國立成功大學數學系 109 學年度

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國立成功大學數學系 109 學年度

學士班申請入學數學學科筆試

dS SI

dt

dI SI I

dt

dR I

dt



 



 



個人申請編號：

姓名：

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2

試題說明：

1. 本試題含十大題，總分一百分。

2. 測驗時間：150 分鐘

3. 請在每一試題所屬頁面作答，若使用試題背面，請標示清楚。

4. 請完整寫出解答過程。

5. 本考試卷總共有 14 頁(含封面與空白頁面)。

題號滿分得分

1 10

2 10

3 10

4 10

5 10

6 10

7 10

8 10

9 10

10 10

總分

(3)

3

1. 令p q, 為互質的整數。假設一次多項式px q 為整係數 n 次多項式

 

1 ¹ 1 0

n n

f x a x a_ x ^ a xa 的一個因式，試證明p a_n且q a₀。

(4)

4

2. 令b為一個正整數。將正整數N表示形如

2

1 1 0

n n

a b a _ b ^ a b a 

的級數和，其中0a₀,,a_n  b 1，稱符號



a an n_1a0



b為正整數N的b進位表示。舉例來說，因為37 1 2  ⁵ 0 2⁴ 0 2³ 1 2²   ，則0 2 1

 

₂

37 100101 。

若正整數A以3進位表示時為10位數，試問A以5進位表示時為幾位數？

( log 2 0.301, log 3 0.477  。)

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5

3. 假設

2 2

 



   ，試證明 1 sin

1 sin tan 4 2

  



  

   

  。

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6

4. 已知ABC三邊長分別為BC7,CA9,AB8。假設P為ABC內部一點，

且 , ,D E F 是P到BC CA AB, , 各邊垂線之垂足。記PDx PE,  y PF, z。試求出⁷ ⁹ ⁸

x yz 的最小值，並求出此時P點的位置。

(7)

7

5. 已知圓C x: ²y²  與圓外一直線1 L x₁: y2。在L 上任取一點₁ P，做圓 C的兩條切線，其切點分別記為 ,A B 。令L 表示過原點且垂直於₂ L 的直₁ 線， Q 為線段 AB 與L 的交點。試證明 Q 點坐標與₂ P點的選取無關。(所引用之公式均須證明。)

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8

空白頁

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9

6. 在平面坐標系中，ABC的頂點 ( 2, 1), (4, 1)A   C  且B在橢圓



¹



²



¹



²

25 16 1 x y

  上。試計算sin sin sin

A C

B

 之值。

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10

7. 一盒火柴中有 n 根火柴棒，阿隆買了兩盒並把它們分別放置於外套兩邊的口 袋裡。每次點火時，阿隆會隨機從其中一個火柴盒拿出一根火柴。假設阿隆每次點火都會成功且他用完最後一根火柴時，仍然會把火柴盒放回口袋中。

(1) 若某次點火時，阿隆發現拿出的火柴盒是空的，此時另一個火柴盒裡剩下k根火柴的機率為何？此處0k n。

(2)根據上述結果，試計算

2 2 1 2 2 2

2 2 2ⁿ

n n n n

 

       

   

       

       



(11)

11

8. 有一數列 a_n 形式如下：

第一項a ₁ 1 第二項a  ₂ 3 5 第三項a   ₃ 7 9 11 第四項a ₄ 13 15 17 19   第五項a ₅ 21 23 25 27   29

(1)求第 n 項所有數字和之一般式，並證明之。

(2)求S_n a₁a₂a_n之一般式，並證明之。

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12

9. 若 , , , , ,a b c x y z 為實數且滿足

2 2 2 2 2 2

16, 25 a b c  x y z 

則

1 2 2 a b c x y z

絕對值最大為何？請詳細說明。

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10. 假設E為二次方程式

(1.1) 5x²4xy2y² 1

所決定之曲線，下列步驟將協助我們決定E的圖形。

(1) 試求出一個2 2 矩陣 a b A c d

 

  

 

滿足A^T  A且



^x ^{y A}



^x ⁵^x² ⁴^xy ²^y²

y

   

   其中 ^T a c

A b d

 

  

 

。

(2) 找出所有滿足Avv之組合



^^{, v}



，其中  為一實數且 v 為一個非零的

2 1 矩陣。提示：



2



0 Av v A I v  0

     

 

(3) 在(2)的解答中，找出滿足下列條件的兩個組合



1, v1



與



2, v2



：

1 2 v1 v2 1

 且   ，

此處v 為將 v 視為向量時的長度。若 ₁ ¹ ₂ ²

1 2

= x = x

v v

y y

   

   

   

且，記 ¹ ²

1 2

x x

C y y

 

  

 

，試證

明C^¹C^T且ACDC^T，此處 ¹

2

0 D 0



 

  

 

。

(4) 試說明當C的行列式大於 0 時，C為一個旋轉矩陣。

(5) 令 '

'

x x

y C y

   

   

   

，將(1.1)中的等式改為x'與 'y 的方程式，並描述新的方程式 所決定的二次曲線為何種曲線？

(14)

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空白頁

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