高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：108.02.25

高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：108.02.25

範 圍

數列(B)

班級 一年____班 姓

座號 名

24. 已知數列 a_n 中的a₁與a₁₀是方程式x²3x 5 0之兩根，若 a_n 為等差數列，則

4 7

a a __________；又若 a_n 為等比數列，則a a₃ ₈__________.

答案： 3，5

解析： a₁與a₁₀為x²3x 5 0之兩根

由根與係數知a₁a₁₀ 3,a a₁ ₁₀  5

4 7 ( 1 3 ) ( 10 3 )

a a  a  d  a  d a₁a₁₀ 3

2 10

3 8 ( 1 )(a2 ) a a a r

  r  a a_{1 10} 5 25. 試求下列各數列的一般項：

(1)   a_n 2, 3, 4, 5,… ,a _k __________.

(2) ^{1 1 1}, , , ¹ , 2 6 12 20 … bn

    ,b _k __________.

(3)   c_n 1,1, 1,1, 1,1,…  ,c _k __________.

答案： (1)( 1) ^k (k 1) (2) ¹ ( 1)

k k  (3)( 1) ^k 解析： (1)a_k  ( 1)^k(k1)

(2) ¹ , ¹ , ¹ , ¹ , 1 2 2 3 3 4 4 5 bn

    

    … ¹

( 1 ) bk

 k k

 (3)c  _k ( 1)^k

26. 已知 ¹ an

 為等差數列，且

a

a

答案： ^{5 2} 23



解析：

4 2

1 1

a a 2d 1 1

2

2 1 2 1 d

  

   2 1  2 1 2d  2d2 d 1

1 2

1 1

( 2 1) 1 2 2 a a d

        則

8 1

1 1

a a 7d  2 2 7 25 故 ₈ ^{1 5 2 5 2}

25 2 23 5 2

a     

 

27. (1)有一個等差數列，其第 15 項是 50，第 30 項是 140，則第 40 項 . (2)若一等差數列的首項a₁ 12,d 7，末項a _n 124，則項數 n  . 答案： (1)200(2)17

解析： (1)a₁₅    a₁ 14 d 50

30 1 29 140

a a   d

由解得a₁ 34,d 6a₄₀ a₁39d   34 39 6 200 (2)a_n a₁(n 1) d 12 (   n 1) 7 124 ∴n 1 16 n 17

28. 已知數列log 2, log(2^x1), log(2^x3)成等差數列，則 x  __________.

答案： log 5₂

解析： log(2^x 1) log 2log(2^x 3) log(2^x1)

2 1 2 3

log log

2 2 1

x x

x

 

 



2 1 2 3

2 2 1

x x

x

 

 

 (2^x 1)2 2(2^x 3)

   

(2 )^x 2 2 2^x 1 2 2^x 6

      

(2 )^x 2 4 2^x 5 0

    

(2^x 5)(2^x 1) 0

    2^x  5, 1（1不合） x log 5₂

29. 數列〈a_n〉滿足a₁ 4,a₄ 11，且a_n2 2a_n1a n_n, 為正整數，則a₂₀₁₁a₁₉₁₁  . 答案： ⁷⁰⁰

3

解析： ∵

1 4

3 2 1

4 3 2

4, 11 2

2

a a

a a a

a a a

 

   

  



解得

2

3

19 3 26

3 a

a

 

 



∴ 由 ₁ 4, ₂ ¹⁹, ₃ ²⁶, ₄ 11

3 3

a  a  a  a  可知 a_n 為首項 4，公差 ⁷

d  3的等差數列

故a₂₀₁₁a₁₉₁₁(a₁2010 ) (d  a₁1910 )d 700 100d 3

 

30. 數列1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 , , , , , , , , , ,

1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 依此規則排序，則 ⁷

13是第 項.

答案： 178

解析： ¹ 1 2 1 2 3 1 2 3 4 , , , , , , , , , , 1 2 1 3 2 1 4 3 2 1

第二群

第一群 第三群 第四群

7

13為第 19 群的第 7 項，1 2 3   18 7 178項 31. 有一等差數列 a_n ，若a₁₈₅ 3,a₁₁₀₀ 15，則a₂₀₁₅ .

答案： 27

解析： ∵a₁₁₀₀為a₁₈₅和a₂₀₁₅的等差中項 a₁₈₅a₂₀₁₅2a₁₁₀₀  3 a₂₀₁₅30a₂₀₁₅ 27 32. 有一等差數列 a_n ，已知a ₁₀ 23，a₂₅  22，則其前 項和最大.

答案： 17

解析： 設 a_n 的公差為d

則a₂₅ a₁₀15d 2223 15 d   d 3

若前 n 項之和Sn為最大，則a _n 0a₁₀ (n10)d 0 23 (n 10)( 3) 0

      n 17前 17 項之和有最大值

33. 將大小相同的銅板排列如右圖所示，從第 2 層起，每一層皆為正三角形，第一

層有 1 個；第二層有 3 個；第三層有 6 個，依此類推，則第 30 層有 個銅板.

答案： 87

解析： 設第 n 層有a_n個，則a₁1,a₂ 3,a₃ 6,a₄ 9,

觀察其規律，當n 2時，a_n 3(n1) ∴a₃₀  3 2987 34. 如圖(左至右)，圖(1)、(2)、(3)、(4)分別包含了1, 5,13, 25個小正

方形，若依此規則排列下去，且a₁1,a₂ 5,a₃ 13,a₄ 25, ， 則a ₆ .

答案： 61

解析： a₁1,a₂ 5,a₃ 13,a₄ 25

2 1 4

a a 

3 2 8

a a 

4 3 12

a a  依此類推

5 4 16

a a 

6 5 20

a a 

6 4 36 25 36 61 a a

     

35. 已知數列 a_n 中，a ₁ 1，且對n 2，a a₁   ₂ a₃ … a_n n²，則a₄a₆ __________.

答案： ⁶⁴ 25

解析：

2

1 2 1

2

1 2 1 ( 1)

…

…

n n

n

a a a a n

a a a n





   



  



由 得

2

2 , 2

( 1)

n

a n n

 n 

 故

2 2

4 6 2 2

4 6 3 5

a a   16 36 9 25

  64

25

36. 有相異三數成等比數列，第一項為 6﹒若將第一項加 5、第二項加 1、第三項除以 2，則所得 的三個新數成等差數列，試問原等比數列的公比為 .

答案： 3

解析： 令公比r，等比數列三數6, 6 , 6r r² 11, 6r1, 3r²成等差 3 2 11

6 1 2

r r 

   r²4r 3 0 ∴r 1（不合）或 3 37. 數列 a_n 中，若 ₁ ¹

a  2且 ₁ ¹

n 2

n

a ^  a

 ， n 為正整數，由此可推得a₁₀₂  . 答案： ¹⁰²

103

解析： ∵ ₁ ¹

n 2

n

a ^  a



∴ ₂

1

1 1 2

2 1 3

2 2

a  a  

 

； ₃

2

1 1 3

2 2 4

2 3

a  a  

 

由此可推得 ₁₀₂ ¹⁰²

1 103

n

a n a

 n  



38. 已知等差數列 a_n 的首項為100，公差為 3，則從第 項開始會出現正數.

答案： 35

解析： 若a_n  100 3( n 1) 3n103 0 3n103 則 n 的最小值為 35，即從第 35 項開始為正數

39. 設有一數列規則如下：1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 , , , , , , , , , ,

1 2 2 3 3 3 4 4 4 4 ，則此數列的第 100 項為 ，而¹⁷ 20 為此數列的第 項.

答案： ⁹

14；207

解析： 將數列重新分堆如右所示：( ), ( , ), ( ,^{1 1 2 1 2 3}, ), ( ,^{1 2 3 4}, , ), 1 2 2 3 3 3 4 4 4 4

由此觀察第一堆有 1 個數，第二堆有 2 個數，第三堆有 3 個數，依此類推

∵1 2 3    k 100取k 13得1 2 3   1391

∴k的最大正整數為 13，即第 100 項在第13 1 14  堆 又100 91 9，∴第 100 項在第 14 堆的第 9 個數字為 ⁹

14

由上述可知¹⁷

20為第 20 堆的第 17 個數字

故第 20 堆為第(1 2 3 19) 17 ^{19 20} 17 207 2

         項

40. 如圖，取一個邊長為 2 的正三角形，將其等分成 4 個相同的 小正三角形，然後挖去中間一塊，第二次再將剩餘各塊平分 成 4 塊，然後去掉中間一塊，如此繼續下去，求第 5 個圖挖 去正三角形後所剩下面積為 .

答案： ^{243 3} 1024

解析： 圖 1 剩下的面積為³ ( ³ 2 )² 4 4  圖 2 剩下的面積為( )^{3 2} ( ³ 2 )²

4  4  圖 3 剩下的面積為( )^{3 3} ( ³ 2 )²

4  4 

為公比³

4 的等比數列所求 ( ) (^{3 5 3} 2 )²

4 4

   243 3

 1024 41. 若 _{2 3} ⁷

log 9, log 28, log 8^{k } 三數成等比數列，則k __________.

答案： 13 解析：

7

2 3

2 2

log 8 lo 8 9

g

og g 8

l lo

 k 

2 7

2 3

(log 28) (log 9)(log 8^{k } )

 

2 3

2 2(log 3)( 7) l g

6 k  o 8

 

2 3

36 2(k 7)(log 3)(log 8)

  

18 (k 7)(log 8)2

  

18 3(k 7)

     k 7 6  k 13

42. 若log₂ x, log 10, log 20_{2 2} 三數成等差，則 x  __________.

答案： 5

解析： log 10 log₂  ₂ xlog 20 log 10₂  _{2 2}10 ₂ 20 log log

10

 x  10

x 2

   x 5

43. 若等比數列 a_n 中，a₃₂a₆₉ 1000，則loga₁loga₂loga₃ loga₁₀₀之值為 . 答案： 150

解析： 答案：  a_n 為等比數列

1 100 2 99

a a a a

   

3 98

a a

32 69

a a

 

50 51

a a

 

1000

所求log(a a₁ ₂ a₃ a₁₀₀) log[(a a_{1 100})(a a_{2 99}) (a a_{32 69}) (a a_{50 51})]log1000⁵⁰ 150 44. 在 3 與 9 之間插入 102 個相異正數a a a₁, ₂, ₃, ,a₁₀₂，使這 104 個數成等比數列，則

3 1 2 3 102

log (a a a a ) . 答案： 153

解析： a₁a₁₀₂ a₂a₁₀₁a₃a₁₀₀  ... a₅₁a₅₂  3 9log_{3 1}a a a_{2 3}...a₁₀₂ log (3 )₃ ^{3 51}153

45. 一個邊長為

n 的大正方形中，共有

答案： 44

解析： n 1: a₁4

2 :

n  a₂  a₁ 2(2 2)

3 :

n  a₃ a₂2(3 2)

a_n a_n12(n 2) a_na_n14n

∴a₁₁ a₁₀2(11 2) a₁₁a₁₀ 44

46. 數列 a_n 是等比數列，若a₁a₂a₃ 26，a₁a₃a₅ 182，則a ₁ . 答案： 2 或²⁶

3

解析： a₁a₂a₃ a₁a r₁ a r₁ ² a₁(1 r r²)26

2 4 2 4

1 3 5 1 1 1 1(1 ) 182

a a a a a r a r a r r  得

2 4

2 2

(1 ) 182

1 7

1 26

r r

r r r r

      

 

即r²    r 6 0 r 3或2，故a ₁ 2或²⁶ 3

47. 一等差數列 a_n 的第 n 項a_n k，第2n項a_{2 n} k²，則第3n項a_3n  . 答案： 2k²k

解析：  a_n 為等差數列，a_3na_2n a_2n a_n 因此a_3n 2a_2na_n 2k²k

48. 用黑白兩種顏色的正六邊形地磚依照如右的規律，

由左至右黑色地磚每次增加一塊，拼成若干圖形：

設a_n為第 n 圖中白色地磚的總數（如圖可知：a₁ 6,a₂ 10,a₃ 14）.

(1)寫出數列 a_n 的遞迴關係式： (2)試求a₂₅  . 答案： (1) ¹

1

6

4, ( 2)

n n

a

a a _ n

 

   

 (2)102

解析： 觀察第 1 個、第 2 個與第 3 個圖形，發現圖形每次均增加 ，也就是 1 個黑色地磚與 4 個白色地磚，所以可以將這些圖形的白磚看成一個首項為 6，公差為 4 的等差數列，則 (1)數列 a_n 的遞迴關係式為 ¹

1

6

4, ( 2)

n n

a

a a_ n

 

   

 (2)a₂₅  6 (25 1) 4  102