用 O. Stolz 定理求一些不定式的極限

用 O. Stolz 定理求一些不定式的極限

胡紹宗

定不定式的值, 總的原則是想方設法消除其 “不定性”, 方法有多種多樣, 但利用 O. Stolz 定理求某些數列不定式的極限, 往往可得心應手, 且更為便捷。 為了證明此定理, 先證明如下不 等式:

若分數 a1

b1

,a2

b2

, . . . ,an

bn

的分母是正數, 則

mina

b ≤ a1+ a2+ · · · + aⁿ

b1+ b2+ · · · + bⁿ ≤ maxa

b (∗)

其中 mina

b 與 maxa

b 分別是各分數 ai

bi

中的最小值和最大值。

證: 由題設, 有 mina

b ≤ a1

b1 ≤ maxa

b 或 b1mina

b ≤ a¹ ≤ b¹maxa b mina

b ≤ a2

b2 ≤ maxa

b 或 b2mina

b ≤ a² ≤ b²maxa b

... ... ...

mina b ≤ an

bn ≤ maxa

b 或 bnmina

b ≤ aⁿ ≤ bⁿmaxa b 上面各式的各端相加,

(b1+ b2+ · · · + bⁿ) mina

b ≤ a¹+ a2+ · · · + aⁿ≤ (b¹+ b2+ · · · + bⁿ) maxa b

因此 mina

b ≤ a1+ a2+ · · · + aⁿ

b1+ b2+ · · · + bⁿ ≤ maxa b. 僅當各分數相等時等式纔成立。

O. Stolz 定理: 若 yⁿ → +∞, 且 yⁿ⁺¹ > yn, 則

n→∞lim xn

yn

= lim

n→∞

xn− xⁿ⁻¹ yn− yⁿ⁻¹

83

只須等式右邊的極限已知其存在 (有限或無窮)。

證: 先假定 lim

n→∞

xn− xⁿ⁻¹

yn− yⁿ⁻¹ = A (有限數), 則對 ∀ ε > 0, ∃ N, 使當 n > N 時, 有 

xn− xⁿ⁻¹ yn− yⁿ⁻¹ − A

< ε 2 或 A− ε

2 < xn− xⁿ⁻¹

yn− yⁿ⁻¹ < A+ ε 2 也就是, 不論怎樣的 n > N, 一切分數

xN +1− x^N

y_{N +1}− y^N, xN +2− x^{N +1}

y_{N +2}− y^{N +1}, . . . , xn−1− xⁿ⁻²

y_n−1− yⁿ⁻²,xn− xⁿ⁻¹ yn− yⁿ⁻¹ 都在

A− ε

2, A+ε 2

 之中。 上述各分數的分子之和

(xN +1− x^N) + (xN +2− x^{N +1}) + · · · + (xⁿ⁻¹− xⁿ⁻²) + (xⁿ− xⁿ⁻¹) = xⁿ− x^N, 分母之和

(yN +1− y^N) + (yN +2− y^{N +1}) + · · · + (yⁿ⁻¹− yⁿ⁻²) + (yⁿ− yⁿ⁻¹) = yⁿ− y^N, 又因 n 增大時 yn隨著增大, 各分數的分母都是正數, 所以由不等式 (∗), xn− x^N

yn− y^N 也在 A− ε

2, A+ ε 2

 中,

即    

xn− x^N yn− y^N − A

< ε 2 由恆等式 (很容易驗證)

xn

yn − A = xN − Ay^N yn

+

1 −yN

yn

xn− x^N yn− y^N − A

可得 

xn

yn − A   ≤

xN − Ay^N yn

   +

 1 −yN

yn

xn− x^N

yn− y^N − A   

≤ 

xN − Ay^N yn

   +

xn− x^N yn− y^N − A

  當 n > N 時, 右端第二項 < ε

2, 由於 yⁿ → +∞, 所以第一項在 n > N^′ 時也 < ε

2 (並可取 N^′ > N), 也就是當 n > N^′ 時

xn

yn − A  < ε

2 +ε

2 = ε 即 lim

n→∞

xn

yn

= A.

如果 lim

n→∞

xn− xⁿ⁻¹

yn− yⁿ⁻¹ = +∞, 則當 n 充分大時有 xⁿ−xⁿ⁻¹ > yn−yⁿ⁻¹, 當 yⁿ→ +∞

時, xn 也 → +∞。

研究 yn

xn

。 由前結果, 可得

n→∞lim yn

xn

= lim

n→∞

yn− yⁿ⁻¹ xn− xⁿ⁻¹ = 0.

所以 lim

n→∞

xn

yn = +∞.

例 1. 若 lim

n→∞an = a, 則 lim

n→∞

a1 + a2 + · · · + aⁿ

n = a (收斂數列 {aⁿ} 的首 n 個值 的 “算術平均值” 與數列有相同的極限)。 並據此求 lim

n→∞

1 + ¹₂ +¹₃ + · · · + ¹ⁿ

n 。

(證法 1.) 在 O. Stolz 定理內, 命 xⁿ= a1+ a2+ · · · + aⁿ, yⁿ= n, 則有

n→∞lim

a1 + a2 + · · · + aⁿ

n = lim

n→∞

xn

yn

= lim

n→∞

xn− xⁿ⁻¹ yn− yⁿ⁻¹

= lim

n→∞

(a1+ a2+ · · · + aⁿ) − (a¹+ a2+ · · · + aⁿ⁻¹) n− (n − 1)

= lim

n→∞an= a.

由此, lim

n→∞

1 + ¹₂ + ¹₃ + · · · + ⁿ¹

n = lim

n→∞

1 n = 0。

(證法 2.) 由題設 lim

n→∞an= a, 即對 ∀ ε > 0, ∃ N¹, 當 n > N1 時, 有 |aⁿ− a| < ε 2, 而

a1+ a2+ · · · + aⁿ

n − a

=    

a1+ a2+ · · · + aⁿ− na n

=    

(a1 − a) + (a²− a) + · · · + (aⁿ− a) n

=    

(a1 − a) + (a²− a) + · · · + (a^N1 − a) + (a^N1+1− a) + · · · + (aⁿ− a) n

≤    

(a1 − a) + (a²− a) + · · · + (a^N1 − a) n

+    

(a^N1+1− a) + · · · + (aⁿ− a) n

≤|a¹− a| + |a²− a| + · · · + |a^N1 − a|

n + |a^N1+1− a| + · · · + |aⁿ− a|

n

<|a¹− a| + |a²− a| + · · · + |a^N1 − a|

n + n− N¹

n · ε 2

<|a¹− a| + |a²− a| + · · · + |a^N1 − a|

n + ε

2



∵

n− N¹ n <1

令 M = max{|a¹− a|, |a²− a|, . . . , |a^N1 − a|}, 則 |a¹− a| + |a²− a| + · · · + |a^N1 − a|

n < N1M

n , 於是

a1+ a2 + · · · + aⁿ

n − a

< N1M n +ε

2, 又 lim

n→∞

N1M

n = 0, 對上述 ε > 0, ∃ N², 當 n > N2 時, N1M n < ε

2, 取 N = max{N¹, N2}, 則當 n > N 時, 有

a1+ a2+ · · · + aⁿ

n − a

< ε 2 +ε

2 = ε.

即 lim

n→∞

a1+ a2+ · · · + aⁿ

n = a.

例2. 求 lim

n→∞

1 +√ 2 +√³

3 + · · · + √ⁿn n

解: 命 xⁿ= 1 +√ 2 +√³

3 + · · · + √ⁿn, yⁿ= n, 由 O. Stolz 定理,

n→∞lim 1 +√

2 +√³

3 + · · · + √ⁿ n

n = lim

n→∞

xn

yn

= lim

n→∞

xn− xⁿ⁻¹ yn− yⁿ⁻¹

= lim

n→∞

(1 +√ 2 +√³

3 + · · · + √ⁿ

n) − (1 +√ 2 +√³

3 + · · · + ⁿ⁻√¹ n− 1) n− (n − 1)

= lim

n→∞

√n

n.

當 n > 2 時, √ⁿ

n >1, 命 √ⁿ

n= 1 + λⁿ (λⁿ>0) 由牛頓二項式定理,

n= (1 + λⁿ)ⁿ= 1 + nλⁿ+ n(n − 1)

2! λ²n+ · · · + λⁿⁿ

> n(n − 1)

2! λ²n= n

2(n − 1)λ²ⁿ > n 2 · n

2λ²n



∵ 當 n > 2 時, n − 1 > n 2



= n² 4 λ²n

即 n > n²

4 λ²n, 從而 0 < λⁿ< 2

√n, 因 lim

n→∞

√2n = 0, 故由迫斂性定理 lim

n→∞λn= 0,

於是 lim

n→∞

√n

n= lim

n→∞(1 + λⁿ) = 1 + 0 = 1,

所以 原式 = 1。

例3. 求 lim

n→∞

n^k

aⁿ (a > 1)

(解法 1.) 為了便於利用 O. Stolz 定理, 先求 lim

n→∞

aⁿ

n^k (a > 1)。

當 k ≤ 0 時, lim_n→∞aⁿ

n^k = +∞, 當 k > 0 時, 它是 ∞

∞ 型的不定式, 當 k = 1 時, 由 O. Stolz 定理,

n→∞lim aⁿ

n = lim

n→∞

aⁿ− aⁿ⁻¹

n− (n − 1) = lim

n→∞aⁿ 1 −1

a

= +∞,

當 0 < k < 1 時, aⁿ n^k > aⁿ

n → +∞ (n → ∞), lim_n→∞aⁿ

n^k = +∞, 當 k > 1 時, 有 (至少在充分大的 n 時)

aⁿ

n^k = (a^k1)ⁿ n

^k

> (a^1k)ⁿ n , 令 a^k1 = a^′, 因 a > 1, 故 a^′ >1,

於是 aⁿ

n^k > (a^k1)ⁿ

n = (a^′)ⁿ

n → +∞ (n → ∞),

n→∞lim aⁿ

n^k = +∞.

綜上可知, 當 a > 1 時, lim

n→∞

aⁿ

n^k = +∞, 所以 當 a > 1 時, lim

n→∞

n^k aⁿ = 0。

(解法 2.) 利用 L’Hospital 法則。

這裡值得注意的是, 雖然利用 L’Hospital 法則可以求某些數列不定式的極限, 但不能直 接利用。 這是因為數列函數在 ∞ 的任何鄰域即開區間 (G, ∞) (∀ G > 0) 內都是無法求導數 的。 那麼究竟怎樣使用 L’Hospital 法則計算數列不定式的極限呢? 理論依據是:

如果 lim

x→+∞

f(x)

g(x) 存在, 則 lim

n→∞

f(n)

g(n) 也必存在, 且

n→∞lim f(n)

g(n) = lim

x→+∞

f(x) g(x).

事實上, 設 lim

x→+∞

f(x)

g(x) = A, 則由函數極限的 ε − M 定義, 對 ∀ ε > 0, ∃ M > 0, 使當 x > M 時, 有

f(x) g(x) − A

< ε, 當然, 當 n > M 時, 也有    

f(n) g(n) − A

< ε, 即

n→∞lim f(n) g(n) = A。

因此, 對於數列不定式的極限, 可先轉化為相應形式的函數不定式的極限, 再用 L’Hospital 法則對後者求得結果, 也就是前者所要答案。

此題應利用 L’Hospital 法則求 lim

x→+∞

x^k a^x。 當 k ≤ 0 時, 顯然 lim

x→+∞

x^k a^x = 0,

當 k > 0 時, 設小於 k 的最大整數為 n, 即 0 ≤ n < k ≤ n + 1, 則

x→+∞lim x^k

a^x = lim

x→+∞

kx^k−1

a^xln a = lim

x→+∞

k(k − 1)x^k−2 a^x(ln a)²

= lim

x→+∞

k(k − 1)(k − 2)x^k−3 a^x(ln a)³ ... ...

= lim

x→+∞

k(k − 1)(k − 2) · · · (k − n)x^k−n−1 a^x(ln a)ⁿ⁺¹

(使用 n + 1 次 L’Hospital 法則) 因 k ≤ n + 1, 當 x → +∞ 時,

(i) 當 k = n + 1, 則分子 → k(k − 1)(k − 2) · · · (k − n), 分母 → +∞, 於是 lim

x→+∞

x^k a^x = 0,

(ii) 當 k < n + 1, 則分子 → 0, 分母 → +∞, 也有 lim_x→+∞x^k a^x = 0, 所以 lim

n→∞

n^k

aⁿ = lim

x→+∞

x^k

a^x = 0 (a > 1)。

例4.

(i) 設 zⁿ= 1^k+ 2^k+ · · · + n^k

n^k+1 (k 為正整數), 求 lim

n→∞zn。 (ii) 求 lim

n→∞

1^k+ 2^k+ · · · + n^k

n^k 。

(iii) 設 Uⁿ = n

zn− 1 k+ 1

= 1^k+ 2^k+ · · · + n^k

n^k − n

k+ 1, 求 lim

n→∞Un。

解: (i) 它是 ∞

∞ 型的不定式

令 xn = 1^k+ 2^k+ · · · + n^k, yⁿ= n^k+1, 應用 O. Stolz 定理

n→∞lim zn= lim

n→∞

xn

yn

= lim

n→∞

xn− xⁿ⁻¹

yn− yⁿ⁻¹ = lim

n→∞

n^k

n^k+1− (n − 1)^k+1

= lim

n→∞

n^k n^k+1−h

n^k+1−(k+1)n^k+(k+1)k

2! n^k−1−(k+1)k(k−1)

3! n^k−2+· · ·+(−1)^k+1i

= lim

n→∞

n^k (k + 1)n^k− (k + 1)k

2! n^k−1+(k + 1)k(k − 1)

3! n^k−2− · · · + (−1)^k

= lim

n→∞

1 (k + 1) − (k + 1)k

2! · 1

n + (k + 1)k(k − 1)

3! · 1

n² − · · · + (−1)^k· 1 n^k

= 1 k+ 1

(ii) lim

n→∞

1^k+ 2^k+ · · · + n^k

n^k = lim

n→∞n·1^k+ 2^k+ · · · + n^k n^k+1

= lim

n→∞nzn= +∞ 

∵ lim

n→∞

1 nzn

= lim

n→∞

1 n · 1

zn = 0 · (k + 1) = 0 .

(iii) 它在第一種形式表示 ∞ · 0 型的不定式, 而在第二種形式表示 ∞ − ∞ 型的不定式。

un= (k + 1)(1^k+ 2^k+ · · · + n^k) − n^k+1 (k + 1)n^k

令 x^′n 等於分子, yn^′ 等於分母, 再應用 O. Stolz 定理,

n→∞

lim u

= lim

n→∞

x

y

= lim

n→∞

x

− x

y

− y

= lim

n→∞

(k + 1)n

− [n

− (n − 1)

] (k + 1)[n

− (n − 1)

]

= lim

n→∞

(k+1)n

− h

(k+1)n

− (k+1)k

2! n

+ (k+1)k(k−1)

3! n

− · · · + (−1)

i (k+1) n

n

− h

n

− kn

+ k (k−1)

2! n

− k (k−1)(k−2)

3! n

+ · · · + (−1)

io

= lim

n→∞

(k+1)k

2! n

− (k+1)k(k−1)

3! n

+ · · · + (−1)

(k+1)kn

− (k+1)k(k−1)

2! n

+ (k+1)k(k−1)(k−2)

3! n

− · · · + (−1)

= lim

n→∞

(k+1)k

2! − (k+1)k(k−1) 3! · 1

n + · · · + (−1)

1 n

(k+1)k − (k+1)k(k−1)

2! · 1

n + (k+1)k(k−1)(k−2)

3! · 1

n

− · · · + (−1)

1

n

= 1 2 .

(註) 我們知道, 在 O. Stolz 定理中, 若 lim

n→∞

xn− xⁿ⁻¹

yn− yⁿ⁻¹ 存在, 則 lim

n→∞

xn

yn

必存在, 且 二者相等。

但若 lim

n→∞

xn− xⁿ⁻¹

yn− yⁿ⁻¹ 不存在, 則並不能確定 lim

n→∞

xn

yn

也不存在。

例如, lim

n→∞

2n + cos n

n (令 xⁿ= 2n + cos n, yⁿ = n)

n→∞lim

xn− xⁿ⁻¹

yn− yⁿ⁻¹ = lim

n→∞

2n + cos n − [2(n − 1) + cos(n − 1)]

n− (n − 1)

= lim

n→∞[2 + cos n − cos(n − 1)]

= lim

n→∞

2 − 2 sin1

2sin2n − 1 2

 不存在。

而 lim

n→∞

xn

yn

= lim

n→∞

2n + cos n

n = lim

n→∞

2 + cos n n

= 2 + 0 = 2。

參考文獻

1. 華東師範大學數學系編, hh數學分析ii, 第三版, 高等教育出版社, 2001 年 7月。

2. 復旦大學數學系主編, hh數學分析ii, 第二版, 上海科學技術出版社, 1978 年 3月。

3. 華羅庚著, hh高等數學引論ii, 科學出版社, 1979 年 4月。

4. T. M. 菲赫金哥爾茨著, hh微積分學教程ii, 人民教育出版社, 1978 年 4月。

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Taipei Conference on Representation Theory

日 期 :2010年12月20日 (星期一) ∼ 2010年12月23日 (星期四) 地 點 : 臺北市大安區羅斯福路四段 1 號 天文數學館 6 樓 中央研究院數學

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