平面凸五邊形的最大面積與圓內接
(2n + 1) 邊形的正弦公式
李輝濱
I. 前言
對平面上的任意凸多邊形作適當的圖形分割, 可以求出此凸多邊形面積的一般公式。 分割 一個給定的凸多邊形時, 不同的分割方法, 所求得的面積公式也不盡相同; 其最大差異在於所求 得的公式中項數的多寡, 而最佳的策略就是要設法尋求出最少項數的面積公式。 策略上分割的 要領有兩種; 一是將偶數邊數的多邊形分割成兩個有相等邊數的小多邊形, Bretschneider 的 四邊形面積公式即能以此分割方法求得。 其次是將奇數邊數的多邊形分割成兩個邊數只差一個 邊的小多邊形, 凸五邊形的面積平方式公式就是以此分割法求證出的。
求出了一般形的面積公式後, 接著總要問起: 圖形在何種情況下會有最大的面積? 而此最 大面積的公式形式又如何? 會簡潔到何種程度? 在探討凸五邊形的最大面積問題時, 發現到圓 內接奇數邊形的多邊形有一特殊性質, 此性質是其各頂角與相對應的各邊長相關聯的的一個正 弦公式!
三角形的正弦定理公式非常簡潔完美; 其所以如此, 是因每一邊都只面對一個頂角, 而且三 角形的三頂點必共圓, 使得每一邊長與對面頂角的正弦值的比值等於共圓圓周的直徑。 根據這 樣的特徵, 檢視圓內接多邊形的各種情形, 發現圓內接奇數角的多角星形具有這種特徵性質, 連 接此多角星形的各頂點即形成一圓內接奇數邊形的多邊形, 此種圓內接奇數邊形的多邊形, 才 能有類似三角形那樣美妙的粧等式正弦公式!
II. 本文
首先從圓內接五角星形分析起, 逐次推導到圓內接五邊形的正弦公式, 由此正弦公式才得
48
以證出平面凸五邊形的最大面積平方式, 最後再推廣到圓內接奇數邊形的多邊形正弦公式。 此 處奇數角多角星形的各頂角角度總和等於 π。
圖 1 圖 2
A. 圓內接五角星形
在平面上給定一個圓內接五角星形 A1A2A3A4A5,並連接五頂點使成五邊形, 令 A1A2 = V1, A2A3 = V2, A3A4 = V4, A4A5 = V4, A5A1 = V5, V1 的對角為 θ1, V2 的對角為 θ2,
· · · , V5 的對角為 θ5, 如圖 1、 圖 2、 圖 3, 令圓的半徑為 R, 今仿照三角形的正弦定理並由圓 周角與弦的性質, 可得
sin θ1
V1 = sin θ2
V2 = sin θ3
V3 = sin θ4
V4 = sin θ5 V5 = 1
2R (1)
而 θ1+ θ2+ θ3+ θ4+ θ5 = π 方程式 (1) 恰完全符合類似於三角形的正弦定理公式。
B. 圓內接五邊形的正弦公式
1. 圓內接五邊形各頂角與 θ 角的關係
圖 3 圖 4
如圖 4, 利用圓周角與弦的性質知; 頂角 A1 = θ2 + θ3 + θ4, A2 = θ3 + θ4 + θ5, A3 = θ4+ θ5+ θ1, A4 = θ5+ θ1+ θ2, A5 = θ1+ θ2+ θ3,觀察這五個頂角可得; A1+ A4 = θ2+ θ3+ θ4+ θ5+ θ1+ θ2 = π + θ2,同理 A2+ A5 = π + θ3,
A3+ A1 = π + θ4, A4+ A2 = π + θ5, A5 + A3 = π + θ1 (2)
2. 圓內接五邊形的正弦公式
將 (2) 式的五個 θ 角分別代入方程式 (1) 中, 得 sin(A5+A3)
V1 = sin(A1+A4)
V2 = sin(A2+A5)
V3 = sin(A3+A1)
V4 = sin(A4+A2)
V5 =− 1 2R
(3) 再由五邊形的內角和等於 3π, (3) 式又可化成下式
sin(A4+ A1+ A2)
V1 =sin(A5+ A2 + A3)
V2 = sin(A1+ A3+ A4)
V3 = sin(A2+ A4+ A5) V4
=sin(A3+ A5 + A1)
V5 =− 1
2R (4)
此方程式 (3) 與 (4) 即為圓內接五邊形的正弦公式。
3. 定理1 : 設 A1A2A3A4A5 為平面上的五邊形, 則它是圓內接五邊形的充要條件為方程式 (3) 與 (4) 必成立。
證明:
(1) 充分條件: 由上述 B 之 1 與 2 的演繹過程, 完成充分條件的證明。
(2) 事實上, 觀察方程式 (3) 與圓內接五邊形的圖形關係, 發現只需三個 相鄰連續邊長與五個 頂角恰滿足方程式 (3) 與 (4), 則此五邊形的五個 頂點必共圓。 所以必要條件的敘述如下;
必要條件: 若平面上的一個五邊形, 其三個相鄰連續邊長與五個頂角恰滿足方程式 (3) 與 (4), 則此五邊形的五個頂點必共圓。 利用反證法 (歸繆法) 來證明此必要條件如下: 假設有 一頂點 (設為 A2) 不在圓周上, 其可能在圓的內部或外圍; 現在 (a) 先設定 在外圍, 則由 圖 5 可得
圖 5 圖 6
A3+ A1= π + θ4+ 1
2(弧長B1B4+弧長B2B3) A4+ A2= π + θ5− 1
2(弧長B1B4), A2+ A5 = π + θ3−1
2(弧長B1B4) 則
sin(A2+ A5)
V3 6= sin(A3+ A1)
V4 6= sin(A4+ A2)
V5 6= − 1 2R (b) 其次設定 A2 在圓周內部, 見圖 6 並仿照步驟 (a) 亦可得出
sin(A2+ A5)
V3 6= sin(A3+ A1)
V4 6= sin(A4+ A2)
V5 6= − 1 2R
由 (a)、(b) 兩情況知, 假設的條件所證出的結果與已知不合, 故假設錯誤, 此頂點應與其餘四頂 點共圓。
(c) 同理, 若有兩頂點不在共圓圓周上, 還要能使三個相鄰連續邊長與五個頂角恰滿足方程式 (3) 與 (4) 的情形, 仿照 (a)、(b) 的圖示證明, 可知悉由此假設所證出的結果必與已知矛盾, 假 設誠屬錯誤!因此, 此兩頂點應與其餘三頂點共圓。
由上述 (a)、(b)、(c) 的證明, 必要條件成立。
以上綜合 (1) 與 (2) 的敘述推理過程, 完成定理1. 的證明。
C. 平面凸五邊形的最大面積
1. 平面凸五邊形面積平方式的一般公式
圖
7
在平面上給定一個凸五邊形 A1A2A3A4A5, 令 A1A2 = V1, A2A3 = V2, A3A4 = V3, A4A5 = V4, A5A1 = V5, 如圖 7, 則利用圖形分割法, 並令凸五邊形面積為 S(5), 如圖 7 的 分割法可得下列兩關係式; (*註1)
(V32+ V42+ V52 − V12− V22)/2
= V3V4cos A4+ V4V5cos A5− V3V5cos(A4+ A5)− V1V2cos A2 (5) 2S(5) = V3V4sin A4+ V4V5sin A5− V3V5sin(A4+ A5) + V1V2sin A2 (6) 聯立上列 (5)、(6) 兩式的運算, 可得出此平面凸五邊形面積的平方式為
[S(5)]2= 1
16(V2+ V3+ V4+ V5− V1)× (V3+ V4+ V5+ V1− V2)
×[(V1+ V2)2− (V3 − V4)2− (V3− V5)2− (V4− V5)2+ V32+ V42+ V52]
−V1V2V3V5sin2
(A2+ A4+ A5 2
)− V1V2V3V4cos2
(A2+ A4 2
)
−V1V2V4V5cos2
(A2+ A5 2
)− V3V4V52(cos2 A4
2 )− V32V4V5(cos2 A5 2 )
−V3V42V5sin2
(A4− A5
2 )
(7) 此方程式 (7) 即為平面凸五邊形面積平方式的一般公式。
2. 平面凸五邊形出現最大面積的條件
(a) 由方程式 (7) 可知此凸五邊形的最大面積是由三個頂角 A2、 A4、 A5 的關係來決定, 這三 個頂角又被限制在方程式 (5) 中, 故需要用到 Lagrange multiplier method 來求取面積的極 值;
令 f = S(5) = 1 2 [
V3V4sin A4+ V4V5sin A5− V3V5sin(A4+ A5) + V1V2sin A2] Φ = V3V4cos A4+ V4V5cos A5− V3V5cos(A4 + A5)− V1V2cos A2
−1
2(V32+ V42 + V52− V12 − V22) = 0
取 F (A2, A4, A5) = f + λΦ, λ為不等於零的實數。 今對 F 作微分運算, 並使微分式為零, 則
∂F
∂A2
= 1
2V1V2cos A2+ λV1V2sin A2 = 0 ⇒ −2λ = cos A2 sin A2
(8)
∂F
∂A4 = 0 ⇒ −2λ = V4cos A4− V5cos(A4+ A5)
−V4sin A4+ V5sin(A4+ A5) (9)
∂F
∂A5 = 0 ⇒ −2λ = V4cos A5− V3cos(A4+ A5)
−V4sin A5+ V3sin(A4+ A5) (10) 由 (8) 式與 (9) 式, 得 cos A2
sin A2 = V4cos A4− V5cos(A4+ A5)
−V4sin A4+ V5sin(A4 + A5) 經化簡, 得
V4sin(A2 + A4) = V5sin(A2+ A4+ A5) (11) 由 (8) 式與 (10) 式, 得 cos A2
sin A2 = V4cos A5− V3cos(A4+ A5)
−V4sin A5+ V3sin(A4+ A5) 經化簡, 得
V4sin(A2 + A5) = V3sin(A2+ A4+ A5) (12) 由 (9) 式與 (10) 式, 得 V4cos A4− V5cos(A4+ A5)
−V4sin A4+ V5sin(A4+ A5) = V4cos A5− V3cos(A4+ A5)
−V4sin A5+ V3sin(A4+ A5) 經化簡, 得
V4sin(A5− A4)− V3sin A5+ V5sin A4 = 0 (13) 再由 (11)、 (12) 式的共同項, 整理成下式;
sin(A2+ A5)
V3 = sin(A2+ A4+ A5)
V4 = sin(A4+ A2)
V5 (14)
(14) 式又可化成
sin(A2 + A5)
V3 = sin(A3+ A1)
V4 = sin(A4+ A2)
V5 (15)
得到的 (15) 式 與定理 1 完全符合! 即 平面上一個給定各個邊長的凸五邊形, 其出現最大面積 的條件是; 此凸五邊形的五個頂點必須共圓!
註2: 各邊長已給定的平面凸五邊形, 意指此凸五邊形的五個邊長為已知固定值, 而各邊的順序 位置亦是固定, 所以現在對其五個頂點 (角) 做適當的調整配置, 即可得到由此五邊長所 圍起的最大面積; 是在於 此凸五邊形的五個頂點必須共圓。
(b) 恆等式 (13) 式表示的幾何意義是; 四個頂點 A3, A4, A5, A1 必共圓。 理由如下;
圖 8
見圖 8, 考慮一個圓內接四邊形 A3A4A5A1, 由凸四邊形的邊長型正弦公式 (利用封閉圖形的 向量性質), 可得 (*註1) V3sin α−V4sin(α+A4)−V5sin β = 0將 α = π−A5, β = π−A4, 代入上式, 再化簡, 整理, 即得相同的下式;
V4sin(A5− A4)− V3sin A5+ V5sin A4 = 0 (13) 反之; 若平面凸四邊形 A3A4A5A1,其邊長與頂角滿足方程式 (13), 則此凸四邊形內接於一圓。
這很容易利用歸繆證法, 仿照 B 之 3 的過程證明出來 (證明略)。 因此, 恆等式 (13) 式與 (14) 式、(15) 式的關係是契合的, 使五個頂點共圓!
3. 平面凸五邊形的最大面積
各邊長給定之平面凸五邊形的五頂點共圓時, 恆等式 (13) 式與 (14) 式、 (15)式必然存 在, 此時的凸五邊形其面積為最大值。 現在要推導出此最大面積; 回頭察看方程式 (7), 見此方 程式中有牽涉到頂角的是後面六個項, 令函數 g 表示此六項的前三項, 函數 h 表示此六項的末 三項, 如下;
g =−V1V2V3V5sin2
(A2+ A4+ A5 2
)− V1V2V3V4cos2
(A2+ A4 2
)
−V1V2V4V5cos2
(A2+ A5 2
)
h =−V3V4V52 (
cos2 A4 2
)− V32V4V5
(
cos2 A5 2
)− V3V42V5sin2
(A4− A5
2 )
現在分別整理 g, h 兩函數;
g =−V1V2V3V5cos2
(A1+ A3 2
)− V1V2V3V4cos2
(A2+ A4 2
)
−V1V2V4V5cos2
(A2+ A5 2
)
(7-1)
=−V1V2V3V4V5 [ 1
V3 cos2
(A2+ A5
2 )
+ 1 V4 cos2
(A3+ A1
2 )
+ 1 V5 cos2
(A4 + A2
2 )]
h =−V3V4V52 (
cos2A4 2
)− V32V4V5 (
cos2 A5 2
)− V3V42V5sin2
(A4− A5
2 )
=−V3V4V52
(1 + cos A4 2
)− V32V4V5
(1 + cos A5 2
)− V3V42V5
[1− cos(A4− A5) 2
]
=−V3V4V5
2 (V3+ V4+ V5) + V3V4V5
2 [V4cos(A4− A5)− V5cos A4− V3cos A5] (7-2) 接下來又要利用圓內接四邊形的性質, 仿照上述2之 (b) 的結果, 並參照圖 8; 可得
直線段 A1A3 = V3cos α− V4cos(α + A4) + V5cos β 將 α = π − A5, β = π− A4,代入上式, 再化簡, 整理, 即得下式;
A1A3 =−V3cos A5+ V4cos(A4− A5)− V5cos A4 (7-3) 而圖 8 中三角形 A1A2A3 的直線段
A1A3 = V1cos(A1 − β) + V2cos(A3− α) (7-4) 再將 α = π − A5, β = π− A4, 代入上列 (7-4) 式, 即可得
A1A3 =−V1cos(A4+ A1)− V2cos(A3+ A5) (7-5) 再以倍角公式將 (7-5) 式 化成下式;
A1A3=−V1
[ 2 cos2
(A4 + A1 2
)− 1]
− V2
[ 2 cos2
(A4+ A5 2
)− 1]
= V1+ V2− 2V1cos2
(A4+ A1 2
)− 2V2cos2
(A3+ A5 2
)
(7-6) 再由 (7-3) 式 與 (7-6) 式 代入 (7-2) 式中, 即得
h =V3V4V5
2 (V1+ V2− V3− V4− V5)
−V1V2V3V4V5 [ 1
V2 cos2
(A4+ A1 2
) + 1
V1 cos2
(A3+ A5 2
)]
(7-7) 以上已將 g, h 兩函數整理完成, 最後將 (7-1) 式 與 (7-7) 式 代入 (7) 式中, 即得到盼望已久 的平面凸五邊形的最大面積平方式公式, 也是圓內接五邊形的面積平方式公式!現在將它完整的 敘述成下列定理2:
定理2: 在平面上給定一個凸五邊形 A1A2A3A4A5,令 A1A2 = V1, A2A3 = V2, A3A4 = V3, A4A5 = V4, A5A1 = V5,如圖 7, 則此各邊長已給定的平面凸五邊形的最大面積, 是出現在其 五個頂點必須共圓, 而此平面凸五邊形的最大面積平方式公式, 也是圓內接五邊形的面積平方 式公式為下式:
令其最大面積為 S(5) max, [S(5) max]2= 1
16(V2+ V3+ V4+ V5− V1)× (V3+ V4+ V5+ V1− V2)
×[
(V1+ V2)2− (V3− V4)2 − (V3− V5)2− (V4− V5)2+ V32+ V42+ V52 ]
+V3V4V5
2 (V1+ V2− V3− V4− V5)− V1V2V3V4V5 [ 1
V1
cos2
(A3+ A5 2
)
+ 1 V2 cos2
(A4+ A1
2 )
+ 1 V3 cos2
(A5+ A2
2 )
+ 1 V4 cos2
(A1+ A3
2 )
+ 1 V5 cos2
(A2+ A4 2
)]
(16) 此方程式 (16) 式的完美迷人之處是其涵蓋了 Brahmagupta 的圓內接四邊形面積的平方式公 式, 以及三角形的 Heron 面積平方式公式! 情形如下; 見圖 7
(a) 若令頂點 A5 趨近於 A1, 使 V5 = 0, 則圓內接五邊形即退化成圓內接四邊形。 因此, 將 V5 = 0 代入方程式 (16) 式內, 即可得下式;
[S(5) max]2 = 1
16(V2+V3+V4−V1)(V3+V4+V1−V2)(V4+V1+V2−V3)(V1+V2+V3−V4) (17) 此 (17) 式即為 Brahmagupta 面積平方式公式!
(b) 再令 V4 = 0, (17) 式就蛻變成 Heron 面積平方式公式!
(16) 式的公式內容確實不精簡, 但其中含有內角的最後五項卻是完全的具規律性! 可見頂點共 圓的圖形, 其面積表示式是會具簡潔、 規律或對稱性的!
D. 圓內接 2n + 1 邊形的正弦公式
圖 9
圖 9 是一個圓內接 2n + 1 邊形, 其中 A1A2 = V1, A2A3 = V2, A3A4 = V3, . . ., A2nA2n+1 = V2n, A2n+1A1 = V2n+1; V1 所面對的圓周角為 θ1, V2 所面對的圓周角為 θ2, . . ., V2n+1 所面對的圓周角為 θ2n+1。 仿照 B 之 1 並利用圓周角性質知;
A1= θ2+ θ3+ θ4+· · · + θ2n−2+ θ2n−1+ θ2n A2= θ3+ θ4+· · · + θ2n−2+ θ2n−1+ θ2n+ θ2n+1 A3= θ4+ θ5 + θ6+· · · + θ2n+ θ2n+1+ θ1 A4= θ5+ θ6+ θ7+· · · + θ2n+1+ θ1+ θ2 A5= θ6+ θ7+· · · + θ2n+1+ θ1+ θ2+ t3
...
An−1= θn+ θn+1+· · · + θ2n+1+ θ1+ θ2+· · · + θn−4+ θn−3
An= θn+1+ θn+2+· · · + θ2n+1+ θ1+ θ2+· · · + θn−3+ θn−2 An+1= θn+2θn+3+· · · + θ2n+1+ θ1+ θ2+· · · + θn−2+ θn−1
...
A2n−4= θ2n−3+ θ2n−2+· · · + θ2n+1+ θ1+ θ2+· · · + θ2n−7+ θ2n−6
A2n−3= θ2n−2+· · · + θ2n+1+ θ1+ θ2+· · · + θ2n−6+ θ2n−5 A2n−2= θ2n−1+· · · + θ2n+1+ θ1+ θ2+· · · + θ2n−5+ θ2n−4 A2n−1= θ2n+ θ2n+1+ θ1+ θ2+· · · + θ2n−4+ θ2n−3
A2n= θ2n+1+ θ1+ θ2+· · · + θ2n−3+ θ2n−2
A2n+1= θ1+ θ2+· · · + θ2n−2+ θ2n−1
觀察以上 2n + 1 個頂角的各個內容, 要組合成像圓內接五邊形的方程式 (2) 之類似型式, 經詳細對照、 分析檢驗後, 恰可歸納成下列兩種類型;
1. 圓內接 2n + 1 邊形, 當 n 為偶數時, n + 1 為奇數:
今從上述 2n + 1 個頂角取下 A1, A3, A5, . . . , An−1, An+1, An+2, An+4, An+6, . . . , A2n 等總數共有 n + 1 個頂角。 因 θ1+ θ2+ θ3+· · · + θ2n−1+ θ2n+ θ2n+1 = π, 再檢視被取下 的每個頂角, 發現每個頂角都含有 2n − 1 個 θ, 與 π 比較都少了兩個 θ, 缺少的情形如下;
A1 缺少 θ2n+1+ θ1, A3 缺少 θ2+ θ3, A5 缺少 θ4+ θ5, . . .,
An−1 缺少 θn−2+ θn−1, An+1 缺少 θn+ θn+1, An+2 缺少 θn+1+ θn+2,
An+4 缺少 θn+3+ θn+4, . . ., A2n−4 缺少 θ2n−5+ θ2n−4, A2n−2 缺少 θ2n−3+ θ2n−2, A2n 缺少 θ2n−1+ θ2n, 將這些缺少的 θ 全數加起來, 即為 π + θn+1,
現在將
A1+ A3+ A5+· · · + An−1+ An+1+ An+2+ An+4+ An+6+· · · + A2n
= (n + 1)
2n+1∑
i=1
θi−
2n+1∑
i=1
θi− θn+1 = n
2n+1∑
i=1
θi− θn+1 = nπ− θn+1
= [n
2
]× 2π − θn+1= [n
2
]× 2π + (−1)n+1θn+1 (18)
而且
A1+ A3+ A5+· · · + An−1+ An+1+ An+2+ An+4+ An+6+· · · + A2n
=
[n2]
∑
i=0
A2i+1+
[n2]
∑
j=1
A2n−2(j−1) = [n
2
]× 2π + (−1)n+1θn+1 (19)
(18) 式、(19) 式中的運算符號 [ ] 為高斯記號, 其定義如下:
[x] = m∈ Z, 若且唯若, m ≤ x < m + 1 (20)
2. 圓內接 2n + 1 邊形, 當 n 為奇數時, n + 1 為偶數:
同樣從上述 2n+1 個頂角取下 A1, A3, A5, . . . , An−2, An, An+3, An+5, An+5, An+7, . . ., A2n−2, A2n 等總數共有 n 個頂角。 因 θ1 + θ2 + θ3+· · · + θ2n−1+ θ2n+ θ2n+1 = π, 此每 個頂角與 π 比較都少了兩個 θ, 缺少的情形如下;
A1 缺少 θ2n+1+ θ1, A3 缺少 θ2+ θ3, A5 缺少 θ4 + θ5, . . .,
An−2 缺少 θn−3+ θn−2, An 缺少 θn−1+ θn, An+3 缺少 θn+2+ θn+3,
An+5 缺少 θn+4+ θn+5, . . ., A2n−4 缺少 θ2n−5+ θ2n−4, A2n−2 缺少 θ2n−3+ θ2n−2, A2n 缺少 θ2n−1+ θ2n, 將這些缺少的 θ 全數加起來, 即為 π − θn+1,
故
A1+ A3+ A5+· · · + An−2+ An+ An+3+ An+5+ An+7+· · · + A2n−2+ A2n
= n
2n+1∑
i=1
θi−
2n+1∑
i=1
θi+ θn+1 = (n− 1)
2n+1∑
i=1
θi+ θn+1= (n− 1)π + θn+1
= [n
2
]× 2π + θn+1 = [n
2
]× 2π + (−1)n+1θn+1 (21)
而且
A1 + A3+ A5+· · · + An−2+ An+ An+3+ An+5+ An+7+· · · + A2n−2+ A2n
=
[n2]
∑
i=0
A2i+1+
[n2]
∑
j=1
A2n−2(j−1) = [n
2
]× 2π + (−1)n+1θn+1 (22)
(21) 式、 (22) 式中的運算符號 [ ] 為高斯記號, 如 (20) 式。
3. 綜合以上 1 和 2 的推理, 對於 ∀n ∈ N, 圓內接 2n + 1 邊形的 (19) 式與 (22) 式具有完 全相同的數學表示式, 這樣的巧合真是奇妙!
再看圖 9, 圖中圓內接 2n + 1 邊形的圓周角 θn+1 所對應的邊長為 Vn+1, 由正弦關係, 可知 sin θn+1
Vn+1 = 1
2R2n+1, 此處 R2n+1 為圓內接 2n + 1 邊形的半徑。 現在要推導出圓內接 2n + 1 邊形的正弦公式, 如下;
定理3: 如圖 9, 考慮圓內接 2n + 1 邊形, R2n+1 為圓的半徑, 則對任何 n ∈ N, 下式成立:
sin{ ∑[n2]
i=0A2i+1+∑[n2]
j=1A2n−2(j−1) }
Vn+1 = (−1)n+1 1
2R2n+1 (23) 上述的 (23) 式即稱為 圓內接 2n + 1 邊形的正弦公式。
證明:由 (22) 式可知
sin {∑[n2]
i=0
A2i+1+
[n2]
∑
j=1
A2n−2(j−1) }
= sin {[n
2
]· 2π + (−1)n+1θn+1 }
= sin{(−1)n+1θn+1} = (−1)n+1sin θn+1 (22-b) 再由圖 9 中圓內接 2n + 1 邊形的圓周角 θn+1 與對應的邊長 Vn+1, 及正弦關係式
sin θn+1
Vn+1 = 1
2R2n+1 (22-a)
此處 R2n+1 為圓內接 2n + 1 邊形的半徑。
將 (22-b) 式及 (22-a) 式聯立運算, 即得圓內接 2n + 1 邊形的正弦公式為 sin{ ∑[n2]
i=0A2i+1+∑[n2]
j=1A2n−2(j−1) }
Vn+1 = (−1)n+1 1
2R2n+1 (23) 對於 ∀n ∈ N, 圓內接 2n + 1 邊形的 (23) 式必成立, 證明完成。
公式 (23) 式 對於圓內接 2n + 1 邊形的任一邊 Vk, 1≤ k ≤ 2n + 1, 必成立。 反之; 若 一個平面凸 2n + 1 邊形的各頂角與各邊長皆同時滿足 (23) 式, 則此凸 2n + 1 邊形的各頂點 必共圓。 同樣地, 利用歸繆證法, 先假設有一個頂點不在圓周上, 仿效定理一的證明, 可得假設 錯誤。 所以, 由圖 9 分析知, 就連一個頂點不在圓周上時, (23) 式即不能成立, 更遑論其他; 如 兩個頂點或三個頂點或更多頂點不在圓周上的情況了! 因此, 滿足 (23) 式時, 此凸 2n + 1 邊 形的各頂點必共圓!必要條件成立。
定理3 的公式 (23) 式其結果美妙之處是; 它涵蓋了三角形的正弦定律! 現在令 n = 1, 即是圓內接三角形, 則 (23) 式 化成 sin A1
V2
= 1 2R3
= sin A2 V3
= sin A3
V1 此關係式就是三角 形的正弦定律!
再令 n = 2, 即是圓內接五邊形, 則 (23) 式 化成下式:
sin(A4+ A1+ A2) V1
=sin(A5+ A2 + A3) V2
= sin(A1+ A3+ A4) V3
=sin(A2+ A4 + A5)
V4 = sin(A3+ A5+ A1)
V5 = −1
2R5 (24) 此 (24) 式就是 B 之 2 的方程式 (4) 式!
以此類推, 應用 (23) 式即可寫出所有圓內接 2n + 1 邊形的正弦公式!
以上推論演繹的過程省略了很多的計算步驟, 全文按序推演, 詳細敘述, 盡力使文意順暢, 條理分明, 也讓此永恆的真理及正確知識與智慧廣為流傳。
III. 結 論
閱讀與教學最能啟發思考創造力!閱讀中, 一有心得就筆記下來; 隨時注意新理論的發展或 不同的研究方法。 教學的內容或學生提問的問題中有啟迪性的, 更要追蹤思索。 不斷的發掘問
題、 審慎懷疑並檢視各種特例, 再鑽研分析, 設法歸納, 推導出包含此特例題型的一般化理論。
這樣的求知過程中即能適時地湧出觸發靈感的泉源, 因而尋獲研究探討的主題!
圓內接多角星形的全部頂角總和為 π, 這由各頂角皆是圓周角, 而所有圓周角恰圍成一完 整的圓, 即可得到此結果。
根據作者實際計算, 以不同圖形分割法求出的凸五邊形面積公式亦不同, 但在求此凸五邊 形的最大面積時, 不同分割法所求到的最大面積公式也是完全相同的。 圓內接五邊形的面積公 式中含有 sin 項的最末五項, 其數學形式是完全對稱性的五個項數, 這對稱性式的出現, 更加堅 定此面積公式的正確性了!
圓內接 2n + 1 邊形的正弦公式恰分成兩類; 第 1 類是 n 為奇數時, 即三角形、 七邊形、
十一邊形、 · · · 等, 公式中 sin 項內的頂角數共有 n 個, 而公式的比值為 1
2R2n+1。 第 2 類是 n 為偶數時, 即五邊形、 九邊形、 十三邊形、· · · 等, 公式中 sin 項內的頂角數共有 n + 1 個, 而公 式的比值為 − 1
2R2n+1。 奇妙的事是兩個不同類型的結構卻可統一成完整的一個公式 (23) 式!
參考文獻
1. 李輝濱, 平面凸五邊形及凸六邊形面積的研究, 數學傳播, 2012, 3月, 第141期, 37-47。
2. 蔡聰明, 數學拾貝—-星空燦爛的數學, 三民書局。
3. 黃武雄, 中西數學簡史, 1980 , 人間文化事業公司。
4. 世部貞市郎, 幾何學辭典, 1988 , 九章出版社。
5. 林聰源, 數學史—-古典篇, 1995 , 凡異出版社。
6. 項武義, 基礎幾何學, 五南圖書出版公司。
7. 項武義, 基礎分析學, 五南圖書出版公司。
8. Lopshits, Area of polygon in 1963 , Wikipedia.
9. E.W. Hobson : A treatise on plane and Advanced trigonometry, Dover , 1957.
10. Z.A. Melzek : Invitation to geometry, John Wiley and Sons , 1983.
—本文作者任教嘉義縣同濟中學—
