為遞增函數 2-1-2

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高雄市明誠中學 高三數學平時測驗 日期：98.04.23 班級 三年 班

範 圍

選修( )2∥ -1.2-3

多項函數的圖形與極值 座號

姓 名 2-1-1. 討論函數 f (x)＝x³－3x²－9x＋6 的遞增與遞減的區間。

解：∵ f ′(x)＝3x²－6x－9＝3 ( x²－2x－3 )＝3 ( x＋1 ) ( x－3 ) (1) 當 x＜－1，f ′(x)＞0

∴ f (x) 在 (－∞,－1］上為遞增函數 (2) 當－1＜x＜3，f ′(x)＜0

∴ f (x) 在［－1 , 3］為遞減函數 (3) 當 x＞3，f ′(x)＞0

∴ f (x) 在［3 ,∞) 為遞增函數

2-1-2. 設 f (x)＝x³－ax²＋3x＋7 在實數 R 上為遞增函數，試求 a 值的範圍。

解：f ′(x)＝3x²－2ax＋3

∵ f (x)在 R 上為遞增函數

∵ xR，f ′(x)＝3x²－2ax＋3 ≥ 0 恆成立

∴ 二次函數 f ′(x)＝3x²－2ax＋3 的判別式 (－2a )²－4×3×3 ≤ 0

 a²－9 ≤ 0  ( a－3 ) ( a＋3 ) ≤ 0  －3 ≤ a ≤ 3

2-1-3. 討論函數 f (x)＝x³－3x²＋2 圖形的遞增、遞減及凹向性。

解：f ′(x)＝3x²－6x＝3x ( x－2 ) f ′(x)＝0  x＝0 或 2 f ″(x)＝6x－6＝6 ( x－1 )

∴ 在區間 (－∞, 0］，［2 , ∞) 為遞增函數 在區間［0 , 2］為遞減函數

在區間［1 , ∞)，凹口向上 在區間 (－∞ , 1］，凹口向下

2-1-4. 承上題，此函數反曲點的坐標為何？

解：令 f ″(x)＝6x－6＝0 ∴ x＝1 代入得 y＝1－3＋2＝0

∴ 反曲點坐標為 ( 1 , 0 )

2-1-5. 某公司生產 x 單位產品的成本為 C (x)＝x³－6x²＋9x＋300 ( 萬元 ) 其中 x ≥ 1，求生產成 本在何種範圍內為遞減？

解：C ′(x)＝3x²－12x＋9＝3 ( x－3 ) ( x－1 ) 當1 ≤ x ≤ 3 時，C ′(x) ≤ 0

∴ 在區間［1 , 3］時，生產成本是遞減

x －1 3

f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f (x) ↗ 11 ↘ －21 ↗

x 0 1 2

f ′(x) ＋ 0 － － 0 ＋

f ″(x) － － 0 ＋ ＋

f (x) 2 0 －2

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2-1-6. 描繪函數 f (x)＝x³＋3x²＋1 之圖形。

解：f ′(x)＝3x²＋6x＝3x ( x＋2 ) f ″(x)＝6x＋6

令 f ′(x)＝0  x＝0 或－2 令 f ″(x)＝0  x＝－1

2-1-7. 某公司生產某產品，生產 x 單位的成本為 C (x)＝－x³＋ax²＋bx＋200 ( 萬元 )，

x ≥ 1，且知 C (x) 在區間［2 , 4］為遞增函數，則 a＝ 9 ，b＝ －24 。 解：∵ f ′(x)＝－3x²＋2ax＋b＝－3 ( x－2 ) ( x－4 )＝－3x²＋18x－24

∴ a＝9，b＝－24

2-1-8. 函數 f (x)＝x³－3x²＋3x－1 的圖形的反曲點坐標為 ( 1，0 ) ，過反曲點的切線為 y＝0 。

解： f ′(x)＝3x²－6x＋3＝3 ( x－1 )²

令 f ″(x)＝6x－6＝6 ( x－1 )＝0  x＝1

∴ 反曲點 ( 1 , 0 )

過反曲點的切線為水平切線 y＝0 ( ∵ f ′(1)＝0，斜率為 0 )

2-2-1. 試討論函數 f (x)＝x³－3x＋4，在區間［－3 , 3］的極值可能出現在 x 為多少時？

解：f ′(x)＝3x²－3＝3 ( x²－1 )＝3 ( x－1 ) ( x＋1 ) 當 f ′(x)＝0 時，x＝1 或－1

∴ f (x) 的極值可能出現在 x＝1，－1 及端點 x＝－3，3

2-2-2. 試求函數 f (x)＝x⁴－2x²＋3 在區間［－2 , 2］的極大值與極小值。

解：f ′(x)＝4x³－4x＝4x ( x－1 ) ( x＋1 )

當 f ′(x)＝0，x＝－1，0，1；而 x＝－2，2 為 f (x) 的端點所在 x －2 －1 0 1 2

f'(x) － 0 ＋ 0 － 0 ＋ f (x) 11 ↘ 2 ↗ 3 ↘ 2 ↗ 11

∴ f (－2)＝11 為極大值，f (－1)＝2 為極小值，f (0)＝3 為極大值 f (1)＝2 為極小值，f (2)＝11 為極大值

2-2-3. 承上題，求函數 f (x) 在區間［－2 , 2］的最大值與最小值。

解：所有極值中最大者為最大值11 所有極值中最小者為最小值2

x －2 －1 0

f ′(x) ＋ 0 － － 0 ＋

f ″(x) － － 0 ＋ ＋

f (x) 5 3 1

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2-2-4. 試求函數 f (x)＝－x²＋4x＋5 在區間［0 , 3］之極值。

解：f ′(x)＝－2x＋4＝－2 ( x－2 )，f ″(x)＝－2 又 f ′(x)＝0 時，x＝2，

又 f ″(2)＝－2＜0

x 0 2 3

f'(x) ＋ 0 －

f"(x) －

f (x) 5 9 8

∴ f (0)＝5 為極小值，f (2)＝9 為極大值，f (3)＝8 為極小值

2-2-5. 函數 f (x)＝x³＋ax²＋bx＋c，xR，若 f (x) 在 x＝1 有極大值 8，在 x＝3 有極小值，求 a，b，c 之值。

解：f ′(x)＝3x²＋2ax＋b，f ″(x)＝6x＋2a

∵ f (x) 在 x＝1 與 x＝3 處有極值

∴  f ′(1)＝3＋2a＋b＝0 f ′(3)＝27＋6a＋b＝0 



a＝－6

b＝9 又 f (1)＝8 ∴ 1－6＋9＋c＝8 ∴ c＝4

∴ a＝－6，b＝9，c＝4

2-2-6. 承上題之結果，求在函數圖形 y＝f (x) 上斜率最小的切線方程式為 3x＋y＝12____________。

解：f ′(x)＝3x²－12x＋9＝3 ( x²－4x )＋9＝3 ( x－2 )²－3

∴ 斜率最小值為－3，此時 x＝2，f (2)＝2³＋(－6)×2²＋9×2＋4＝8－24＋18＋4＝6

∴ 切點為 ( 2 , 6 )

∵ 切線為 y－6＝－3 ( x－2 )  y－6＝－3x＋6  3x＋y＝12

2-2-7. 設 f (x)＝x³＋3x，xR，求 f (x) 的極大值與極小值。

解：∵ f ′(x)＝3x²＋3

∴ f ′(x)＞0，對所有實數 x 均成立

∴ f (x)為一嚴格遞增函數，∴ 無極大值或極小值

2-2-8. 若函數 f (x)＝x³＋3ax²＋3 ( a＋2 ) x＋2，aR，沒有極值，則 a 的範圍為 －1 ≤ a ≤ 2____________。

解：f ′(x)＝3x²＋6ax＋3 ( a＋2 )

∵ f (x) 沒有極值

∴ f ′(x)＝0 沒有兩相異實根

∴ 判別式 D＝( 6a )²－4×3×3 ( a＋2 ) ≤ 0  a²－a－2 ≤ 0

 ( a－2 ) ( a＋1 ) ≤ 0  －1 ≤ a ≤ 2