合成所得的礦物晶體具有各晶相特定的晶格排列，然而在生物礦物中的礦物則存在許多複雜的形貌¹⁰。圖 1-1a 為海膽刺的形貌、圖 1-1b 為常見的方解石形貌。雖然此兩種礦物皆是由方解石組成，在生物體中會看到較複雜的形貌存在。此外，觀察海膽牙齒的組成，可發現在方解石中有含量相當可觀的鎂離子

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11。當鎂離子嵌入方解石晶格中，形成含鎂方解石(Mg-calcite)會降低晶格維度，使得含鎂方解石具有相當高的機械強度。表示鎂離子會影響晶體成長且可藉由修飾方解石在特定位向上的生長達到抑制晶體成長的結果。

圖 1-1：(a)以掃描式電子顯微鏡觀察海膽刺；(b)巨觀下所觀察到的方解石¹⁰。

目前研究已越來越關注 ACC 的發展，因 ACC 非常不穩定但卻能在生物體中保存並轉換成不同的晶相。在 2004 年，Addadi 與 Weiner 研究團隊透過掃描式電子顯微鏡觀察到海膽刺中方解石形成是由非晶態前趨物轉換而成(圖 1- 2)¹²。Gilbert 等人以 X 光吸收近邊緣結構光譜(X-ray absorption near-edge structure spectroscopy, XANES)在海膽牙齒與骨針中亦發現非晶態粒子出現

13,14。因此生物礦化過程中，以非晶態晶相存在再轉變成其他晶相被認為是一個

重要的過程。在碳酸鈣系統中，ACC 被認為是碳酸鈣各晶相的前驅物。目前亦有許多研究利用不同離子(鎂、碳酸根)或聚合物調控 ACC 的穩定性^15,16。非晶態前趨物的結晶途徑在礦物晶相轉換過程、晶體形貌、晶體形成時的離子強度等都提供新的觀點¹⁷。此外，亦有研究以 X 光觀察發現：ACC 的短距離排列與具有晶相的碳酸鈣排列有相關性^18–21。這些觀察提供生物礦化機制更多新想法。

(a) (b)

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圖 1-2：以掃描式電子顯微鏡觀察海膽刺中方解石形成過程¹²。

1-2-2 磷酸鈣

磷酸鈣為脊椎動物骨頭與牙齒的主要組成成分¹。磷酸鈣根據鈣/磷元素比

例(Ca/P molar ratio)、溶解度不同，亦具有許多晶相。表 1-2 為磷酸鈣主要的組成^22,23。

氫氧基磷灰石(hydroxyapatite, HAp)為磷酸鈣中最穩定的晶相，且為骨頭與牙齒中的主要無機物^24,25。因此 HAp 被認為是良好的骨頭替代材料²⁶。在生物體中的 HAp 結晶性較差，晶格中的 Ca²⁺, PO43-, OH^-會被其他種類的原子如 Mg²⁺ , Na⁺ , F^- , CO32-等取代²²。

生物體中的骨頭具有許多不同長度、複雜的架構以表達不同的機械性質與生物功能如：支撐、保護、缺陷容忍等^27,28。目前普遍認為骨頭中的 HAp 存在於各膠原纖維(collagen fibril)中，形成有機無機混成物。圖 1-3 表示骨頭結構中六級分層結構^1,27。第一級到第六級的結構分別為膠原蛋白纖維(1 nm)、骨頭礦物晶體/膠原纖維混成(<100 nm)、膠原纖維(<1 m)、層狀物(1-10m)、骨質 (10-500m)、密質骨與鬆質骨(>500 m)。雖然骨頭的各級結構已經廣為所知，

但骨頭成礦機制仍未明朗。因此有許多研究建構仿生系統(HAp/collagen,

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HAp/gelatin)來觀察骨頭生長情形^29–32。Sommerdijk 等人以低溫穿透式電子顯微鏡(cryogenic transmission electron microscope, cryo-TEM)觀察骨頭形成過程：發

現骨頭結構、膠原電荷分布情形在骨頭形成過程扮演重要的角色³²，膠原纖維

與礦物作用示意圖如圖 1-4³³。此外，酸性非膠原蛋白質與檸檬酸和礦物的作用情形亦被廣泛研究。這些有機物會控制礦物的礦化過成影響晶格旋轉與粒子大小^34–36。

表 1-2：碳酸鈣各晶相與溶解度²² Ca/P

ratio

Compound Formula

log(Ksp) at 25 C 0.5

monocalcuim phosphate

monohydrate Ca(H2PO4) 2H2O 1.14 0.5

monocalcuim phosphate

anohydrate Ca(H2PO4)2 1.14 1.0

dicalcium phosphate

dihydrate CaHPO42H2O 6.59 1.0 dicalcium phosphate

anhydrate CaHPO4 6.90

1.33 octacalcium phosphate Ca8(HPO4)2(PO4)45H2O 96.6 1.5 -tricalcium phosphate Ca3(PO4)2 25.5 1.5 -tricalcium phosphate Ca3(PO4)2 28.9 1.2—2.2 amorphous calcium

phosphate Cax(PO4)ynH2O N/A 1.5—1.67

calcium-deficient hydroxyapatite

Ca10-x(HPO4)x(PO4)6-x(OH)2- x

85.1

1.67 hydroxyapatite Ca10(PO4)6(OH)2 116.8 1.67 fluorapatite Ca10(PO4)6F2 120.0 2.0 tetracalcuim phosphate Ca4(PO4)2O 38—44

(21)

6

圖 1-3：骨頭結構中的六級分層結構示意圖³⁷。

圖 1-4：礦物與膠原纖維的作用情形示意圖³³。

(22)

7

含氟氫氧基磷灰石(fluorine-substituted hydroxyapatite, FHAp)在生物體中具有良好的生物相容性與低溶解度，被認為是一個良好的生物材料^38,39。將牙齒中的 HAp 部份轉換成 FHAp 可降低蛀牙的情形^40,41。在人體的牙齒中約有 0.05- 1 %氟離子在琺琅質上。已經有許多研究以 FHAp 作為研究材料。Kniep 與 Busch 建立 FHAp 仿生系統(FHAp/gelatine)並發現與 HAp/collagen 有許多相似處

42,43。在 FHAp/gelatine 系統中，FHAp 初始會生成柱狀結構，再轉變為啞鈴

形，最後形成類似球狀的晶體形貌(圖 1-5)。Kniep 等人認為合成所得的 FHAp- gelatine 形貌與溶液中的電偶極(electric dipole)有關^43–46 (圖 1-6)。此系統可視為一模型系統，藉此觀察 FHAp 結晶機制。

圖 1-5：FHAp/gelatine 系統下，FHAp 生長情形。初始為六角柱狀形貌，慢慢 轉變成啞鈴形，最後形成球形⁴⁷。

圖 1-6： FHAp 因電場作用由六角柱狀形成啞鈴形示意圖⁴⁶。

(23)

8

1-3 結晶途徑

生物礦化過程中礦物與有機物的作用為相當複雜，礦物的結晶機制仍被廣泛研究討論中。為了研究生物體如何調控礦物的晶相選擇與晶體排列，在晶體成核與成長方面有許多不同的看法。以下列舉幾點已提出的基本理論進行討論，用以了解生物礦化研究發展。

1-3-1 熱力學 vs. 動力學

常見的晶體成長過程可分為熱力學控制與動力學控制¹⁵，如圖 1-7。熱力學控制在述說晶體成長時會由初始相態直接轉變至穩定態，在相轉變的過程中不會有過度態出現，如圖 1-7 中的路徑 A。在早期的生物礦化研究中，結晶過程被認為是一個單步驟途徑。然而在近十年來的研究中發現，生物礦物中存在許多非晶態前驅物^48,49。這些非晶態相態廣泛的存在於礦化過程前期，使得礦化過程不僅是熱力學控制。礦物會由初始相態轉變成中間態再逐步達到最穩定的相態，表示礦物結晶過程與動力學有關。

在圖 1-7 中路徑 B 可用來表示動力學結晶過程。相轉變過程會遵循

Ostwald-Lussac Law。Ostwald-Lussac Law 指出在晶體成長時，最不穩定的相會第一個形成，之後晶體會溶解再結晶達到調控晶體結構與組成，逐漸相轉變成

一穩定相^49,50。在此相轉變過程中的動力學控制主要原因是由於表面能造成，

因相轉變過程需先克服能量障礙才能形成一更穩定相。由於非晶態相的組成排列結構鬆散、亂度高，使之具有較低的表面能。在相轉變過程中需要克服的能量障礙相對較低，使得非晶態相的相轉變更快速與有效率，也因此成為各相的前驅物。

(24)

9

圖 1-7：熱力學與動力學結晶途徑差別示意圖。路徑 A 表示系統為熱力學控 制；路徑 B 為動力學控制¹⁵。

此外，各中間物的溶解度與活化能不同亦會使得相轉變成為一個多步驟反應。由於生物有機分子與離子會與中間態的礦物產生交互作用，進而改變結晶過程的動力學。加入不同的添加物，亦會使得礦物的結晶過程不同。若添加物會進入晶體晶格中，會造成晶體的溶解度改變，使得此相態中的相對自由能受

到影響。常見的例子如含鎂方解石¹¹。當鎂離子取代方解石中的鈣離子時，會

增加方解石晶體的溶解度，促使文石生成。某些添加物則是影響兩反應間的能量障礙，造成晶體結晶過程的動力學途徑改變或是穩定原本較不穩定的相。有研究發現 L-天冬氨酸(L-aspartic acid)和某些聚合物可藉由和礦物表面結合，阻止溶解與再結晶反應，進而誘發球霰石相出現並穩定此相^51,52。

1-3-2 古典 vs. 非古典結晶

圖 1-8 為古典與非古典結晶理論示意圖。古典結晶理論認為：晶體在成核階段所生成的單體由原子、離子和分子所構成。剛成核時若粒子尺寸太小，由於表面能太大使系統不穩定，小粒子便會溶解；當粒子大小大於臨界晶核尺寸

(25)

10

(critical nuclei size)後，這些初級晶體便能穩定存在，並吸引其他離子一個一個吸附，使之持續成長成一個更大的晶體(圖 1-8a、圖 1-9)。臨界晶核尺寸受溶液中的組成與過飽和度影響。然而在許多研究結晶過程中也發現從古典結晶理論所得到的模型和實驗觀察到所得結果不符。因此 Colfen 和 Mann 等人提出一個新結晶模型。Colfen 和 Mann 認為結晶過程是由許多晶體單元聚集形成更大的

晶體，亦稱之為非古典結晶理論¹⁵。雖然非古典結晶理論在成核時期與古典結

晶模型相似，但在晶體生長過程的機制描述則是完全不同。在非古典結晶理論中認為初級奈米粒子(primary nanoparticle)會自發性的聚集並且旋轉到適合晶體排列的角度，這種過程亦稱之為位向附著機制(oriented attachment mechanism)^53–

56。這些奈米粒子透過旋轉聚集會形成一個更大的單晶(圖 1-8b)。De Yoreo 研究團隊在 2012 年以 in situ TEM 直接觀察到晶體成長時晶體會旋轉至特定位向才

會吸附，證實晶體成長過程中位向附著機制的重要性⁵⁵。此外，這些奈米粒子

亦會與有機添加物結合，在晶體成長時也會有相似的自體聚集過程。

在非古典結晶理論中的介觀晶體(mesocrystal)在晶體成長中扮演相當重要的角色⁵⁴。介觀晶體在初級單體良好排列後形成(圖 1-8)，並且具有與單晶相似的光學性質，因此很難區分介觀晶體與單晶的差異。然而由於介觀晶體是由奈米粒子聚集形成，此結構形成與單晶不同特徵，如：表面積高、孔洞多。在材料

應用上具有較高的潛力，例如：催化、感測、太陽能轉換等⁵³。這些排列良好

的奈米粒子在生物體中也有被觀察到，如海膽刺、珍珠母層等⁵⁷。這也證明非

古典結晶理論對於材料應用上有相當的助益。雖然介觀晶體系統已被提出，介觀晶體形成過成至今仍未明朗，尚在研究中。

(26)

11

圖 1-8：古典與非古典結晶理論示意圖。(a)古典結晶理論表示晶體是由離子一 個一個吸附形成單晶。(b)非古典結晶理論表示單體透過位向附著機制與聚集形 成單晶。(c)以非古典結晶理論表示系統中有添加物存在時晶體成長機制⁵⁸。

圖 1-9：晶體成核時的能量障礙示意圖。當晶體成長到臨界晶核大小後，Gibbs

自由能便會下降，使得晶體穩定成長；否則晶體會傾向溶解在生成⁵⁹。

(27)

12

1-3-3 限制空間

因生物體內有細胞膜或微胞，生物礦物通常在一個獨立且限制的環境中生長。在此限制的體積中，離子的擴散、晶體形貌、礦化位置通常會被特定的生

物分子所調節⁶⁰。利用合成的限制空間將礦化過程限制在此空間中模擬生物體

中礦物在限制空間中的生長情形^61–64。Loste 和 Meldrum 認為方解石的形貌會受到 ACC 前驅物影響⁶⁵。在形成方解石前，若 ACC 為圓柱狀時會產生柱狀方解石。因此非晶態前驅物的生長時間會影響晶體之後的生長。此系統亦表示在限制空間下方解石會呈現非結晶性形貌，且類似於海膽骨刺的形成。Manoharan 研究團隊亦觀察到：晶體在限制空間下生長時，晶體生長會受到限制空間所產生的彈性能(elastic energy)影響，使晶體在平坦面與限制空間下生長形貌有所差異⁶³。

1-4 晶體形貌

由於晶體形貌與其結晶途徑有關，藉由觀察晶體形貌可推測礦物結晶機制。目前已有許多研究建構仿生系統來觀察晶體形貌變化情形^64,66–70。在礦化過程中添加小的有機分子或大的聚合物對晶體形貌影響不盡相同^70–76 (圖 1-5、

圖 1-10)。掌性分子添加物所產生的晶體形貌亦會有所不同^71,77,78(圖 1-11)。

Kniep 等人在觀察 FHAp 與明膠混合(FHAp/gelatin)的仿生系統後認為明膠會提供電偶極形成電場造成晶體延特定方向生長，使 FHAp 由六角柱狀變成啞鈴形

5,45。Tang 研究團隊以原子力顯微鏡(atomic force microscopy)觀察檸檬酸離子與 HAp 的作用情形，發現檸檬酸離子會與 HAp 表面上的碳酸根離子與鈣離子在 {100}面上結合⁷⁹。當檸檬酸離子濃度增加，會使得 HAp 表面上的吸附更多檸檬酸離子，且因為氫鍵關係使得檸檬酸離子有良好的方向性排列。這些排列良好的檸檬酸離子會在 FHAp 的 c 軸上產生一個電場，使得 FHAp 由六角柱狀逐漸形成啞鈴形至球形的晶體形貌(圖 1-12)。然而當溶液中有乙二胺四乙酸 (ethylenediaminetetraacetic acid, EDTA)與檸檬酸離子時，仍會使 FHAp 形貌產生

(28)

13

改變⁷⁵。當 EDTA 在溶液中會阻止電場生成，但 FHAp 晶體形貌仍有明顯改變，因此認為晶體形貌是直接受檸檬酸離子調控而非電場所造成。然而此種說法仍需其他更進一步的實驗證明。

圖 1-10：觀察 FHAp 中添加檸檬酸的晶體形貌。(a)沒有任何添加物，(b)添加 檸檬酸呈現啞鈴狀形貌⁷⁵。

圖 1-11：以掃描式電子顯微鏡觀察添加 Glu 掌性分子的 FHAp 形貌呈現(a)束狀 形貌與(b)紡錘狀⁷⁸。

(a) (b)

(29)

14

圖 1-12：FHAp 球狀形成機制示意圖⁷⁵。

1-5 電腦模擬

除實驗觀察外，亦有許多研究團隊以電腦模擬來觀察生物礦化機制。常見的模擬方法為分子動態模擬法。以分子動態模擬計算 HAp 系統中添加大分子 (如：膠原蛋白)或小分子(如：胺基酸)，可觀察到添加物吸附在 HAp 特定面向

上^81,82。有些研究團隊根據不同的模擬條件，建立新力場使模擬更接近實驗情

形，例如：Filgueiras 等人建立檸檬酸與 HAp 的力場，在模擬中觀察到檸檬酸以氫鍵與 HAp 表面作用吸附於 HAp 特定面向上(圖 1-13)⁸³。Ugliengo 研究團隊 利用 ab initio 計算五種不同胺基酸(Gly, Ser, Lys, Gln, Glu)與 HAp 表面作用情形

84。在分子動態模擬中，可看到晶體生長情形會受到有機物存在位置影響，當

有機物在階梯(step)或是扭折位(kink)會抑制此位置的晶體生長，透過這些選擇性結合位置會控制晶體形貌。

(30)

15

圖 1-13：檸檬酸與 HAp 在(a){0001}、(b){1010}表面吸附情形。綠色為鈣原

子、紅色為氧原子、紫色為磷原子、黃色為碳原子、白色為氫原子⁸³。

然而這些模擬系統與自然界的生物礦化過程相比，模擬系統尺度太小。以分子動態模擬來會使模擬系統有計算資源不足、無法計算的情形產生。以粗粒化模型進行模擬可以減少計算資源、觀察晶體成長過程。Doye 等人建構 patchy particles，以等向性 Lennard-Jones 位能描述粒子間的作用力，建構各相異性 (anisotropy)的晶體形貌(圖 1-14)⁸⁵。

圖 1-14：以不同 patchy particles 描述粒子聚集現象，建構不同對稱性的叢 集。。(a)4-patch 系統中以 Ih與 D3d(b)6-patch 以 Oh最穩定⁸⁵。

(a) (b)

(31)

16

1-6 研究動機

以 FHAp 作為生物材料已經被廣泛研究與應用。目前已有許多仿生系統針對 FHAp 來研究生物成礦機制。因晶體形貌會受到晶體各面向成長速率影響，

以此便可觀察生物成礦機制。然而生物成礦過程中，添加物對晶體形貌如何造成影響仍不是很明確。雖然目前已有電腦模擬觀察礦物與有機物的作用情形。

不過多在原子尺度的模擬，與實驗中觀察到的晶體形貌尺度仍差距甚大。若要建立更大的模擬系同，則需要更多的計算資源與時間。

在本論文中，我們試圖建構一個粗粒化模型來模擬 FHAp 的成長過程與添加物對 FHAp 晶體形貌的影響，試圖釐清 FHAp 結晶機制。藉由已存在的理論作為能量項基礎，用以描述晶體間的作用情形。以粗粒化模型進行模擬可加快模擬速度、觀察晶體形貌變化情形。對於添加物吸附在晶體表面對晶體形貌的影響做系統性的分析。期望能藉由此模擬系統對添加物在生物成礦機制中扮演的角色有更進一步的理解。

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(81) Almora-Barrios, N.; De Leeuw, N. H. Cryst. Growth Des. 2012, 12 (2), 756.

(82) Xu, Z.; Yang, Y.; Wang, Z.; Mkhonto, D.; Shang, C.; Liu, Z.-P.; Cui, Q.; Sahai, N. J. Comput. Chem. 2014, 35 (1), 70.

(83) Filgueiras, M. R. T.; Mkhonto, D.; de Leeuw, N. H. J. Cryst. Growth 2006, 294 (1), 60.

(84) Rimola, A.; Corno, M.; Garza, J.; Ugliengo, P. Philos. Trans. R. Soc. Math.

Phys. Eng. Sci. 2012, 370 (1963), 1478.

(85) Doye, J. P. K.; Louis, A. A.; Lin, I.-C.; Allen, L. R.; Noya, E. G.; Wilber, A. W.;

Kok, H. C.; Lyus, R. Phys. Chem. Chem. Phys. 2007, 9 (18), 2197.

(37)

22

第二章理論背景

在本章節中將會一一介紹此模擬系統中所使用的基本背景知識。並以此背景知識作為建構模擬晶體成長之基礎。

2-1 單位晶格

HAp 的分子式為 Ca10(PO4)6OH2，晶體結構為六角柱狀，圖 2-1 為 HAp 的單位晶格¹。將 HAp 中的氫氧基以氟取代可以得到 FHAp (Ca10(PO4)6F2)。FHAp 單位晶格之 a, b 軸長為 9.3684 Å 、c 軸長為 6.8841 Å 。

本研究根據 FHAp 單位晶格設計模擬之晶體單元大小，晶體單元長寬設置為 FHAp 延 c 軸堆疊 2 個單位晶格之長寬比 1.47 而定。將晶體單元長寬分別設置為 50 與 34 單位，每單位大小為 10^10 m。

圖 2-1：HAp 單位晶格示意圖¹。

2-2 Helmholtz 自由能

Helmholtz 自由能(A)在熱力學中可用來表示固定溫度下密閉系統受到有效功的熱力學位能。其基本定義如式 2-1。在統計熱力學中：固定粒子數(N)、體積(V)、溫度(T)情況下，可將 Helmholtz 自由能表示成式 2-2。

(38)

23

A U TS  ln A kT Q A : Helmholtz free energy

U : internal energy of the system T : absolute temperature

S : entropy

Q : canonical partition function k : Boltzmann factor

欲計算配分函數(Q)大小，可藉由積分相空間(phase space)得到²。在古典力學中位置(r)與動量( p )可以組成一個相空間，不同的動量與位置即為一個組態(configuration)。粒子具有各自的組態且可在相空間中被描述，對於不可分辨的粒子，在系統中的所有組態可以式 2-3 表示。式 2-3 的動量積分可視為理想氣體所貢獻的動量，因其不考慮分子間作用力；位置積分由彼此間作用力所形成。

 ³ ^,³ 

3 3

3

1

!

N N

H p r

N N kT

Q N dp dr e

h N





 



³ ³



³

 

³

1

, 2

N

N N i N

i i

H p r p u r

 m







h : phase space unit volume N : number of particles p : momentum

r : position m : mass

式 2-3 式 2-1 式 2-2

(39)

24

真實系統中的配分函數(Q_NVT)由式 2-4 描述，可將此配分函數寫成由粒子的動量與其他常數所組成的Q_NVT^ideal和粒子間作用所形成的Q_NVT^excess相乘。

 

3 3

1

3 2 3

3

1

!

N N

i i i

p u r

kT m

N N kT

NVT N

ideal excess

NVT NVT

Q dp e dr e

h N

Q Q



  

  



 

 

3

1

1 3 2

3 !

N i i i

N p

k T m

i d e a l N

N V T N

Q V d p e

h N



 

  





 ³ 1 3

u r N

excess N kT

NVT N

Q dr e

V







將式 2-4 帶入式 2-2 可以得到真實系統中的 Helmholtz 自由能(式 2-5)，分別對應到A^ideal與A^excess：

 

ln _NVT^ideal _NVT^excess

ideal excess

A kT Q Q

A A

  

 

由於A^ideal在同樣的系統條件下皆相同，在本研究中僅考慮A^excess大小。本

模擬中，藉由計算系統之 Helmholtz 自由能得知晶體單元間的作用情形。模擬時，每次在系統中加入一顆晶體單元，晶體單元在系統中的位置以晶體單元中心 x、y 座標以及與垂直方向的夾角( )表示。新晶體單元在模擬系統中的 Helmholtz 自由能可設為以下形式：

 

0

, , ln ^asa

area asa

A E x y kT V V

E E



 

 

將式 2-6 與式 2-1 比較：式 2-6 第一項為系統內能，第二項與系統熵有關。將式 2-6 套用到模擬系統中，改以式 2-7 進行計算。在模擬系統中的 Helmholtz 自由

式 2-4

式 2-5

式 2-7 式 2-6

(40)

25

能分別以 Debye length 與排斥體積觀念描述系統內能(E_area)與熵的相關項(E_asa) 表示。

2-2-1 Debye length

系統內能的設定中，先以 Debye length 來描述晶體間作用距離。Debye length 是指在稀釋溶液中離子運動並非理想情形，溶液中離子彼此會有作用³。溶液中帶電離子的運動可用帕松方程式(Poisson equation)描述，如式 2-8。當電解質溶液處於平衡時，帶電離子分布會符合波茲曼分布(Boltzmann

distribution)。溶液中正負離子濃度可由式 2-9、式 2-10 表示。

2

0D

 

  

2 : Laplacian operator

 : electrostatic potential

 : charge density

0 : vacuum permittivity D : dielectric constant

 

^{ }

 

^{ }

ze x kT

n x n e n x n e





 



 



n_ : concentration of positive ions

n_ : concentration of negative ions

n_ : bulk salt concentration z : valency

式 2-8

式 2-9 式 2-10

(41)

26

e : elementary unit charge k : Boltzmann factor T : absolute temperature

溶液中電荷密度即為溶液中所有離子電荷總和(式 2-11)。

   

i i i

x z en x ze n x n x



 



 

   



將式 2-11 代入式 2-8 可得到 Poisson–Boltzmann 方程，如式 2-12。利用三角函數將式 2-12 代換為式 2-13。式 2-13 為一個非線性二次微分方程，需要使用電腦大量運算才能解得數值解。

 

2

0

ze x ze

kT kT

zen e e D

 

 



 

     

2

0

2zen sinh ze

D kT

 

 ^

 

    

 

然而當電動勢很小時(ze𝜓 ≪ 1)，可以用線性近似方法簡化算式得到式 2-14。

2

0 2

2zen ze D kT

 



 

 

   

 



式 2-即為 linearized Poisson–Boltzmann 方程又稱為 Debye–Hückel 方程，

為 Debye–Hückel 參數(式 2-15)，^¹即為 Debye length (_D)。

2 2 2

2

0

2 1

D

z e n

 D kT

 ^ ^  ^

Debye length 可以表示帶電粒子的遮蔽距離，亦即帶電粒子在溶液中能感受到其他粒子並與之作用的距離。當特定兩粒子間的距離小於 Debye length 時，兩粒子彼此會有作用力；若特定兩粒子間的距離大於 Debye length 時，兩粒子間會受到其他離子產生的電場被遮蔽，彼此不會有作用力產生。

式 2-11

式 2-12

式 2-13

式 2-14

式 2-15