高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：108.03.07

高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：108.03.07

範 圍

數列(C)

班級 一年____班 姓

座號 名

1. 在 2 與 6 之間插入 10 個數，使所成之 12 個數構成一個等差數列，設插入之 10 個數依序為

1, 2, 3, , 10

b b b b ，則b ₁₀ . 答案： ⁶²

11

解析： 共 12 個數

首項a ₁ 2 末項a₁₂     2 11 d 6 11d 4∴公差 ⁴

d 11 _{10 11} 4

2 1 1 11 0 62

b a 1

     

2. 數列 a_n 滿足a₁ 1,a_n1 a_n(n1) ,² n為正整數，則a ₁₀ . 答案： 385

解析： 由定義式可知 a1

2

1 a



a1

 ²

3

(1 1) a

  a2



0

2

1 9

(2 1)

) a a

 

 

10

10 2

2 2 2

2

1

(9 1) 1 2 3 ... 10

10 11 21 5 6 38

k

a

k



 

    



  





3. 設a b c, , 三數成等比數列且 a c ，其三數和為 39，又知a1, ,b c8成等差數列，則 b ______, a ______.

答案： 10, 4

解析： a1, ,b c8成等差數列

9 2 2 9

a c b a c b

        39

a  b c

3 9 39 10

a b c b b

       

又a c 29且acb²100 故a4,c25

4. 一實數等比數列 a_n 的首項a ₁ 2，第 5 項a ₅ 18，則第 8 項a ₈ . 答案： 54 3

解析： a  a r⁴ 18 2 r⁴   r 3 a     a r⁷ 2 ( 27 3) 54 3

5. 一等比數列 a_n 的前三項和為 26，前六項和是 728，則a ₁ ，公比r  ． 答案： a₁2;r3

解析： 依題意得

2 2

1 2 3 1 1 1 1

2 2 3 2

4 5 6 4 4 4 4 1

( 1) 26

(1 ) (1 ) 728 26 702

a a a a a r a r a r r

a a a a a r a r a r r a r r r

         

              



 得 ^{3 702} 27 3

r  26   r ，代入 得 ₁ ²⁶ 2 9 3 1

a  

 

6. 設 a_n 為等比數列，若a₅ 12,a₉ 60，則a ₁₇ . 答案： 1500

解析： a₅  a r₁ ⁴ 12

8

9 1 60

a  a r 

由 得r ⁴ 5，代入得 ₁ ¹²

a  5 ∴a₁₇  a r₁ ¹⁶  a₁ (r^{4 4}) 12 ⁴

5 1500

 5   7. 設函數 f x( )的定義如下表：

若數列 a_n 滿足a ₁ 1，且a_n1 f a( _n)，則a₁₀₈ . 答案： 4

解析： a ₁ 1

2 ( )1 (1) 3

a  f a  f 

3 ( 2) (3) 5

a  f a  f 

4 ( 3) (5) 4

a  f a  f 

5 ( 4) (4) 1 1

a  f a  f  a

6 3 2

a  a

7 5 3

a  a

8 4 4

a  a

每四項循環一次 a₁₀₈ a_427 a₄ 4

8. 若實係數方程式x³kx²18x 8 0的三個實根可排成等比數列，則三個根之和為 . 答案： 9

解析： 設等比數列首項 a ，公比r 則a ar ar, , ²為方程式的三根 由根與係數關係知 三根之和為  k a arar² a(1 r r²) 兩兩乘積之和為18 a ar a ar²ar ar ² a r² (1 r r²) 三根之積為8  a ar ar²a r^{3 3}

由○³ 可得ar 2 由○² 得18[ (1a  r r²)]ar      ( k) 2 k 9 9. 如圖，任兩相鄰黑點線段長都是 1，按照這規律，令a_n為第 n

個圖上的所有黑點數目總和，例如：第一圖黑點數總和為 6，

即a 6；第二圖黑點數總和為 11，即a 11；依此類推﹒請

x 1 2 3 4 5

( )

f x 3 2 5 1 4

找出數列 a_n 的遞迴定義式 . 及a _n __________.

答案： ¹

1

6

5, ( 2, )

n n

a

a a _ n n

 

   

 為正整數 , a_n 5n1 解析： a₂  a₁ 5,

3 2 5

a a 

1 5

n n

a a _

   a_n 5n1

10. 若數列 a_n 的第一項a ₁ 1，第二項a ₂ 2，且a_n a_n1a_n2,n3，則此數列的第十項 為 ．

答案： 89

解析： 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89

11. 四個數12, , ,32a b ，若前三項成等差，後三項成等比，則數對( , )a b  . 答案： (18, 24); (2, 8)

解析： 依題意， 12 ¹²

2 b  a a  a b

32 2

b 32

b a

b  a  由 得b²16b192

2 16 192 0

b b

     (b 8)(b24)0  b 8或 24 代入 得a 18, 2 數對( , )a b (2,8);(18, 24)

12. 將自然數用括弧分組如下（第n 組有n 個數）：(1), (2,3), (4,5, 6), (7,8,9,10), (1)第 50 個括弧的第 50 個數是 .

(2)100 是第m 個括弧的第 n 個數，則數對( , )m n 為 . 答案： (1)1275(2)(14, 9)

解析： (1)第50個括弧的第50個數 1 2 3 ... 50 ^{50 51} 1275 2

       

(2)1 2   k 100,k13

∴1 2 3   1391 100為第14個括弧內第9個數( , )m n (14,9) 13. 已知數列 a_n 中的a₁與a₁₀是方程式x²3x 5 0之兩根，

若 a_n 為等差數列，則a₄a₇ _________；又若 a_n 為等比數列，則a a₃ ₈ _________.

答案： 3，5

解析： a₁與a₁₀為x²3x 5 0之兩根

由根與係數知a₁a₁₀ 3,a a₁ ₁₀  5

a₄  a₇ ( a₁3 )d (a_{1 0}3 )da₁a_{1 0}3 _{3 8} ( ₁ ²)(a¹⁰₂ )

a a a r

  r  a a_{1 1 0} 5 14. 數列1 1 2 1 2 3 1 2 3 4

, , , , , , , , , ,

1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 依此規則排序，則 ⁷

13是第 項.

答案： 178

解析： ¹ 1 2 1 2 3 1 2 3 4 , , , , , , , , , , 1 2 1 3 2 1 4 3 2 1

第二群

第一群 第三群 第四群

7

13為第 19 群的第 7 項，1 2 3   18 7 178項

15. 有一等差數列 a_n ，已知a ₁₀ 23，a₂₅  22，則其前 項和最大.

答案： 17

解析： 設 a_n 的公差為d

則a₂₅ a₁₀15d 2223 15 d   d 3 若前 n 項之和S_n為最大，則a _n 0

10 ( 10) 0

a n d

    23 ( n 10)( 3) 0 n 17 前 17 項之和有最大值 16. 若 a_n 為公差非 0 的等差數列，且a a a₂, ₃, ₆成等比，則 ^{1 3 5 7}

2 4 6 8

a a a a

a a a a

   

   __________.

答案： ⁵ 7

解析： 設數列 a_n 之公差為 d 又 ^{3 6}

2 3

a a

a  a a₃² a₂a₆

2

1 1 1

(a 2 )d (a d a)( 5 )d

    

2 2 2 2

1 4 1 4 1 6 1 5

a a d d a a d d

     

2

2a d1 d 0

     d 2a₁ 故 ^{1 3 5 7 1}

2 4 6 8 1

4 12 4 16

a a a a a d

a a a a a d

    

   

1 1

1 1

4 24 4 32

a a

a a

 



1

1

20 28 a a

 



5

7 17. 用黑白兩種顏色的正六邊形地磚依照如下的規

律，黑色地磚每次增加一塊，拼成若干圖形：

設a_n為第 n 圖中白色地磚的總數（如圖可知：

1 6, 2 10, 3 14

a  a  a  ）.(1)寫出數列 a_n 的遞迴關係式： (2)試求a₂₅  . 答案： (1) ¹

1

6

4, ( 2)

n n

a

a a _ n

 

   

 (2)102

解析： 觀察第 1 個、第 2 個與第 3 個圖形，發現圖形每次均增加 ，也就是 1 個黑色地磚與 4 個 白色地磚，所以可以將這些圖形的白磚看成一個首項為 6，公差為 4 的等差數列，則 (1)數列 a_n 的遞迴關係式為 ¹

1

6

4, ( 2)

n n

a

a a_ n

 

   

 (2)a₂₅  6 (25 1) 4  102

18. 等比數列 a_n ，首項a ₁ 2，公比r 4，則

1 2 2 3 3 4 99 100

(log_aa )(log_a a )(log_a a ) (log_a a ) . 答案： 199

解析： 1 2 3 99 1

99

2 3 4 100 100 2

(log_aa )(log_a a )(log_aa ) (log_a a )log (_a a )log (2 4 )

198 199

2 2

log (2 2 ) log 2 199

   

19. 已知數列 a_n 中，a ₁ 1，且對n 2，a a₁   ₂ a₃ … a_n n²，則a₄a₆ __________.

答案： ⁶⁴ 25 解析：

2

1 2 1

2

1 2 1 ( 1)

…

…

n n

n

a a a a n

a a a n





   



  



由 得

2

2 , 2

( 1)

n

a n n

 n 

 故

2 2

4 6 2 2

4 6 3 5

a a   16 36 9 25

  64

25

20. 如右圖，橫、直列均有 7 個方格，若將每個方格內部都填入一個數字，使得橫 列方格內數字由左而右依序成等差數列；直列由上而下依序成等比數列，則數 對( , )a b  .

答案： (18,8)

解析： 16  b 2 12 b 8又8 a 12² a 18 故數對( , )a b (18,8)

21. 有相異三數成等比數列，第一項為 6﹒若將第一項加 5、第二項加 1、第三項除以 2，則所得 的三個新數成等差數列，試問原等比數列的公比為 .

答案： 3

解析： 設公比

r

3 2 11 6 1

2

r r 

   r²4r 3 0

∴r 1（不合）或 3

22. 數列 a_n 中，若 ₁ ¹

a  2且 ₁ ¹

n 2

n

a ^  a

 ， n 為正整數，由此可推得a₁₀₈  . 答案： ¹⁰⁸

109

解析： ∵ ₁ ¹

n 2

n

a ^  a

 ∴ ₂

1

1 1 2

2 2 1 3

2

a  a  

  ^{3 2}

1 1 3

2 2 2 4

3

a  a  

 

推得

n 1 a n

n



108

108 a 109

 

23. 如圖，取一個邊長為 2 的正三角形，將其等分成 4 個相同的小正三角形，然後挖去中間一塊，第二次 再將剩餘各塊平分成 4 塊，然後去掉中間一塊，如 此繼續下去，求第 5 個圖挖去正三角形後所剩下面 積為 .

答案： ^{243 3}

解析： 圖 1 剩下的面積為³ ( ³ 2 )² 4 4  圖 2 剩下的面積為( )^{3 2} ( ³ 2 )²

4  4  圖 3 剩下的面積為( )^{3 3} ( ³ 2 )²

4  4 

為公比³

4 的等比數列所求 ( ) (^{3 5 3} 2 )²

4 4

   243 3

 1024

24. 若 _{2 3} ⁷

log 9, log 28, log 8^{k } 三數成等比數列，則k __________.

答案： 13 解析：

7

2 3

2 2

log 8 lo 8 9

g

og g 8

l lo

 k 

2 7

2 3

(log 28) (log 9)(log 8^{k } )

  6² 2(log 3)(₂ k 7) l go ₃8

2 3

36 2(k 7)(log 3)(log 8)

   18(k7)(log 8)₂ 18 3(k 7)

     k 7 6  k 13

25. 若log₂ x, log 10, log 20_{2 2} 三數成等差，則 x  __________.

答案： 5

解析： log 10 log₂  ₂ xlog 20 log 10₂  _{2 2}10 ₂ 20 log log

10

 x  10

x 2

   x 5

26. 在 3 與 9 之間插入 102 個相異正數a a a₁, ₂, ₃, ,a₁₀₂，使這 104 個數成等比數列，則

3 1 2 3 102

log (a a a a ) . 答案： 153

解析： a₁a₁₀₂ a₂a₁₀₁a₃a₁₀₀  ... a₅₁a₅₂  3 9log_{3 1}a a a_{2 3}...a₁₀₂ log (3 )₃ ^{3 51}153

27. 一個邊長為n 的大正方形中，共有n²個單位正方形．如果每一個單位正方形的邊都恰有一根 火柴棒，而此大正方形共用了a_n根火柴棒，那麼a₁₁a₁₀  ．

答案： 44

解析： n 1: a₁4

2 :

n  a₂  a₁ 2(2 2)

3 :

n  a₃ a₂2(3 2)

∴a_n a_n12(n 2) a₁₁a₁₀2(11 2) a₁₁a₁₀ 44

28. 數列 a_n 是等比數列，若a₁a₂a₃ 26，a₁a₃a₅ 182，則a ₁ . 答案： 2 或²⁶

3

解析： a₁a₂a₃ a₁a r₁ a r₁ ² a₁(1 r r²)26

2 4 2 4

1 3 5 1 1 1 1(1 ) 182

a a a a a r a r a r r 

得

2 4

2 2

(1 ) 182

1 7

1 26

r r

r r r r

      

 

即r²    r 6 0 r 3或2，故a ₁ 2或²⁶ 3