2-2 根式的運 算

2-2 根式的運

算 主題 1 根式運算的基本性 質 主題 2 根式的四則運算

重點整理

自我評量

搭配課本 p 主題



 73 根式運算的基本性質

1

　　由 2-1 節知道、－、、－、⋯⋯分別代表不同的 數，這些帶有根號的數像整數、分數一樣，也能做加、

減、乘、除的運算，而且滿足加法、乘法的交換律、結合 律及分配律。

　　我們將含有根號的算式稱為根式，例如： 2

＋、 1÷ 、 3× 、－ 1 等都是根式。接下來就來討論根式運 算的基本性質。

搭配課本 p



 73 　　根式的表示

　　在第一冊我們學過：

x ＋ x ＋ x 寫成 3 ． x 或 3x ；

( － ) ． x 寫成－ x 或－；

x÷3 寫成或 x 。

x ＋ x ＋ x 寫成 3 ． x 或 3x ；

x÷3

搭配課本 p



 73

而根式也可以利用這種形式來表示：

一般而言，若 a≠0 ， b0 ，則 a× 寫成 a ；

÷a 寫成或。

＋＋ 寫成 3× 或 3 ； ( － )× 寫成－ 或－；

÷3 寫成 或。

搭配課本 p



 74

　　根式也滿足乘法的交換律與結合律，我們來看下面的 例題。

例　　 搭配課本 p



 74 a×c 的運算

1  

計算下列各式的值。

⑴( － 2)×3 ⑵ 4× ⑶×

 解



＝－ 6×

＝－ 6

  ⑵ 4× ＝ 4××

＝ 4××

＝ ×＝

例　　 搭配課本 p



 74 a×c 的運算

1  

計算下列各式的值。

⑴( － 2)×3 ⑵ 4× ⑶×

 解



　 × ＝ ××

＝

  ＜方法二＞

× ＝

＝

搭配課本 p 隨堂練習



 74

計算下列各式的值。

⑴ ×5 ⑵ ×( － 16) ⑶ ×

解

＝ 3×

＝ 3

  ＝ ××( － 16)

＝－ ×＝－

  ＝

＝

重新布題

搭配課本 p



 75 　　根式的乘除運算

1. 根式的乘法運算

　　我們知道 2× ＝ 2 ，那 × 呢？

根據平方根的意義：「若 b² ＝ a ，則 b 是 a 的平方 根。」

因為 (×)² ＝ (×)×(×)

　　　　　　＝ (×)×(×) 　　　　　　＝ 2×5 ，

所以 × 是 2×5 的正平方根，

搭配課本 p



 75

又 也是 2×5 的正平方根，

所以 × ＝。

事實上，若 a0 、 b0 ，則 × ＝。

我們也可以利用計算機來檢驗

× 與 的值。

× →

→

例　　 搭配課本 p



 75 根式的乘法運算

2

計算下列各式的值。

⑴× ⑵ － )×4 7×5( ⑶

⑴× ＝

⑵( － )×4 ＝ ( － )××4×

　　　　 ＝ ( － )×4××

⑶7×5 ＝ 7××5×

　　　　 ＝ 7×5××

 解



＝－

＝ 35×2 ＝ 70

搭配課本 p 隨堂練習



 75

計算下列各式的值。

⑴× ⑵×( － ) ⑶3×4

解

12×6

＝ 72

重新布題

搭配課本 p



 76

2. 根式的除法運算

　　我們知道 × ＝，那麼 ÷ 是否會等於呢？

÷ 的值可用 表示，

因為 ()² ＝ × ＝＝，所以 是 的正平方根，

又 也是 的正平方根，所以＝。

搭配課本 p



 76

事實上，若 a0 、 b ＞ 0 ，則 ＝ 或 ÷ ＝。

我們也可以利用計算機來檢驗 與 的值。

→

→

例　　 搭配課本 p



 76 根式的除法運算

3

計算下列各式的值。

⑴÷ ⑵ － 12)÷(8) ( ⑶÷

⑴÷ ＝

⑵( － 12)÷(8) ＝－

⑶÷ ＝ ÷ ＝

 解 

3 2

2 1 3

1

＝

＝－ ×

    ＝－

＝

    ＝＝

搭配課本 p 隨堂練習



 76

計算下列各式的值。

⑴÷ ⑵9÷( － 3) ⑶÷

解

＝

  ＝－

＝－ 3×

＝－ 3

  ＝

＝

＝ 3

重新布題

搭配課本 p



 77 　　最簡根式與有理化

　　我們可以將一個面積為 48 的大正方形切成 4 個面 積為 12 的中正方形，也可以切成 16 個面積為 3 的小 正方形，如下圖。

48

12 12

12 12

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 48

48

12 12

12

2 4 3

3 3 3 3

搭配課本 p



 77

　　由圖可知，三個大正方形的邊長分別會是 、 2 和 4 。 又因為大正方形的面積都相等，所以它們的邊長也會相

等，即 ＝ 2 ＝ 4 。

　　這些根式看起來雖然不一樣，但它們的值都相等，

因此在數學上，我們可以將根式化簡成 a 的形式，其中 a 為整數、分數或小數， b 為正整數，且 b 的標準分解式 中，質因數的次數都是 1 ，此時我們就稱 a 為最簡根式，

所以 4 是最簡根式， 3 、－ 7 、 等也都是最簡根式。

搭配課本 p



 77

　　若有下列幾種情形，就不是最簡根式：

⑴ 根號內的數，其標準分解式中有質因數的次數大於 1 。

　例如：＝、＝。

⑵ 分數的分母有根式。例如：、－、。

⑶ 根號內的數為分數或小數。例如：、－。

搭配課本 p 隨堂練習



 77

圈圈看，下列哪些是最簡根式？

　　　　－　　　　　　　　

解

重新布題

搭配課本 p



 78

　　第 77 頁提到的三種不是最簡根式的情形，又該如何 化簡呢？

　　⑴如果根號內的數，其標準分解式中質因數的次數大 於 1 ，我們可以針對完全平方的因數先做處理，讓根式變 成最簡根式。

例　　 搭配課本 p



 78 化為最簡根式

4

將下列根式化為最簡根式。

⑴ 　　⑵　　⑶ × 　　⑷

解

＝ ×

＝ 5

  ⑵ ＝

＝ ×

＝ ×3

＝ 3





例　　 搭配課本 p



 78 化為最簡根式

4

將下列根式化為最簡根式。

⑴ 　　⑵　　⑶ × 　　⑷

⑶× ＝ ×

＝ 2×3

＝ 6

⑷ ＝ ××

＝ 2××3

＝ 6

Hint

根式相乘時，可先將 根號內的數相乘之後 再化簡，也可以先各 自化簡之後再相乘。



解 

搭配課本 p 隨堂練習



 78

將下列根式化為最簡根式。

⑴ 　　⑵　　⑶ × 　　⑷

解

　　　＝ 2²× ＝ 4

⑵ ＝　

＝ 2²× ＝ 4

  ⑶× ＝ 2×2

＝ 4

⑷ ＝ ××

＝ ×3×11

＝ 33

重新布題

搭配課本 p



 79

　　⑵如果分數的分母含有根式，此時可以利用擴分或其 他方法，讓此分數變成最簡根式。將分母化為不帶有根號 的過程，稱為分母有理化。

例　　 搭配課本 p



 79 利用分母有理化化為最簡根式

5

將下列根式化為最簡根式。

⑴ 　　 ⑵

解

　＝ 　＝

  ⑵ ＝

　 ＝

　 ＝ 　 ＝＝



分母有理化



1 5

分母有理化

搭配課本 p 隨堂練習



 79

將下列根式化為最簡根式。

⑴ 　　 ⑵

＝

＝

＝

  ＝

＝

＝

＝

重新布題

搭配課本 p



 80

　　⑶如果根號內的數為分數或小數，要如何化為最簡根 式呢？我們來看下面的例題。

例　　 搭配課本 p



 80 化為最簡根式

6

將下列根式化為最簡根式。

⑴ 　　 ⑵

解



＝



＝

＝

＝

  或 ＝

＝

＝

＝

    ＝

例　　 搭配課本 p



 80 化為最簡根式

6

將下列根式化為最簡根式。

⑴ 　　 ⑵

解



⑵ ＝



＝

＝

＝＝

  或 ＝

＝

＝

＝

若將寫成，也可將分 母有理化，但數字較 大不好計算。

Hint

搭配課本 p 隨堂練習



 80

將下列根式化為最簡根式。

⑴ 　　 ⑵

解

＝

  ＝＝

＝

＝

重新布題

搭配課本 p 主題



 81 根式的四則運算

2

　　同類方根

　　當兩個或兩個以上的根式分別化為形如 a 的最簡根 式後，若根號內的數 b 相同，就稱它們是同類方根。

例如： 2 、、－ 3 是的同類方根；

　　　－ 3 、是的同類方根。

搭配課本 p 隨堂練習



 81

圈圈看，下列哪些是 的同類方根。

＝ 2

解

＝ 2

  ＝ 4   ＝   ＝ ＝

＝

重新布題

　　 　　 搭配課本 p 　　



 81

易根玉米

　　玉米是世界上最重要的糧食作物之一，富有相當高的營養 價值，也可製成可分解的環保餐具。請翻到書末 P.IV 「易根 玉米」，根據同類方根與根式的化簡，動手種出自己獨一無二 的「易根玉米」吧！

搭配課本 p



 82 　　根式的加減運算

　　在第二冊學習二元一次式時，我們知道，

⑴ 同類項能合併化簡，例如： 2x ＋ 3x ＝ 5x 、 4y － 3y ＝ y 。

⑵ 不同類項則不能合併化簡，例如： x ＋ 3y 。

同樣的，根式的加減運算是將同類方根合併化簡，不同類 方根則不能合併化簡。我們用下面的例題說明。

例　　 搭配課本 p



 82 同類方根的加減運算

7

化簡下列各式。

⑴ 2 ＋ 3 ⑵ － 3 4

⑶ 5 － 3 － 2 ＋ 4

解



⑴ 2 ＋ 3 ＝ (2 ＋ 3)×



＝ 5

⑵ 4 － 3 ＝ (4 － 3)×

＝

例　　 搭配課本 p



 82 同類方根的加減運算

7

化簡下列各式。

⑴ 2 ＋ 3 ⑵ － 3 4

⑶ 5 － 3 － 2 ＋ 4

解



⑶ 因為 5 和－ 2 是同類方根，



　　　－ 3 和 　 4 是同類方根，

　所以 5 － 3 － 2 ＋ 4

　　　＝ (5 － 2) ＋ ( － 3 ＋ 4) 　　　＝ 3 ＋

搭配課本 p 隨堂練習



 82

化簡下列各式。

⑴ 7 － ⑵ － 3 － 2 ＋ 4

解

＝ 3

  ＝ (5 － 2) ＋ ( － 3 ＋ 4)

＝ 3 ＋

重新布題

搭配課本 p



 83

　　計算根式的加減時，通常會先將各項化為最簡根式，

再進行運算。

例　　 搭配課本 p



 83 先化為最簡根式再做運算

8

化簡下列各式。

⑴ 3 ＋ ⑵＋

⑶ － ⑷ 3 ＋ 2 － ( － )

解





⑴ 3 ＋＝ 3 ＋ 2

⑵ ＋ ＝＋

＝＋

    ＝ 5

＝ ( 或 3)

例　　 搭配課本 p



 83 先化為最簡根式再做運算

8

化簡下列各式。

⑴ 3 ＋ ⑵＋

⑶ － ⑷ 3 ＋ 2 － ( － )

解



⑶ ＝＝＝



　 所以 － ＝－

＝ ( － ) ＝－

例　　 搭配課本 p



 83 先化為最簡根式再做運算

8

化簡下列各式。

⑴ 3 ＋ ⑵＋

⑶ － ⑷ 3 ＋ 2 － ( － )

解



⑷ 3 ＋ 2 － ( － )



　 ＝ 3 ＋ 2 － (2 － 3) 　 ＝ 3 － 2 ＋ 2 ＋ 3 　 ＝＋ 5

搭配課本 p 隨堂練習



 83

化簡下列各式。

⑴ 4 － ⑵ ＋

⑶ ＋－＋

解

⑵ ＋＝＋ 3

⑶ ＋－＋ ＝ 2 ＋ 3 － 3 ＋ 5

＝ 8 －

    ＝ 2

＝

重新布題

搭配課本 p



 84

1. ＋＝ 是否成立？

2. ＝ 2 是否成立？

動 動 腦

＋＝ 2 ＋ 3 ＝ 5 ，

＝， 5≠ ，所以不成 立

解

＝＝， 2 ＝，≠，所以不成立

解

搭配課本 p



 84 　　根式的四則運算

　　根式也可以像數一樣進行四則運算，我們來看下面的 例題。

例　　 搭配課本 p



 84 根式的四則運算

9

化簡下列各式。

⑴ ×÷ ⑵ － 4)×( － ) － 4(

解



⑴ ×÷ ＝



＝

⑵( － 4)×( － ) － 4 ＝ 4× － 4

＝ 4 － 4

    ＝

＝＝

＝ 0

搭配課本 p 隨堂練習



 84

化簡下列各式。

⑴( － )×÷(2) (⑵ － )×( － ) ＋

解

＝－＝－

  ＝ × ＋

＝＋

＝＝

＝＋

重新布題

例　　 搭配課本 p



 85 根式的四則運算

10

化簡下列各式。

⑴ 2×( － ) (⑵ － 3 ＋ )÷

⑶( ＋ )( － 1)

解



⑴ 2×( － )



　＝ 2×(2 － ) 　＝ 2×2 － 2×

　＝ 12 － 2

  ⑵( － 3 ＋ )÷

　＝＝＋

　＝＋

　＝－＋

例　　 搭配課本 p



 85 根式的四則運算

10

化簡下列各式。

⑴ 2×( － ) (⑵ － 3 ＋ )÷

⑶( ＋ )( － 1)

解

　＝ × － ×1 ＋ × － ×1 　＝－＋－

　＝ 3 －＋ 2 － 　＝ 2 ＋





搭配課本 p 隨堂練習



 85

化簡下列各式。

⑴( － 2 ＋ )÷ ⑵ ＋ )( － )(1

解

＝－＋

＝－ 1 ＋

  ＝－＋ 2 －

＝

重新布題

例　　 搭配課本 p



 86 利用乘法公式進行根式運算

11

化簡下列各式。

⑴( － 2)( ＋ 2) ⑵ ＋ 2)( ²

解

　　＝ ()² － (2)² ＝ 3 － 8 ＝－ 5

⑵ 利用乘法公式 (a ＋ b)² ＝ a² ＋ 2ab ＋ b² ， 　得 ( ＋ 2)²

　　＝ ()² ＋ 2××2 ＋ (2)²

　　＝ 3 ＋ 4 ＋ 8 ＝ 11 ＋ 4

學習時光機

1. 和的平方公式

(a ＋ b)² ＝ a² ＋ 2ab

＋ b²

2. 差的平方公式

(a － b)² ＝ a² － 2ab

＋ b²

3. 平方差公式

(a ＋ b)(a － b) ＝ a²

－ b²

搭配課本 p 隨堂練習



 86

利用乘法公式化簡下列各式。

⑴( ＋ 2)( － 2)

⑵( － 2)²

解

利用乘法公式 (a － b)² ＝ a² － 2ab ＋ b² 得 ( － 2)² ＝ ()² － 2××2 ＋ (2)²

　　　　 ＝ 2 － 4 ＋ 12 ＝ 14 － 4

解

重新布題

搭配課本 p



 87

　　如果分母是兩個根式相加 ( 減 ) ，就可利用乘法公 式，將分母有理化。

例　　 搭配課本 p



 87 利用乘法公式將分母有理化

12

將下列各式的分母有理化。

⑴ ⑵

解



⑴ 要將分母有理化，可利用乘法公式



(a ＋ b)(a － b) ＝ a² － b² ， 　即 ( － )( ＋ ) ＝ ()² － ()² ＝ 3 － 2 ＝ 1 ， 　所以＝

＝＝＋

例　　 搭配課本 p



 87 利用乘法公式將分母有理化

12

將下列各式的分母有理化。

⑴ ⑵

解



⑵ ＝



　 ＝

＝

＝ ( 或 － 1)

搭配課本 p 隨堂練習



 87

將下列各式的分母有理化。

⑴ ⑵

＝

＝

＝

解

＝

＝

重新布題





重 點 整 理 搭配課本 p88

1

若 a≠0 、 b0 ，則 a× 寫成 a ；

÷a 寫成或。

5× ＝ 5 、 ÷2 ＝＝。

例  





重 點 整 理 搭配課本 p88

2

⑴ 若 a0 、 b0 ，則 × ＝。

⑵ 若 a0 、 b ＞ 0 ，則＝或 ÷ ＝。

× ＝。

＝， ÷ ＝＝。

例

例





重 點 整 理 搭配課本 p88

3

若一個數為 a ，

其中 a 為整數、分數或小數， b 為正整數，

且 b 的標準分解式中，質因數的次數都是 1 ， 我們稱 a 為最簡根式。

3 、－ 7 、都是最簡根式。

例  





重 點 整 理 搭配課本 p88

4

將分母化為不帶有根號的過程，稱為分母有理化。

＝＝＝。

例  





重 點 整 理 搭配課本 p88

5

當兩個或兩個以上的根式分別化為形如 a 的最簡根式 後，若根號內的數 b 相同，就稱它們是同類方根。

和 3 是同類方根； 和－ 是同類方根。

例  





重 點 整 理 搭配課本 p88

6

根式的加減運算是將同類方根合併化簡，

不同類則不能合併化簡。

2 ＋ 4 ＋ 3 － 3 ＝ (2 ＋ 3) ＋ (4 － 3)

＝ 5 ＋。

例  

搭配課本 p 自 我 評 量



 89 1

( 　　 (B) 　　 (C) 　　 (D) 

解

(B)

搭配課本 p 自 我 評 量



 89 2

( 　　 (B) 　　 (C) 　　 (D) 

解

(C)

(A) 2 　 (B) 2 　 (C) 　 (D)

搭配課本 p 自 我 評 量



 89 3

⑴( － 3)×4 ⑵÷

解

＝－ 12

  ＝ ÷ ＝

＝＝

搭配課本 p 自 我 評 量



 89 3

⑶4 ＋ 6 － (5 － 3) ⑷ ＋＋＋

解

＝ 7 ＋

  ＝＋ 2 ＋ 2 ＋ 4

＝ 6 ＋ 3

搭配課本 p 自 我 評 量



 89 3

⑸(2 － )÷ (1⑹ ＋ )×( － )

解

＝－ ( 或 )

  ＝ 1× － 1× ＋ ×

　－ ×

＝－＋－

＝－＋ 6 － 2

＝ 5 －

搭配課本 p 自 我 評 量



 90 4

並化為最簡根式。

⑴(a ＋ b)(a － b) ⑵ a ＋ b)( ²

解

＝ (2)² － (3)² ＝ 20 － 18 ＝ 2

⑵(a ＋ b)²＝ (2 ＋ 3)²

＝ (2)² ＋ 2×2×3 ＋ (3)²

＝ 20 ＋ 12 ＋ 18 ＝ 38 ＋ 12

搭配課本 p 自 我 評 量



 90 5

解

＝

＝

＝ 2 ＋

搭配課本 p 自 我 評 量



 90 挑 錯

題

以下是小翊和小妍「計算＋」的過程。

判斷他們的解法是否正確？若不正確，請標出開始發生錯 誤的部分，並寫出正確的解法。

搭配課本 p 自 我 評 量



 90 挑 錯

題

搭配課本 p 自 我 評 量



 90 挑 錯

題

正確解法如下：

＋ ＝＋

＝＋

＝＝ 3

學完囉！ 前往下一章節

重新布題 搭配課本 p



 74

下列敘述正確的打「○」，錯誤的打「 × 」。

( 　 ) ⑴ ＋＋＋ 可寫成 5 。 ( 　 ) 4×⑵ 可寫成。

( 　 ) ÷⑶ 可寫成 。

( 　 ) ××⑷ 可寫成 ()³ 。

×

×

×

○

解

重新布題 搭配課本 p



 74

計算下列各式的值。

⑴ ( － 5)×( － 2) ⑵ ( － 2)×( － 4)

⑶ ×( － ) ⑷ ( － )×4

⑴ 10

⑵ 8⑶ －

⑷ －

解

重新布題 搭配課本 p



 75

計算下列各式的值。

⑴ × ⑵ 2×3

⑶ － × ⑷ 6×2

⑴⑵ 6

⑶ －⑷ 84

解

重新布題 搭配課本 p



 75

若 a ＝－ 3 、 b ＝ 4 、 c ＝、 d ＝，則：

⑴ a×b ＝？ ⑵ b×d ＝？

⑶ a×c ＝？ ⑷ b×c ＝？

⑴ － 24

⑵ 18⑶ －

⑷

解

重新布題 搭配課本 p



 76

計算下列各式的值。

⑴ ÷( － ) ⑵ ( － 4)÷2

⑶ ÷( － )

⑴ － 3

⑵ － 2

⑶ －

解

重新布題 搭配課本 p



 76

解

若 a ＝－、 b ＝，則 a÷b ＝？

－ 3

重新布題 搭配課本 p



 77

圈圈看，下列哪些根式是最簡根式？

4

－

解

重新布題 搭配課本 p



 77

圈圈看，下列哪些根式是最簡根式？

－

6 －

解

重新布題 搭配課本 p



 78

將下列根式化為最簡根式。

⑴ ⑵

⑶ ⑷ ×

⑴ 9

⑵ 6

⑶ 12

⑷ 9

解

重新布題 搭配課本 p



 78

將下列根式化為最簡根式。

⑴ ⑵

⑶ ⑷

⑴ 24

⑵ 20

⑶ 39

⑷ 30

解

重新布題 搭配課本 p



 79

將下列根式化為最簡根式。

⑴ 　　⑵ 　　⑶ 　　⑷－

⑴⑵

⑶⑷ －

解

重新布題 搭配課本 p



 80

將下列根式化為最簡根式。

⑴ －　　⑵ 　　⑶

⑴ －⑵

⑶

解

重新布題 搭配課本 p



 80

將下列根式化為最簡根式。

⑴ 4 ⑵ 25

⑴ 　

⑵ 5

解

重新布題 搭配課本 p



 81

判斷、－、 2 這三數是否為同類方根？

＝ 3－＝－

2 ＝

所以這三數為同類方根

解

重新布題 搭配課本 p



 82

化簡下列各式。

⑴ 5 － ( － ) ⑵ 3 ＋ ( － 2)

⑶ 4 － 5 ＋ 2 ＋ ⑷ 3 ＋ 8 － 6 － 2

⑴ 6

⑵

⑶ 6 － 4

⑷ 2 ＋

解

重新布題 搭配課本 p



 83

化簡下列各式。

⑴ 3 － ⑵ －

⑶ － ⑷ －

⑴⑵ －

⑶⑷

解

重新布題 搭配課本 p



 83

計算 －＋－＝？

√ ³

6

解

重新布題 搭配課本 p



 84

化簡下列各式。

⑴ ( － 4)×4÷( － ) ⑵ ( － 2)×3 －

⑴ 8 　

⑵ －

解

重新布題 搭配課本 p



 84

計算 ÷× 之值為何？【 100 年第一次基本學測】

(A) 　　 (B) 　　 (C) 　　 (D)

解

重新布題 搭配課本 p



 84

計算 ×÷ ＋＝？

4

解

重新布題 搭配課本 p



 85

化簡下列各式。

⑴ 3×( ＋ )

⑵ ( ＋ )( － 2)

⑴ 15 ＋ 15

⑵

解

重新布題 搭配課本 p



 85

化簡下列各式。

⑴ 3( － 5 － 2)

⑵ ( ＋ ) － ( － )

⑴ 12 － 60

⑵ 5

解

重新布題 搭配課本 p



 86

利用乘法公式化簡下列各式。

⑴ ( － )²

⑵ (2 ＋ )²

⑶ (4 ＋ 3)(3 － 4)

⑴ 7 － 2

⑵ 30 ＋ 20

⑶ － 3

解

重新布題 搭配課本 p



 86

利用乘法公式化簡下列各式。

⑴ (3 ＋ 7)²(7 － 3)²

⑵ (2 ＋ )⁴(2 － )⁵

⑴ 25

⑵ 2 －

解

重新布題 搭配課本 p



 87

將下列各式的分母有理化。

⑴ ⑵

⑴ －

⑵ ( 或 )

解

重新布題 搭配課本 p



 87

將 化簡為最簡根式。

－ 7 － 4

解

重新布題 搭配課本 p



 87

( ＋＋ )² 經化簡後可得結果為何？

原式＝ ( －＋－＋ 2 － )² 　　＝ ()²

　　＝ 2

解