目錄 單元二：根式的運算 ...................................... 1

目錄

單元二：根式的運算 ... 1

課文 A：根式的乘除 ... 1

課文 B：最簡根式與分母有理化 ... 8

課文 C：根式的加減 ... 18

課文 D：根式的四則運算 ... 30

單元三：畢式定理 ... 38

課文 A：畢式定理 ... 38

課文 B：平面上兩點間的距離 ... 51

1

單元二：根式的運算

課文 A：根式的乘除

在這個單元中，我們要學根式的運算！

什麼是根式呢？

根式就是指含有根號的數或式子，像是 √5、√2 × √5、√12 ÷ √2 、

√27 − √12…等都叫根式。

回想一下，我們在國一學代數式時，有一些簡記的方式，而在根式當 中，也可以利用這些簡記規則去簡記一些根式。

例如：

2 × 𝑥 簡記成 2𝑥；2 × √3 就可以簡記成 2√3。

(−1) × 𝑥 簡記成 −𝑥；(−1) × √7 就可以簡記成 −√7。

4

5× 𝑥 簡記成 ⁴

5𝑥 或是 ^4𝑥

5；⁴

5× √3 簡記成 ⁴₅√3 或是 ^4√3₅ 。

接下來，我們要看根式的乘法運算。

√3 × √7 這個式子會等於什麼？

我們先將它平方後變成整數，再開根號還原回來比較看看！

(√3 × √7)² = (√3 × √7) × (√3 × √7) = √3×

√7

√3

√7

= (√3×

√3) × (√7

√7) = (√3)

有兩個 √3 、兩個 √7！

我們換位置乘一下！

2

我們將 √3 × √7 平方後，發現 (√3 × √7)² = 3 × 7；

再將 (√3 × √7)² 開根號還原回去 √3 × √7 ，而等號右邊 3 × 7 開根號 就會是 √3 × 7。

所以就會得到 √3 × √7 = √3 × 7。

從上面的這個例子，我們可以得到一個結論：

若 𝑎、𝑏 均大於等於 0，則 √𝑎 × √𝑏 = √𝑎 × 𝑏

我們來試試看其他題：

Ex1.計算下列各根式的乘積：

(1) √7 × √13 (2) √6 × √⁵

2 (3) √⁹

10× √⁵

2

解：

(1) √7 × √13 = √7 × 13 =

√91

2=

6 ³ 5

 2

√15

10× √⁵

2 =

⁹

10 ₂

 5

2

4 注意！√⁹

4 還可以繼續化簡，√⁹

4= √(³

2)² = ³

2

3

Ex2.計算下列各根式的乘積：

(1) 2√7 × 5√3 (2) ^√7

5 × 8√5 (3) ²₅√11 ׳₄√3 解題思維：

這題根式乘積的計算已經跟上題有些不一樣了，每個根號前面多 了一個數。

我們來想一下，從前面根式的簡記可以知道：2√7 = 2 × √7 ； 5√3 = 5 × √3。

所以我們計算 2√7 × 5√3 時，

2√7 × 5√3 = 2 × √7 × 5 × √3 = 2 × 5 × √7 × √3

= (2 × 5) × (√7 × √3) = 10 × √21 = 10√21 仔細看這個計算的過程，其實會發現這個根式乘積的計算就是

“根號外面乘根號外面，根號裡面乘根號裡面”，例如在計算 2√7×

5√3 時，根號外面乘根號外面就是 2

5，根號裡面乘根

3

5√3

5)√7

3

解：

(1) 2√7×

5√3

5)√7

3

10√21

5 其實就是 ¹

5√7，根號外面就是 ¹₅ ，根號裡面就是 7。

√7

5 × 8√5 = ¹₅√7×

8√5

5×

8) √7

5

5

√35

5√11׳

4√3= = ³

10

√33

4

看完根式的乘法運算後，來看一下根式的除法運算。

我們如果要計算√11 ÷ √2 這個式子呢？

回憶一下，我們之前有學過除法與分數的關係，例如 ³

4 可以想像成有 兩種唸法，一種是由下往上唸，唸成「4 分之 3」；而另一種就是由上 往下唸，唸成「3 除以 4」。

這個用來除法運算換成分數或分數換成除法運算都非常好用，所以 √11 ÷ √2 其實就是 ^√11

√2。 這個分數會等於什麼？

我們先將它平方後變成整數，再開根號還原回來比較看看！

(^√11

√2)² = ^√11

√2 ×^√11

√2 = ^√11×√11

√2×√2 = ^(√11)2

(√2)² = ¹¹

2 我們將 ^√11

√2 平方後，發現 (^√11

√2)² = ¹¹

2； 再將 (^√11

√2)² 開根號還原回去 ^√11

√2 ，而等號右邊 ¹¹

2 開根號就會是 √¹¹

2。 所以就會得到 ^√11

√2 = √¹¹

2 。 而 ¹¹

2 其實就是 11 ÷ 2 ，所以 √11 ÷ √2 = ^√11

√2 = √¹¹

2 = √11 ÷ 2 所以我們得到一個結論：

5

若 𝑎 ≥ 0、𝑏 > 0 ，則 √𝑎 ÷ √𝑏 = ^√𝑎

√𝑏 = √^𝑎_𝑏 = √𝑎 ÷ 𝑏

我們來試試看其他題：

Ex3.計算下列各式：

(1) √48 ÷ √12 (2) √⁴

3÷ √²

9 (3) √12 ÷ √⁴

5

解：

(1) √48 ÷ √12 = √48 ÷ 12 = √4 =

2

=

√6

3÷ √²

9 = √⁴

3÷²

9 =

=

√15

5= √12 ÷⁴

5=

√4還可以化簡為 2 ！

6

重點提問

1. 請問根式的乘法怎麼運算？

請用這個運算規則計算 5√6 × 3√5。

2. 請問根式的除法怎麼運算？

請用這個運算規則計算 √³⁶

7 ÷ √7。

7

A.隨堂練習

1.計算下列各根式的乘積：

(1) √6 × √35 (2) √14 × √³

7 (3) √⁶

5× √¹⁰

3

2.計算下列各根式的乘積：

(1) 3√5 × 2√2 (2) ^√2₃ × 9√3 (3) ³₂√5 ×⁴₉√7

3.計算下列各式：

(1) √98 ÷ √2 (2) √⁷

15÷ √⁷

30 (3) √18 ÷ √⁶

5

還是不太懂，

請看下面影片(1)

https://www.youtube.com/

watch?v=vbbYeHt0BLk

還是不太懂，

請看下面影片(2)

https://www.youtube.com/

watch?v=kR5DsEqRqgo

8

單元二：根式的運算

課文 B：最簡根式與分母有理化

在根式的運算中，我們常常會希望式子可以盡量的簡單清楚而且有一 致性，所以我們就會借用最簡根式來做化簡處理。

什麼是最簡根式呢？就是指根式已經化簡到無法再化簡的根式！

像是 √8 是可以繼續化簡的：

√8

=

=

2√2 已經無法再化簡了，所以我們就稱 2√2 是 √8 的最簡根式。

又像是 √12：

√12 = √2²× 3 = √2² × √3 = 2 × √3 = 2√3 ，

2√3 已經無法再化簡了，所以我們就稱 2√3 是 √12 的最簡根式。

我們來練習看看！

8 可以拆成 2²× 2

根式的乘法運算：√𝑎 × √𝑏 = √𝑎 × 𝑏；

這個等式反過來看，即√𝑎 × 𝑏 = √𝑎 × √𝑏

9

Ex1.將下列各式化為最簡根式：

(1) √72 (2) √80 (3) √360 解題思維：

我們在化簡根式的時候，只要是完全平方數就可以再往外提出去，

目標就是要提到不能再提為止。所以我們在對根號內的數因數分 解時，可以盡量用完全平方數去分解。

解：

√72 = √4 × 9 × 2 = √4 × √9 × √2 = 2 × 3 × √2

= 6√2

而第(2)小題

√80 = √4 × 4 × 5 = √4 × 4 × √5 = 4 × √5 =

4√5

(3) √360 = √36 × 10 =

6√10

剛好兩個 4 ！

10

Ex2. 將下列各式化為最簡根式：

(1) √2²× 3³× 5 (2) √2⁴× 3⁵ (3) √2⁴× 5⁴ 解題思維：

跟上一題一樣，我們在化簡根式的時候，只要是完全平方數就可 以再往外提出去，這一個過程我們可以利用「集滿兩個換出去」

這個口訣記。

這個口訣是什麼意思呢？

像是 √2²× 3³× 5 = √2²× 3² × 3 × 5 = √2²× √3²× √3 × 5

= 2 × 3 × √15 = 6√15 我們利用這個口訣，可以這樣想：

√2²× 3³× 5 =

2

3

5

再例如 √2⁴× 3⁵ ：

√2⁴ × 3⁵ =

2

3

根號裡面有 4 個 2、5 個 3 原本裡面 2 個 2，

換出去外面變成 1 個 2 原本裡面 3 個 3，

其中 2 個 3 換出去外面變成 1 個 3；

根號裡面留下 1 個 3。

原本裡面 1 個 5，

集滿兩個才能換出去，

所以繼續留在裡面。

原本裡面 4 個 2，

換出去外面變成 2 個 2

原本裡面 5 個 3，

其中 4 個 3 換出去外面變成 2 個 3；

根號裡面留下 1 個 3。

11

解：

(1) √2²× 3³× 5 = 2 × 3 × √15 =

6√15

36√3

100

Ex3.計算下列各式，並將結果化為最簡根式：

(1) √6 × √8 × √12 (2) √10 × √14 × √98 解：

(1) √6 × √8 × √12 = √6 × 8 × 12 = √6 × (4 × 2) × (2 × 6)

= √6 × 4 × 4 × 6 = 6 × 4 =

24

說明：

√6 × √8 × √12 根據根式的乘法運算就是 √6 × 8 × 12 ，

而我們要化簡這個根式並不需要乘出來後再分解，我們只要朝著

「集滿兩個換出去」去進行分解就可以了。

√6 × 8 × 12

從分解當中可以發現有 2 個 6 ，其他 4 × 2 × 2 可以湊成 2 個 4，

「集滿兩個換出去」，所以換出去變成 1 個 6 、1 個 4，也就是6 × 4 = 24。

想一想有沒有其他分法呢？

6× 2 4 × 2

12

(2) √10 × √14 × √98 = √10 × 14 × 98

= √(5 × 2) × (2 × 7) × (7 × 14) = 2 × 7 × √5 × 14 =

14√70

說明：

√10 × √14 × √98 根據根式的乘法運算就是 √10 × 14 × 98 ， 而我們要化簡這個根式並不需要乘出來後再分解，我們只要朝著

「集滿兩個換出去」去進行分解就可以了。

√10 × 14 × 98

從分解當中可以發現有 2 個 2、2 個 7，可以集滿兩個換出去，

而其他 5 × 14 = 70 不能拆成一對一對。

所以換出去根號外面變成 1 個 2 、1 個 7，70 留在根號裡面不能 換出去，也就是2 × 7 × √5 × 14 = 14√70。

除了上面那種「根號內仍有可以提出到根號外的因數」的根式可以繼 續化簡以外，還有兩大類可以繼續化簡：

(一) 分母有根式，例如：²

√3、^√3

√50 等…。

(二) 根號內仍有小數或分數，例如：√²

3、√0.2 等…。

這兩類在化簡的時候，我們的目標是想將分母的根式消去，讓它成為 有理數，這個過程我們稱為分母有理化。

7

7

5 ×2

13

最簡單的方法就是，我們可以利用「 √𝑎 × √𝑎 = 𝑎」將分母有理化。

舉例來說，²

√3 的分母是 √3 ，那我們知道 √3 × √3 = 3，所以我們分 母再乘一個 √3 就可以將分母的根式消掉了。但是不能只單單乘以分 母，我們要維持分數的相等，因此分子分母應該要同時都乘以 √3 。 所以 ²

√3= ^2×√3

√3×√3= ^2√3

3 。那麼 ^2√3₃ 就是 ²

√3 的最簡根式了！

來看一題範例吧！

Ex4. 將 ^√3

√50 化為最簡根式。

解題思維：

√3

√50的分母是 √50 ，那我們知道 √50 × √50 = 50，所以分子分母 應該要同時都乘以 √50 。

√3

√50 = ^√3×√50

√50×√50 =^√150

50

= ^{5 6}

50₁₀ = ^√6

10 除了這樣算以外，

我們知道分母是 √50 = √5²× 2 ，所以其實只要再乘 √2 就可以 將分母有理化了！

√3

√50 = ^√3×√2

√5²×2×√2= ^√6

5×2 =^√6

10 會發現答案一樣！

解：^√3

√50 = ^√3×√2

√5²×2×√2= ^√6

5×2 =^√6

10

分子 √150 = √25 × 6 = 5√6 ， 所以還可以化簡。

14

如果根號內仍有分數怎麼辦呢？

Ex5. 將下列各式化為最簡根式：

(1) √²

3 (2) √⁵

18

解題思維：

其實就是利用分母有理化的方式去進行化簡。

像是 √²

3 可以化成 ^√2

√3 ，然後要消除分母的根式就是分子分母同乘 以 √3 ，就可以繼續算下去了！

解：(1) √²

3= ^√2

√3= ^√2×√3

√3×√3= ^√6

3

(2) √⁵

18 = ^√5

√18 = ^√5×√2

√3²×2×√2 =^√10

6

如果根號內仍有小數怎麼辦呢？

Ex6. 將下列各式化為最簡根式：

(1) √0.2 (2) √3.2 解題思維：

我們只要將小數化成分數，就可以繼續算下去了！

解：(1) √0.2 = √²

10 = ^√2×√10

√10×√10 = ^√20

10

=^√5

= 5

= √¹⁶

5 = ^√16

√5 = ^4×√5

√5×√5 = ^4√5 (2) √3.2 = 5

注意！√20 可以繼續化簡，

√20 = √2²× 5 = 2√5。

15

重點提問

1. 從上面的課文中，大致上有三類的根式仍然還不是最簡根式，請 問是哪三類？

2. √108 是不是最簡根式？為什麼？

如果不是的話，請用上面課文中化簡的技巧將它化為最簡根式。

3. √⁷

12 是不是最簡根式？為什麼？

如果不是的話，請用上面課文中化簡的技巧將它化為最簡根式。

16

4. ³

√11 是不是最簡根式？為什麼？

如果不是的話，請用上面課文中化簡的技巧將它化為最簡根式。

B.隨堂練習

1.將下列各式化為最簡根式：

(1) √108 (2) √128 (3) √450

2. 將下列各式化為最簡根式：

(1) √2³× 3²× 5² (2) √2⁶× 5³ (3) √3³× 7⁷

17

3.計算下列各式，並將結果化為最簡根式：

(1) √10 × √20 × √8 (2) √18 × √12 × √44

4. 將 ^√8

√27 化為最簡根式。

5. 將下列各式化為最簡根式：

(1) √⁶

7 (2) √⁹

50 (3) √0.9 (4) √5.6

還是不太懂，

請看下面影片(1)

https://www.youtube.com/

watch?v=Pd9e865QaNw

還是不太懂，

請看下面影片(2)

https://www.youtube.com/

watch?v=RCWjcpGJCog

還是不太懂，

請看下面影片(3)

https://www.youtube.com/

watch?v=ANEKsnygRuU

18

單元二：根式的運算

課文 C：根式的加減

我們接下來要說的就是根式的加減。

先回憶一下，二元一次式的化簡。

今天如果要化簡 5𝑥 + 3𝑦 + 2𝑥 − 5𝑦 這個二元一次式的話，

因為同類項才可以合併，所以可以先將同類項標記出來：

然後知道含有 𝑥 項的是 5𝑥 和+2𝑥 合併化簡得到 7𝑥，

含有 𝑦 項的是+3𝑦 和 −5y 合併化簡得到−2𝑦。

所以 5𝑥 + 3𝑦 + 2𝑥 − 5𝑦 = 7𝑥 − 2𝑦。

而根式的加減也有類似的規則，

那就是「同類方根能進行合併，非同類方根不能合併」。

什麼是同類方根呢？

𝑎, 𝑏 均為正數，若將 √𝑎 與 √𝑏 化為最簡根式後，根號內的數相同，

我們就稱為它們為同類方根。

舉個例子，√12 與 √27。

先化簡成最簡根式：√12 = √4 × 3 = 2√3，√27 = √9 × 3 = 3√3。

19

像這樣子，√12 的最簡根式 2√3 與 √27 的最簡根式 3√3 的根號部分 都是 √3 ，我們就稱 √12 與 √27 是同類方根。

同類方根在根式的加減非常好用，因為我們只要把同類方根進行合併 就好，不是同類方根就沒辦法合併。

我們來看個例題。

Ex1.計算下列各式，並將結果化為最簡根式。

(1) 5√3 + 2√3 (2) 7√2 − √2 (3) √5 + 5√5 解題思維：

5√3 + 2√3 所代表的是 5 個 √3 加上 2 個 √3 ，那加完之後就是 有 (5 + 2) 個 √3 ，也就是 (5 + 2)√3 = 7√3。

7√2 − √2 所代表的是 7 個 √2 扣掉 1 個 √2 ，那扣完之後就是有 (7 − 1) 個 √2 ，也就是 (7 − 1)√2 = 6√2。

解：

(1) 5√3 + 2√3 = (5 + 2)√3 =

7√3

6√2

6√5

Ex2.計算下列各式，並將結果化為最簡根式。

20

(1) 5√3 − 2√2 + √3 + 3√2 (2) 2√11 + 2√6 + 2 − 3√11 + √6 解：

(1)

5√3 − 2√2 + √3 + 3√2

=

6√3 + √2

這題有不同類型的同類方根。

一類是與 √3 有關的同類方根。有兩個，分別是 5√3 和 +√3，

兩個合併化簡後會得到 6√3 。

另一類是與 √2 有關的同類方根。也有兩個，分別是 −2√2 和 +3√2，兩個合併化簡後會得到 +√2。

所以 5√3 − 2√2 + √3 + 3√2 合併化簡出來的結果是 6√3 + √2。

21

(2)

2√11 + 2√6 + 2 − 3√11 + √6

=

−√11 + 3√6 + 2

我們要先分組： 2√11 + 2√6 + 2 − 3√11 + √6

與 √11 有關的同類方根有兩個，分別是 2√11 和 −3√11，兩個 合併化簡後會得到 −√11。

與 √6 有關的同類方根也有兩個，分別是 +2√6 和 +√6 ，兩個合 併化簡後會得到 +3√6。

另外有一個+2 ，沒有跟它同類的。

所以 2√11 + 2√6 + 2 − 3√11 + √6 合併化簡出來的結果是

−√11 + 3√6 + 2。

省思：

當我們遇到有多組不同類型的同類方根要進行加減時，我們必須 先將同類方根分為同一組，再把同組的同類方根進行合併。

22

Ex3.計算下列各式，並將結果化為最簡根式。

(1) √63 − √75 (2) √48 + 5√12 解題思維：

在遇到還沒化為最簡根式的根式加減計算時，會比較難以看出同 類方根，所以我們會先把各個根號化成最簡根式，再利用「同類 方根進行合併，非同類方根不能合併」去合併化簡。

解：

(1) √63 − √75 =

3√7 − 5√3

√63 與 √75 不是最簡根式，換成最簡根式：√63 = √9 × 7 = 3√7、

√75 = √25 × 3 = 5√3，化簡後發現這兩個根式不是同類方根，

所以不能合併，所以 √63 − √75 = 3√7 − 5√3 就已經是化到最 簡了！

(2) √48 + 5√12 = 4√3 + 5√2²× 3 = 4√3 + 10√3 =

14√3

√48 與 5√12 不是最簡根式，先換成最簡根式：

√48 = √16 × 3 = 4√3；5√12 = 5√4 × 3 = 5 × 2 × √3 = 10√3，

發現這兩個都是與 √3 有關的同類方根，所以合併後就是 10√3。

Ex4.計算下列各式，並將結果化為最簡根式。

23

(1) √63 − 3√28 + √175 (2) √20 + √80 + √125 + √180 解：

(1) √63 − 3√28 + √175 = 3√7 − 6√7 + 5√7 =

2√7

√63 、 3√28 與 √175 都不是最簡根式，先換成最簡根式：

√63 = √9 × 7 = 3√7、3√28 = 3√4 × 7 = 3 × 2 × √7 = 6√7、

√175 = √25 × 7 = 5√7，

發現這三個都是 √7 有關的同類方根，

√63 − 3√28 + √175 = 3√7 − 6√7 + 5√7 = (3 − 6 + 5)√7 所以合併後就是 2√7。

(2) √20 + √80 + √125 + √180 = 2√5 + 4√5 + 5√5 + 6√5 =

17√5

√20 、 √80 、 √125 與√180 都不是最簡根式，先換成最簡根式：

√20 = √4 × 5 = 2√5、√80 = √16 × 5 = 4√5、

√125 = √25 × 5 = 5√5、√180 = √36 × 5 = 6√5，

發現這三個都是 √5 有關的同類方根，

√20 + √80 + √125 + √180 = 2√5 + 4√5 + 5√5 + 6√5

= (2 + 4 + 5 + 6)√5 = 17√5 所以合併後就是 17√5。

24

Ex5.計算下列各式，並將結果化為最簡根式。

(1) ¹

√2+^√2

2 (2) √⁵

4− √⁴

5 解：

(1) ¹

√2+^√2

2 = ^1×√2

√2×√2+^√2

2 =^√2

2 +^√2

2 =

√2

1

√2 分母有根號，所以不是最簡根式，先換成最簡根式：

1

√2 分子分母同乘√2，¹

√2=^√2

2。 而 ^√2₂ 其實等於 ¹

2√2 ，也就是所謂的 ¹₂ 個 √2。

發現這兩個都是與 √2 有關的同類方根，¹

2 個 √2 加上 ¹₂ 個 √2 就 是有 1 個√2，所以合併化簡後就是 √2。

(2) √⁵

4− √⁴

5 =^√5

√4−^√4

√5= ^√5

2 −^2√5

5 = (¹

2−²

5) √5 = ¹

10

√5

說明：

√⁵

4 與 √⁴

5 根號裡面有分數，所以不是最簡根式，先換成最簡根式：

√⁵

4 其實就是分子開根號分母開根號 ^√5

√4 ，分母 √4 就直接是 2 ， 所以 √⁵₄ = ^√5

2 就是最簡根式了！

√⁴

5 其實就是分子開根號分母開根號 ^√4

√5 ，分子 √4 就直接是 2 ， 所以 √⁴

5 = ²

√5 ，分母還有根式，所以不是最簡根式，還要再化簡。

分子分母同乘 √5 ，所以 ^2×√5

√5×√5 = ^2√5

5 結果就是最簡根式了。

25

而 ^√5₂ 等於 ¹

2√5 ，也就是所謂的 ¹₂ 個 √5；^2√5₅ 等於 ²₅√5 ，也就是 所謂的 ²

5 個 √5。

發現這兩個都是與 √5 有關的同類方根，¹

2 個 √5 減掉 ²₅ 個 √5 就 是有 (¹

2−²

5) 個√5，(¹

2−²

5) 同時通分母後 (⁵

10− ⁴

10) = ¹

10 。所以 合併後就是 ¹

10√5。

26

重點提問

1.請用自己的話解釋什麼是「同類方根」？

2. 連連看，將同類方根連在一起。

√2 √24 ^√5

2 3√7 ^√2

√12

‧

‧

‧

‧

‧

‧

‧

‧

‧

‧

√3 √5 2√6 2√2 ¹

7√7 3. 請問根式的加法怎麼運算？

請用這個運算規則計算 2√5 + 5√2 − √5 − 3√2 。

4. 「4√8 + √3 − √2 + 2√3 − √5」

27

(1)上面根式當中，請問有幾類同類方根？

(2)計算上面根式，並將結果化為最簡根式。

C.隨堂練習

1.計算下列各式，並將結果化為最簡根式。

(1) 3√3 + 2√3 (2) 6√6 − √6 (3) √7 + 3√7

28

2.計算下列各式，並將結果化為最簡根式。

(1) 6√2 + 4√3 + √2 − 2√3 (2) 6√13 + 3√7 − 5 − 6√7 − √13

3.計算下列各式，並將結果化為最簡根式。

(1) √27 − √24 (2) 2√75 + √108

4.計算下列各式，並將結果化為最簡根式。

(1) √363 − 2√27 + 4√48 (2) √5 + √45 + √125 + √245

5.計算下列各式，並將結果化為最簡根式。

29

(1) ²

√3+^√3

2 (2) √⁸

9− √⁹

8

還是不太懂，

請看下面影片

https://www.youtube.com/

watch?v=IOkWt2x8WhU

30

單元二：根式的運算

課文 D：根式的四則運算

接下來我們要來看根式的四則運算，既然是四則運算，當然有加減跟 乘除還有括號都存在。

我們先來看一下分配律的題目！

Ex1.計算 √3(√15 + √21)，並化為最簡根式。

解：

√3(√15 + √21) = √3 × √15 + √3 × √21 =

3√5 + 3√7

這其實是分配律，括號中的 √15 跟 √21 其實共同擁有外面的 √3，

我們將 √3 乘進去 √3(√15 + √21) =

√3 × √15

√3 × √21

√3 × √15 + √3 × √21

所以 √3 × √15 = 3√5、√3 × √21 = 3√7，

答案就是 3√5 + 3√7。

3 × 5 3 × 7

31

Ex2.計算 (3√5 − 2)(4√5 + 3)，並化為最簡根式。

解：

(3√5 − 2)(4√5 + 3) =

3√5 × 4√5 + 3√5 × 3 − 2 × 4√5 − 2 × 3

=

60 + 9√5 − 8√5 − 6

54 + √5

這是兩個根式乘以兩個根式，就是利用分配律分別相乘，

(3√5 − 2)(4√5 + 3)

第一個箭頭： 3√5 × 4√5，外面乘外面3 × 4 = 12、裡面乘裡面

√5 × √5 = 5，所以第一個就是12 × 5 =

60。

第二個箭頭： 3√5 × 3 = 9√5

第三個箭頭： −2 × 4√5 = −8√5

第四個箭頭：−2 × 3 = −6。

所以就是 60

+ 9√5 − 8√5 − 6 ，

同類方根可以合併，60 − 6 = 54、9√5 − 8√5 = √5，

因此 54 + √5 就是答案。

1

2

3 4

1

2

3

4

32

接下來我們來看一下跟乘法公式有關的題目！

Ex3.計算下列各式，並化為最簡根式。

(1) (3 − 2√7)² (2) (2√5 + 3√2)² (3) (√5 + 1)(√5 − 1)

解：

(1)

(3 − 2√7)² = 3²− 2 × 3 × 2√7 + (2√7)²

= 9 − 12√7 + 28 =

37 − 12√7

這一小題其實就是利用差的平方公式：(𝑎 − 𝑏)² = 𝑎²− 2𝑎𝑏 + 𝑏² 把 (3 − 2√7)² 括號內的 3 當成 𝑎，2√7 當成 b 。

所以 (3 − 2√7)² = 3²− 2 × 3 × 2√7 + (2√7)²

( 𝑎 − 𝑏 )² = 𝑎²− 2𝑎𝑏 + 𝑏²

= 9 − 12√7 + 28 = 37 − 12√7

(2)

2 × 3 × 2√7 (2√7)² = 2√7 × 2√7 = 4 × 7

33

(2√5 + 3√2)² = (2√5)²+ 2 × 2√5 × 3√2 + (3√2)²

= 20 + 12√10 + 18 =

38 + 12√10

這一小題其實就是利用和的平方公式：(𝑎 + 𝑏)² = 𝑎²+ 2𝑎𝑏 + 𝑏² 把 (2√5 + 3√2)² 括號內的 2√5 當成 𝑎，3√2 當成 b 。

所以 (2√5 + 3√2)² = (2√5)²+ 2 × 2√5 × 3√2 + (3√2)²

( 𝑎 + 𝑏 )² = 𝑎² + 2𝑎𝑏 + 𝑏²

(3)

(√5 + 1)(√5 − 1) = √5²− 1² = 5 − 1 =

4

這一小題其實就是利用平方差公式：(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎² − 𝑏² √5 當成 𝑎，1 當成 b 。

所以 (√5 + 1)(√5 − 1) = √5²− 1²

( 𝑎 + 𝑏 )( 𝑎 − 𝑏 ) = 𝑎² − 𝑏²

= 5 − 1 = 4

看完一些根式的四則運算後，我們來看個奇怪分數： ²

√5:1。 請問一下這個奇怪的分數： ²

√5:1 是不是一個最簡根式？

(2√5)² = 2√5 × 2√5 = 4 × 5

2 × 2√5 × 3√2 (3√2)² = 3√2 × 3√2

= 9 × 2

34

當然不是啊！看它的分母：√5 + 1 ，含有根式，而且實際上它還可 以繼續化簡，化簡到分母不含有根式。

文本 B 當中有提到，當分母為一個 √𝑎 時，再乘一個 √𝑎 就會使得

「√𝑎 × √𝑎 = 𝑎」，分母的根式就會消除。

如果我們 ²

√5:1 分子分母同乘以 √5 ，會發現 (√5 + 1) × √5 = 5 + √5，

分母一樣會有根式。

那該怎麼辦呢？

我們就利用平方差公式：(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎² − 𝑏² 來解決這個問題。

分母是 (√5 + 1) ，就把它當成是 (𝑎 + 𝑏) ，那還需要乘以一個 (𝑎 − 𝑏) 來湊成平方差公式，也就是還需要乘以 (√5 − 1)。

(√5 + 1)(√5 − 1) = (√5)²− 1² = 5 − 1 = 4 ，這樣分母就成功消除 根式了。

分母乘以 (√5 − 1)，要維持分數的相等，當然分子也要乘以(√5 − 1)。

=^(√5;1)

2 ， ^(√5;1)

2 就是 ²

√5:1 的最 所以 ²

√5:1 = ^2(√5;1)

(√5:1)(√5;1) = 簡根式。

我們來看一題練習題。

Ex4.將下列根式化為最簡根式 (1) ⁷

√13;√6 (2) ²

√21:5

35

解：

(1) ⁷

√13;√6= ^{7(√13:√6)}

(√13;√6)(√13:√6) = ^{7(√13:√6)}

√13²;√6² = ^{7 ( 13 6)}

7



√13 + √6

說明：

分母是 (√13 − √6) ，要利用平方差公式將分母有理化，所以將 它分子分母同乘以 (√13 + √6)。

分母 (√13 − √6) × (√13 + √6) = √13²− √6² = 13 − 6 = 7；

分子就是 7 × (√13 + √6)。

發現分子分母可以同時約掉 7 ， ^{7 ( 13 6)}

7



=^5;√21

2

5:√21 = ^2(5;√21)

(5:√21)(5;√21) =^2(5;√21)

5²;√21² = 說明：

分母是 (5 + √21) ，要利用平方差公式將分母有理化，所以將它 分子分母同乘以 (5 − √21)。

分母 (5 + √21) × (5 − √21) = 5² − √21² = 25 − 21 = 4；

分子就是 2 × (5 − √21)。

=^5;√21

2 。

發現分子分母可以同時約 2，

36

重點提問

1. 請問如何化簡一個分母為 √𝑎 − √𝑏 的根式呢？

請利用這個方法將 ¹

√7;√6 化為最簡根式。

D.隨堂練習

1.計算 √10(√15 + √6)，並化為最簡根式。

2.計算 (2√7 + 3)(√7 − 4)，並化為最簡根式。

3.計算下列各式，並化為最簡根式。

(1) (5 + 3√2)² (2) (5√2 − 2√3)² (3) (4 + 3√7)(4 − 3√7)

37

4.將下列根式化為最簡根式 (1) ¹¹

√15;√4 (2) ⁹

√18:6

還是不太懂，

請看下面影片(1)

https://www.youtube.com/

watch?v=iomMCSYednY

還是不太懂，

請看下面影片(2)

https://www.youtube.com/

watch?v=GFQ9STVpq4E

還是不太懂，

請看下面影片(3)

https://www.youtube.com/

watch?v=Pd9e865QaNw#t=

03m23s

還是不太懂，

請看下面影片(4)

https://www.youtube.com/

watch?v=ANEKsnygRuU#t=0 4m57s

38

單元三：畢式定理

課文 A：畢式定理

我們國小學過，一個三角形當中如果有一個角是直角，那麼我們就稱 那個三角形是直角三角形。這單元當中，直角三角形很重要！

如右圖，在直角三角形當中，

直角的兩個旁邊，我們都稱為「股」；

不是直角的旁邊，是直角的對面，我們稱它為「斜邊」。

而在中國著名的古代數學著作《九章算術》中，直角兩旁較短的邊為

「勾」、較長的邊為「股」；直角的對面，稱為「弦」。

那這兩股與斜邊之間有什麼關係呢？

我們從下面的圖來試著觀察看看！

在圖中，有 4 個直角三角形跟 1 個正方形甲，合成一個大正方形。

而且這 4 個三角形其實都是一樣的。

股

股 斜邊

39

所以 正方形甲的面積 = 大正方形 − 四個直角三角形面積

− 四個

=

𝑐² = (𝑎 + 𝑏)² − 4 ×^𝑎𝑏

2

= 𝑎²+ 2𝑎𝑏 + 𝑏² − 2𝑎𝑏

= 𝑎²+ 𝑏²

從上面的說明，我們就可以知道：𝑐² = 𝑎²+ 𝑏²， 而 𝑎, 𝑏, 𝑐 其實就是直角三角形的三邊長，

𝑐 就是這個直角三角形的斜邊，𝑎, 𝑏 就是這個直角三角形的兩股，

所以 𝑐² = 𝑎² + 𝑏² 代表的就是

「直角三角形中，斜邊平方等於兩股平方和」，

這種關係我們就稱作畢氏定理或勾股定理。

我們來練習一下題目！

Ex1.已知下列各直角三角形的兩股長，求斜邊長。

(1) (2) 解：

40

(1) 假設斜邊為 𝑥 ，根據畢氏定理「斜邊平方等於兩股平方和」，

𝑥² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169 𝑥 = ±√169 = ±13

因為斜邊長 > 0，所以斜邊長= 13。

(2) 假設斜邊為 𝑦 ，根據畢氏定理「斜邊平方等於兩股平方和」，

𝑦² = 7²+ 24² = 49 + 576 = 625 𝑦 = ±√625 = ±25

因為斜邊長 > 0，所以斜邊長= 25。

上面這題是我們知道兩股長，利用畢氏定理求斜邊長。

接下來我們知道斜邊及其中一股長，要利用畢氏定理求另一股長。

Ex2.已知下列各直角三角形的斜邊及一股長，求另一股長度為何？

(1) (2)

解：

(1)設要求的股長為 𝑥 ，根據畢氏定理「斜邊平方等於兩股平方和」，

𝑥²+ 3² = 5²⇒ 𝑥²+ 9 = 25 ⇒ 𝑥² = 25 − 9 = 16 𝑥 = ±√16 = ±4 ，股長必為正的，所以另一股為 4 。

(2) 設要求的股長為 𝑦 ，根據畢氏定理「斜邊平方等於兩股平方和」，

41

𝑦²+ 8² = 17²⇒ 𝑦²+ 64 = 289 ⇒ 𝑦² = 289 − 64 = 225 𝑥 = ±√225 = ±15 ，股長必為正的，所以另一股為 15 。

Ex3.求出下列各矩形的對角線長。

(1) (2)

解題思維：

我們如果有直角三角形，就可以利用畢式定理了，

所以我們要想辦法做出直角三角形。

因為矩形四個是直角，所以將對角線畫起來，

連起來後就有直角三角形了！

這個直角三角形裡，

剛好矩形的長跟寬就是直角三角形的兩股，

對角線就是直角三角形的斜邊。

接下來就可以利用畢式定理「斜邊平方等於兩股平方和」，求出 矩形的對角線長了！

對角線

42

解：

(1) 將對角線令為 𝑥 ，

根據畢氏定理可以列式：𝑥² = 8²+ 13² 𝑥² = 8²+ 13² = 64 + 169 = 233，

𝑥 = ±√233 (因為對角線長是長度，所以負不合) 所以對角線長= √233。

(2) 將對角線令為 𝑦 ，

根據畢氏定理可以列式：𝑦² = 6² + 4² 𝑦² = 6² + 4² = 36 + 16 = 52，

𝑦 = ±√52 = ±√4 × 13 = ±2√13(對角線長是長度，故負不合) 所以對角線長= 2√13。

好，再來我們看一些畢氏定理的應用！

Ex4.如圖直角三角形邊長為 5、12、13，

求斜邊上的高。

解題思維：

我們先看一下要求的東西，斜邊上的高是哪一個咧？

這是直角三角形，直角在 ∠C，

所以斜邊在 13 這段（也就是𝐴𝐵̅̅̅̅），

所以斜邊上的高指的就是 𝐶𝐷̅̅̅̅ 。

13

8 𝑥

4 6

y

43

那這要怎麼求呢？

我們來想，一個三角形的面積有幾種算法。

先隨便畫一個三角形，讓這個三角形的三邊長為 𝑎、𝑏、𝑐。

我們可以先用 𝑎 當底，三角形的面積是 ^底×高

2 ，

高就是藍色這段，先叫做 ℎ_𝑎 ，代表這是以 𝑎 為底的高，

所以面積的第一種算法為 ^𝑎×ℎ₂ ^𝑎 。

第二種算法我們以 𝑏 當底，這樣的高就是橘色這段，

我們叫做 ℎ_𝑏，所以面積的第二種算法為 ^𝑏×ℎ₂^𝑏。

那我可不可以以 𝑐 當底？當然也可以，它的高是誰？

就是下圖綠色的那段，我們叫做 ℎ_𝑐，

因為它是以 𝑐 為底的高，這樣面積就是 ^𝑐×ℎ₂ ^𝑐。

這樣三角形的面積就有三種算法啦！但是我們算的是同一個三角形，

因此不管我用哪種算法，算出來的面積都要一樣！

𝑎 × ℎ

2

𝑏 × ℎ

2

𝑐 × ℎ

2

接著我們就可以用這個方式找出斜邊上的高。

在這個直角三角形裡面，它的面積算法有兩種：

44

第一種，我可以用 𝐴𝐶̅̅̅̅當底，因為 ∠C 是直角，所以 𝐵𝐶̅̅̅̅̅ 就是他的高，

這樣第一個三角形面積算法就是 ^{𝐴𝐶̅̅̅̅×𝐵𝐶}₂^̅̅̅̅ 。

第二種，我也可以用斜邊 𝐴𝐵 ̅̅̅̅̅ 當底，這時候的高就是 𝐶𝐷̅̅̅̅ ，而面積就 是 ^{𝐴𝐵̅̅̅̅×𝐶𝐷̅̅̅̅}

2 。

那這兩個算的是同一個三角形的面積，所以會一樣。

然後就可以解出斜邊上的高 𝐶𝐷̅̅̅̅ 了！

解：

從圖中我們可以知道三角形面積= ^5×12₂ 設斜邊上的高為 𝐶𝐷̅̅̅̅ ，則三角形面積=^{13×𝐶𝐷̅̅̅̅}

2 ，

5 × 12

2

13 × 𝐶𝐷 ̅̅̅̅

2

5 × 12

2

13 × 𝐶𝐷 ̅̅̅̅

2

𝐶𝐷̅̅̅̅ = 5 × 12

13 =

60

13

45

省思：

當然你可以把這個公式化，

如果有一個直角三角形，兩股分別為 𝑎、𝑏，斜邊為 𝑐。

那斜邊上的高 ℎ 就會等於 ^𝑎×𝑏_𝑐 。 為什麼？因為 ^𝑎×𝑏₂ = ^𝑐×ℎ

2，所以 ℎ = ^𝑎×𝑏_𝑐 ，也就是兩股乘起來除以斜邊。

Ex5.

如圖，放著一把 5 公尺的長梯於牆上，

梯腳離牆角 1.4 公尺，求：

(1)梯頂離地面多少公尺？

(2)若欲將梯頂降低 80 公分，則梯腳須向後移動多少公分？

解：

(1)

首先，我們先看紅色這把梯子。

梯腳離牆角 1.4 公尺，梯子長 5 公尺，

要求梯頂距離地面的高度，也就是下圖中棕色這段的長度，

這裡就形成一個直角三角形。

46

這個紅色直角三角形，斜邊是 5，其中一股長 1.4，

就可以假設要求的為 ℎ。

ℎ² = 5²− 1.4² = 25 − 1.96 = 23.04 ℎ = ±√23.04。那 23.04 怎麼開根號呢？

先把 23.04 化成分數，再來上面開上面，下面開下面：

√23.04 = √2304

100 =√2304 10 接著 2304 利用短除法算一下：

2304 = 4²× 12^{2 4 2304}

4 576 12 144 12

知道 2304 開出來是 48，因為有兩個 4，和兩個 12。

所以

√23.04 = √2304

100 = √2304 10 =48

10 = 4.8 因此 ℎ = ±4.8，那因為是高度，所以負不合。

所以梯頂離地面 4.8 公尺。

(2)

如果要將梯頂降低 80 公分，也就是 0.8 公尺。

原本高度 4.8 公尺，降低了 0.8 公尺，變成 4 公尺。

再想想看樓梯的長度會不會隨著它降低而改變？

47

看圖，樓梯掉落（藍色變紅色）長度依然不變，還是維持 5 。 所以這裡形成新的直角三角形。

看綠色直角三角形，斜邊 5，一股長為 4，就可以假設所求為 𝑎 。 𝑎² = 5²− 4² = 25 − 16 = 9

𝑎 = ±√9 = ±3（負不合）

但題目是問梯腳後移多少？

原本梯腳離牆角為 1.4，但後來的梯腳離牆角為 3，所以要後移多少？

當然就是 3 − 1.4 = 1.6，所以後移 1.6 公尺。

5

𝑎 𝑎

4

48

重點提問

1. 請問什麼是「畢氏定理」？

請根據上面的課文用自己的話解釋這個定理。

2. 根據上面的課文，一個直角三角形斜邊上的高如何計算？

請利用這個方法計算直角三角形邊長為 7、24、25 斜邊上的高。

A.隨堂練習

1.已知下列各直角三角形的兩股長，求斜邊長。

(1) (2)

49

2.已知下列各直角三角形的斜邊及一股長，求另一股長度為何？

(1) (2)

3.求出下列各矩形的對角線長。

(1) (2)

4.如圖直角三角形邊長為 3、4、5，求斜邊上的高。

50

5.平安拿一鋁梯在離牆 6 公尺處斜放在牆邊，

此時梯頂剛好離地面 6 公尺(如圖所示)，求：

(1)鋁梯有多長？

(2)今移動此鋁梯使它在離牆 2 公尺處斜放，則 梯頂離地面多少公尺？

還是不太懂，

請看下面影片(1)

https://www.youtube.com/

watch?v=yADZ1P2n8zQ

還是不太懂，

請看下面影片(2)

https://www.youtube.com/

watch?v=IVoKpc5I_t0

還是不太懂，

請看下面影片(3)

https://www.youtube.com/

watch?v=H860kIDaw0E

還是不太懂，

請看下面影片(4)

https://www.youtube.com/

watch?v=N6hbfGJwXTU

51

單元三：畢式定理

課文 B：平面上兩點間的距離

接下來我們來看平面上兩點間的距離。

首先，先來看兩點在同一水平上。

兩點在同一水平上會發生什麼事情呢？

舉個例子，如右圖，有兩點 A(1,2)、B(4,2)，

這兩點是水平的，而它們之間的距離就是藍色的那段，

那要怎麼算呢？數一下，會發現距離就是 3 。

但當數字很大的時候就很難用數的就可以數的出來了！

所以我們分析一下，距離 3 還可以怎麼算出來？

A、B 兩點的 y 坐標都是 2 ；

而 A 的 𝑥 坐標是 1 ，B 的 𝑥 坐標是 4。

會發現在同一水平上的這兩點距離其實就是它們 𝒙 坐標的差，

所以其實就是 4 − 1 = 3。

Ex1.如右圖，坐標平面上有 P(5,2)、Q(−3,2) 兩點，

求 P、Q 兩點之間的距離 𝑃𝑄̅̅̅̅ = ？

解：P、Q 的 y 坐標都相同，P、Q 在同一水平上，

所以它們的距離會是它們 𝑥 坐標的差 5 − (−3) = 5 + 3 =

8。

52

再來我們來看一下在同一鉛垂線上的兩點間距離。

舉個例子，如右圖，有兩點 B(4,2)、C(4,6)，

這兩點是鉛直的，而它們間的距離就是粉紅色的那段，

那要怎麼算呢？

我們來看一下 B、C 兩點的 𝑥 坐標都是 4 ； 而 B 的 𝑦 坐標是 2 ，C 的 𝑦 坐標是 6。

會發現在同一水平上的這兩點距離其實就是它們 𝒚 坐標的差，

所以其實就是 6 − 2 = 4。

Ex2.如圖，坐標平面上有 P(1,2)、Q(1, −3) 兩點，

求 P、Q 兩點之間的距離 𝑃𝑄̅̅̅̅ = ？

解：P、Q 的 𝑥 坐標都相同，P、Q 在同一鉛直上，

所以它們的距離會是它們 𝑦 坐標的差 2 − (−3) = 2 + 3 =

5。

最後一種就是不在同一水平也不是在同一鉛垂線上的兩點距離。

舉個例子，如右圖，有兩點 A(1,2)、C(4,6)，

A、C 兩點的 𝑥 坐標不相同，而且 𝑦 坐標不相同，

所以不在同一水平上也不在同一鉛垂線上。

那該怎麼求出它們的距離呢？

53

這時候就要利用到畢氏定理了！

畢氏定理是指直角三角形的三邊關係：「斜邊平方等於兩股平方和」，

所以必需要製造一個直角三角形，怎麼製造呢？

我們畫一條通過 A 的水平線、一條通過 C 的鉛直線，

兩條線會交一點，我們先稱它為 B 。

B 與 A 在同一水平上，所以 𝑦 坐標與 A 的 y 坐標一樣是 2 ； B 與 C 在同一鉛垂線上，所以 𝑥 坐標與 C 的 𝑥 坐標一樣是 4 。 因此 B 點坐標就是 (4,2) 。

這樣我們就有一個直角三角形 ABC 了，

𝐴𝐵̅̅̅̅、𝐵𝐶̅̅̅̅ 是這個直角三角形的兩股，A、C兩點間距離 𝐴𝐶̅̅̅̅ 則是斜邊。

B 與 A 在同一水平上，𝐴𝐵̅̅̅̅，就是 𝒙 坐標的差： 4 − 1 = 3；

B 與 C 在同一鉛垂上，𝐵𝐶̅̅̅̅，就是 𝐲 坐標的差： 6 − 2 = 4。

根據畢氏定理 𝐴𝐶̅̅̅̅² = 𝐴𝐵̅̅̅̅²+ 𝐵𝐶̅̅̅̅²，

𝐴𝐶̅̅̅̅² = 𝐴𝐵̅̅̅̅²+ 𝐵𝐶̅̅̅̅² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25，

因為 𝐴𝐶̅̅̅̅ 是距離，所以為正，因此 𝐴𝐶̅̅̅̅ = 5。

每次都要這麼麻煩嗎？其實可以不用那麼麻煩。

我們看一下式子 𝐴𝐶̅̅̅̅² = 𝐴𝐵̅̅̅̅²+ 𝐵𝐶̅̅̅̅²，

𝐴𝐵̅̅̅̅² 其實就是 (4 − 1)²。括號中的 4 是 B 點的 𝑥 坐標，也是 C 點的 𝑥 坐標；括號中的 1 是 A 點的 𝑥 坐標。

A B

C

54

𝐵𝐶̅̅̅̅² 其實就是 (6 − 2)²。括號中的 6 是 C 點的 𝑦 坐標；括號中的 2 是 B 點的 𝑦 坐標，也是 A 點的 𝑦 坐標。

所以 𝐴𝐶̅̅̅̅² = 𝐴𝐵̅̅̅̅² + 𝐵𝐶̅̅̅̅²

= (𝐵的𝑥坐標 − 𝐴的𝑥坐標)²+ (𝐶的𝑦坐標 − 𝐵的𝑦坐標)²

= (𝐶的𝑥坐標 − 𝐴的𝑥坐標)²+ (𝐶的𝑦坐標 − 𝐴的𝑦坐標)² 所以我們可以得到一個結論，

平面任意兩點的距離= √(𝑥坐標差)²+ (𝑦坐標差)²，

即兩點 A(𝑥₁, 𝑦₁)、B(𝑥₂, 𝑦₂) 的距離為 𝐴𝐵̅̅̅̅ = √(𝑥₁− 𝑥₂)²+ (𝑦₁ − 𝑦₂)²。

我們舉一個例子。

Ex3.如圖，坐標平面上有 P(−2,5)、Q(4, −3) 兩點，

求 P、Q 兩點之間的距離 𝑃𝑄̅̅̅̅ = ？ 解：

P、Q 的 𝑥 坐標、𝑦 坐標都不相同，它們是斜的，

所以可以利用兩點間的距離公式： √(𝑥坐標差)²+ (𝑦坐標差)² 𝑃𝑄̅̅̅̅ = √(−2 − 4)²+ [5 − (−3)]²

= √(−6)²+ 8²

= √36 + 64

= √100 =

10。

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重點提問

1. 請問如何計算兩點的距離？

請利用這個方法計算 (4, −2)、(7,1) 兩點間的距離。

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B.隨堂練習

1.已知坐標平面上有 A(5,2)、 B(5,6) 兩點，求 𝐴𝐵̅̅̅̅ 的長。

2.已知坐標平面上有 A(3, −4)、 B(3,5) 兩點，求 𝐴𝐵̅̅̅̅ 的長。

3.已知坐標平面上有 A(2,2)、 B(6,6) 兩點，求 𝐴𝐵̅̅̅̅ 的長。

還是不太懂，

請看下面影片

https://www.youtube.com/

watch?v=qqEiJfBzF4g