圍 2-2(1)排列 班級 一年____班 姓 座號 名

高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：100.04.13 範

圍 2-2(1)排列 班級 一年____班 姓 座號 名

一、單選題 (每題 5 分 )

（ ）1.從 7 個相同的球取出 5 個﹐將 5 個相同的球全部分給 3 人﹐每人所分到的個數不受限 制﹐共有幾種分法？ (1)

P (2)

₃⁵

C (3)

₃⁵ 3 (4)⁵

C

₅⁷⋅ (5)3⁵

C ﹒

₅⁷

解答 5

解析 將 7 個相同球取出 5 個方法 1，再分給 3 人﹐

所得不限的分法有1×

H

₅³= ×1

C

₅^{3 5 1+ −} =

C

₅⁷﹐故選(5)﹒

（ ）2.某拳擊比賽﹐規定每位選手必須和其他選手各比賽一場﹐若賽程總計為 78 場﹐試問選 手人數為多少人？ (1) 7 (2) 12 (3) 13 (4) 18﹒

解答 3

解析 設選手人數共 n 人﹐ ₂ ( 1) 2 78

n

n n

C

−

= = ﹐知 (

n n

− =1) 156 13 12= × ﹐得

n

=13﹐故選(3)﹒

（ ）3.自忠﹑孝﹑仁﹑愛﹑信共 5 班的 10 位正﹑副班長中﹐任選 3 人成立委員會﹐但規定每 班中最多一位的選法有多少種？ (1) 10 (2) 80 (3) 120 (4) 720﹒

解答 2

解析 先任取 3 個班

C

₃⁵=10種﹐再由該班任取一位有2³= 種﹐得10 8 808 × = 種﹐故選(2)﹒

（ ）4.將 4 本相異的筆記本放入編號為 1 號和 2 號的抽屜裡﹐使得放入每個抽屜的筆記本之 數量不小於該抽屜的編號﹐試問共有幾種放法？ (1) 5 (2) 6 (3) 10 (4) 16﹒

解答 3

解析 1 號 2 本﹐2 號 2 本的情形有

C C

₂⁴ ₂² = 種﹐ 6

1 號 1 本﹐2 號 3 本的情形有

C C

₁⁴ ₃³= 種﹐共有 6 4 104 + = （種）﹐故選(3)﹒

（ ）5.某地區的車牌號碼共六碼﹐其中前兩碼為 O 以外的英文大寫字母﹐後四碼為 0 到 9 的 阿拉伯數字﹐但規定不能連續出現三個 4﹒例如：

AA 1234, AB 4434

為可出現的車牌 號碼；而

AO 1234, AB 3444

為不可出現的車牌號碼﹒則所有第一碼為 A 且最後一碼為 4 的車牌號碼個數為 (1)

25 9 ×

³ (2)

25 9 × ×

²

10

(3)

25 900 ×

(4)

25 990 ×

﹒ 解答 4

解析 前兩碼有1 25 25× = 種﹐

後四碼中：（全部）−（連續出現三個 4） 10 10 10 10 1 1 990= × × − × × = ﹐□−□□□4 知車牌號碼個數為 25 990× ﹐故選(4)﹒

二、多選題 (每題 10 分 )

（ ）1.從有 7 個不同色球的箱子中取球﹐下列取法數或分法數哪些是正確的？

(1)取出 5 球的方法有

C 種

₅⁷ (2)取出 5 球並分給 5 人﹐有

P 種

₅⁷

(3)取出 5 球並全部分給 3 人﹐每人可兼得或沒分到球之分法有

C

₅⁷⋅ 種 5³

(4)取出 5 球全部分給甲﹑乙﹑丙 3 人﹐甲至少分到 1 個的分法有

C

₅⁷(3⁵−2 )⁵ =4431種 (5)取出 5 球並全部分給 3 人﹐每人至少 1 球的分法有

C

₅⁷(3⁵− ⋅3 2⁵+3) =3150種﹒

解答 1245

解析 (1)由 7 個不同色球取出 5 個方法數為

C ﹒

₅⁷

(2)取出 5 球分給 5 人﹐每人一球方法數為

C

₅⁷⋅ =5!

P

₅⁷﹒ (3)取出 5 球並任分給 3 人方法數為

C

₅⁷⋅ =3⁵ 5103﹒ (4)所求方法數為

C

₅⁷(3⁵−2 )⁵ =4431﹒

(5)取出 5 球分給 3 人﹐每人至少 1 球的分法數有

7 5 3 5 3 5 3 5 7 5 5

5[3 ( 1 2 21 30 )] 5(3 3 2 3) 3150

C

−

C

⋅ −

C

+

C

=

C

− ⋅ + = ﹒故選(1)(2)(4)(5)﹒

（ ）2.6 種不同飲料﹐4 個杯子﹐每個杯子倒一種飲料﹐依下列情形﹐其方法數有哪些是正確 的？

(1)杯子相異﹐杯中飲料相異的方法有

P 種

₄⁶ (2)杯子相異﹐杯中飲料可相同之方法有4 種 ⁶ (3)杯子相同﹐杯中飲料相異之方法有

C 種

₄⁶ (4)杯子相同﹐杯中飲料可相同之方法有 6 種﹒

解答 13

解析 (1)6 中取 4 的排列﹐

P

₄⁶=360種﹒

(2)6 中取 4 的重複排列﹐6⁴=1296種﹒

(3)6 中取 4 的組合﹐

C

₄⁶=15種﹒

(4)6 種飲料共 4 杯的重複組合﹐

H

₄⁶=

C

₄^{6 4 1+ −} =

C

₄⁹ =126種﹒故選(1)(3)﹒

（ ）3.有 5 種不同的果汁﹐想倒入 3 個杯子﹐每杯限倒一種果汁﹐試問哪些選項正確？

(1)杯子相同﹐每種果汁限倒一杯﹐共有 10 種方法 (2)杯子相異﹐每種果汁限倒一杯﹐共有 60 種方法 (3)杯子相同﹐每種果汁無限供應﹐共有 35 種方法 (4)杯子相異﹐每種果汁無限供應﹐共有 125 種方法﹒

解答 1234

解析 (1) 5 種果汁任取 3 種﹐由組合

C

₃⁵=10﹒ (2) 5 種果汁倒 3 相異杯子﹐由排列

P

₃⁵=60﹒ (3) 5 種果汁分別倒

x

₁,

x

₂,

x

₃,

x

₄,

x 杯﹐

₅

由重複組合

x

₁+

x

₂+ +

x

₃

x

₄+

x

₅= ﹐得3

H

₃⁵=

C

₃⁷=35﹒ (4)每個杯子有 5 種選擇﹐由重複排列5³=125﹒故選(1)(2)(3)(4)﹒

三、填充題 (每題 10 分 )

1. 某地共有 9 個電視頻道﹐將其分配給 3 個新聞臺﹐4 個綜藝臺及 2 個體育臺共三種類型﹐若同類 型電視臺的頻道要相鄰﹐而且前兩個頻道保留給體育臺﹐則頻道的分配方式共有___________種﹒

解答 576

解析 同類頻道各自排列各有 3!, 4!, 2!種方法﹐新聞臺、綜藝臺的頻道先後有 2 種排法﹐共 2 (3! 4! 2!)× × × =576分配法﹒

2. 啦啦隊競賽規定每隊 8 人﹐且每隊男﹑女生均至少要有 2 人﹒某班共有 4 名男生及 7 名女生想參 加啦啦隊競賽﹐若由此 11 人中依規定選出 8 人組隊﹐則共有____________種不同的組隊方法﹒

解答 161

解析 男生﹑女生人數的組合如下：

男生 2 3 4 女生 6 5 4

其組隊方法共有

C

₂⁴×

C

₆⁷+

C

₃⁴×

C

₅⁷+

C

₄⁴×

C

₄⁷ =42 84 35 161+ + = 種﹒

反面解法﹐全部方法 −（1 男 7 女）=

C

₈¹¹−

C C

₁⁴ ₇⁷ =165 4 161− = 種﹒

3. 將 6 本不同的書﹐分成 3 堆﹐求下列各種分法數﹒

(1)各堆分別有 1﹐2﹐3 本﹐有____________種﹒

(2)各堆分別有 1﹐1﹐4 本﹐有____________種﹒

(3)每堆各 2 本﹐有____________種﹒

(4)各堆分別有 1﹐2﹐3 本﹐再分給甲﹑乙﹑丙 3 人﹐每人一堆﹐有____________種﹒

(5)各堆分別有 1﹐1﹐4 本﹐再分給甲﹑乙﹑丙 3 人﹐每人一堆﹐有____________種﹒

(6)每堆各 2 本﹐再分給甲﹑乙﹑丙 3 人﹐每人一堆﹐有____________種﹒

(7)各堆分別有 1﹐1﹐4 本﹐再分給甲﹑乙各一本﹑丙 4 本﹐有____________種﹒

解答 (1)60; (2)15; (3)15; (4)360; (5)90; (6)90; (7)30 解析 (1)

C C C

₁⁶ ₂⁵ ₃³=60﹒ (2)

6 5 4

1 1 4 15

C C C = ﹒

2! (3)

6 4 2

2 2 2 15

C C C = ﹒

3!

(4)

C

₁⁶⋅

C

₂⁵⋅

C

₃³× =3! 360﹒ (5)

6 5 4

1 1 4 3! 90

C C C × = ﹒ (6)

2! ^{26 24 22} 3! 90

C C C × = ﹒

3!

(7)

6 5 4

1 1 4 2! 1 30

C C C × × =

2!

4. 將 20 個梨分給甲﹑乙﹑丙三個人﹐求下列各情況的分法數：

(1)每個人至少一個﹐有____________種分法﹒

(2)甲至少 1 個﹐乙至少 2 個﹐丙至少 3 個﹐有____________種分法﹒

解答 (1)171;(2)120

解析 (1)先給三人每人 1 個﹐剩下 17 個梨任意分給三人﹐分法有

H

₁₇³ =

C

₁₇^{3 17 1+ −} =

C

₁₇¹⁹=

C

¹⁹₂ =171﹒ (2)先給甲﹑乙﹑丙各 1, 2, 3 個後剩下 14 個梨任意分給三人﹐ 分法有

3 3 14 1 16 16

14 14 14 2 120

H

=

C

^{+ −} =

C

=

C

= ﹒

5. 某動物園的遊園列車共有 7 節車廂﹐依序編號 1 到 7﹐今想將每節車廂畫上一種動物﹒如果其中 的兩節車廂畫企鵝﹐另兩節車廂畫無尾熊﹐剩下的三節車廂畫上貓熊﹐並且要求最中間的三節車 廂必須有企鵝﹑無尾熊及貓熊﹐則 7 節車廂一共有____________種畫法﹒

解答 72

解析 中間三節車廂的畫法有 3! 6= （種）﹐

左右共四節車廂﹐要畫一節企鵝﹑一節無尾熊﹑二節貓熊﹐畫法有4!

2!=12（種）﹐

得共有 6 12 72× = （種）﹒

6. 小熹在超商買了三類關東煮﹐魚丸串有 4 串﹐貢丸串有 3 串﹐魚板串有 2 串﹐小熹隨興的一次一 串﹐吃完這 9 串的方式有____________種﹒

解答 1260

解析 4 串, 3 串, 2 串相同物的排法有 9!

4!3!2!=1260種﹒

7. 在數線上有一個運動物體從原點出發；在此數線上跳動﹐每次向正方向或負方向跳 1 個單位﹐跳 動過程可重複經過任何一點﹐若經過 6 次跳動後運動物體落在點+4 處﹐則此運動物體共有_______

種不同的跳動方法﹒

解答 6

解析 由題意知有 5 次正方向 1 次負方向﹐即+, +, +, +, +, −的直線排列6!

5!= 種﹒ 6

四、計算題 (每題 10 分 )

1. 設班聯會中有 7 個班代表﹐有 3 個人競選班聯會主席﹐每個班代表各投一票﹐試問下列情形各有 多少種可能的投票結果？

(1)採記名投票﹐且沒有廢票﹒

(2)採記名投票﹐可能有廢票﹒

(3)採不記名投票﹐且沒有廢票﹒

(3)採不記名投票﹐可能有廢票﹒

解答 (1)2187 種;(2)16384 種;(3)36 種

解析 (1)可視為 7 個相異球放入 3 個不同箱子中﹐每箱放的球數沒有限制﹐ 方法數3⁷=2187﹒ (2)有廢票情形﹐即增加一箱子放廢票﹐視為 7 個相異球任放入 4 個不同箱子﹐4⁷ =16384﹒ (3)視為 7 個相同的球放入 3 個不同箱子中﹐每箱放的球數沒有限制﹐

方法數有

H

₇³=

C

₇^{3 7 1+ −} =

C

₇⁹=

C

₂⁹=36﹒

(4)有廢票情形﹐即增加一箱子放廢票﹐視為 7 個相同的球放入 3 個不同箱子中﹐每箱 放的球數沒有限制﹐ 方法數有

H

₇⁴=

C

₇^{4 7 1+ −} =

C

₇¹⁰=

C

¹⁰₃ =120

2. 有 3 個梨﹐5 個蘋果﹐分給 3 人﹐依下列情形方法各有幾種？

(1)每人所得不限﹒

(2)每人至少分得一個蘋果﹒

(3)每人至少分得一個梨或蘋果﹒

解答 (1)210 種;(2)60 種;(3)141 種

解析 (1)梨的分法有

H

₃³=

C

₃^{3 3 1+ −} =

C

₃⁵=10﹐蘋果的分法有

H

₅³=

C

₅^{3 5 1+ −} =

C

₅⁷=21﹐ 故全部的方法數為10 21 210× = ﹒

(2)每人先分給 1 個蘋果﹐剩 2 個蘋果﹐再將 3 個梨﹑2 個蘋果分給 3 人﹐

每人所得不限的方法有

H

₃³⋅

H

₂³=

C

₃^{3 3 1+ −} ⋅

C

₂^{3 2 1+ −} =

C

₃⁵⋅

C

₂⁴=60﹒

(3)令 U 表將 3 個梨﹑5 個蘋果任意分給 3 人（甲﹑乙﹑丙）所有方法所成集合﹐

又 A, B, C 依序表甲﹑乙﹑丙三人沒分到梨及蘋果的方法﹐

則所求為 |

A'

∩

B'

∩

C'

| | (=

A

∪ ∪

B C '

) |﹐

又|

A

∪ ∪

B C

|=

C

₁³|

A

|−

C

₂³|

A

∩

B

|+

C

₃³|

A

∩ ∩

B C

|﹐

其中 |

A 表將 3 個梨﹑5 個蘋果任意分給乙﹑丙二人的方法數﹐

| 故|

A

|=

H

₃²×

H

₅²=

C

₃^{2 3 1+ −} ×

C

₅^{2 5 1+ −} = × =4 6 24 |=

B

| |=

C

| ﹐

而|

A

∩

B

|=

H

₃¹×

H

¹₅=

C

^{1 3 1}₃^{+ −} ×

C

^{1 5 1}₅^{+ −} = = ∩1 |

B C

| |= ∩

C A

| ﹐ |

A

∩ ∩

B C

|= ﹐ 0 故每人至少分得一個梨或蘋果的方法數為

|

A'

∩

B'

∩

C'

| |=

U

| |−

A

∪ ∪

B C

| =210 (−

C

₁³×24−

C

₂³× +1

C

₃³×0)=210−69 141= ﹒

3. 甲﹑乙﹑丙﹑丁﹑戊 5 人排成一列﹐試求：

(1)甲不排首位的排法數﹒ (2)甲不排首位﹐乙不排中的排法數﹒

解答 (1)96 種;(2)78 種

解析 (1)（全部的排法）−（甲排首的排法） 5! 4! 96= − = 種﹒

(2)（全部排法）−（甲排首）−（乙排中）+（甲排首且乙排中）

2 2 2

0 1 2

5! 4! 4! 3!

C

5!

C

4!

C

3! 78

= − − + = × − × + × = 種﹒

4. 有甲﹑乙﹑丙﹑丁﹑戊﹑己﹑庚七人﹐試求：

(1)任選 5 人的方法數﹒ (2)任選 5 人再排成一列的方法數﹒

解答 (1)21 種;(2)2520 種 解析 (1) ₅⁷ 7!

5!2! 21

C

= = 種﹒

(2)

C

₅⁷× =5!

P

₅⁷=21 120× =2520種﹒

5. 有甲﹑乙﹑丙﹑丁﹑戊﹑己﹑庚 7 人排成一列﹐試求：

(1)甲在乙的左方的排法數﹒ (2)甲在乙的左方且乙在丙的左方的排法數﹒

解答 (1)2520 種;(2)840 種

解析 甲﹑乙﹑丙﹑丁﹑戊﹑己﹑庚 7 人排成一列的排法 7! 5040= ﹒

(1) 先排 ○﹑○﹑丙﹑丁﹑戊﹑己﹑庚 7 人再將甲排左邊的○，乙排右邊的○﹐

甲−乙 排列數為

7!

2! × × = 1 1

5040 ¹ 2520

× =2 種﹒

(2) 先排 ○﹑○﹑○﹑丁﹑戊﹑己﹑庚 7 人再將丙排最右邊的○，最左邊的○排甲﹐

中間的○排乙 甲−乙−丙的排列數為7!

1 1 1

3!× × × = 1 5040 840

× =6 種﹒

6. 某桌球隊要從 10 名選手中排出 5 名﹐分別參加五場單打友誼賽﹐10 名選手中近況特佳的有 3 位﹐

教練決定任意安排他們分別在第一﹑三﹑五場出賽﹐另外兩場則由其餘選手任意選出排定﹐則 此球隊出場比賽的名單順序一共可以有多少種？

解答 252 種

解析 第一﹑三﹑五場的 3 位選手 3! 6= 種﹐第二﹑四場﹐自其他 7 位選 2 位排定

C

₂⁷⋅ =2! 42種﹐

得 6 42 252× = 種﹒

7. 班上有 40 位同學﹐要選出班長﹑學藝股長﹑服務股長各 1 人﹐有多少種方法？

解答 59280

解析 相當於要從 40 人中﹐取出 3 人排成一列﹐方法數為

P

₃⁴⁰=40 39 38× × =59280﹒

8. 有編號 1～7 的 7 個籃子﹒

(1)有編號 1～7 的 7 個球﹐要放到那 7 個籃子裡﹐每個籃子恰放一個球﹐有幾種方法？

(2)有編號 1～4 的 4 個球﹐要放到那 7 個籃子裡﹐每個籃子至多放一個球﹐有幾種方法？

解答 (1)5040;(2)840

解析 (1)原題意可視為把 7 個相異的籃子全部取出排成一列﹐

方法數為

P

₇⁷ =7 ! 7 6 5 4 3 2 1 5040= × × × × × × = ﹒

(2)原題意可視為把 7 個相異的籃子取出 4 個排成一列﹐

方法數為

P

₄⁷ = × × × =7 6 5 4 840﹒