多 項 式 的 除 法

多項式的除法

凡藝數學

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多 項 式 的 除 法

單 元 內 容

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多項式的除法

n 指數律：

1. x^m×xⁿ= x^{m+ n} 2. x^m÷xⁿ= x^{m- n} 3. (x^m)ⁿ= x^m×n

【說明】

x²×x⁴=x⁶ x⁵÷x²=x³ (x³)²=x⁶

n 除法關係式：

1. a÷b= c….. 餘 d 則 a= b×c+ d

當 d= 0 時 a 可以被 c 整除

a 是被除數，b 是除數，c 是商，d 是餘 數。

2. A÷B= C….. 餘 D 則 A= B×C+ D

當 D= 0 時 A 可以被 c 整除

A 是被除式，B 是除式，C 是商式，D 是餘 式。

【說明】

50÷7=6…. 餘 2 50=7×6+2

(x²-1)÷(x+1)=x-1 x²=(x+1) (x-1)

x²-1 被除式，x+1 是除式，x-1 是商 式，餘式為0。

1. 單項式的除法：單項式除以單項式時，

數字與數字相除，文字符號與文字符號 相除。

【說明】

(-6x)÷2=-3x -X²÷2x=-1

2X³

2. 多項式除單項式: 多項式除以單項式 時，拆成幾個單項相除。

【說明】

(-4X²+2x+3)÷2X

=-4X²÷2X +2x÷2X +3÷2X

=-2x+1…..餘 3

直式算法：

-2x +1 2x -4X²+2x+3 -4x² 2x 2x 3

多項式的除法

凡藝數學

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分離係數法：

-2+1 2 -4+2+3

-4

2

2

3

(-4X²+2x+3)÷(2X) 的商式為-2x +1 餘式為 3 3. 多項式除多項式: 多項式除以多項式 時，利用直式或分離係數法。 【說明】 (-4X²-2x+5)÷(2X+1) 直式算法： -2x +1 2x+1 -4X²-2x+5 -4x²-2x 5

分離係數法： -2+1 2+1 -4+2+5 -4-2 5

(-4X²-2x+5)÷(2X+1) 的商式為-2x +1 餘式 為5

【說明】

(X³+27)÷(X+3)

直式算法：

X² -3x+9 x+3 X³+0x²+0x+27

X³+3x² -3x²+0x -3x²-9x

多項式的除法

凡藝數學

3

9x+27 9x+27 0

分離係數法：

1-3+9 1+3 1+0+0+27

1+3 -3+0 -3-9 9+27

9+27 0

(X³+27)÷(X+3) 的商式為 x²-3x+9 餘式 為0

範 例 講 解

Ex1.計算並回答下列各題：

(1). 3x²÷(-x) (2). -6x²÷(-2x) (3). 3x‧( )=-6x²

Hw1.計算並回答下列各題：

(1). x²÷(-x)

(2). 2x‧( )=-6x² (3) .3x‧( )=-x

Ex2.求下列各式的商式及餘式：

(1).(-6x²+8x)÷2x (2). (8x²-4x+5)÷(-2x) (3). (x²-5x-4)÷(x-4) (4). (x²-6x+8)÷(-x+2) (5).(16x²-10)÷(4x-1) (6). (4x²+3x+2)÷(2x+3)

Hw2.求下列各式的商式及餘式：

(1) (-6x²+3x+2)÷3x (2) (-6x²-9x)÷(3x) (3) (x²+5x+3)÷(x-1) (4) (x²-3x+5)÷(x-1) (5). (4x²+1)÷(2x+1) (6). (-5x²+2x+1)÷(-2x+1)

Ex3.求下列各式的商式及餘式：

(1).(-7x³+5x²+3x-4)÷(-2x) (2). (3x⁴-6x³+2x+6)÷3x²

(3).(8y³-26y²+23y-21)÷(2y-5) (4). (x³+2x²-3)÷(x²-x-4)

Hw3.求下列各式的商式及餘式：

(1). (6y-4y²+8y³)÷2y (2). (3x⁴-6x³+2x+6)÷3x² (3).( x³-4x²+x+6) ÷( x-2)

(4). (2x³-9x²+11x+6) ÷(x²-3x+1)

多項式的除法

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(5). (x³-8)÷(x-2) (5). (x³-27)÷(x+3)

Ex4.有一長方形面積為-8x²+14x-5,若已知長為(- 4x+5)，則其寬為何？

Hw4.翰翰家購買了一塊三角形的土地面積是 (x³+1)平方公尺，經測量後發現底的長度為 (x+1)公尺，則高的長度為多少公尺？

Ex5.

(1).某多項式除以(2x+1)得商式 2x²-x-3，餘 式-8，則此多項式為何？

(2).設甲為－x 的多項式，且

甲 1 - 3 + 4x³ x

=2x+1- 甲

3 ，則甲的多項式為何？

Hw5.

(1).已知多項式 B 除以 x-1 得商式為 x+5，餘 式為 8，如果改將多項式 B 除以 x+1,則餘 式=?

(2).設 A 為 x 的多項式，且

A x x -7 -23 3 ²

=3x+5- A

3 ，則 A 的多項式為何？

Ex6.

(1). 設x²-2x+c以x+1除之餘6,求c之值。

(2). 若x-1能整除4x³-3x²+kx-5,試求k值。

Hw6.

(1).一多項式,除以 2x-1 得商 x+2 餘 6,則此 多項式為何?

(2).若 x³+2x²-5x+k 能被 x+2 整除,試求 k 值。

Ex8.翰翰在計算多項式除法時,誤將 A÷B 看成 A- B，結果計算後的答案為 x²+4x+4，若已知 B 為 x+2，則 A÷B 的餘式為何？

Hw8.翰翰在計算兩多項式相除 A÷B 時，誤看為 A+B，得到結果為 6x²+x-35，若 A=6x²-x- 40，則原算式的正確答案為何？