商式定理

商式定理

陳建燁

壹、 前言

談到多項式除法, 大家都知道有所謂的 「餘式定理」。 但是對於多項式除法所得的 「商式」, 一般能想到的, 就是除法原理 f (x) = g(x) · Q(x) + R(x), 其中用符號代表的商式 Q(x), 但 Q(x) 有更具體的表達式嗎? 或者說, 商式的係數存在著特定的規律嗎? 經過一番探索之後, 發 現在特定的條件下, 答案是肯定的。

在這篇文章中, 將從一個很基本的多項式除法出發, 使用完全齊次對稱多項式的性質, 將 xⁿ 除以 Q

1≤i≤m(x − pⁱ) 所得商式與餘式的係數, 完全用 p1, p₂, . . . , p_m 來表達, 得到並證明所 謂的 「多項式除法基本定理」 : 設 p₁, p₂, . . . , p_m 全相異, 且 n ≥ m ≥ 2, 則

xⁿ =

"

Y

1≤i≤m

(x − pⁱ)

#

·

"_n−m X

j=0

h_j(p1, p₂, . . . , p_m) · x^n−m−j

# +

m

X

j=1

pⁿ_j · Q

1≤i≤m i6=j

(x − pⁱ) Q

1≤i≤m i6=j

(pj− pⁱ) 特別地, 就商式的係數而言, 可得所謂的 「商式定理」 :

設 p₁, p₂, . . . , p_m 全相異, 且 n ≥ m ≥ 2, 則 xⁿ 除以 Q

1≤i≤m(x − pⁱ) 所得的商式的係數, 恰為 p₁, p₂, . . . , p_m 構成的 「完全齊次對稱多項式」 hj(p₁, p₂, . . . , p_m), 其中次數 j 由 0 到 n− m。

貳、 本文

一、 定義、 記號與已知公式 :

1. 完全齊次對稱多項式 (Complete Homogeneous Symmetric Polynomial) 定義: hk(a1, a₂, . . . , a_n) = P

λ1+λ2+···+λn=k λ1,λ2,...,λn≥0

(a^λ₁¹a^λ₂²· · · a^λnⁿ), 稱為 「變數 a1, a₂, . . . , a_n 的 k 次完全齊次對稱多項式」。 特別地, h₀(a₁, a₂, . . . , a_n) = 1, 且 hk(a) = a^k。

例: h₂(a1, a₂, a₃) = P

λ1+λ2+λ3=2 λ1,λ2,λ3≥0

(a^λ₁¹a^λ₂²a^λ₃³) = a²₁+ a²₂+ a²₃+ a1a₂+ a2a₃ + a3a₁ 。

例: h₂(a, b, c) = a²+ b²+ c²+ ab + bc + ca 。 例: h₃(a, b) = a³+ b³ + a²b+ ab² 。

2. 拉格朗日插值型式 定義: L_k(a1, a₂, . . . , a_n) =

n

P

i=1

a^k_i Q

1≤j≤n j6=i

(ai− a^j), 稱為 「變數 a1, a₂, . . . , a_n 的 k 次拉格朗日 插值型式」。

註: 以分子的次方來定義 L 的下標。

例:

L₂(a1, a₂, a₃) =

3

X

i=1

a²_i Q

1≤j≤3 j6=i

(ai− a^j)

= a²₁

(a1− a²)(a1− a³) + a²₂

(a2− a¹)(a2− a³) + a²₃

(a3− a¹)(a3− a²) 例:

L₂(a, b, c) = a²

(a − b)(a − c)+ b²

(b − a)(b − c)+ c² (c − a)(c − b)

3. h − L 轉換公式: h^k(a1, a₂, . . . , a_n) = Lk+n−1(a1, a₂, . . . , a_n) (其中 n ≥ 2, k ≥ 0) 說明: 此一公式, 可將 「完全齊次對稱多項式」 與 「拉格朗日插值型式」 互相轉換。 以下舉例說 明公式的精神與用法, 在附錄中證明 L3(a, b, c) = h1(a, b, c) 供讀者參考, 而詳細證明請見參 考資料 [1]。

例:

L_k+1(a, b) = a^k+1

a− b + b^k+1

b− a = a^k+1− b^k+1

a− b = a^k+ a^k−1b+ · · · + ab^k−1+ b^k= hk(a, b), 此為 n = 2 的情形。

例: 對於

L₆(a, b, c) = a⁶

(a − b)(a − c) + b⁶

(b − a)(b − c) + c⁶

(c − a)(c − b),

有 3 個變數 a, b, c, 先看出 n = 3。 再由 k + (n − 1) = 6, 得 k = 4。 於是有 L6(a, b, c) = h₄(a, b, c)。 也可以這樣看, a⁶

(a − b)(a − c) 的分母的次方之所以是 2, 是因為變數個數為 3, 用 a 分別去減 b, c 所產生。 而整個分式化簡之後所得齊次式的次數為4, 可看成用分子的 6 次方, 減去分母的 2 次方而得。

再舉一例, 對於

L₉(a, b, c, d) = a⁹

(a−b)(a−c)(a−d)+ b⁹

(b−a)(b−c)(b−d) + c⁹

(c−a)(c−b)(c−d)

+ d⁹

(d−a)(d−b)(d−c),

首先, 有 4 個變數 a, b, c, d, 則 n = 4。 接著, a⁹

(a−b)(a−c)(a−d) 的分母的次方是 3, 分子的 次方是 9, 所以化簡後所得齊次式的次數為 9 − 3 = 6, 於是有 L9(a, b, c, d) = h₆(a, b, c, d)。

也就是說, L 與 h 的下標之差, 恰為變數個數減 1。

一般地, 對於 Lk+n−1(a1, a₂, . . . , a_n) =

n

P

i=1

a^k+n−1_i Q

1≤j≤n j6=i

(ai − a^j), 有 n 個變數 a1, a₂, . . . , a_n。 a^k+n−1_i

Q

1≤j≤n j6=i

(ai− a^j) 的分母的次方是 n − 1, 分子的次方是 k + (n − 1), 相減所得的 k, 即為化簡 後所得的齊次式的次數, 即 Lk+n−1(a1, a₂, . . ., an) = hk(a1, a₂, . . . , a_n)。

由於 L 與 h 的下標之差, 恰為變數個數減 1, 因此 h − L 轉換公式, 也可寫成:

L_k(a1, a₂, . . . , a_n) = hk−(n−1)(a1, a₂, . . . , a_n) 例: L₉(a, b, c, d) = h9−(4−1)(a, b, c, d) = h6(a, b, c, d) 。

在本篇文章的主要工作中, 用到 h − L 轉換公式的情形:

(1) Lk(a, b, c) = hk−2(a, b, c) (於第6 頁) (2) Ln(p1, p₂, . . . , p_m, x) = hn−m(p1, p₂, . . . , p_m, x)

(Ln(p1, p₂, . . . , p_m, x) 有 m + 1 個變數 p1, p₂, . . . , p_m, x, L 的下標為 n, 則 h 的下標為 n − (m + 1 − 1)) = n − m) (於第 7 頁) (3) Ln+4(α, β, γ) = hn+2(α, β, γ) (於第 9 頁)

4. 基本對稱多項式

定義: ek(a₁, a₂, . . . , a_n) = P

λ1+λ2+···+λn=k 0≤λ1,λ2,...,λn≤1

(a^λ₁¹a^λ₂²· · · a^λnⁿ), 稱為 「變數 a₁, a₂, . . . , a_n 的 k 次 基本對稱多項式」。

例: e2(a1, a₂, a₃) = P

λ1+λ2+λ3=2 0≤λ1,λ2,λ3≤1

(a^λ₁¹a^λ₂²a^λ₃³) = a1a₂+ a2a₃+ a3a₁ 。

例: e0(a, b, c) = 1, e1(a, b, c) = a + b + c, e2(a, b, c) = ab + bc + ca, e3(a, b, c) = abc 。 例: (x − a)(x − b)(x − c) = x³ − e¹(a, b, c)x²+ e2(a, b, c)x − e³(a, b, c) 。

二、 探索過程 :

1. 從 xⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹+ axⁿ⁻²+ · · · + aⁿ⁻²x+ aⁿ⁻¹) + aⁿ 出發, 有:

xⁿ= (x − a)(xⁿ⁻¹+ axⁿ⁻²+ · · · + aⁿ⁻²x+ aⁿ⁻¹) + aⁿ (1) xⁿ= (x − b)(xⁿ⁻¹+ bxⁿ⁻²+ · · · + bⁿ⁻²x+ bⁿ⁻¹) + bⁿ (2) 設 a 6= b, 將 (1) × x− b

a− b + (2) × x− a b− a, 可得等號的左邊為 xⁿ·x− b

a− b +x− a b− a

= xⁿ· 1 = xⁿ 而等號的右邊為

(x−a)(x−b) 1

a−bxⁿ⁻¹+ a

a−bxⁿ⁻²+ a²

a−bxⁿ⁻³+ · · ·+aⁿ⁻²

a−bx+aⁿ⁻¹ a−b



+ aⁿ·x− b a−b +(x−b)(x−a) 1

b−axⁿ⁻¹+ b

b−axⁿ⁻²+ b²

b−axⁿ⁻³+ · · ·+bⁿ⁻²

b−ax+bⁿ⁻¹ b−a



+ bⁿ·x−a b−a

= (x−a)(x−b)a−b

a−bxⁿ⁻²+a²−b²

a−b xⁿ⁻³+· · ·+aⁿ⁻²−bⁿ⁻²

a−b x+aⁿ⁻¹− bⁿ⁻¹ a−b

 +

aⁿ· x−b

a−b + bⁿ· x−a b−a



= (x−a)(x−b)h

xⁿ⁻²+ (a+b)xⁿ⁻³+ · · · + (aⁿ⁻²+ aⁿ⁻³b+ · · · + bⁿ⁻²)i +

aⁿ· x−b

a−b + bⁿ· x−a b−a



= (x−a)(x−b)h

h₀(a, b)xⁿ⁻²+ h₁(a, b)xⁿ⁻³+ · · · + hn−3(a, b)x + h_n−2(a, b)i +

aⁿ· x−b

a−b + bⁿ· x−a b−a



至此, 可得

xⁿ= (x − a)(x − b)h

h₀(a, b)xⁿ⁻²+ h1(a, b)xⁿ⁻³+ · · · + hⁿ⁻²(a, b)i +

aⁿ· x− b

a− b + bⁿ·x− a b− a

 .

註: 上式相當於

xⁿ= (x − a)(x − b)a− b

a− bxⁿ⁻²+a²− b²

a− b xⁿ⁻³+ · · · + aⁿ⁻¹ − bⁿ⁻¹ a− b



+aⁿ− bⁿ

a− b x− (ab) ·aⁿ⁻¹− bⁿ⁻¹ a− b



在上式中, 以 a = 1 +√ 5

2 與 b = 1 −√ 5

2 代入, 由費氏數列的 Binet 公式, 可得

xⁿ = (x²− x − 1) · (F¹xⁿ⁻²+ F2xⁿ⁻³+ · · · + Fⁿ⁻²x+ Fn−1) + Fnx+ Fn−1, 此式說明了 xⁿ 除以 x²− x − 1 所得的商式係數, 恰為著名的費氏數列。

2. 從 xⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹+ axⁿ⁻²+ · · · + aⁿ⁻²x+ aⁿ⁻¹) + aⁿ 出發, 有:

xⁿ= (x − a)(xⁿ⁻¹ + axⁿ⁻²+ · · · + aⁿ⁻²x+ aⁿ⁻¹) + aⁿ (1) xⁿ= (x − b)(xⁿ⁻¹+ bxⁿ⁻²+ · · · + bⁿ⁻²x+ bⁿ⁻¹) + bⁿ (2) xⁿ= (x − c)(xⁿ⁻¹+ cxⁿ⁻² + · · · + cⁿ⁻²x+ cⁿ⁻¹) + cⁿ (3) 設 a, b, c 全相異, 將 (1) ×(x − b)(x − c)

(a − b)(a − c)+ (2) ×(x − a)(x − c)

(b − a)(b − c) + (3) ×(x − a)(x − b) (c − a)(c − b), 可得等號的左邊為 xⁿ·h(x−b)(x−c)

(a−b)(a−c)+(x−a)(x−c)

(b−a)(b−c)+(x−a)(x−b) (c−a)(c−b)

i= xⁿ· 1=xⁿ, (註 1) 而等號的右邊為

(x−a)(x−b)(x−c) 1

(a−b)(a−c)xⁿ⁻¹+ a

(a−b)(a−c)xⁿ⁻²+ · · · + aⁿ⁻¹ (a−b)(a−c)



+aⁿ(x−b)(x−c)

(a−b)(a−c) + (x−b)(x−a)(x−c) 1

(b−a)(b−c)xⁿ⁻¹+ b

(b−a)(b−c)xⁿ⁻²+ · · · + bⁿ⁻¹

(b−a)(b−c)

+ bⁿ(x−a)(x−c)

(b−a)(b−c) + (x−c)(x−a)(x−b) 1

(c−a)(c−b)xⁿ⁻¹

+ c

(c−a)(c−b)xⁿ⁻² + · · · + cⁿ⁻¹ (c−a)(c−b)

+ cⁿ(x−a)(x−b) (c−a)(c−b)

= (x−a)(x−b)(x−c)h

L₂(a, b, c)xⁿ⁻³+ L3(a, b, c)xⁿ⁻⁴+ · · · + Lⁿ⁻²(a, b, c)x

+Ln−1(a, b, c)i

+ aⁿ(x−b)(x−c)

(a−b)(a−c) + bⁿ(x−a)(x−c)

(b−a)(b−c) + cⁿ(x−a)(x−b)

(c−a)(c−b) (註2)

= (x−a)(x−b)(x−c)h

h₀(a, b, c)xⁿ⁻³+ h1(a, b, c)xⁿ⁻⁴+ · · · + hⁿ⁻⁴(a, b, c)x +hn−3(a, b, c)i

+ aⁿ(x−b)(x−c)

(a−b)(a−c)+bⁿ(x−a)(x−c)

(b−a)(b−c) +cⁿ(x−a)(x−b) (c−a)(c−b) (∵ Lk(a, b, c) = hk−2(a, b, c)) 至此, 可得

xⁿ= (x−a)(x−b)(x−c)h

h₀(a, b, c)xⁿ⁻³+ h1(a, b, c)xⁿ⁻⁴+ · · · + hⁿ⁻⁴(a, b, c)x +hn−3(a, b, c)i

+ aⁿ(x−b)(x−c)

(a−b)(a−c)+bⁿ(x−a)(x−c)

(b−a)(b−c)+cⁿ(x−a)(x−b) (c−a)(c−b).

意義: 由此式可知, xⁿ 除以 (x−a)(x−b)(x−c) 的商式係數, 正是 a, b, c 三變數構成的 「完 全齊次對稱多項式」 hj(a, b, c), 其中次數 j 由 0 到 n − 3。

註1: 將 (x−b)(x−c)

(a−b)(a−c)+(x−a)(x−c)

(b−a)(b−c)+(x−a)(x−b)

(c−a)(c−b) = 1 之證明置於附錄。

註2: 將 L0(a, b, c) = 1

(a−b)(a−c) + 1

(b−a)(b−c) + 1

(c−a)(c−b) = 0 與 L1(a, b, c) = a

(a−b)(a−c) + b

(b−a)(b−c) + c

(c−a)(c−b) = 0 之證明置於附錄。

三、 主要定理 :

由以上的探索過程, 歸納可得以下的定理:

多項式除法基本定理: 設 p1, p₂, . . . , p_m 全相異, 且 n ≥ m ≥ 2, 則

xⁿ=

"

Y

1≤i≤m

(x − pⁱ)

# "_n−m X

j=0

h_j(p1, p₂, . . . , p_m)x^n−m−j

# +

m

X

j=1

pⁿ_j Q

1≤i≤m i6=j

(x − pⁱ) Q

1≤i≤m i6=j

(pj − pⁱ).

證明:

xⁿ−

m

P

j=1

pⁿ_j Q

1≤i≤m i6=j

(x − pⁱ) Q

1≤i≤m i6=j

(pj − pⁱ) Q

1≤i≤m(x − pⁱ) = xⁿ Q

1≤i≤m(x − pⁱ)−

m

X

j=1

pⁿ_j







 Q

1≤i≤m i6=j

(x − pⁱ) Q

1≤i≤m(x − pⁱ)







 Q

1≤i≤m i6=j

(pj− pⁱ)

= xⁿ

Q

1≤i≤m(x − pⁱ) +

m

X

j=1

pⁿ_j Q

1≤i≤m i6=j

(pj− pⁱ)(pj− x) = Ln(p1, p₂, . . . , p_m, x)

= hn−(m+1−1)(p1, p₂, . . . , p_m, x) (由 h − L 轉換公式)

=

n−m

X

j=0

h_j(p1, p₂, . . . , p_m)x^n−m−j (將齊次式按照 x 的次方降冪展開)

⇒ xⁿ=

"

Y

1≤i≤m

(x−pⁱ)

# "_n−m X

j=0

h_j(p1, p₂, . . . , p_m)x^n−m−j

# +

m

X

j=1

pⁿ_j Q

1≤i≤m i6=j

(x−pⁱ) Q

1≤i≤m i6=j

(pj−pⁱ), 得證。

意義: xⁿ 除以 Q

1≤i≤m(x−pⁱ) 的商式為^n−mP

j=0

h_j(p₁, p₂, . . . , p_m)x^n−m−j, 餘式為

m

P

j=1

pⁿ_j Q

1≤i≤m i6=j

(x−pⁱ) Q

1≤i≤m i6=j

(pj−pⁱ), 此式將 xⁿ除以 Q

1≤i≤m(x−pⁱ) 所得商式與餘式的係數, 完全用 p₁, p₂, . . ., p_m 來表達, 刻劃了多項式除法的內在架構, 故稱之為 「多項式除法基本定理」。

特別地, 只著眼於商式的係數時, 可得所謂的 「商式定理」 :

商式定理: 設 p₁, p₂, . . . , p_m 全相異, 且 n ≥ m ≥ 2, 則 xⁿ 除以 Q

1≤i≤m(x − pⁱ) 所得的商 式的係數, 恰為 p1, p₂, . . . , p_m 構成的 「完全齊次對稱多項式」 hj(p₁, p₂, . . . , p_m), 次數 j 由 0 到 n − m。

四、 應用 :

(一) 對稱多項式的 e − h 恆等式

將

xⁿ=

"

Y

1≤i≤m

(x−pⁱ)

# "_n−m X

j=0

h_j(p₁, p₂, . . . , p_m)x^n−m−j

# +

m

X

j=1

pⁿ_j Q

1≤i≤m i6=j

(x−pⁱ) Q

1≤i≤m i6=j

(pj−pⁱ)

一式改寫成等價的 xⁿ = (x^m− e1x^m−1+ · · · + (−1)^ke_kx^m−k+ · · · + (−1)^me_m)(h₀x^n−m+ h₁x^n−m−1+ · · · + h^kx^n−m−k + · · · + h^n−m−1x+ hn−m) + R(x), 其中

R(x) =

m

X

j=1

pⁿ_j Q

1≤i≤m i6=j

(x−pⁱ) Q

1≤i≤m i6=j

(pj−pⁱ)

⇒ deg R(x) ≤ m − 1 。 (註 1)

設 m 為定數, 取 n ≥ 2m, 比較式子等號兩邊 x^m 的係數, 則等號左邊是 0 (∵ n ≥ 2m > m), 右邊是 hn−m− e¹h_n−m−1+ · · · + (−1)^ke_kh_n−m−k + · · · + (−1)^me_mh_n−2m, 即得對所有固定的 m, 當 n ≥ 2m 時,

h_n−m− e¹h_n−m−1+ · · · + (−1)^ke_kh_n−m−k+ · · · + (−1)^me_mh_n−2m= 0 恆成立。 令 N = n − m, 則 n ≥ 2m ⇔ N ≥ m, 依此可將上述事實寫成:

對所有固定的 m, 當 N ≥ m 時,

h_N − e¹h_{N −1}+ · · · + (−1)^ke_kh_{N −k}+ · · · + (−1)^me_mh_{N −m} = 0 恆成立。 亦即對所有固定的 m, 當 N ≥ m 時, P^m

k=0(−1)^ke_kh_{N −k} = 0 恆成立。

此恆等式刻畫了基本對稱多項式 ek 與完全齊次對稱多項式 h_k 的關聯性。 另外,

m

P

k=0(−1)^ke_kh_{N −k}= 0 也說明了 hhⁿi 構成一個 m 階遞迴數列。

例: 當 m = 3 時, 有 hN − e¹h_{N −1}+ e2h_{N −2}− e³h_{N −3} = 0, 對 N ≥ 3 皆成立。 (註 2) 註1: 此處用 ek 表示 ek(p1, p₂, . . . , p_m), 用 hk 表示 hk(p1, p₂, . . . , p_m)。

註2: 此處用 hk 表示 h_k(p1, p₂, p₃)。

(二) Padovan 數列 (巴都萬數列) 定義 Padovan 數列 hPni :







P₀ = P1 = P2 = 1 P_n= Pn−2+ Pn−3

。 (參考資料 [2]) 數列的前幾項為 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, · · · 。

設其特徵方程式 x³− x − 1 = 0 的三根為 α, β, γ, 由參考資料 [3], 知數列的一般項為 P_n = (1 − β)(1 − γ)

(α − β)(α − γ)αⁿ+ (1 − α)(1 − γ)

(β − α)(β − γ)βⁿ+ (1 − α)(1 − β) (γ − β)(γ − α)γⁿ. 本文在此給出 P_n 一般項的另一個表達式:

P_n= 1

(α − β)(α − γ)αⁿ⁺⁴+ 1

(β − α)(β − γ)βⁿ⁺⁴+ 1

(γ − α)(γ − β)γⁿ⁺⁴. (證明見附錄) 意義: 此一表達式將 Pn 改寫成拉格朗日型式 L_n+4(α, β, γ), 由 h − L 轉換公式, 可再變成 h_n+2(α, β, γ), 即

P_n= 1

(α − β)(α − γ)αⁿ⁺⁴+ 1

(β − α)(β − γ)βⁿ⁺⁴+ 1

(γ − α)(γ − β)γⁿ⁺⁴

= Ln+4(α, β, γ) = hn+2(α, β, γ)

得到關係式: Pn = hn+2(α, β, γ), 其中 n ≥ 0, 即Padovan 數列可用 「完全齊次對稱多項式」

表示。 此式也可寫成 h_n(α, β, γ) = Pn−2, 其中 n ≥ 2 。

應用: 由商式定理, 取 m = 3, 且 p1, p₂, p₃ 分別為 α, β, γ (即 x³− x − 1 = 0 的三根), 可得 xⁿ= (x−α)(x−β)(x−γ)[h⁰(α, β, γ)xⁿ⁻³+ h1(α, β, γ)xⁿ⁻⁴+ · · · + hⁿ⁻⁴(α, β, γ)x

+hn−3(α, β, γ)] + R(x),

其中 R(x) 為 xⁿ 除以 (x − α)(x − β)(x − γ) 所得的餘式。 於是有

xⁿ = (x³− x − 1)[P−2xⁿ⁻³+ P₋₁xⁿ⁻⁴+ P₀xⁿ⁻⁴+ · · · + Pn−6x+ P_n−5] + R(x). (註) 此式說明了當我們用 xⁿ 除以 x³− x − 1 時, 所得的商式係數, 恰好為 Padovan 數列。

例: 由長除法可得

x¹⁰ = (x³− x − 1)(1x⁷ + 0x⁶+ 1x⁵+ 1x⁴+ 1x³+ 2x²+ 2x + 3) + 4x²+ 5x + 3.

註: P₋₁ 與 P₋₂ 的值可由遞迴關係 Pn = P_n−2+ P_n−3 來決定。

例: 由 P2 = P0+ P−1, 得 P−1 = 0。 由 P1 = P−1+ P−2, 得 P−2 = 1 。

參、 結語

有 「餘式定理」, 為何沒有 「商式定理」? 相信部份讀者腦海也曾經閃過此一念頭。

本篇文章的出發點並非是要標新立異, 而是在探索之後, 發覺多項式除法實有其更深入的 內在結構: 除法原理 f (x) = g(x) · Q(x) + R(x) 之中, 抽象而需用演算法一步步求出的商式 Q(x), 在最根本的情形, 即 xⁿ 除以 Q

1≤i≤m(x − pⁱ), 其中 p1, p₂, . . . , p_m 全相異, 此時 Q(x) 可以用具體的公式 h_j(p1, p₂, . . . , p_m) 加以表達, 特將此一事實, 命名為 「商式定理」。 當然, 此 一命名是否恰當, 就有賴各位讀者作出判斷與指教了。

在多項式除法的過程中, 出現了人們熟知的費氏數列 (參考資料 [4]), 此一奇特現象, 背後 有其必然性: 一方面, xⁿ 除以 Q

1≤i≤m(x − pⁱ) 的商式的係數, 構成數列 hhⁿi, 另一方面, 本文 也證明了 hhⁿi 是遞迴數列。 也就是說, 透過 「商式定理」, 本文說明了為何在多項式除法的過程 中, 會出現遞迴數列。 相信除此之外, 「商式定理」 應該可以有其他更有趣更有意義的應用, 筆者 相當期待。

附錄

1. L3(a, b, c) = h1(a, b, c) 證明:

L₃(a, b, c)= a³

(a−b)(a−c)+ b³

(b−a)(b−c)+ c³

(c−a)(c−b)=a³(c−b)+b³(a−c)+c³(b−a) (c−b)(c−a)(b−a)

=       

1 a a³ 1 b b³ 1 c c³

       (c−b)(c−a)(b−a) =

1 a a³ 0 b−a b³−a³ 0 c−a c³−a³        (c−b)(c−a)(b−a) =

(b−a)(c−a)     

1 b²+ ba + a² 1 c²+ ca + a²      (c−b)(c−a)(b−a)

=(b−a)(c−a)[(c²−b²) + (c−b)a]

(c−b)(c−a)(b−a) = (b−a)(c−a)(c−b)(a + b + c) (c−b)(c−a)(b−a)

=a + b + c = h1(a, b, c) 2. (x − b)(x − c)

(a − b)(a − c) + (x − a)(x − c)

(b − a)(b − c) + (x − a)(x − b) (c − a)(c − b) = 1 證明: 令

f(x) = (x − b)(x − c)

(a − b)(a − c) +(x − a)(x − c)

(b − a)(b − c) +(x − a)(x − b)

(c − a)(c − b) ⇒ f(a) = f(b) = f(c) = 1

∵ deg f (x) ≤ 2 ⇒ f(x) = 1

3. (1) 1

(a − b)(a − c)+ 1

(b − a)(b − c)+ 1

(c − a)(c − b) = 0

(2) a

(a − b)(a − c)+ b

(b − a)(b − c)+ c

(c − a)(c − b) = 0 證明:

(1) 1

(a − b)(a − c) + 1

(b − a)(b − c) + 1

(c − a)(c − b) = (c−b)+(a−c)+(b−a) (c − a)(c − b)(b − a) = 0

(2) a

(a − b)(a − c) + b

(b − a)(b − c) + c

(c − a)(c − b) = a(c−b)+b(a−c)+c(b−a) (c − a)(c − b)(b − a) = 0 4. Pn= 1

(α − β)(α − γ)αⁿ⁺⁴+ 1

(β − α)(β − γ)βⁿ⁺⁴+ 1

(γ − α)(γ − β)γⁿ⁺⁴.

證明: 一方面, x³ − x − 1 的三根為 α, β, γ ⇒ x³− x − 1 = (x − α)(x − β)(x − γ) ⇒ (1 − α)(1 − β)(1 − γ) = 1 − 1 − 1 = −1 ⇒ (1 − β)(1 − γ) = 1

α− 1 另一方面, 注意到 x⁵− x⁴− 1 = (x³ − x − 1)(x²− x + 1) (參考資料 [5])

⇒ α⁵− α⁴− 1 = (α³− α − 1)(α²− α + 1) = 0

⇒ α⁴(α − 1) = 1

⇒ 1

α− 1 = α⁴

綜合以上討論, 可得 (1 − β)(1 − γ) = α⁴, 同理可證(1 − α)(1 − γ) = β⁴ 與 (1 − α)(1 − β)

= γ⁴, 可得

P_n= (1 − β)(1 − γ)

(α − β)(α − γ)αⁿ+ (1 − α)(1 − γ)

(β − α)(β − γ)βⁿ+ (1 − α)(1 − β) (γ − α)(γ − β)γⁿ

= 1

(α − β)(α − γ)αⁿ⁺⁴+ 1

(β − α)(β − γ)βⁿ⁺⁴+ 1

(γ − α)(γ − β)γⁿ⁺⁴, 得證。

參考資料

1. 陳建燁。 推廣的 Vandermonde 行列式(最右行升次型)。 高中數學學科中心電子報第 114 期。

2. 廖信傑。 用矩陣方法探討三階遞迴數列。 數學傳播季刊, 38(1), 36-55, 2014。

3. mathworld.wolfram.com/PadovanSequence.html。

4. 陳建燁。 多項式除法與遞迴數列。 高中數學學科中心電子報第108 期。

5. 陳建燁。 遞迴數列的 「特徵多項式」 與 「線性衍生遞迴式」。 數學傳播季刊, 40(4), 57-62, 2016。

—本文作者任教台北市立第一女子高級中學_—