圍 2-6 遞迴數列

高雄市明誠中學 高二數學平時測驗 日期：98.05.27.

班級 範

圍 2-6 遞迴數列

座號

姓 名 一、選擇題 (每題 10 分)

( ) 1. 設數列 a_n 滿足a₁ 及遞迴關係式1 ₁ 1

n n 2

a _ a  ﹐ n 為正整數﹐則 ⁴⁰

1 k k

a





 (1)

1 40

2

  

  (2)1850

4 (3) 430 (4)210 (5)60﹒

解答 3

解析 ∵ ₁ 1

n n 2

a_ a  且a₁ ﹐∴1 ₁ 1

n n 2

a_ a  ﹐

表示 a_n 為首項 1﹐公差1

2的等差數列﹐ ⁴⁰ _{1 2 40}

1

40 2 39 1

2 430

k 2

k

a a a a



 

   

 

      



^﹒

( ) 2. (複選)數列 a_n 中﹐a₁ 且1 a_k1a_k  ﹐則 2

(1)a₂ (2)3 S₂ (3)4 S₃ (4)8 S₄ 16 (5)S_nn²﹒ 解答 1245

解析 a_k1a_k  表示2 a_n 為首項 1﹐公差 2 的等差數列﹐

1+( 1) 2 2 1

an  n   n ﹐ ^{1 3 5}



^{2 1}



^{[1 (2 1)] 2}

n 2

n n

S       n    n ﹐ 故a₂ ﹐3 S₂ ﹐4 S₃ ﹐9 S₄16﹐S_n n²﹒

( ) 3. (複選)數列 a_n 的遞迴關係式如下：a₁ 且3 a_na_n1



3n ﹐ n 為正整數且1



n ﹐則下列何2 者正確？ (1)a₂ (2)8 a₃16 (3)a₄24 (4)a_n2n²  (5)n 2 3 ² 1

2 2 1

an  n  n ﹒ 解答 125

解析 ∵a_na_n1



3n ﹐ 1



∴a₂a₁       3 2 1 3 6 1 8 a₃a₂      3 3 1 8 9 1 16 a₄a₃   3 4 1 16 12 1  27



 )a_n a_n1 3 n 1

    

       

1 3 2 3 1 1 3 1 2 3 1

an  a     n n         n n



¹

  

^{3 2 1}

3 1 1

2 2 2

n n n n n

       ﹒

( ) 4. (複選)數列 a_n 滿足a₁ 且1 a_n1a_n3n²﹐ n 為自然數﹐下列何者為真？

(1)



^{1 2}



¹



1 2

n

n n n

a  

  (2)



¹



1 3

n

a n n

  (3)a_na_n1 (4) lim _n 0

n a

  (5)lim ₃ⁿ 1

n

a

n  ﹒

解答 135

解析 (1)⃝：∵a_n1a_n3n²﹐ ∴a₂   a₁ 3 1² a₃a₂  3 2²





)a_na_n1  3



n 1



²

2 2

 

2

       

1

1 2 1 1 2 1

3 1 2 1 1 3 1

6 2

n

n n n n n n

a  a      n              ﹒ (3)⃝：∵a_n1a_n3n²a_n1a_n 3n² ﹐ ∴0 a_na_n1﹒

(4)✕ ： lim _n

n a

   ﹒

(5)⃝：

  

3 3 3

1 2 1

lim lim 1 1

2

n

n n

n n n

a

n n n

 

   

   

  ﹒

( ) 5. (複選)數列 a_n 滿足a₁ 2且a_n12ⁿa_n﹐ n 為正整數﹐則下列何者為真？

(1)a₂2 2 (2)a₃  (3)8 a₄64 2 (4)

 1

2 2 n n

an



 (5)

2 1

2 2 n n

an

 

 ﹒

解答 135

解析 (1)⃝： a2  2¹ a1 2 2﹒

(2)✕ ： ^{a322a2 4 2 2}

 

^{8 2﹒}

(3)⃝： ^{a423 a3 8 8 2}

 

^{64 2﹒}

(4)✕

(5)⃝：a₂   2¹ a₁ a₃2² a₂





)a_n 2^n1a_n1

^{ }

 1 1 ² 1 ² 1

1 2 1

1 2 1 2 2 2 2 2

2 2 2 1 2 2 2 2 2 2

n n n n n n

n n

an a

     

  

           ﹒

( ) 6. 數列 a_n 滿足a₁ 且2 ₁ 1

n 1

n

a^  a

 ﹐則a₁₀₀₀的值為 (1)2 (2) 1 (3)1

2 (4)0 (5)

 2

﹒ 解答 1

解析 a₁ ﹐2 a₂  ﹐1 ₃ 1

a  ﹐2 a₄ ﹐2 a₅  ﹐1 ₆ 1 1

2, 1, ,...

2 2

a    每 3 個一循環，

由循環性知﹐1000 3 333   ﹐故1 a₁₀₀₀ ﹒ 2

二、填充題 (每題 10 分)

1. 數列 a_n 滿足a₁ 且1 a_n12a_n ﹐ n 為自然數﹐則1 a₁₂  ____________﹒

解答 4095

解析 ∵an_12an ﹐ 1

∴ a₂2a₁   ﹐ 1 2 1

a32a2     1 2



2 1



1 2²  ﹐ 2 1

a42a3  1 2



2²   2 1



1 2³2²  ﹐ 2 1

11 10



¹²



12

1 2 1

2 2 2 1 4095

a  2 1

       



1

(1 )

1 a r

n

r

 



^{等比級數公式}

2. 數列 a_n 滿足a₁ 且2 ₁

n 1 n

a n a

 n

 ﹐ n 為正整數﹐則a₁₀  ____________﹒

解答 1 5

解析 ₂ 1 ₁ a   ﹐ 2 a

3 2

2

a   ﹐ 3 a

……﹐

10 9

9 a 10 a

10 1

1 2 3 9 1 1

2 3 4 10 10 2 5

a a

         ﹒

3. 數列 a_n 滿足a₁ 且1 a_n1a₁a₂   ﹐ n 為自然數﹐求a_n

1

1

n an







____________﹒

解答 3

解析 ∵a_n1a₁a₂   a_n

∴a₂a₁ ﹐ 1

a₃a₁a₂   ﹐ 1 1 2

a₄a₁a₂a₃    ﹐ 1 1 2 4

a₅a₁a₂a₃a₄     ﹐ 1 1 2 4 8

∴

1 1 2 3 4

1 1 1 1 1

n an a a a a





     



2

1 1 1 1 1

1 1 2 3

1 1 2 2 1 1

2

          



﹒

4. 有一數列 a_n 滿足a₁ 且1 an_1an2n ﹐求1 ¹⁰

1 k k

a





____________﹒

解答 385

解析 ∵an_1an2n ﹐ 1

∴a₂a₁     ﹐ 2 1 1 1 3 a₃a₂      ﹐ 2 2 1 1 3 5 a₄a₃       ﹐ 2 3 1 1 3 5 7

可推得an     ^{1 3 5}



²n ¹



n²﹐∴

10

2 2 2

1

10 11 21

1 2 10 385

k 6

k

a



        



^﹒

5. 已知數列 a_n 定義為 ¹

1

3

n n 2

a

a _ a n

 

  

 ﹐ n 為正整數﹐求a₁₀₀  ____________﹒

解答 9903

解析 ∵an_1an2n﹐

∴a₂a₁  2 1 a₃a₂  2 2



 1

 

)a_n a_n 2 n 1

    

   

2

1

2 1 2 1 3 2 1 3

n 2

n n

a a n   n n

               ﹐

∴a₁₀₀ 100²100 3 9903﹒

6. 數列 a_n 滿足a₁ ﹐2 a₂ 且3 an_2 3an_1an﹐ n 為正整數﹐求a₄ ____________﹒

解答 36

解析 ∵a_n23a_n1a_n﹐∴a₃3a₂a₁    ﹐3 3 2 11 a₄3a₃a₂    3 11 3 36﹒ 7. Fibonacci 數列 a_n 定義為 ^{1 2}

2 1

1, 1

n n n

a a

a_ a _ a

 

  

 ﹐請問第一個滿足a_n  （其中 n 為正整數且n² n ）的2 n ____________﹒

解答 12

解析 ∵a_n2 a_n1a_n﹐

∴a₃a₂a₁   ﹐ 1 1 2 a₄a₃a₂   ﹐ 2 1 3 a₅ a₄a₃   ﹐ 3 2 5 a₆a₅a₄   ﹐ 5 3 8 a₇a₆a₅  8 5 13﹐ a₈a₇a₆13 8 21﹐ a₉ a₈a₇ 21 13 34﹐ a₁₀a₉a₈342155﹐ a₁₁a₁₀a₉553489﹐

a₁₂a₁₁a₁₀89 55 144 12   ²﹐∴n12﹒

8. 數列 a_n 滿足a₁ ﹐2 a₂ 且1 a_n a_n1a_n1 ﹐n ﹐求2

1 n n

a







____________﹒

解答 4

解析 ∵a_n a_n1a_n1 ﹐∴a_n²a_n1a_n1﹐表a 為_n a_n1﹐a_n1的等比中項﹐即數列 a_n 為等比數列﹐

∵a₁ ﹐2 a₂ ﹐∴1 1

r ﹐2 _{1 2 3}

1

2 4 1 1

2

n n

a a a a





      



 ^﹒

9. 數列 a_n 中﹐滿足a₁ 2且an 2an_1﹐ n 為正整數且n ﹐求 lim2 _n

n a

 之值為____________﹒

解答 2

解析 ∵a_n 2a_n1﹐∴a₂ 2a₁  2 2﹐a₃ 2a₂  2 2 2 ﹐……﹐

設 2 2 2  ﹐則 2x xx  ﹐平方^{2xx2x x}



^2



   或 0（不合）﹐^{0 x 2}

∴ lim _n 2

n a

  ﹒

10. 有一數列 a_n 滿足a₁ 且0 an_1an3n ﹐ n 為正整數﹐則3 a₂₆  ____________﹒

解答 1050

解析 ∵a_n1a_n3n ﹐ 3

∴a₂    a₁ 3 1 3 a₃a₂   3 2 3





26 25

)a a 3 25 3

    

 

26 1

25 26

3 1 2 25 25 3 0 3 75 1050

a  a          2   ﹒

11. 設一數列 a_n 的遞迴關係式滿足a₁ 且1 a_n1a_n 

 

1ⁿ ﹐ n 為正整數﹐求n² a₉  ____________﹒

解答 37

解析 a2  a1

 

1 1

 

²   a1 1^{2 a3a2 }

 

^{1 2}

 

^{22 a2 22}

^{a4a3 }

 

¹³

 

^{32 a3 32}





 

⁸

 

^{2 2}

9 8 8

)a a 1 8 a 8

     

   

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

9 1 1 2 3 8 2 4 6 8 3 5 7 37

a   a             ﹒ 12. 數列 a_n 滿足

  

1

1

1 3

n n

a a

n n

  

  且 n 為正整數﹐若 ₁ 1

a  ﹐則 lim3 _n

n a

  ____________﹒

解答 3 4

解析 _{2 1} 1 a  a 2 4

 _{3 2} 1

a a 3 5







 

1

) 1

n n 2 a a

n n

   

 

 

1

1 1 1

2 4 3 5 2

an a

     n n

  

 

1 1 1 1

1 3 2 4 3 5 n n 2

     

   

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 1 3 2 4 3 5 n n 2 2 1 2 n 1 n 2

   

                   

1 1 3

lim 1 0 0

2 2 4

n an



 

      ﹒

13. 有一數列 a_n 滿足a₁ 且1 ₁ 2 1 3

n n

a _   a ﹐ n 為正整數﹐求

 

1

3 _n

n

a





 



____________﹒

解答 6

解析 方法一：設 ₁

2

₁

2

( ) , 3

3 3 3

n n n n

a

_

  k a  k  a

_

 a  k k 

即 ₁

2

3 ( 3)

n

3

n

a

_

  a 

₂

2

₁

3 ( 3) a   3 a 

₃

2

₂

3 ( 3) a   3 a 

₄

2

₃

3 ( 3) a   3 a 





1

) 3 2( 3)

n 3 n

a a_

   

1 1

1

2 2

3 ( ) ( 3) 2( ) 3

3 3

n n

n n

a   ^ a  a   ^ 

∴

 

^{1 2 3}

1 1

2 2 2 2 2

3 2 2 2 2 2 ... 6

3 3 3 3 1 2

3

n

n

n n

a

  

 

       

               

        

 

方法二：

∵ ₁ 2

1 3

n n

a_   a 

∴ 2 ₁

1 3

n n

a   a _ 



  1



1



2

n n 3 n n

a_ a a a_

   

而a₁ ﹐1 ₂ 2 ₁ 5 1 3 3

a   a  ﹐ _{2 1} 2 a   ﹐ a 3 表示數列 a_n1a_n 為首項2

3﹐公比2

3的等比數列﹐

     

1 2 1 3 2 1

n n n

a  a a a  a a    a a _

1

1 1

2 2

3 1 3 2 2

1 1 2 1 3 2

2 3 3

1 3

n

n n



 

   

      

     

 

              ﹐

∴

 

¹

1 1

2 2

3 2 6

3 1 2 3

n

n

n n

a

  

 

        

 

^﹒

14. (1)數列 a_n 中﹐a₁ 且1 2a_n1a_n ﹐ n 為正整數﹐則2 a_n ____________﹒(2)承(1)﹐則 lim _n

n a

  ____________﹒

解答 (1) 1 1

2 2

 n

    ; (2)2

解析 a₁ ﹐1 _{1 1} 1

2 2 1

n n n 2 n

a_ a  a _  a  ﹐

設



1

  

1 2

n 2 n

a _ k  a k   k

∴ 2



1



2 1 2

a  2 a  3



2



2 1 2

a  2 a 







1



) 2 1 2

n 2 n

a a_

   

1

 

2 1 1

2

n

an

  

     

∴

1 1

2 lim 2

2

n

n n

a n a





       ﹒

15. 設數列 a 滿足a  ﹐2 a  ﹐且5 a _ 2a _  ﹐ n 是任意自然數﹐試求 a

(1)a ﹐₃ a ﹐₄ a ﹒(2)第 n 項₅ a （用 n 的式子表示）﹒(3)_n

50

1 k k

a





^？ 解答 (1)a₃ ﹐8 a₄11﹐a₅14;(2) 3n ;(3)3775 1

解析 由a_n22a_n1 ﹐經整理a_n a_n2a_n1a_n1 ﹐ n 是任意自然數﹐故此數列為等差數列﹐其a_n 公差為a₂a₁ ﹐ 3

(1)a₃   ﹐5 3 8 a₄   ﹐8 3 11 a₅11 3 14  ﹒ (2)a_n a1



n1



d  2 3



n 1



3n ﹒ 1 (3)

50

1 k k

a



 ^{ a1 a2  a5050 4}

^

^₂^{49 3}

^

^3775﹒

16. 設數列 a_n 的首項a₁ 且滿足遞迴關係式6 ₁ 3 4 2

n n

a _  a  ﹐ n 為正整數﹐試求 (1)一般項a （以 n 表示）﹒(2) lim_{n n}

n a

 ﹒

解答 (1)

3 1

8 2 4

 n

    ; (2)8

解析 (1)∵ ₁ 3 4 2

n n

a _  a  

3 ₁ 4 2

n n

a  a_  

  1



1



3

n n 4 n n

a _ a a a _

    ﹐n ﹐ 2 又 ₂ 3 ₁ 3 13

2 6 2

4 4 2

a  a      ﹐又 _{2 1} 13 1 2 6 2 a  a   ﹐ 表示數列 a_n1a_n 為首項1

2﹐公比3

4的等比數列﹐

故a_n a₁



a₂ a₁

 

 a₃ a₂



       



a_n a_n1



1

1 1

1 3

2 1 4 3 3

6 6 2 1 8 2

3 4 4

1 4

n

n n



 

   

      

     

 

          

   

 

 

 ﹒

(2)

3 1

lim lim 8 2 8 4

n

n an n



 

   

       ﹒

17. 設數列

a

_n 的前兩項

a

₁

 1

﹐

a

₂

 4

﹐且滿足遞迴關係式

a

_n

 2 a

_n1

 3 a

_n2﹐

n  3

﹒求

a

₅﹐

a

₆與

a

₇的 值﹒

解答 a₅ 101﹐a₆ 304﹐a₇911

解析 遞迴關係式

a

_n

 2 a

_n1

 3 a

_n2^﹐

n  3

且

a

₁

 1

﹐

a

₂

 4

﹒ 所以

a

₃

 2 a

₂

 3 a

₁

   8 3 11

﹔

a

₄

 2 a

₃

 3 a

₂

 22 12   34

﹔

a

₅

 2 a

₄

 3 a

₃

 68  33 101 

﹔

a

₆

 2 a

₅

 3 a

₄

 202 102   304

﹔

a

₇

 2 a

₆

 3 a

₅

 608  303  911

﹒

18. 平面上

n

條直線﹐任兩條不平行﹐任三條不共點﹐此

n

條直線將平面分割成

a_n

個區域﹐則

(1)求

a₁

﹐

a₂

﹐

a₃

﹐

a₄

﹒(2)寫出

a_n

的遞迴關係式﹒(3)求第

n

項

a_n

（以

n

表示）﹒

解答 (1)

a₁2

﹐

a₂4

﹐

a₃7

﹐

a₄11

;(2)

a_n1a_n



n1

 ;(3)

2 2

2 n  n

解析

(1)

n 1 a₁2

n 2 a₂ 4

n 3 a₃7

n 4 a₄11

(2)第

n1

條直線

L_n1

與前

n

條直線

L₁

､

L₂

､……

L_n

分別有一個交點﹐所以

L_n1

上有

n

個

交點﹐此

n

個交點將

L_n1

分成

n1

個小段﹐每一小段將原先的一區割成二區（新增一區）﹐

即增加第

n1

條直線後﹐新增

n1

個區﹐故

a_n1a_n



n1

 ﹒ (3)∵

a_n1a_n



n1

 且

a₁2

﹐

∴

a₂a₁2

a₃ a₂3





a_n1a_n2



n1



)a_n a_n1n

   

²

1

1 2

2 3 2 1

2 2

n

n n n n

a a n   

         

﹒

19. 平面上有

n

個圓﹐其中任三個圓均不共點﹐此

n

個圓最多可將平面分割成

a_n

個區域﹐則 (1)求

a₁

﹐

a₂

﹐

a₃

﹐

a₄

﹒(2)寫出

a_n

的遞迴關係式﹒(3)求第

n

項

a_n

（以

n

表示）﹒

解答 (1)

a₁2

﹐

a₂4

﹐

a₃8

﹐

a₄14

;(2)

an_1an 2 n

;(3)

n² n 2

解析

(1)

a₁2

a₂4

a₃8

a₄14

n1

n2

n3

n4

(2)

a₁2

﹐

a₂  a₁ 2

﹐

a₃a₂ 2 2

﹐

a₄ a₃ 2 3

﹐∴

a_n1a_n 2 n

﹒ (3)∵

a_n1a_n 2 n

且

a₁2

﹐

∴

a₂a₁ 2 1

a₃ a₂ 2 2





a_n1 a_n2 2



n2



)a_n a_n1 2



n1



   

₂

1

2 1 2 1 2 2 1 2

n 2

n n

a a n   n n

                

∴

a_nn² n 2

﹒

20.

如圖所示﹐f 分別代表所在正方形邊長﹐這些正方形的擺放依循_n 往右﹐向上的規律：

已知 f₁ ﹐求1 f 與₁₁ f （即求第₁₂ 11 個與第 12 個正方形的邊長）﹒

解答

f₁₁89

﹐

f₁₂ 144

解析

可以觀察數列

f_n

滿足

f₁ f₂1

﹐

f_n  f_n1 f_n2

（

n3

）﹐即為費氏數列﹒

3 2 1

4 3 2

5 4 3

2 3 5 ...

f f f f f f f f f

  

  

  

…

f₉ 34

﹐

f₁₀ 55

﹐得

f₁₁ f₉ f₁₀ 345589

﹐

f₁₂  f₁₀  f₁₁55 89 144. 

21.

用黑白兩種顏色的正方形地磚依照如右的規律拼圖形：

設a 是第 n 圖需用到的白色地磚塊數﹒ _n (1)寫下數列 a_n 的遞迴關係式﹒

(2)求一般項a ﹒ _n

(3)拼第 95 圖需用到幾塊白色地磚﹒

解答 (1)

a_n a_n15 ,n2

;(2)

5n3

;(3)478

解析 (1)

a_n

代表「第

n

個圖需用到白色地磚的塊數」﹐可以發現圖形每次均增加 1 個 如圖(1 個黑色地磚與 5 個白色地磚)﹐即

a_na_n15

﹐

n2

﹒

(2)上述這些圖形中﹐白色地磚的個數可視為一個首項為 8﹐公差為 5 的等差數列﹐

故

an  ⁸



n  ¹



^{5 5}n³

﹒

(3)拼第 95 圖所需用到白色地磚數

a₉₅  5 95 3 478

﹒

22. 長方形垛，最上層 2 個球，第二層 6 個球，第三層 12 個球，依此堆法，堆 20 層，則：

(１)第 20 層有_______________個球。(２) 20 層總共有_____________個球。

解答 (１) 420；(２) 3080

解析 由上而下，第 n 層有 a

_n

個，則 a

₁

＝1×2，a

₂

＝2×3，a

₃

＝3×4，……故 a

₂₀

＝20×21＝420 而 

 20

1 n

a ＝

n



 20



1

) 1 (

n

n

n ＝ 20 21 22 3

  ＝3080

※

1

( 1)( 2) ( 1) 1 2 2 3 3 4 ... ( 1)

3

n

k

n n n

k k n n



 

          



24. 用火柴棒拼出正方形群組圖形﹐如下圖規律所示﹐其中第 1 圖有 1 個正方形﹐第 2 圖有 5 個 正方形﹐而第 3 圖則有13 個正方形﹒按照這樣的規律﹐令 a 表示第 n 圖中正方形的總數﹒

_n

(1)求一般項 a ﹒ (2)求

_n

a 的值﹒

₂₀

解答 (1)

2n²2n1

;(2)

761

解析

(1)觀察第 1 圖得 a

₁

 ﹒觀察第 2 圖得 1 a

₂

    ﹒ 1 3 1 5 觀察第 3 圖得 a

₃

      1 3 5 3 1 13 ﹒

利用圖形關係得

a

n

    ^{1 3 5}    ² n   ³   ² n   ¹   ² n   ³      ^{5 3 1}  ^{1 [1}   ^{2 3 ]}     ^{1 [1}   ^{2 3 ]} 

2 1

2 2

n n n n

   n   

     2 n

²

 2 n  ﹒ 1

(2)

a₂₀  2 20² 2 20 1 761

﹒

25.在一個大小尺寸為n×2的棋盤上，用n個1×2的矩形蓋 滿此棋盤而不重疊，共有a

n

種方法，試求：

(1) a

1

、a

2

、a

3

。

(2) ＜a

n

＞的遞迴定義式。

答案 (1)

a1＝1, a2＝2, a3＝3 (2) a1＝1, a2＝2, an＝an－1＋an－2，n  3

解析

(1) 當 n＝1 時，直向覆蓋，有 1 種方法，即 a1＝1

當 n＝2 時，可直向或橫向覆蓋，共 2 種方法，即 a2＝2 當 n＝3 時，直向用 3 塊覆蓋，

或由左而右用 2 塊橫向覆蓋，1 塊直向覆蓋；

或由左而右用 1 塊直向覆蓋，2 塊橫向覆蓋，

共有 3 種方法，即 a3＝3

(2) 對 n×2 的棋盤，覆蓋方式可分成下列兩種情形：

①最左邊的 1×2 矩形，用 1 塊直向覆蓋，剩下的 ( n－1 )×2 棋盤，可有 an－1種覆蓋方法

②最左邊的 2×2 矩形，用 2 塊橫向覆蓋，剩下的 ( n－2 )×2 棋盤，可有 an－2種覆蓋方法 於是 an＝an－1＋an－2，n  3